Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Größenbereiche

2012-01-16T11:52:51Z

TimoRR: /* Größen als Äquivalenzklassen */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET) 
Ich würde in diesem Zusammenhang eher von der Menge anstatt der Masse sprechen.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:03, 11. Dez. 2011 (CET) 
Wäre Menge nicht eher eine Zusammenfassung von Elementen? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 14:00, 13. Dez. 2011 (CET) 

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_1</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit

=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 
Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation? Oder können andere Relationen auch Ordnungsrelationen sein?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

 Frage:
 Warum handelt es sich (rein mathematisch betrachtet) bei der Temperatur nicht um einen Größenbereich?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:20, 4. Dez. 2011 (CET) 
Meiner Meinung nach handelt es sich bei der Temperatur um einen Größenbereich, da alle Punkte der Definition erfüllt werden... 
Wo siehst du das Problem, Löwenzahn?--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:09, 11. Dez. 2011 (CET) 
Wenn man davon ausgeht, dass die Temperatur in Kelvin gemessen wird, und es dabei einen absoluten Nullpunkt gibt, dann treten keine negativen Werte auf. Bei der Temperaturmessung in Grad Celsius aber schon. Ich habe gelesen, dass die Temperatur keinen Größenbereich darstellt. Ich meine, damit hat es was zu tun, allerdings fehlt mir grad die exakte Begründung!?!?! Kannst du, Jbo-sax, erklären, weshalb es deiner Meinung nach um einen Größenbereich handelt? Danke - --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 13:46, 13. Dez. 2011 (CET) 
 
Ich behaupte, dass es sich bei Kalvin im Gegensatz zu Celsius um eine Größe handelt. Begründung: Kalvin erfüllt tatsächlich alle Punkte der Definition, weil nur positive Zahlen. Celsius allerdings erfüllt nicht den Punkt der Kommutativität, da Zahlen negativ sein können a-b ist ungleich b-a! --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 15:17, 15. Dez. 2011 (CET) 
 
Hallo Löwenzahn, Gänseblümchen hat bereits meine Begründung geliefert, da nur bei Celsius die Kommutativität und die Assoziativität nicht erfüllt sind, da es auch negative Temperaturen gibt, bei Kelvin hingegen sind meiner Meinung nach alle Punkte erfüllt. 
Ich habe eben noch gelesen, dass Streckenlängen auch nicht die Kommensurabilität erfüllen. Wenn man definiert, dass alle Strecken nach rechts positiv sind und alle Strecken nach links negative Vorzeichen erhalten, bin ich damit einverstanden, da wieder Assoziativität und Kommutativität nicht erfüllt sind. Plädiert man hingegen dafür, dass nur die Beträge der Längen beachtet werden und nicht deren Richtung, so ist die Kommensurabilität meiner Auffassung nach erfüllt, da es dann einen Nullpunkt und demnach nur positive Werte gibt, sodass Assoziativität und Kommutativität erfüllt sind. 
Korrigiert mich bitte, falls ich falsch liegen sollte...--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 19:41, 17. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 14.2

2011-02-05T14:36:47Z

TimoRR:

a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.

b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC) 
 
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.

d) Umkehrung: 
Wenn die Gerade g senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k im Berührungspunkt A. 

Umkehrung gilt.
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC) 
 
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)

Vermutung für Teilaufgabe c)

Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k

Beh: AM steht senkrecht auf CA

Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA

(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium

(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2)

(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)

WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!

Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC) 
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?

Lösung von Aufg. 14.2

2011-02-05T14:36:09Z

TimoRR:

a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.

b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC) 
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.

d) Umkehrung: 
Wenn die Gerade g senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k im Berührungspunkt A. 

Umkehrung gilt.
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC) 
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)

Vermutung für Teilaufgabe c)

Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k

Beh: AM steht senkrecht auf CA

Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA

(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium

(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2)

(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)

WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!

Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC) 
Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/11

2011-02-05T13:34:50Z

TimoRR: /* Idee des Beweises eines Spezialfalls */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>. 
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)
 
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Element eines Kreises ist und dessen Schenkel den Kreis in jeweils einem Punkt schneiden.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 12:57, 5. Feb. 2011 (UTC)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Gegeben sei ein Kreis k, M der Mittelpunkt von k und die Punkte <math>A,B \in k</math>. 
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in M liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:20, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt der Mittelpunkt eines Kreises ist und dessen Schenkel den Kreis in jeweils einem Punkt schneiden.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 12:57, 5. Feb. 2011 (UTC)

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 
verschriftlichte Beweisführung: (Vorschlag) 
(1) Durchmesser einzeichnen 
(2) es entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke wg. (1) 
(3) die grünen und roten Winkel sind jeweils kongruent wg. Basiswinkelsatz, (2) 
(4) blauer Winkel ist so groß wie zwei grüne Basiswinkel wg. starkem Außenwinkelsatz, (3) 
(5) gelber Winkel ist so groß wie zwei rote Basiswinkel wg. starkem Außenwinkelsatz, (3) 
(6) Nebenwinkel von blau ist 180 - blau wg. Supplementaxiom 
(7) Nebenwinkel von gelb ist 180 - gelb wg. Supplementaxiom 
(8) Nebenwinkel von blau ist 180 - 2 grün wg. Innenwinkelsumme im Dreieck, (3) 
(9) Nebenwinkel von gelb ist 180 - 2 rot wg. Innenwinkelsumme im Dreieck, (3) 
(10)roter + grüner Winkel = Hälfte von blauer + gelber Winkel wg. (8)und(9) einsetzen in (6) und (7) und Rechnen in R 
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:34, 5. Feb. 2011 (UTC)

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie:
Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:22, 30. Jan. 2011 (UTC)

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:23, 30. Jan. 2011 (UTC)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/11

2011-02-05T12:57:56Z

TimoRR: /* Definition XIX.2 (Zentriwinkel) */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>. 
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)
 
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Element eines Kreises ist und dessen Schenkel den Kreis in jeweils einem Punkt schneiden.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 12:57, 5. Feb. 2011 (UTC)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Gegeben sei ein Kreis k, M der Mittelpunkt von k und die Punkte <math>A,B \in k</math>. 
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in M liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:20, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt der Mittelpunkt eines Kreises ist und dessen Schenkel den Kreis in jeweils einem Punkt schneiden.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 12:57, 5. Feb. 2011 (UTC)

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie:
Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:22, 30. Jan. 2011 (UTC)

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:23, 30. Jan. 2011 (UTC)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/11

2011-02-05T12:57:00Z

TimoRR: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>. 
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)
 
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Element eines Kreises ist und dessen Schenkel den Kreis in jeweils einem Punkt schneiden.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 12:57, 5. Feb. 2011 (UTC)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Gegeben sei ein Kreis k, M der Mittelpunkt von k und die Punkte <math>A,B \in k</math>. 
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in M liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:20, 30. Jan. 2011 (UTC)

