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Lösung von Aufgabe 10.5

2010-07-28T12:36:58Z

TheGeosi: /* Beweis Versuch 1: */

Satz VI.1/2:
Es sei <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math>. 
Dann gilt: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

==Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:21, 21. Jul. 2010 (UTC) -Beweis von Löwenzahn wurde weitgehend übernommen==
Voraussetzung: <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math> 
Behauptung: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende von <math> \angle ASB </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>| \angle ASW| + | \angle WSB |= | \angle ASB| </math>
| Winkeladditionsaxiom, W liegt im Innern von <math>\angle ASB</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>| \angle ASW| = | \angle WSB | </math>
| (I), Def. Winkelhalbierende
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>| \angle ASW| + | \angle ASW |= | \angle ASB| </math>
| (II), (III), (Rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>2| \angle ASW| = | \angle ASB| </math> --> <math> | \angle ASW |= 1/2| \angle ASB| </math>
| (IV), (Rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>| \angle ASW| =| \angle WSB| = 1/2| \angle ASB| </math>
| (III), (V)
|}

==vorangegangene Diskussion==

== Beweis Versuch 1: ==
VSS: <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math> 
Beh: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende von <math> \angle ASB </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>| \angle ASW| + | \angle WSB |= | \angle ASB| </math>
| Winkeladditionsaxiom, W liegt im Innern von <math>\angle ASB</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>| \angle ASW| = | \angle WSB | </math>
| (I), Def. Winkelhalbierende
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>| \angle ASW| + | \angle ASW |= | \angle ASB| </math>
| (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>2| \angle ASW| = | \angle ASB| </math> --> <math> | \angle ASW |= 1/2| \angle ASB| </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>| \angle ASW| =| \angle WSB| = 1/2| \angle ASB| </math>
| (III), (V)
|}

qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:51, 1. Jul. 2010 (UTC)

Das war ja jetzt der Beweis für die Existenz, fehlt jetzt noch einer für die Eindeutigkeit!?
Wenn ja, wie sähe der dann aus!? Reicht dafür das Winkelkonstruktionsaxiom!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 17:00, 6. Jul. 2010 (UTC)

Bei dem Satz wird nicht zwischen Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden unterschieden. Das kommt doch nur vor, wenn "genau" im Satz steht. Kann es sein dass du den Satz: "Jeder Winkel hat genau eine Winkelhalbierende" meinst? Da muss man dann nämlich Existenz und Eindeutigkeit beweisen. Hier ist nur gezeigt, dass bei einer Winkelhalbierenden (VSS) die Winkel, die durch die Winkelhalbierenden entstehen gleichgroß sind und diese das halbe Maß des Gesamtwinkel (Beh) haben. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 6. Jul. 2010 (UTC)

HI, oh, ja da hast du Recht - hab da im falschen Satz geschaut - alles klar - dann stimmt ja alles =) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:55, 6. Jul. 2010 (UTC)

 
[[Bild:Dozenten.jpg]] 
Wo ist denn jetzt der Existenz-und Eindeutigkeitsbeweis der Winkelhalbierenden? Also das ist er auf jedenfall nicht. Hier wird ja die Existenz schon in der Voraussetzung vorrausgesetzt, und die Eindeutigkeit wird auch nicht bewisen. Bekommen wir da noch eine Antwort? --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 10:41, 28. Jul. 2010 (UTC)

Ich glaube der Beweis der Ex und Eind der Winkelhalbierenden wurde im Tutorium 11 Aufg.1 bewiesen. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:58, 28. Jul. 2010 (UTC) 

Ok, hab ich auch gesehen. Haben wir aber irgendwie ausgelassen. Wird im Beweis über die Wineklkonsturktion eines halbsogroßen Winkels wie Winkel ASB und dann die Winkeladdition gegangen oder? --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 12:36, 28. Jul. 2010 (UTC)

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

2010-07-28T10:44:20Z

TheGeosi: /* Beweis von Satz VI.2 */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe 10.4

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Übungsaufgabe 10.5 --> Stimmt nicht, der Beweis ist hier nicht zu finden!!!! --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 10:42, 28. Jul. 2010 (UTC)

Die Lösung dieser Übungsaufgabe dient der Antwort von 10.4...
Doch wo wird Satz V.2 bewiesen: Zu jedem Winkel gibt es GENAU EINE Winkelhalbierende?

