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Lösung von Testaufgabe 2.4 SS12

2012-07-22T13:45:51Z

Thommy:

'''Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 
'''Voraussetzung:''' Kreis k mit Durchmesser <math>\overline{AB}</math> 
<math>C \in Innere (k)</math> 
'''Behauptung:''' <math>\left|\gamma \right| \neq 90</math> 
'''Annahme:''' <math>\left|\gamma \right| = 90</math> 

[[Datei:Test 2.4.png]]
 

(1) <math>\left|\gamma \right| = 90</math> // Annahme 
(2) <math>\ AC^{+}</math> muss den Kreis k in einem weiteren Punkt C' (oBdA) schneiden, da nach Voraussetzung C im Inneren von k liegt und <math>A \epsilon k</math> (Durchmesser) 
(3) <math>\left|\delta \right| = 90</math> // Vor., (2), Satz des Thales 
(4) <math>\left|\alpha' \right| = 90</math> // (1), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel 
(5) Widerspruch (zum Korollar 1) im Dreieck <math>\overline{BCC'}</math> // (2),(3),Korollar 1 (mindestens 2 Innenwinkel sind spitz) 
(6) <math>\left|\alpha' \right| \neq 90</math> // (5) 
(7) <math>\left|\gamma \right| \neq 90</math> // (6), Def.NW, Def. suppl.,Supplementaxiom, Rechnen in R 
(8) Widerspruch zur Annahme // (7) 
(9) Behauptung stimmt // (8) 
q.e.d. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:06, 14. Jul. 2012 (CEST)

Vor. Kreis k mit Durchmesser AB, Punkt C im Inneren von k 
Beh. <math>\left|\gamma \right| \neq 90</math> 
Annahme: <math>\left|\gamma \right| = 90</math> 

1. Punkt C im Inneren von k / Vor. 
2. Es existiert ein Schnittpunkt C' von AC+ auf k / 1. 
3. < AC'B wäre somit = 90 / 2. , Satz des Thales 
4. < ACB = 90 / Annahme 
5. < ACB somit Außenwinekl von Dreieck ACB und < AC'B ein nichtanliegender Innenwinkel von Dreieck ACB / 2. Def. Innenwinkel, Def. Außenwinkel 
6. Wiederspurch zum schwachen Außenwinkelsatz, da Innenwinkel < AC'B genauso groß wie der Außenwinkel <ACB wäre. / 3., 4., 5. 
7. Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt. 
--[[Benutzer:Mahe84|Mahe84]] 20:04, 14. Jul. 2012 (CEST)

Darf ich mich auf die Innenwinkelsumme berufen? --[[Benutzer:LuLu7410|LuLu7410]] 12:14, 15. Jul. 2012 (CEST) 

Vor: AB=d des Kreises k, CeInneres des Kreises 
Beh: y nicht gerade 
Ann.: CeIK und y=90 
Bew.: 
1) AC+ hat noch einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis C' I wegen, weil halt? 
2) von B aus kann es nur ein Lot auf dem Strahl AB+ geben, dieser liegt laut Satz des Thales aber schon bei C' I Existens und Eindeutigkeit des Lotes, Satz des Thales, 1) 
3) Widerspruch zur Annahme
q.e.d. --[[Benutzer:Monsta|Monsta]] 21:07, 17. Jul. 2012 (CEST) 

Muss dieser Beweis per Widerspruch geführt werden? Ist meine Variante auch möglich? Was ist in der Aufgabenstellung mit "Beweisen mit einer Umkehrung gemeint?" 

'''Voraussetzung:''' Kreis k mit Durchmesser <math>\overline{AB}</math> 
<math>C \in Innere (k)</math> 
'''Behauptung:''' <math>\left|\gamma \right| \neq 90</math> 

(1) <math>\exists C': C'\in k \ \wedge C'\in \ AC^{+}</math> 
(2) <math>|\angle AC'B| =90</math>° wegen Satz des Thales und (1) 
(3) <math>\gamma</math> ist Außenwinkel von <math>\overline{ABC'}</math> wegen Def. Außenwinkel 
(4) <math>\gamma \g 90</math>° wegen schwacher Außenwinkelsatz 
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 15:45, 22. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2 S

2012-07-17T19:57:55Z

Thommy:

'''Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 
Def. (Inneres eines Kreises): 
Es sei K ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r in einer Ebene E. 
Die Menge aller Punkte <math>P \in E</math>, für die gilt: <math>\left| PM \right| \le \left| r \right|</math>
nennt man Inneres eines Kreises. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 09:56, 16. Jun. 2012 (CEST)
 
Passt! --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:11, 12. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]

Ist für das Innere des Kreises <math>\le</math> richtig oder müsste es nicht < r sein? gehört der "Rand" mit zum Inneren? 
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 21:57, 17. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2 S

2012-07-17T19:57:37Z

Thommy:

Lösung von Zusatzaufgabe 6.3 S (SoSe 12)

2012-06-15T14:12:03Z

Thommy:

=== Zusatzaufgabe 6.3 ===

a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. 
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos? 
::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind. 

[[Category:Einführung_S]]

'''Lösungsversuch 1''' 
a) 
1) Wenn zwei verschiedene Geraden g und h weder parallel sind, noch einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, dann sind sie windschief. 
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h diese Ebene E an einem Punkt schneidet, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander. 
 
b) Ebenen sind entweder parallel zueinander oder sie schneiden sich. 
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 20:50, 14. Jun. 2012 (CEST) 

Ich würde bei 2) noch hinzufügen, dass die Gerade h (wie bei 1) ) auch nicht parallel oder identisch zur Geraden g sein darf.. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:06, 14. Jun. 2012 (CEST)

Nach Kommentar von Tchu Tcha Tcha: 
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h mit dieser Ebene E "genau" einen Punkt gemeinsam hat, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander. 