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADGnPT4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vnbcts2EH1uvoLDd9G4g5yRkpHd6Uxm4qYTp3noG0VCEmqKVEnIlvxXmf5Hv6kLgNTVUa04dSK/0FxAi8U5e3YBqf9mOSuCO1U3uioHIY5QGKgyq3JdTgbhwox7cfjm9av+RFUTNarTYFzVs9QMQhqR0NoX+vWrn/rNtLoP0sJN+aTV/SAcp0WjwqCZ1yrNm6lSZseeLpa60Gm9ej/6U2Wm2Qx4J2/L+QJWMfUCbNksf6eb7vXCLTgvtPlZ3+lc1UFRZYNQcAgd/vukaqOztBiEDHkLGYRkbxBM1I5Oq1o/VKWx0zfOx2AJgkY/KECEWFv/wm20rxZZoXOdlnYzLg6YFAT3OjdTWFAIcKn0ZGoBSqT3llVVnd+sGqNmwfIPVVeDUDKL88q/UOxQbyAsWI8jN7T95ryouxtlDLDSBOlSbfCa1DrfeXnbXFbFxjSvdGmu0rlZ1I5S2ppuzMouAGvVNt5hOSlUayOA+FRlt6NqeeMxoN71x9XcfcQFNJpcVUVVB7VFl8OE9jnyTzfHRrqehdwc5Ga0PqzT9ThOiJvhniP/dLMKXfrQ2p3jbtcYdcvoJrAGCyNk4nrzRTpSwGwYLEpt3nUvkAG37Vax/8Cvi9kIJLCdA2uf+Fv57F/sZU//VtWlKnyOlMDtolo0wZ3NRb+WCyRXmZ7Bqx9oIUktXb9DAN6aq0mtusC9gDxgbhRt5+GeuX/RBWFjaCDWzEAlgP0YuxcrVAMiGYQ32bTUdTYNgzw1dsSqoVAzBVIxLi9cWq3xuQ7XdaFyEu/E3I5vkIbhR3PEZVNazKcpWDoZFOkKBL+9Lefvusp3N5uWAJrbCehubh1YWuZKeUZNm8nBHBw6XWwh7oBqgqUtcgy0aMtiAsp+8PXRzfEasuJ3q9KWYA/If0DzyyE0u7l1FtiQCHlwWMTIaeBk1WyWlnlQpjNY6QrSqlAOE22rfpAimz5Bii1UHoaF6QZuvbPWxQHSkMQ6WwN5G+7WDzMFmZaqaVyRM9vl7DmZip7MxfvxuFHGwtejxKHXw+QYV0+KHTqOKu8g8qpugmCJ2j6+Qj6g4KGzLAHSnm8wuDU94C3iIC1qvQyG3fxhN2sIDVNGHCGabP7ATNsVhszuyKplyO2erF58aH+VPvzGF0dIs0yPgaKjKfGb08tuRtwepMLV8VTYFd3VV9UjTHxnc88fQ3dw8OIsRoQynCDCqZCtCqWQmDNJKMFSEPocST4N/+Ep+A9fHP8treHEYfQC7KBIYoISnsQCJQQL3DUQTCWPsUBSxCzBLP7/6bk8hZ7L70iP8BC9ADs8igF/IAdkgyRBiPu8iAQFzihhCYlpwixpX8/Oh3S1x82Vb2bDA4rS4xTV4KkjIP0WrWwLlOf3sgOOtmuUIAmXcLPhgKpEsVdBj0ScwaugHLSAQBG+SqGIIplQzCl8hHEOVeyU7rfXYvQM7oaZNmu0C5sRb0sDp3HlTreHh+xbpeb2dvO+/FinZWMvuX7O1uH9VLovD+gePZ3u0TnRzaC6CYIwkzShVMTYsU0gCQjikmMsEVyNvah6hMPhgBBpqyTDmODzodpdkvfIHnqyLefkMc7/+fs46e4mt2YMZtvPQzyLFmzoHBJaCUoEjyVlnJDnnFcxOqQdP5H2U4hK62yrXnbGoqjuP6hxoZYOyafCfqMm1v448IeIZ8cBb1pvHVzZOSkNwRlcCGhSPGYIJZAQTmo8woJJQWMBauNwSPdSExGhAkP1RQzLGHR4PlI7yvn1Aef5aZzn58Q5XNhiQhiGkwmBHoliTrr6GssEMYRpgmRMY94W2AguAUhAJaY0jpFk58769ZeUrk5jXZ0T6ziiBMgFQSMJ1wYei5Z0tnuC9d9L9ZIIzk6gcyI4R0zig69Of1zSj3TV6y921c8nddXP+12VRJQTHGM4dEomAGf2sl11c/nxt/ce/d4t92L761/3g0f7i8/rfwFQSwcIHuZo3L0FAAAjGgAAUEsBAhQAFAAIAAgAMac9Ph7maNy9BQAAIxoAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAAD3BQAAAAA=" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie:
Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:22, 30. Jan. 2011 (UTC)

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:23, 30. Jan. 2011 (UTC)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)

2011-02-05T11:06:44Z

TimoRR: /* Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) . 
...<math>\ A,B \in \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Eine Sehne des Kreises ist jede Strecke, deren Anfangs- und Endpunkte Element des Kreises <math>\ k</math> sind.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:49, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {AB}</math> ist ein Durchmesser des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A,B\in \ k</math> und <math>\ M\in \ \overline {AB}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Ferner seien <math>\ A</math> und <math>\ B </math> zwei Punkte des Kreises <math>\ k</math>. Ein Durchmesser ist die Strecke <math>\overline {AB}</math>, für die gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, M, B\right) \land \ A,B\in \ k</math>. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:43, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn
<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A\in \ k</math> und <math> \overline {AM} \cong \overline {BM}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Jede Strecke, die den Anfangspunkt in <math>\ M </math> und den Endpunkt in einem beliebigen Punkt des Kreises <math>\ k</math> hat, nennt man Radius.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:35, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck. 
Ein Viereck ABCD, dessen Eckpunkte A, B, C, D Elemtent ein und desselben Kreises sind, nennt man Sehnenviereck.