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

2010-07-28T10:44:03Z

TheGeosi: /* Beweis von Satz VI.2 */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe 10.4

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Übungsaufgabe 10.5 --> Stimmt nicht, der Beweis ist hier nicht zu fineden!!!! --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 10:42, 28. Jul. 2010 (UTC)

Die Lösung dieser Übungsaufgabe dient der Antwort von 10.4...
Doch wo wird Satz V.2 bewiesen: Zu jedem Winkel gibt es GENAU EINE Winkelhalbierende?

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

2010-07-28T10:42:58Z

TheGeosi: /* Beweis von Satz VI.2 */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe 10.4

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Übungsaufgabe 10.5 --> Stimmt nicht!!!! --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 10:42, 28. Jul. 2010 (UTC)

Die Lösung dieser Übungsaufgabe dient der Antwort von 10.4...
Doch wo wird Satz V.2 bewiesen: Zu jedem Winkel gibt es GENAU EINE Winkelhalbierende?

Lösung von Aufgabe 10.5

2010-07-28T10:41:38Z

TheGeosi: /* Beweis Versuch 1: */

Lösung von Aufgabe 13.4

2010-07-24T13:25:28Z

TheGeosi: /* Anmerkung */

===== Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) =====
:: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> , <math> \ \alpha </math>, <math> \ \beta </math>, <math> \ \gamma</math> sind Innenwinkel des Dreiecks, <math> \ {\gamma^{'}}</math> ist nichtanliegender Außenwinkel zu <math> \ \alpha </math> und <math> \ \beta </math> 
Beh: <math> \ |\alpha| + |\beta| = |{\gamma^{'}}|</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \ |{\gamma^{'}}| + |\gamma| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = |{\gamma^{'}}| + |\gamma|</math>
| (I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| = |{\gamma^{'}}| </math>
| (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|}
--> Beh wahr. qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:16, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Anmerkung ==
Nur ne Formale Anmerkung:
 Ich würde die Behauptung noch allgemeiner definieren und dann später vor Beweisbeginn sagen o.B.d.A. usw....
 weiß ja nicht, wie viel Wert später auf die Form gelegt wird... aber wer weiß das schon? Wir werdens dann schon feststellen.

Lösung von Aufgabe 13.4

2010-07-24T13:23:43Z

TheGeosi: /* Versuch 1 */

===== Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) =====
:: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> , <math> \ \alpha </math>, <math> \ \beta </math>, <math> \ \gamma</math> sind Innenwinkel des Dreiecks, <math> \ {\gamma^{'}}</math> ist nichtanliegender Außenwinkel zu <math> \ \alpha </math> und <math> \ \beta </math> 
Beh: <math> \ |\alpha| + |\beta| = |{\gamma^{'}}|</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \ |{\gamma^{'}}| + |\gamma| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = |{\gamma^{'}}| + |\gamma|</math>
| (I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| = |{\gamma^{'}}| </math>
| (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|}
--> Beh wahr. qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:16, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Anmerkung ==
Nur ne Formale anmerkung:
 ich würde die Behauptung noch allgemeiner definieren und dann später vor Beweisbeginn sagen o.B.d.A. usw....

Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-24T12:56:36Z

TheGeosi: /* Anmerkung */

===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math> 
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math>
| (Euklidisches Parallelenaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel
| (I), (Def. Scheitelwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math>
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math>
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (VII), (V), (VI)
|}
-> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

== Zum Thema EP ==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

 Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
 Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

 Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC): Fast. Man müsste mit der EINDEUTIGKEIT der Parallelen, die das EP aussagt (höchstens) belegen, dass <math>\ d</math> DIE EINZIGE Parallele zu <math>\ AB</math> durch <math>\ C</math> ist. <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> geht, die Begründung sagt aber an, dass man das anders "sprechen" muss: es existiert GENAU EINE Parallele usw. Ganz ordentlich müsste man die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nennen, mit der die EXISTENZ einer Parallelen (...es gibt mindestens eine Parallele...) bewiesen werden kann.

== Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär? ==
 Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Re: Die Begründung ist problematisch, das kann besser mit Winkeladdition erklärt werden. Oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC)

== Weitere Fragen ==
 Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

== Anmerkung ==
Etwas vereinfacht wäre es, wenn wir nicht die Stufenwinkel sondern die Wechselwinkel nehmen würden, und dann sozusagen auf der Unterseite der parallelen arbeiteten. 
Zu der EP-Diskussion: Ich denke es genüt Def.X.3 (Existenz von Parallelen) aufzuführen, um den Beweis zu führen. Wozu sollten wir die
Eindeutigkeit brauchen? Wir brauchen ja nur eine Gerade die Parallel verläuft, dass wir unsere Wechselwinkelsätze bzw. Stufenwinkelsätze anwenden können.
 
Das Problem mit den Nebenwinkeln würde ich wie folgt klären:
Ich nehme mir 2 Winkel davon und fasse sie mit dem Winkeladditionsaxiom zusammen (es gilt dann noch zu begründen, warum der Innere
Strahl auch im inneren liegt). Anschließend kann ich dann mit dem 3. Winkel und dem zusammengefassten Winkel über Nebenwinkel argumentieren.
Anschließen drösle ich den zusammengefassten Winkel wieder auf... Fertig.
 
Beim Wechselwinkelsatz/Stufenwinkelsatz dürfte es aber keine Probleme Geben, da ich mir ja immer nur die 2 Geraden herausnehme, auf die ich mich
beziehe.

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 12:53, 24. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-24T12:54:33Z

TheGeosi: /* Anmerkung */

===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math> 
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math>
| (Euklidisches Parallelenaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel
| (I), (Def. Scheitelwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math>
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math>
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (VII), (V), (VI)
|}
-> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

== Zum Thema EP ==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

 Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
 Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

 Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC): Fast. Man müsste mit der EINDEUTIGKEIT der Parallelen, die das EP aussagt (höchstens) belegen, dass <math>\ d</math> DIE EINZIGE Parallele zu <math>\ AB</math> durch <math>\ C</math> ist. <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> geht, die Begründung sagt aber an, dass man das anders "sprechen" muss: es existiert GENAU EINE Parallele usw. Ganz ordentlich müsste man die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nennen, mit der die EXISTENZ einer Parallelen (...es gibt mindestens eine Parallele...) bewiesen werden kann.

== Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär? ==
 Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Re: Die Begründung ist problematisch, das kann besser mit Winkeladdition erklärt werden. Oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC)

== Weitere Fragen ==
 Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

== Anmerkung ==
Zu der EP-Diskussion: Ich denke es genüt Def.X.3 (Existenz von Parallelen) aufzuführen, um den Beweis zu führen. Wozu sollten wir die
Eindeutigkeit brauchen? Wir brauchen ja nur eine Gerade die Parallel verläuft, dass wir unsere Wechselwinkelsätze bzw. Stufenwinkelsätze anwenden können.
 
Das Problem mit den Nebenwinkeln würde ich wie folgt klären:
Ich nehme mir 2 Winkel davon und fasse sie mit dem Winkeladditionsaxiom zusammen (es gilt dann noch zu begründen, warum der Innere
Strahl auch im inneren liegt). Anschließend kann ich dann mit dem 3. Winkel und dem zusammengefassten Winkel über Nebenwinkel argumentieren.
Anschließen drösle ich den zusammengefassten Winkel wieder auf... Fertig.
 
Beim Wechselwinkelsatz/Stufenwinkelsatz dürfte es aber keine Probleme Geben, da ich mir ja immer nur die 2 Geraden herausnehme, auf die ich mich
beziehe.

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 12:53, 24. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-24T12:53:04Z

TheGeosi: /* Weitere Fragen */

===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math> 
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math>
| (Euklidisches Parallelenaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel
| (I), (Def. Scheitelwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math>
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math>
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (VII), (V), (VI)
|}
-> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

== Zum Thema EP ==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

 Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
 Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

 Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC): Fast. Man müsste mit der EINDEUTIGKEIT der Parallelen, die das EP aussagt (höchstens) belegen, dass <math>\ d</math> DIE EINZIGE Parallele zu <math>\ AB</math> durch <math>\ C</math> ist. <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> geht, die Begründung sagt aber an, dass man das anders "sprechen" muss: es existiert GENAU EINE Parallele usw. Ganz ordentlich müsste man die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nennen, mit der die EXISTENZ einer Parallelen (...es gibt mindestens eine Parallele...) bewiesen werden kann.

== Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär? ==
 Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Re: Die Begründung ist problematisch, das kann besser mit Winkeladdition erklärt werden. Oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC)

== Weitere Fragen ==
 Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

== Anmerkung ==
Zu der EP-Diskussion: Ich denke es genüt Def.X.3 (Existenz von Parallelen) aufzuführen, um den Beweis zu führen. Wozu sollten wir die
Eindeutigkeit brauche? Wir brauchen ja nur eine Gerade die Parallel verläuft, dass wir unsere Wechselwinkelsätze anwenden können.
 
Das Problem mit den Nebenwinkeln würde ich wie folgt klären:
Ich nehme mir 2 Winkel davon und fasse sie mit dem Winkeladditionsaxiom zusammen (es gilt dann noch zu begründen, warum der Innere
Strahl auch im inneren liegt). Anschließend kann ich dann mit dem 3. Winkel und dem zusammengefassten Winkel über Nebenwinkel argumentieren.
Anschließen drösle ich den zusammengefassten Winkel wieder auf... Fertig.
 
Beim Wechselwinkelsatz ec. dürfte es aber keine Probleme Geben, da ich mir ja immer nur die 2 Geraden herausnehme, auf die ich mich
beziehe.

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 12:53, 24. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.1

2010-07-21T08:24:16Z

TheGeosi: /* Lösung 2 */

= Der schwache Außenwinkelsatz =
== Aufgabenstellung ==
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum?
 [[Der_schwache_Außenwinkelsatz|Der schwache Außenwinkelsatz]]
 [[Bild:Skizze_Übung_12_1.png|900px]]
 Hier nochmal: der Beweisschritt 2a, die Bezeichnungen wurden angepasst, bzw. stimmen mit der Skizze nun überein.
Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>. 

Der Punkt <math>\ P</math> würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels <math>\beta^'</math> liegen,wenn er
# in Halbenbene <math>\ AB,C^+</math> oder 
# in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> liegen würde.

zu 1. 
Als Punkt der Halberaden <math>\ MC^-</math> (Konstruktion von <math>\ P</math>) kann <math>\ P</math> nicht mit <math>\ C</math> auf ein und derselben Seite bezüglich <math>\ AB</math> liegen. 

zu 2. 
2.a 
Annahme: <math>\ P \in CB</math>
In diesem Fall würde gelten: <math>\ CP \equiv CB</math>. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade <math>\ CP \equiv \ CB</math> mit <math>\ g</math> zu bezeichnen. 
Die Gerade <math>\ CP</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ M</math>. 
Die Gerade <math>\ CB</math> hat mit der Geraden <math>\ AB</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt <math>\ B</math>. 
Da die beiden Geraden <math>\ CB</math> und <math>\ CP</math> identisch sind und die nichtidentischen Geraden <math>\ g</math> und <math>\ AB</math> maximal einen Punkt gemeinsam haben können, müssen die beiden Punkte <math>\ M</math> und <math>\ B</math> identisch sein. 
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von <math>\ M</math>.<math>\ M</math> ist nämlich der Mittelpunkt von <math>\ \overline{AB}</math>. 

== Lösung 1 ==
Ja, der Fall, dass <math>P \in CB</math> muss durchdacht werden, da die Lage des Punktes theoretisch überall im Schnittpunkt der Halbebenen ligen kann. Wenn man den zweiten Teil des Beweises (ohne Hilfskonstruktion) betrachtet, ist die (mögliche) Lage von <math>\ P</math> nicht sofort ersichtlich.
 Allerdings kann man auch begründen: Nein, man muss den Fall nicht aufführen, da es trivial ist, die Lage von <math>\ P \ auf \ CB</math> zu widerlegen. Man kann es sich bildlich so vorstellen, dass <math>\ P</math> ja mithilfe des Mittelpunktes der Strecke <math>\overline {AB}</math> konstruiert wurde und deshalb - sollte <math>P \in CB</math> sein - die Strahlen <math>\ CA^+ \ CM^+ \ und \ CB^+</math> identisch seien.
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 21:16, 11. Jul. 2010 (UTC)

