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Lösung von Aufg. 11.5 (SoSe 11)

2011-06-30T16:51:18Z

Theofanis:

Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Es seien α und β zwei Nebenwinkel mit| α|=|β|. Nach dem Axiom 4|4 sind α und βsupplementär, was | α|=|β| =180 bedeutet. Die Winkel α und β sind rechte Winkel und haben damit dieselbe Größe. Damit gilt | α|=|β| =180/2 = 90.
[[Category:Einführung_Geometrie]]
<math>\leftarrow</math> <math>\leftarrow</math>

Lösung von Aufg. 11.5 (SoSe 11)

2011-06-30T16:48:24Z

Theofanis:

Benutzer Diskussion:Theofanis

2011-06-30T16:40:35Z

Theofanis: Die Seite wurde neu angelegt: „Es seien α und β zwei Nebenwinkel mit| α|=|β|. Nach dem Axiom 4|4 sind α und βsupplementär, was | α|=|β| =180 bedeutet. Die Winkel α und β sind rechte …“

Benutzer:Theofanis

2011-06-30T16:40:19Z

Es seien α und β zwei Nebenwinkel mit| α|=|β|. Nach dem Axiom 4|4 sind α und βsupplementär, was | α|=|β| =180 bedeutet. Die Winkel α und β sind rechte Winkel und haben damit dieselbe Größe. Damit gilt | α|=|β| =180/2 = 90.

Diskussion:Lösung von Aufg. 11.5 (SoSe 11)

2011-06-30T16:26:20Z

Diskussion:Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T16:25:47Z

Theofanis:

Diskussion:Übung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T16:10:38Z

Theofanis: hat „Diskussion:Übung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ nach „Diskussion:Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ verschoben

Diskussion:Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T16:10:38Z

Theofanis: hat „Diskussion:Übung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ nach „Diskussion:Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ verschoben

Übung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T16:10:38Z

Theofanis: hat „Übung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ nach „Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ verschoben

#WEITERLEITUNG [[Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)]]

Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T16:10:38Z

Theofanis: hat „Übung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ nach „Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)“ verschoben

== Aufgabe 11.1 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Lösung von Aufg. 11.1 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.2==
Definieren Sie den Begriff Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Verwenden Sie dabei den Begriff Strecke. 

[[Lösung von Aufg. 11.2 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.3==
Definition (gemeiner Dreiecksschneider): Unter einem gemeinen Dreieckschneider versteht man eine Gerade, die alle drei offenen Seiten eines Dreiecks schneidet. 

Beschreiben Sie die Menge aller gemeinen Dreiecksschneider und begründen Sie Ihre Aussage. 

[[Lösung von Aufg. 11.3 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.4==
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 

[[Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.5==
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

[[Lösung von Aufg. 11.5 (SoSe_11)]]
Es seien α und β zwei Nebenwinkel mit| α|=|β|. Nach dem Axiom 4|4 sind α und βsupplementär, was | α|=|β| =180 bedeutet. Die Winkel α und β sind rechte Winkel und haben damit dieselbe Größe. Damit gilt | α|=|β| =180/2 = 90.

== Aufgabe 11.6 ==
Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) 
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .

[[Lösung von Aufg. 11.6 (SoSe_11)]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Diskussion:Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T16:05:06Z

Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T12:29:23Z

Theofanis: /* Aufgabe 11.6 */

Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T12:28:59Z

Theofanis: /* Aufgabe 11.5 */

Lösung Aufgaben 11 (SoSe 11)

2011-06-30T12:28:09Z

Theofanis: /* Aufgabe 11.6 */

== Aufgabe 11.1 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Lösung von Aufg. 11.1 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.2==
Definieren Sie den Begriff Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Verwenden Sie dabei den Begriff Strecke. 

[[Lösung von Aufg. 11.2 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.3==
Definition (gemeiner Dreiecksschneider): Unter einem gemeinen Dreieckschneider versteht man eine Gerade, die alle drei offenen Seiten eines Dreiecks schneidet. 

Beschreiben Sie die Menge aller gemeinen Dreiecksschneider und begründen Sie Ihre Aussage. 

[[Lösung von Aufg. 11.3 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.4==
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 

[[Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 11.5==
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

[[Lösung von Aufg. 11.5 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 11.6 ==
Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) 
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .

[[Lösung von Aufg. 11.6 (SoSe_11)]]
Es seien α und β zwei Nebenwinkel mit| α|=|β|. Nach dem Axiom 4|4 sind α und βsupplementär, was | α|=|β| =180 bedeutet. Die Winkel α und β sind rechte Winkel und haben damit dieselbe Größe. Damit gilt | α|=|β| =180/2 = 90.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Übung Aufgaben 8 (SoSe 11)

2011-06-27T12:24:56Z

Theofanis: /* Aufgabe 8.7 */

=Aufgaben zur Inzidenz=
==Aufgabe 8.1==
Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

[[Lösung von Aufg. 8.1 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 8.2==
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.

[[Lösung von Aufg. 8.2 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 8.3 ==
Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung den Satz aus Aufgabe 7.6).

[[Lösung von Aufg. 8.3 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 8.4==
Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine beliebige Ebene und <math>\ A, B, C, D</math> die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte <math>\ A, B, C, D</math> mit <math>\ \Epsilon</math> auftreten können.

[[ Lösung von Aufg. 8.4 (SoSe_11)]]

=Aufgaben zum Abstand=
==Aufgabe 8.5==
'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.

[[Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 8.6==
Eine informelle Definition:

'''Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>'''
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.

[[Lösung von Aufg. 8.6 (SoSe_11)]]

==Aufgabe 8.7==
'''Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>'''
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert.

Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

[[Lösung von Aufg. 8.7 (SoSe_11)]]
geht auch: OA+:= {P|PE P, Zw(OAP)v Zw(OPA0)v P=A} ?

[[Category:Einführung_Geometrie]]