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAJGx9TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1VrbbtvGFn1uv4LgQ9GiNT1XcohaKWT7JUDcFHVOcNALCoocSVNTpEqOHMkH56OK/sf5prNnhpQlSpYtxU7sPITi3Getvfbs2ebJD/NJ7l3LqlZl0fNxgHxPFmmZqWLU82d6eCT8H159eTKS5UgOqsQbltUk0T2fBsQ35TP16ssvTupx+cFLctvkvZIfev4wyWvpe/W0kklWj6XUa+XJbK5ylVSLt4M/Zarr2wo3yOtiOoNZdDWDsnSSvVF1+3psJ5zmSp+ra5XJysvLtOeHHJYOv97LSqs0yXs+Q66E9HzSqYQiamrHZaVuykKb5reDD6HE82p1I6EnMmUnx3ajJ3KW5ipTSWE2Y9cBjTzvg8r0GCbEMQwp1WiszeyxGy0tyyq7XNRaTrz5L7Iqe/4RDgPOIkJxTDkKo5BHvrdwdXEcMIwjRuKQccoxBhBhxbAUGgcEhSyKMOyVYMShz51Vdmp5fSm1BiprL5nLW5BHlcrWXl7Xp2V+WzQtVaHPkqmeVdYOaFN0qRdmNgCuMpvsF6NcNmUEaBrL9GpQzi8tcJi6od8tpraLXdBgdFbmZeVVhhJY/6h5DtzTtjErXbZCtg2yLZoxzKDLehwT28I+B+5pW+WqcEtrdo7bXWPUTqNqzxTA4MZ8l5vPk4EEc/C9WaH0m/YFzOaq2Sp2HX6cTQagm1XDWY6JH2vMk+OOyZ1cyaqQuTOsAridlbPauzYG7OayC8lkqibw6ipwszpD179gAa40k6NKtgt3qnOA2Vq0aryd4pPjdhFmDTWsNdXgPmA/2uzFqFuDsnr+JBgFvpcl2pQa+eRyIkFb2tqENaklNhf+0pGU1ie06m/qb1GG6q32YS0pyafjBEqCZgN5sgAPsbolO97b4bCW2puDFkGzCzBxulJ7UWbrMCQFwGn3CDKemuENYVMps8Zn6sbKvSlMaDWzwoYFsTaThaYtzHZEzY8b19m2cfoy3sTOSxvyHWD3QHf6B94Eb93yVlbzGPA9GUBxAxDaF5+0nEySIvOKZALznKkqzaUFRZmTxEuQsTAvwQ4tB8RMt1WpG64ZZANusHKVLrFM/XUHo8eg40LWtfWCetXf3W3ODyAEHU7HgxYHB5UsrmFpZVV73hw1TC1QC39bMgfUjmzRAjdFN3iFG2C+UnOv37bvt6365ugNg3jtXwjltJmiz2BkK4o+NzFFu7K/Crf62nlHMKRUDVW6m/SfrCjWOU83qO7vpnpdWf2DnBIm7mizz8MdEyNWCoR9CuHRAPOY4AhHIsaYsZA3OsQQgggSCYEQJSI0Wzlcl2/ALjsM9Z0q5304OzfISnaTZcx8yUVyoCz3dpQfoctbvFHj6HDj6I62Ib2HljuKURMIkFOld9PxutAQbQAKG6qxnCTwMApud7lCzOk+Kjo9SEUhs5ibx8A99pYQcRhT/DBORCAYigQREEELwTl9Cgm8rSA2GpVFkm8Rw2kLfBfvwR5CGLwoIRzhzpG/ycJTy2AnJf27KMn2oCR72ZRsORyempMtTFzsOinkHmzIF8VG96RYRklPiP6lHJny7VI43QB/uBv8uhltidzzD6A34edBKDAPechACBFGYXtsCy5izmLKEBIIi0fixuKbm4BteUhDkLd507+ScmpSLG+Ld1VS1CY959qsZBAOcXuN2IYbXI/2ENroRQntaAvFq06QBUjENKaCUxSSkD25Cu8Kz0Z3cXPmrrYPjcvODs4bHByb7YAfx9Tgj4kQcPojhl34xQKIuwhEAgwTKhiPHRkkIEZtArOQhhHlh4Ri56rWSZHeYfpnW/IEycD0yC7OdsNczCayWskY3HYz48HSZu0Cu7Fl+HA7xxspovm0Auszd8Fm3ndyrmFSD2p6/ld/zUr9/W/ltayMzf7HvXvfel//CGj8evH7N8vfsHX75pr81/vtO69n/lt2ud2Qd7yxew2z+p0lfFaJq/pN8k7+e90vwnp0UmmbNHAAXajM2s+vF995BoHdKbgux+Mutyhg97q2+5OaG4w/YNvLfO/hqYFdoskT3ZWM0YoVzdHX42/crfFi0zt9lUzL+vu9PFTT5fl6KeTyJEeYRgE3hTTixlER/nh+asvx3AJzx0Gg9jik1aMc0vtZ8scHw4IGDI4FuChC8IWpyZUB3JHAAY1iSmgMJDDRKuazpVCUEwPekkI530cI5582hbJLAEHMREw4pjFjEPGyyAmABSSEF4oxJwhTzD4mSfIwVLclpu45mTvu5fmgCn05RhETIeI8xvFToPpTmS8g3u9get6EOw5Tk4GiTZZ8Ddj3CoZNrxo/n1mHD+1T+wN6DOwPBsHO/UGoW0aL8nLkp7sVYpPLA844PvhQRbvDge4dN/vjM+3no12rCDAimMURwRCa0pi0tx+ORRzDrYjgEAz1Od9zd1OTvjhqwA0wjENwDHBJQCxEy6gjIEBWTBA44wiFjDVRRxxgwVkYQVtGEYvDl8vW4MWx1QppWz7hxlS/oIzRbm6SF8fNQ4UErNj0HqZBxCHOgaCSIMIivPF50XNia/24t59nbT/s++1h3z3l//f37rPbfkO0JA5ady69OBAUPI9gMeZg3pyL+8jfdXHAaN9L8Mqfz4lwN4Xtfz7f52aQVOltjCXawjwvP/wsh7mcW6A7zB1Ey9mdtPyzFy3/dGlhQQyeBkyfweU0BnY+Gyu8Edz2z60+JSvHq9+u2U88m29cX/0fUEsHCCkjpU3sBwAAFSsAAFBLAQIUABQACAAIAJGx9TwpI6VN7AcAABUrAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAJggAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)

2011-02-05T10:49:23Z

TimoRR: /* Definition XVIII.1: (Kreissehne) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) . 
...<math>\ A,B \in \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Eine Sehne des Kreises ist jede Strecke, deren Anfangs- und Endpunkte Element des Kreises <math>\ k</math> sind.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:49, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {AB}</math> ist ein Durchmesser des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A,B\in \ k</math> und <math>\ M\in \ \overline {AB}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Ferner seien <math>\ A</math> und <math>\ B </math> zwei Punkte des Kreises <math>\ k</math>. Ein Durchmesser ist die Strecke <math>\overline {AB}</math>, für die gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, M, B\right) \land \ A,B\in \ k</math>. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:43, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn
<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A\in \ k</math> und <math> \overline {AM} \cong \overline {BM}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Jede Strecke, die den Anfangspunkt in <math>\ M </math> und den Endpunkt in einem beliebigen Punkt des Kreises <math>\ k</math> hat, nennt man Radius.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:35, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)

2011-02-05T10:43:47Z

TimoRR: /* Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) . 
...<math>\ A,B \in \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {AB}</math> ist ein Durchmesser des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A,B\in \ k</math> und <math>\ M\in \ \overline {AB}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Ferner seien <math>\ A</math> und <math>\ B </math> zwei Punkte des Kreises <math>\ k</math>. Ein Durchmesser ist die Strecke <math>\overline {AB}</math>, für die gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, M, B\right) \land \ A,B\in \ k</math>. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:43, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn
<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A\in \ k</math> und <math> \overline {AM} \cong \overline {BM}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Jede Strecke, die den Anfangspunkt in <math>\ M </math> und den Endpunkt in einem beliebigen Punkt des Kreises <math>\ k</math> hat, nennt man Radius.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:35, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)

2011-02-05T10:35:53Z

TimoRR: /* Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) . 
...<math>\ A,B \in \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {AB}</math> ist ein Durchmesser des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A,B\in \ k</math> und <math>\ M\in \ \overline {AB}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn
<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A\in \ k</math> und <math> \overline {AM} \cong \overline {BM}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M </math>. Jede Strecke, die den Anfangspunkt in <math>\ M </math> und den Endpunkt in einem beliebigen Punkt des Kreises <math>\ k</math> hat, nennt man Radius.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 10:35, 5. Feb. 2011 (UTC)

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks (WS10/11)

2011-01-30T20:06:56Z

TimoRR: /* Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) */

== Umkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks.

===== Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks) =====
::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