== Lösung 2 ==
Wenn wir mit einem indirekten Beweis zeigen dass P nicht in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> liegen kann (haben wir), so gilt das für die komplette GESCHLOSSENE Halbebene <math>\ CB,A^-</math> d.h. auch für die Trägergerade CB.
Wir wissen also schon dass P nicht auf CB liegen kann, dieser Teil ist also überflüssig...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:59, 19. Jul. 2010 (UTC)

== Frage ==
Unabhängig von der Aufgabenstellung mal: Müsste ich falls ich das zeigen müsste nich auch genau so zeigen, dass
P nicht auf der Geraden AB liegen kann? --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 08:24, 21. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 11.8

2010-07-15T09:41:44Z

TheGeosi: /* Lösung 1 */

Beweisen Sie Satz VII.6 b:
 Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand. 

== Lösung 1 ==

VSS: m ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, <math>P \in m</math> 
Beh: <math> a \cong b </math> 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\overline{AM} \cong \overline{BM}</math>
| (Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt), (Def. Mittelsenkrechte)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es existiert ein Punkt <math> P \in m</math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \angle AMP \cong \angle BMP </math>
| (Definition Mittelsenkrechte), (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\overline{MP} \cong \overline{MP}</math>
| (trivial)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline{AMP} \cong \overline{BMP}</math>
| (I), (III), (IV), (SWS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> a \cong b </math> 
| (V), (Def Dreieckskongruenz)
|}

--> Beh ist wahr. 
qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:36, 3. Jul. 2010 (UTC)

Der Fall P=M sollte bei Schritt IV vielleicht noch ergänzt werden. Wenn P=M, dann hat P den gleichen Abstand zu A und B (Begründung Schritt I)
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 17:03, 12. Jul. 2010 (UTC)

 
Bei Schritt (III) würde ich als Begründung "Def. Mittelsenkrechte", "Def. senkrecht" und "Def. rechte winkel" aufführen, da man von Def. Mittelsenkrechte nicht unmittelbar schließen kann, dass die Winkel Nebenwinkel und supplementär sind! Ich habe das nochmal in 3 Extraschritte
aufgeteilt. --[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 09:41, 15. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-06-10T14:43:53Z

TheGeosi: /* Fünf */

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt C, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: |AC| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) C ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und C sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-06-10T14:41:00Z

TheGeosi: /* Fünf */

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt P, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: |AP| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) P ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und P sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-06-10T14:32:10Z

TheGeosi: /* Vier */

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt P, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: AP = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) P ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und P sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

Auftrag der Woche 1

2010-04-21T11:36:42Z

TheGeosi: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */

== Geometrie im Alltag ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.

Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko
* [[Benutzer:Eagle-Eye]] - Eine der Pyramiden aus Kairo
* [[Benutzer:Mister D]] - Patchworkkissen
* [[Benutzer:Kabachen]] - Weg in Monterosso
* [[Benutzer:Punktpunkt]] - Kuppel vom Pantheon in Rom
* [[Benutzer:Raxlifaxli]] - Harbour-Bridge Sidney
* [[Benutzer:wilwarin]] - Schiffe Cork Week
* [[Benutzer:Andreas]] - Parallelität aus dem Hohenloher Land
* [[Benutzer:Maschauerl]] - Geknicktes Papier
* [[Benutzer:Ruefnnn]] - Brooklyn Bridge New York
* [[Benutzer:Walzera]] - Wasserturm Langeoog
* [[Benutzer:TheGeosi]] - Dartscheibe in Heidelberg

Benutzer:TheGeosi

2010-04-21T11:35:30Z

TheGeosi: Die Seite wurde neu angelegt: 400px

[[Bild:IMG 6605.JPG|400px]]

Datei:IMG 6605.JPG

2010-04-21T11:24:18Z

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