Habe ich die die Möglichkeit von <math>g || h</math> nicht dadurch ausgeschlossen, dass g in E liegt, h aber nicht in E liegt bzw. h die Ebene E in genau einem Punkt schneiden muss? Aber deine Anmerkung hat trotzdem zu einer kleinen Abänderung geführt. Dankeschön! 
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 16:12, 15. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 6.3 S (SoSe 12)

2012-06-14T18:50:56Z

Thommy:

Lösung von Zusatzaufgabe 7.3 S

2012-06-14T14:53:49Z

Thommy:

[[Datei:7.3.PNG]] 
Beweis folgt.. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 20:18, 12. Jun. 2012 (CEST)

Vorraussetzung: <math>\exists g; \exists A:A\in g;\exists O:O\in g; A\neq O</math> 
Behauptung: <math>\ OA^{+} \cap \ OA^{-} = \left\{ {O} \right\}</math> 

Ich möchte zunächst zeigen welche Punkte zur Halbgeraden <math>\ OA^{+} bzw. OA^-</math> gehören: 
Schritt 1:<math>\ OA^{+}:= \left\{ {P|\operatorname(Zw) (O, P, A) \vee \operatorname(Zw) (O, A, P) } \right\} \cup \left\{ {O,A} \right\}</math> 
Schritt 2:<math>\ OA^{-} := \left\{ {P|\operatorname(Zw) (P, O, A) } \right\} \cup\left\{ {O} \right\}</math> 
Schritt 1 und 2 jeweils aufgrund der Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) 

Schritt 3: <math>OA^+ \cap OA^-=\left\{ {0} \right\}</math> aufgrund von (1) und (2) 

Ist dies schon ausreichend? Muss noch genau gezeigt werden, dass kein weiterer Punkt P in der Schnittmenge auftritt oder ist dies durch die Zwischenrelationen schon drin? --[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 16:53, 14. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 7.3 S

2012-06-14T14:42:22Z

Thommy:

Lösung von Zusatzaufgabe 7.3 S

2012-06-14T14:21:19Z

Thommy:

Lösung von Aufgabe 4.2 S (SoSe 12)

2012-06-13T13:25:06Z

Thommy:

'''Modelle der Inzidenzaxiome''' 
'''a)''' Welche der Inzidenzaxiome der Geometrie der Ebene (I.0 bis I.3) sind in den Modellen 1 bis 4 jeweils erfüllt? 

1. I2 nicht erfüllt, weil die obere Gerade (hat leider keine Beschriftung) nur von einem Punkt inzidiert wird. 
2. I3 nicht erfüllt, es liegen 3 Punkte auf der Geraden. 
*I/3 wird in diesem Modell nicht erfüllt, aber nicht, weil 3 Punkte auf der Geraden liegen, sondern weil...(vielleicht kann jemand an dieser Stelle den Satz vervollständigen.)
3. I1 nicht erfüllt, weil es zu jedem Punkt zwei Geraden gibt. 
*Dass es zu jedem Punkt zwei Geraden gibt stimmt, aber es widerspricht keinem Axiom. Wäre dies ein Grund, dann würde auch in Modell 1 Axiom I1 nicht zutreffen (Punkt unten links z.B., denn er inzidiert auch mit 2 Geraden).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:59, 22. Mai 2012 (CEST) 
I1 nicht erfüllt es fehlen die Geraden auf denen die Diagonalen des Rechteckes liegen.--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 12:23, 17. Mai 2012 (CEST)
4. Wie 3 außer der Stern hat eine Bedeutung 
*Der Stern soll etwas sein, was kein Punkt ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:55, 15. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 16:37, 14. Mai 2012 (CEST) 

4) Stern hat keine Bedeutung, alle Axiome erfüllt
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 12:23, 17. Mai 2012 (CEST)

Könnte bei 1) auch Axiom I/1 nicht erfüllt sein? Weil es ja keinen zweiten beliebigen Punkt gibt und die obere Gerade nur durch einen Punkt geht. 
I/1 ist in Modell 1) erfüllt, denn egal welche zwei verschiedenen Punkte man sich aussucht, es gibt immer genau eine Gerade zu diesen zwei Punkten.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 14:06, 22. Mai 2012 (CEST) 
Auf jeden Fall ist bei 1) I/2 nicht erfüllt. 
Bei 2) ist I/3 nicht erfüllt. 
Bei 3) I/1 nicht. 
Bei 4) bin ich mir nich sicher, ist es jetzt egal ob der Stern da ist. Weil er keine Bedeutung für uns hat oder sind alle Axiom NICHT erfüllt weil Geraden ja Punktmengen sind.
Bzw. gibt es eine andere Lösung--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:20, 19. Mai 2012 (CEST) 
Bei 4) ist Axiom I/0 nicht erfüllt, wenn man davon ausgeht, dass der Stern keinen Punkt, sondern etwas anderes repräsentiert.
Wenn man aber sagt, dass der Stern auch einen Punkt darstellt, dann ist trotzdem ein Axiom nicht erfüllt. Welches?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 14:06, 22. Mai 2012 (CEST)

Wenn man den Stern als einen Punkt ansieht, dann ist wie bei 3) I.1 nicht erfüllt oder? --[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 15:25, 13. Jun. 2012 (CEST)

'''b)''' Was haben Sie durch a) bezüglich des Axiomensystems der Inzidenz gezeigt?