<ggb_applet width="594" height="534" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIANJa7zwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1VhNb9s4ED1vfwWhexRSnxZgt3CSS4FuUyDdHvayoCRa5oYSvRLl2vn1HZKSLDtO0wRxuskhtGZGHM57M0NS0w+bUqA1qxsuq5lDXOwgVmUy51Uxc1q1OJs4H96/mxZMFiytKVrIuqRq5viu52h5y9+/+2PaLOV3RIUx+cbZ95mzoKJhDmpWNaN5s2RM7clpu+GC03p7nf7LMtXsFHaSj9WqBS+qbkGWlfkn3vSP58bhSnB1xdc8ZzUSMps5UQhLh1/fWK14RsXMCbCVeDPHO1CCyNfapaz5nayUNt9NvgAJQg2/Y4DIxMoyWTVfaqkupWjLqkEokwIPC5SCjH57o9/+EBk8BCNFOPbYzy5BgdqGgRdZ70DR8F5XYnsBYN6uJK92gO29/pmueUEVUHlBa/NW73Al6PaiVUqTvJNcMfjXsb6C9/ct9Kw3iq1mjsFgem7InrI2EzzntNKEGi4AKIS+81wtZ06YBAAr48US+ArCuF+grPObbaNYiTZ/s1rCnMRNJr4fxyTC2EsS30FbqyEEu8RPyITgKJpEMfYAASAN2AiI6ydeHCQT4pGY+AReelBlPLP1DVMKsrlBdMN2kBY1z/cePjYXUuxEBuVLulJtbUrB70Q3aqu9AWC1jnFeFYJ1MlhmtmTZbSo3NzZ3fDv11+3KvGIWlBaGXFTrrAzBoBtTOxobvdLBChsbbCy6OfSkg54knrEwY2pHYyV4ZZfWRU76qAnu3fAGaQF2umTpghc0ZVARDmorrj71D1A5t12oxL7wuS1TpvN0l8nDnOSl5pyeH2Tc9JbVFRNd4gO3rWwbtNY1PKqJnGW8hEer6CChmq6/YAFWmrOiZv3CbeOxgBktHufugXh63i/CFB+sNdNlB/EoHYtucAqay8xZc2hQVAhAIKdKq3QJCVYy6DHKJIbJqwGguTM0VGl6Y1+OnX4HNaiPJolJJypWSwoSt4sCCh0WMo7LzHe9WDRMoc3MOfN0BcJIRuo/Zb4PBq0AVBNpYzoDVKpu8oxZxlWX6aa7mLrZ61IAZKN9Qal61lngEugXd7YHGStbZbqlGL9+lwIWsUewu/hN2BFioiH49NAlLp5Y6ELony8H3eWrQncicCZ9XoH/6GnYZLIsaZWjipbg6YsU20JWBhOujyKIYl2aiBKdZYh6GjELR6t6PbQnAf2fWLPMmlEY4BCQWoedmyNkWIc93MNU+41cLaFfVqxpzG6jxvvKw9SNoBpzR0LfsBeSbmvZkUeeRl46HEuseNS5H8i9hhX6aVhi9hJxHk/Rn4T5xBwd968JHC5Hf7HJutiNbdZ5iRsl8Pv8l6Ni/1XWprGbIS/hgJtxNeSY0Gn/sVKwNTKz1dzf8W4ZW+mjxnX1taZVo0/qz+WDvi0+ziIXB7YrYjcOk/Gf7ZEhdr1kRBp5u9ykb4sb2OH3+EgsT7G+cwAxZ37ghl7wf6Zjf2v4BGu84HpmWR/sD/TejlD+Q3/e93XEAyna+mTc7l8jnk3sQ71+TPmxGtwOVapJ9wI3SPBLsf4sstIjZD2ySR+QdcJCfEWyTCFuj9apYSp0SeyNtrrfSlp2hLTsSaSd8KTxiqSd2aPG9vhRBHgL4AQSeSNNeHLaho57wJnG3ByIu/rao+/qsWPx+I5y9cgd5YGDbhQYYvSQ2uGU1Hhh4E6SSRj1yPfX6tBzfezhSS/3LFGhG8Tjyguec1+55HUm2AHwVxb2+/eU4uegZ7Li2QBqccIryMkr5tfSnResWpt20yC0wd0H0S22S0F3vWRDzAFT60gnuiOjOybcYGu+QfPeft5bzfUnaN+NgiT0fEiEGCd+DHk49zsX88Bc6CMcRiSMIz8Molh34Hmov7T7QeKHCSgTQvzhw+ZBkcJlOeMLnh0myvn4+5T5itt9yn//A1BLBwiyKuGfkgUAAPwXAABQSwECFAAUAAgACADSWu88sirhn5IFAAD8FwAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAMwFAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.

'''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks'''
 Man muss also beweisen, dass es [...] keinen weiteren Schnittpunkt der Mittelsenkrechten gibt!?
Reicht es aus, da zu zeigen, dass wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium jeweils gleichschenklige Dreiecke entstehen und von diesen gleichschenkligen Dreiecken jeweils ein Schenkel der Schenkel des anderen gleichschenkligen Dreieckes ist!? Oder geht man mit einem Widerspruchsbeweis vor...!?--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 20:06, 30. Jan. 2011 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (WS10/11)

2011-01-14T13:18:07Z

TimoRR: /* Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind. 
Schenkel: Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks. 
Basis: Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks. 
Basiswinkel: Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.--[[Benutzer:Nightfall|Nightfall]] 12:20, 10. Jan. 2011 (UTC)

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:

[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \cong \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SSS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.
======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
<ggb_applet width="1272" height="830" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

Bezug zur Schule:
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke <math>\overline{AB}</math>

gesucht: <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

Frage: ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

===== Beweis von Satz VII.6 a =====

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.

Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

Übungsaufgabe

Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (WS10/11)

2011-01-14T13:17:36Z

TimoRR: /* Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind. 
Schenkel: Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks. 
Basis: Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks. 
Basiswinkel: Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.--[[Benutzer:Nightfall|Nightfall]] 12:20, 10. Jan. 2011 (UTC)

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:

[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \cong \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SWS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.
======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
<ggb_applet width="1272" height="830" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

Bezug zur Schule:
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke <math>\overline{AB}</math>

gesucht: <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

Frage: ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

===== Beweis von Satz VII.6 a =====

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.

Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

Übungsaufgabe

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11)

2011-01-06T11:27:26Z

TimoRR: /* Beweis der Existenzbehauptung: */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (i), (ii)
|}
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 11:27, 6. Jan. 2011 (UTC)
 
Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAHS62DwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVfNbts4ED5vn4LQ3bIoxX+AlSJtLwG6G6Du9rA3Shrb3FCkSlKJnbfaF+kzdUhKthy3abct2uaicGY4P9/80cvnu1qQO9CGK5lHNE4iArJUFZebPGrtejSPnl8+W25AbaDQjKyVrpnNoyxOI0dv+eWzP5Zmq+4JE17kHYf7PFozYSAiptHAKrMFsCd01u644Ezvb4p/obTmyAhKrmXTohWrW6SVdfWam/449gYbwe0rfscr0ESoMo+mE3Qd/3sH2vKSiTy6SAIlzaP0ERNJmeNuleYPSlonflS+Rgohhj8A3kwcbTn2gS6hLQWvOJMuGO8HChFyzyu7zaMJnaFK4Jst+npBF0FbqZSuVntjoSa7f0ArhHk2cUDvwylN5+5k0C80OEk8a3jyauBuBdZiWgxhOzgCttG8OjlcmxdKHEmN4tK+ZI1ttc9p1pFWdu8MoC3tHL6SGwEdLUXIt1DeFmq38iDQLKh+u2/8Fe9QsXmphNJEO3gnKNB9i/D1Ms7Tg1TiZRIv0elwSg98uki9hP8W4eulBJfBtS5y2kdNk94MN8QRHIxYiofgBSsAUxuRVnL7uj9gCdx2odJw4a+2LrAHhkVw0El/lM7l+FH5LG9BSxChSCTmtlWtIXeuGIMt70gFJa/xGBgdJMyl6290IFAr2GjoHQ8dFADz3GRYiI/Iy3HvhPPBoK+lxVGA8VgXi+tUi12SR3W8iSNSMeuorhUE1IB9Yn1N+JI6YHMVHYaC8v3dd3LHP6KM7E/Wh68kJpotQ0rfAoLtsduHIXl9N+u1AUt2eTRyDbjH3psO2H+q6hQHJhFPHyT2ZOP0u4w1AFU3AG1X5qRBi75pBunwKBpnjcZTHDGDP+qNj9IY7ZOHoMzfCQ3nRoX3I+uqISD4BSxXvwrLLPPh0OxnYImghdSNaDy5+HHovfhllTjvwqE/A74knnhzSTz9n6VXqrpmsiKS1WjIbwEPGXcLmLDENTNh1NUhYakDNKDV2p7/4b+gs9N0lhA/qg6Ao7S7j860PRTxnFI6m04n6XSxmM8w/eNvTxpN+gVzTFr2ZNKOSelTdVg3dotTXYIxfifa4fZjujyiuuiJQqj7N7AWsPNIBu5g/n8G9jds/wj0VQD9HG32NNgaNfUwseiro/meBkm+pT1CuY6yxVPdcTIeUn/DPTtdfeOYSGg6HL5nb4UnwoX3MsiYsLF5jc/JktsD2sL12rW0uL/B78PztXwL0Lj30I18q5k07l383em+Okt38fXpLn7jdNOLkL1P991ZupN4QRcnf2Gtx1lYDYuYTmfT3znh4+Fjyv9+6H5AXX4EUEsHCGfkVtveAwAAcg0AAFBLAQIUABQACAAIAHS62Dxn5Fbb3gMAAHINAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAGAQAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 21:10, 15. Dez. 2010 (UTC)

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
siehe Auftrag der Woche 10.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Tutorium_10
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-28T07:57:20Z

TimoRR: /* Beweis */

== Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==

===Definition (Zentriwinkel, Mittelpunktswinkel)===
Ist M der Mittelpunkt des Kreises k, so bezeichnet man einen Winkel <math> \angle AMB </math> als den zughörigen Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel).

