Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 14

2014-06-23T15:39:03Z

TheBurni: /* Definition V.5 : (Fixgerade) */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

Antwort: 1) die Gerade g als Spiegelachse, 2) alle Geraden, die senkrecht auf g stehen
--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 17:39, 23. Jun. 2014 (CEST)

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Einführung_P]]

Beweis:

Lösung von Aufg. 7.4P (WS 13/14)

2014-06-17T13:25:36Z

TheBurni:

Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Beweis:
vor.: Ein Winkel Alpha ist ein rechter Winkel
Beh.: Alpha hat das Maß 90

1) alpha ist ein rechter Winkel -> Vor
2) Beta ist ein Nebenwinkel von Alpha -> Def. rechter Winkel
3) alpha = Beta -> De. rechter Winkel
4) /alpha/ + /beta/ = 180 -> Satz über Nebenwinkel (supplementär); 2)
5) /alpha/ = 90 -> 2);3); Rechnen in R

--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 15:25, 17. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.3 P (SoSe 14)

2014-05-20T16:06:52Z

TheBurni:

Definieren Sie, was man unter einem Kreis ''k'' mit dem Mittelpunkt ''M'' versteht, ohne den Begriff Ellipse zu verwenden (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)

[[Kategorie:Einführung_P]]
Def.: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: M+r=d mit M=Mittelpunkt des Kreises und d=konstant.

--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 18:06, 20. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.2 P (SoSe 14)

2014-05-20T16:03:12Z

TheBurni:

Definieren Sie den Begriff Kreis unter Verwendung des Begriffs Ellipse. 

[[Kategorie:Einführung_P]]
Def.: Ellipse: Eine Ellipse ist eine Menge aller Punkte P für die gilt F1P und F2P = d mit F1 und F2 gleich Punkte einer Ebene und d ist konstant.

-> Def.: Kreis: Ein Kreis ist eine Ellipse, bei dem F1P und F2P immer gleich lang sind.

--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 18:03, 20. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 2.2P (SoSe 14)

2014-05-07T08:05:41Z

TheBurni:

Ein Tangentenviereck ist das, was der Begriff suggeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

[[Category:Einführung_P]]

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten alle einen Berührpunkt mit einem Kreis haben. --[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 10:05, 7. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 2.1P (SoSe 14)

2014-05-07T08:00:37Z

TheBurni:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

[[Category:Einführung_P]]

dazu eine Frage: Ich dachte ein Parallelogramm ist ein allg. Trapez. Wie kann es aber ein gleichschenkliges Trapez sein, wenn sie auch im Haus der Vierecke im gleichen Stockwerk sind? Ich bin verwirrt :/
-> Meine Definition: Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez mit einer Symmetrieachse. --[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 10:00, 7. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 14)

2014-05-07T07:51:15Z

TheBurni:

Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 

[[Kategorie:Einführung_P]]

-> Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit einer Punktsymmetrie, die auf den Schnittpunkt der Diagonalen fällt. --[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 09:51, 7. Mai 2014 (CEST)

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Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 14

Lösung von Aufg. 7.4P (WS 13/14)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.3 P (SoSe 14)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.2 P (SoSe 14)

Lösung von Zusatzaufgabe 2.2P (SoSe 14)

Lösung von Zusatzaufgabe 2.1P (SoSe 14)

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 14)