=== Satz:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
(abgeändert) Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß, wie sein zugehöriger Zentriwinkel.

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:59, 23. Jul. 2010 (UTC): Vorsicht mit den Artikeln: Wie viele Zentriwinkel sind einem Peripheriewinkel zugehörig? In der Definition war es korrekt.

==== Beweis ====
 Ich hab mir Gedanken zu den Fallunterscheidungen gemacht, komme aber irgendwie nicht weiter. Ich stelle meine Notizen mal hier ein, kann mir jemand weiter helfen?

[[Bild:Teil_1.jpg]]
 [[Bild:Teil_2.jpg]]

--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 13:22, 25. Jul. 2010 (UTC)
 Jaaaaaaaaa :-) Ich glaube, ich hatte gerade DIE Eingebung, zumindest bezüglich der Fallunterscheidungen ;-). Und zwar:
Laut dem Peripheriewinkelsatz sind alle Peripheriewinkel eines Kreises über einer Sehne gleich groß. Ich kann also sagen, dass ich den Scheitelpunkt des Peripheriewinkels so wähle, dass er auf der Mittelsenkrechten der Sehne liegt. Damit würden zumindest die Fälle 2 und 5 wegfallen. Hm, naja, ob es allerdings viel hilft? Denn schließlich wären ja gerade Fall 3 und 4 die "unmöglichen Beweise"... Egal, Hauptsache Eingebung :-) --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 12:45, 26. Jul. 2010 (UTC)

Überlegung--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 26. Jul. 2010 (UTC)
# Könnte ich nicht Fall 1 so umändern, dass Fall 5 daraus wird: Wegen dem Satz "Peripheriewinkel über ein und derselben Sehne sind kongruent zueinander". Dann könnte man wie bei Fall 5 weiter argumentieren und man hätte auch schon Fall 2 drin.
# Fall 3 und 4 sind nicht beweisbar, wegen unserem Winkelmaß zwischen 0 und 180.
# zu Fall 2: könnte man nicht hier auch wieder eine Strecke <math> \overline {CM} </math> konstruieren, wodurch wieder eine ähnliche Beweisführung wie bei Fall 1 eintritt? 
Mal so ne blöde Frage zwischendurch: Haben wir schon bewiesen, dass der Radius immer gleich groß bleibt!?

Ich glaub wir haben den Radius schon indirekt durch unsere Definition des Kreises festgelegt. Es kann keinen Punkt eines Kreises k geben der einen anderen Abstand zum Mittelpunkt von k hat als der Rest der Punkte von k (nach Def. Kreis), denn sonst wäre es kein Kreis mehr...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:40, 26. Jul. 2010 (UTC)

OK, ich bin soweit durch mit meinem Beweis - fängt an mit Basiswinkelsätzen, dem starken Außenwinkelsatz und dem Winkeladditionsaxiom zum Schluss...
Aber wie kann man jetzt zahlenmäßig beweisen, dass der Zentriewinkel doppelt so groß ist, wie der zugehörige Peripheriewinkel!??--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:41, 27. Jul. 2010 (UTC)

Ich gehe mal davon aus, dass du gezeigt hast, dass <math> \gamma </math> und sein Basiswinkel, ich nenne ihn mal <math> \gamma'</math> kongruent sind. Dann weiß du nach dem starken Außenwinkelsatz dass <math> \delta = \gamma + \gamma' </math> gilt. Da jetzt <math> \gamma'\cong \gamma</math> gilt, folgt <math> \delta = 2 \gamma </math>.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 27. Jul. 2010 (UTC) 

Alles klar, bin etwas durcheinandergekommen, weil ich die Winkelbezeichnungen, <ABM z.B. benutze und nicht alpha und beta... Kann ich dann einfach bei der Klausur die Winkel in meiner Skizze benennen und mich dann auf die Skizze berufen oder ab wann sollte man sich für alpha und beta bzw. <AMP und so weiter entscheiden!?
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 07:57, 28. Jul. 2010 (UTC)

Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-27T13:41:14Z

TimoRR: /* Beweis */

Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-26T17:07:53Z

TimoRR: /* Beweis */

Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-26T16:39:04Z

TimoRR: /* Satz:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) */

Satz des Thales

2010-07-26T16:13:01Z

TimoRR: /* Umkehrung Satz des Thales */

=Ein wenig Didaktik=
Hier geben Ihnen die Didaktikspezialisten Tipps zum Satz des Thales

=Satzfindung=

==Induktive Satzfindung==

<ggb_applet width="885" height="512" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAINo9TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VnNcts2ED43T4HhoZeOaf6IFNVKySjuJdOozsRpOtNLByIhCRV/FAC0Jb9ML30DP0LufqYufkiRkq2KjiexqwvJxXKx+327CxAavlpnKbokjNMiH1mu7ViI5HGR0Hw+skoxO4msVy9fDOekmJMpw2hWsAyLkeXbniXlJX354rshXxRXCKdK5SMlVyNrhlNOLMRXjOCELwgRLTku1zSlmG3Op3+RWPDtgDbyJl+VMItgJcjiLHlLefV4qiZcpVT8TC9pQhhKi3hkhQG4DncfCRM0xunI6jla4o0sb2cQRL4cXRSMXhe5kOpb4zOQIMTpNQFEPCkbnqpAh6SMU5pQnMtglB+ghNAVTcRiZEVRACYJnS/A18B1tLW4KFhyseGCZGj9B2EFuBMGEuiNeQp68omDXzBh4Kih5pMyQy4viBBAC0d4TbaAzRlNWg9v+Osi3YpWBc3FGV6JkilOfSO6EBs5AczFpMPjfJ4SI/MA8gWJl9NifaFB8LXpD5uVekU5NJ2fFWnBEJMRQOBzc53qq9KRntZajtJxlIaxIY3W4+7AUxrqOtVXpZXSXLtmInerqCuI8ZpyJAUSRkjFOvgUTwlQa6Eyp+Jt9QApsDShuvqFX8tsCjXQTILapvtYNoenO+kzXBKWk1QnSQ7clkXJ0aVMRj2XciQhMc3gUQ8YSLCk6zdwQEsTMmekclxXkAZMjbYScUc8PK2ckD5w8DUW0AogHiFjkZUqoErkXYKFlCjNLMN5gnKcgeRNLiBOqGJLzkJl5SLsjKz1GCAEA+7I2qhb5UVRikphoh0w1mR5pSQjUHtC5ZlK0xrviVU3mkL1jKo7mPEtczBc51TYUyklL1N9welqgSH4qq5SvIEW0sRJGTyfzTgRaD2yTtwQ6hHaidsYnhTJHeByqa/rF95TN9e6qSodXXeyY6g3fZMUOug9WN+p8O+CdBfH13+6XZCU6ntYtpP7bjBdT5e5upoy746nO1DwuN4hOHEOOa8SEfrmSpqXVbUiJDGLlDCtCK1gQtXYGiWzJcO3ZTPZGFYeTsYZZXFKdtiY6OQ28LcoWR4mBEqNxjXaS6vd5cQCmklOOFetWDSbbtf8b/fcByR/qOE78Q+xdZTrsC6S/BIcLxhHaO0YIjdORU4lWbtV8WxcI7p2G8xBYjC6RuNKf1xpjT1ZrYHth6E/2P5gwDdzjHuV6XHQgIF8yrX7XHdwSLSYzoChzgW63MuEsy6lefagJvc4delrog92uccqS88OI9fpDTwv8Nxe5Ho9NblnR8GgHwVRz/G8gev3vqRkL8hcyncIksWqqvZsj6npYaa4sVdxMX2Mqm2g8+Vle2BROrkDWsW27fnRIHD6/R4MulE/1JCD3HX8ECjyw0HkOb0uhb5TTTSDzXpMRQ14KjOj3jVANu1vepaErORu8zz/wHDO5VeH1mlspu7h/T3e3Mf5ZI9zfJhzBrYqqvAD+T5mZX10vutNiF4Ar03bezYk3renXGoi8f4eSA+MO22EvtWW0tXkBMdx+fA9zKHgx99sP+3r6KMjO1cd/pduqO9eEMb3LQdxt+Ug/h8sB6EdOq1lWXeO57waHCT9rp170o325FnRXi0LfTvSe6tntSioM6r7yhdhT3b0XTpvbw7zqQ5SaiJAW74P/pQGQ9cO+k5/EPpe2B/0okEYPuxDrDoi22cz6MbmUURhFm/bYlAJ07S4ek9mKVkrJPeoIRm4JE8039cngjs6rcVlvWIwufwYMJF/IGsBOy0YGFnffyoL8ZNro4+QC/GCkilBCcnRuzJfCnSGcDmD5wz9wgjlttZWM7TpEWDSatv/ep/Be9hzgZlQn31IllNge6HT+LnmI2YQNpep/8bMa2Hm2WhCOUcZFQqh32m+JGkGr4GPCeZogj//DSPcjHB0e9MBQO+JAWgwCzpi5rcw820AgySELQrI2YQSBFknIN2urwhFF/GCUSEIysiCzXC86ACX/zThcvuD5q/fDbxeC7wegAdpNfv8T5pCylEmi/PV8RD1nhZE0X5JunYbrkHUDa+ghVezIH88HqbgScHkO/swOXbHPAoNLrc36AekkTB4oCMACY8GJC7yhOpjJ9A+N8pfDS29W9IAebu43YNXK/RpAW0J53VkZHeX0ViEv/YJb2jO4z3n4IF8jFeKACW7vRntBnza/PdI/WFq/jF++S9QSwcIZehO1mUGAABjHgAAUEsBAhQAFAAIAAgAg2j1PGXoTtZlBgAAYx4AAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAACfBgAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 12:10, 21. Jul. 2010 (UTC)

==Funktionale Betrachtung==

===Variante 1===
<ggb_applet width="1005" height="544" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:47, 15. Jul. 2010 (UTC)

===Variante 2===

<ggb_applet width="884" height="510" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

===Variante 3===
<ggb_applet width="884" height="510" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

=Beweisfindung=

==ikonisches/halbikonisches Beweisen==

<ggb_applet width="1080" height="620" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 17:07, 15. Jul. 2010 (UTC)

==Beweisen am Beispiel==
<ggb_applet width="1156" height="522" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=induktive Satzfindung der allgemeinen Umkehrung=

<ggb_applet width="1209" height="575" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Nimmt man statt eines Rechtecks ein Parallelogramm, so lässt sich die Umkehrung des Periphriewinkelsatzes finden: 
Die Scheitel kongruente Winkel, deren Schenkel die Eckpunkte einer Strecke AB enthalten, liegen auf einem Kreis, der AB als Sehne hat.--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:39, 23. Jul. 2010 (UTC)

=Beweisführung=

==Satz des Thales==
===Satz des Thales===
Es sei k ein Kreis mit einem Durchmesser <math> \overline {AB} </math>. Jeder Peripheriewinkel von k über <math> \overline {AB} </math> ist ein rechter Winkel.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)

Ein Versuch den Satz des Thales mit dem EP zu beweisen:

<ggb_applet width="1280" height="648" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Vor: Dreieck ABC, A,B und C element von k, Kreis K 
Beh: y= 90 

1) Konstruieren eine Parallele zu AB durch C (Nach dem EP) 
2)Der Winkel < ACE ist Kongruent zu alpha (Wechselwinkelsatz) 
3)Delta ist kongruent zu Betha (Wechselwinkelsatz) 
4)Winkel < ACM ist Kongruent zu alpha (Basiswinkelsatz) 
5) Winkel < MCB ist kongruent zu Betha (Basiswinkelsatz) 
6) <ACE+<ACM+<MCB+<BCD= 180 
7)alpha+alpha+betha+Betha= 180 (einsetzten der Kongruenzen) 
8) 2*(alpha+betha)= 180 (rechenen in R) 
9) alpha+betha=90 (rechenen in R) 
10) Y=90 
q.e.d 

==Umkehrung 1: Satz des Thales==
===Umkehrung Satz des Thales===
Ist <math> \overline {ABC} </math> ein Dreieck mit einem rechten WInkel bei <math> C </math>, so liegt der Punkt <math> C </math> auf dem Thaleskreis, wobei <math> \overline {ABC} </math> einen Durchmesser des Kreises <math> k </math>bildet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC) 
Anmerkung--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 16:13, 26. Jul. 2010 (UTC): Du meinst <math>\overline{AB}</math> ist Durchmesser des Kreises <math>k</math>. !??

==Umkehrung 2: Satz des Thales==
===Umkehrung Satz des Thales===

 Ist ein Peripheriewinkel <math>\gamma </math> über einer Sehne <math> s </math> eines Kreises <math> k </math> ein rechter Winkel, so ist die Sehne s ein Durchmesser des Kreises <math> k </math>.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)

 Ein [[Beweise_von_Studenten#Umkehrung_des_Satz_des_Thales | Versuch eines Beweises]] besser: zwei Beweis-Ideen, eine über Winkelkonstruktion, die andere via Zentri-Peripheriewinkelsatz...
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 10:29, 26. Jul. 2010 (UTC)

===Kommentar zu den Umkehrungen des Thalesstzes--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:43, 23. Jul. 2010 (UTC)===
Es sei <math>\ \alpha</math> ein Winkel und <math>\ k</math> ein Kreis.
Der Satz des Thales hat zwei Voraussetzungen:

# <math>\ \alpha</math> ist Peripheriewinkel von <math>\ k</math>
# über einem Durchmesser von <math> \ k</math>.

Die Behauptung des Thalessatzes: <math>\ \alpha</math> ist ein rechter Winkel.

Aus Gründen der Übersicht benenne ich die Voraussetzungen V1 und V2. Für die Behauptung schreibe ich B.

Satz des Thales:

Aus V1 und V2 folgt B.

Die eigentliche Umkehrung:

Aus B folgt V1 und V2.

Gemischte Umkehrung 1:

Aus B und V1 folgt V2.

Gemischte Umkehrung 2:

Aus B und V2 folgt V1.

 Also fehlt uns noch die

==== Eigentliche Umkehrung des Satz von Thales ====
Mein Vorschlag: Es sei ein Dreieck <math> \overline {ABC} </math> mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ist <math>\ \gamma</math> ein rechter Winkel, so ist <math> \ c</math> identisch mit einem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks.
 --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:38, 25. Jul. 2010 (UTC)

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck

2010-07-26T15:57:14Z

TimoRR: /* Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XV.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehen des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>.
wenn die Endpunkte der Strecke <math>\ \overline{AB}</math> auf dem Kreis liegen.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt zur Teilmenge hat.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC) 
Vorschlag--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 15:56, 26. Jul. 2010 (UTC): Der Durchmesser eines Kreises ist eine Sehne von k, die durch den Mittelpunkt von k geht.

===== Definition XV.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
:: Der Radius ist die Strecke <math>\ \overline{MP}</math>, wenn M Mittelpunkt des Kreises k ist und P ein beliebiger Punkt von k. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.4: (Sehenenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Eckpunkte auf demselben Kreis k liegen.
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen desselben Kreises k sind.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck

2010-07-26T15:56:53Z

TimoRR: /* Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XV.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehen des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>.
wenn die Endpunkte der Strecke <math>\ \overline{AB}</math> auf dem Kreis liegen.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt zur Teilmenge hat.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC) 
:: Vorschlag--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 15:56, 26. Jul. 2010 (UTC): Der Durchmesser eines Kreises ist eine Sehne von k, die durch den Mittelpunkt von k geht.

===== Definition XV.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
:: Der Radius ist die Strecke <math>\ \overline{MP}</math>, wenn M Mittelpunkt des Kreises k ist und P ein beliebiger Punkt von k. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.4: (Sehenenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Eckpunkte auf demselben Kreis k liegen.
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen desselben Kreises k sind.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAEKv9TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1VrLcts2FF03X8HhXjQeJEjMSMlIdheZSetMnWbRTYYiIQk1RaokZEv+qyb5jn5TLwBST0s2/Yhjz3ggXoDAxTn3XDyk7rvFNHOuRFnJIu+52EOuI/KkSGU+7rlzNepE7ru3b7pjUYzFsIydUVFOY9VzqUdcbZ/Lt29+6VaT4tqJM9PksxTXPXcUZ5VwnWpWijitJkKoLXs8X8hMxuXyfPi3SFS1rrCdvM9ncxhFlXOwJdP0g6yaxxMz4CyT6kxeyVSUTlYkPZcF4Dp8+ixKJZM467k+shbSc8lOJZiorp0UpbwpcqWbrzsfgcVxKnkj4E2kbd0TM9GumCeZTGWc68kYP6CR41zLVE1gQMyhSyHHE6VH57a3pCjK9GJZKTF1Fn+Jsui5Hcy8wA8JxZwGiIUsCF1naes493yMQ59w5gc0wBhABI/BFco9gpgfhhjmSjAK4J2DVWZocXUhlAIqKydeiDXI41KmWw/vq0GRrU2zQubqNJ6peWnigNamC7XUowFwpZ5kPx9norYRoGkiksthsbgwwGFqu/60nJlXjEPD8WmRFaVTakrA/3FdDm1p2mhPV62QaYNMi7oP3emqHnNiWphyaEvTKpO5da2eOW5mjVEzjKwcbYDOdfiuJp/FQwHh4DrzXKoPzQOEzWU9VWxf+H0+HYJuNgNn1Sd+qj67Jzsh170UZS4yG1g5cDsv5pVzpQPYjmUcSUUip/BoK2pIYk3Xn+CAtaZiXIrGcas6C5ipRZvBu2PunjROaB8q8DVRkD5gPkrPRatbgbJ67tQbe66TxkpbtXwyMRWgLWViwoTUCpvf3FUiKUxOaNRf169Rhupb48NEUpzNJjFYvHoCWbyEDLE5JdPf+WhUCeUsQIug2SWEON2o/a1It2GIc4DTzBFkPNPda8JmQqR1zlR1lDszGNBoZoMNA2KlB2O6LYzWofrDjX3ZtLH60tnEjEtr8i1gd0A3+IL3wduOvA1vngK+ZwOI1wChtvgkxXQa56mTx1MY51SWSSYMKFKvJE6MdIQ5MbZoWSDmqqlKbHd1J3twQ5TLZIVl4m4nGDUBHeeiqkwWVJv57nA434MQ9HA67uUcLFQivwLXirJynAWqmVqiBv7GsgDUOsa0xLXpBm9wA8yXcuH0m/b9plVfL73M41t/DOy0HqLvQ89GFP1A7ykaz/7JrfeVzY4QSIkcyeQ46R+NKLY5T/ao7h+neltZ/QclJUzs0mbKhycm4hspkOhHCI94lDKKCUJRGFEW4sAmqsDDlPtgCaA+IBF7jCw/QFjuENS3olz0Yenc4yo+zpWO8hUV8QNV2TpPPkKWa7hRnedwnef2YW6h4x21yClsjhOpjnPxPlew0wAI9hRjCImh0OptprjByqCNggYPUhDzDeC6GNqitXyIBZji+xHCPcYoi0LOMcGMguiePvzPS9gWjYs8zm4RwqDBfRfuYQsRDF+VCDp4Z7XfJ+G5VXCUkv4hStIWlKSvm5Jb1oUXzkzDw5nptE1mOv2xmal97kFexFAABh+q/RD7+DHJ5w5U08OonrVB9eyl8n2HUAsbDu+H+qEdzy7sAXkM7B+LbAn55fbMMrCgn0JBa5y3kIcjfyaSS1znoS/Yth+aD/BGYj7AHjq1Z5pjJFk3GhpWPT/fUQYH1JAa4L30hNso5fApuBJj/bTeAn55ofk8ehsYepSENAx4RHxKWGC3GTT0WBBxwlFEw9BH/hOlXhNjmT4MrJICHCD2b5EuhZjp67vz/FMZ55W++rVtNm6n7knN8NVR0/E9EkachRTp/yDEW+uijz19dYt8HrIo4E+1Kr4ANcmrowZ7GCNCKCI+IwEOWPBrp8netyupwzygEJ4jjCKCOX69dKWvjq5dIaFgS0kd7nEeIkRCRDkKafBUZ99nIWd7dTffgOys7Wd2te7btXqwt6j/9+/xpdpc0694gtb6ffBnXuPreyEmNIp4hGjkM34X08cuzjHaPzscX5w3NlzY3pwf2G+1kVhcJusNVdQYs6y4/kOMMrEwMO/w1o6U3Q3XHilfW5Hy9aclpT48YP4KSKmVcnpQKd9akfJtlxTsQbIJOZyoWMh9SEHs5Wjh9eHk9q+Zfi5earGcHRTL91a8fL+Tl+jlchirebn9mvBH8nKy+V2q+clB/ZuLt/8DUEsHCFxRBbNRBgAApSEAAFBLAQIUABQACAAIAEKv9TxcUQWzUQYAAKUhAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAiwYAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck

2010-07-26T15:56:08Z

TimoRR: /* Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XV.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehen des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>.
wenn die Endpunkte der Strecke <math>\ \overline{AB}</math> auf dem Kreis liegen.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt zur Teilmenge hat.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)
 :: Der Durchmesser eines Kreises ist eine Sehne von k, die durch den Mittelpunkt von k geht.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 15:56, 26. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
:: Der Radius ist die Strecke <math>\ \overline{MP}</math>, wenn M Mittelpunkt des Kreises k ist und P ein beliebiger Punkt von k. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.4: (Sehenenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Eckpunkte auf demselben Kreis k liegen.
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen desselben Kreises k sind.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
<ggb_applet width="784" height="1092" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-26T08:41:59Z

TimoRR: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math>

[[Bild:Seite_winkel_00.png]]

Nach dem Dreieck müsste es doch heißen:
<math>|BC| > |AC| \ </math> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 

Auf <math>\overline{BC}</math> gibt es jetzt genau einen Punkt <math>\ B'</math> mit <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>.

Denke ich falsch, oder soll es heißen <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC) 
Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]

Begründung der Konstruktion von <math>\ B'</math> :

...
Nach Voraussetzung <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> und dem Axiom vom Lineal. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wie geht es weiter?

[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

{| class="wikitable center"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
|<math> b \cong \overline{B'C}</math>
| nach Konstruktion--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (ii)
| <math>\delta_1 \cong \delta_2</math>
| nach Basiswinkelsatz--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iii)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right|</math>
| da <math> B' \in </math> (der offenen Strecke) <math> \overline{BC}</math>, liegt <math>\ B' </math> im Inneren von <math>\ \alpha </math>, nach "Geschichten aus dem Inneren" --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iv)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right|</math>
| (ii), (iii) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (v)
| <math>\left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (vi)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>
| (iv), (v) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|}

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
===== Beweis von Satz IX.3 =====
[[Lösung_von_Aufgabe_13.1| Lösung von Aufgabe 13.1]]

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:

<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

Behauptung:

<math>\left| a \right| > \left| b \right|</math>

Annahme:
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

<math>\left| a \right| \le \left| b \right|</math>

Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?

1.) Wenn a = b, dann ist <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>

2.) Wenn a < b, dann ist <math>\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|</math>
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)

korrekt

Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)

Begründung:
 Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math>
 Annahme:<math>|a| \le \ |b|</math>
 Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten:
#) <math>|a| = \ |b|</math>, dann gilt allerdings <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
#) <math>|a| < \ |b|</math>, das ist allerdings der Fall, wenn <math>\ |\alpha| < |\beta|</math>, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC)

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-26T08:39:17Z

TimoRR: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math>

[[Bild:Seite_winkel_00.png]]

Nach dem Dreieck müsste es doch heißen:
<math>|BC| > |AC| \ </math> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 

Auf <math>\overline{BC}</math> gibt es jetzt genau einen Punkt <math>\ B'</math> mit <math>\left| CB' \right| > \left| b\right|</math>.

Denke ich falsch, oder soll es heißen <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC) 
Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]

Begründung der Konstruktion von <math>\ B'</math> :

...
Nach Voraussetzung <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> und dem Axiom vom Lineal. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wie geht es weiter?

[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

{| class="wikitable center"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
|<math> b \cong \overline{B'C}</math>
| nach Konstruktion--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (ii)
| <math>\delta_1 \cong \delta_2</math>
| nach Basiswinkelsatz--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iii)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right|</math>
| da <math> B' \in </math> (der offenen Strecke) <math> \overline{BC}</math>, liegt <math>\ B' </math> im Inneren von <math>\ \alpha </math>, nach "Geschichten aus dem Inneren" --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iv)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right|</math>
| (ii), (iii) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (v)
| <math>\left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (vi)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>
| (iv), (v) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|}

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
===== Beweis von Satz IX.3 =====
[[Lösung_von_Aufgabe_13.1| Lösung von Aufgabe 13.1]]

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:

<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

Behauptung:

<math>\left| a \right| > \left| b \right|</math>

Annahme:
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

<math>\left| a \right| \le \left| b \right|</math>

Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?

1.) Wenn a = b, dann ist <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>

2.) Wenn a < b, dann ist <math>\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|</math>
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)

korrekt

Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)

Begründung:
 Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math>
 Annahme:<math>|a| \le \ |b|</math>
 Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten:
#) <math>|a| = \ |b|</math>, dann gilt allerdings <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
#) <math>|a| < \ |b|</math>, das ist allerdings der Fall, wenn <math>\ |\alpha| < |\beta|</math>, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC)

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

2010-07-26T08:36:34Z

TimoRR: /* Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
:: ...Die Gerade <math>\ l</math>, die senkrecht auf <math>\ g</math> steht und durch den Punkt <math>\ P</math> geht heißt Lotgerade von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Der Schnittpunkt <math>\ L</math> von <math>\ l</math> mit <math>\ g</math>, heißt Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Unter dem Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, versteht man die Strecke <math> \overline {PL} </math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...
:: ... die Länge der Lotes <math> \overline {PL} </math> von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
[[Lösung von Aufgabe 12.4]]

[[Bild:Lot.png|500px]]

{| class="wikitable center"
|+ EXISTENZ
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls <math>P1N \perp g</math>, dann ist <math>\overline{P1N}</math> unser Lot. Fall 2: <math>P1N \not\perp g</math>, dann weiter mit (II)
| Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Antragen von <math>\alpha1: \alpha1 \cong \alpha2</math>
| Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Antragen von <math>|NP|1: |NP1| \cong\ |NP2|</math>
| Konstruktion, Axiom vom Lineal
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Antragen von <math>|NL| \cong\ |NL|</math>
| trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2}</math>
| (II), (III), (IV), SWS
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\angle NLP1 \cong\ \angle NLP2</math>
| beides rechte Winkel --> <math>\overline{PN}</math> ist Lot auf g.
|}

[[Bild:Lot2.png|500px]]

<math> \overline{P1L} </math>ist Lot von P auf g. 
Annahme: <math> \exists N \in g </math> mit <math>\overline{P1N} </math> ist auch Lot von P auf g, <math> L \not\equiv N.</math> <math>\alpha1 </math> ist bezüglich <math> \alpha </math> nicht anliegender Innenwinkel (<math>\overline{NLP1}</math>) --> Widerspruch, weil <math> \alpha1 < \alpha </math> (schwacher Außenwinkelsatz)

Definitionen von Studenten

2010-07-25T19:15:12Z

TimoRR: /* Sehnenviereck */

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?
Wie wäre das?
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.
 
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.
 
ODER:
 
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

== Sehnenviereck ==
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert: 
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck. 

Meine Frage: 
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. 
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC) 

"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

2010-07-22T13:49:05Z

TimoRR: /* Beweis von Satz VI.2 */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

Wenn w identisch zu p oder q wäre, was nach UNSERER Definition "Inneres eines Winkels" durchaus möglich ist, dürfen wir dann trotzdem noch von einer Winkelhalbierenden sprechen? (Die Größe der beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> müsste zwar 0 sein, aber sie könnten ja trotzdem noch gleichgroß sein...)
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 23:50, 16. Jul. 2010 (UTC)

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe 10.4

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Übungsaufgabe 10.5

Die Lösung dieser Übungsaufgabe dient der Antwort von 10.4...
Doch wo wird Satz V.2 bewiesen: Zu jedem Winkel gibt es GENAU EINE Winkelhalbierende?

Lösung von Aufgabe 8.6

2010-07-22T08:48:36Z

TimoRR: /* Lösung--Schnirch 11:31, 15. Jul. 2010 (UTC) */

Definieren Sie die Begriffe Stufenwinkel und Wechselwinkel (an geschnittenen Geraden).

==Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:31, 15. Jul. 2010 (UTC)==
'''Definition (Stufenwinkel):''' Zwei Winkel <math>\angle{(p,q)} </math> und <math>\angle {(r,s)} </math> heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel <math>\ r </math> des einen Winkels Teilmenge eines Schenkels <math>\ p </math> des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel <math>\ q </math> und <math>\ s </math> in einer Halbebene bezüglich der Geraden <math>\ g </math> liegen, die durch die beiden Schenkel <math>\ p </math> und <math>\ r </math> gegeben ist. <br\>

Frage --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:48, 22. Jul. 2010 (UTC) reicht es zu sagen, dass die beiden Schenkel <math>\ q </math> und <math>\ s </math> in einer Halbebene bezüglich g liegen, oder muss noch gesagt werden, dass diese beiden Schenkel parallel sind!?
(Denn Stufenwinkel sind ja kongruent, was aber nur der Fall ist, wenn <math>\ q </math> und <math>\ s </math> parallel sind - oder gehört sowas nicht in die Definition mit rein!??)

'''Definition (Wechselwinkel):''' Zwei Winkel <math>\angle {(p,q)} </math> und <math>\angle {(r,s)} </math> heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <math>\angle {(p,q)} </math> und der Winkel <math>\angle {(r,s)} </math> Stufenwinkel sind. <br\>

==vorangegangene Diskussion==

Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Werden g und h von einer weiteren Geraden i geschnitten, so heißen zwei innere oder zwei äußere Winkel auf verschiedenen Seiten der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind, Wechselwinkel. Stufenwinkel heißen ein innerer und ein äußerer Winkel auf der selben Seite der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:36, 19. Jun. 2010 (UTC)

Noch ein Vorschlag für Stufenwinkel:
Würde man g auf h abbilden, so sind die Winkel Stufenwinkel, die auf diese Weise aufeinander liegen würden.--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 17:19, 24. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 10.4

2010-07-22T08:39:52Z

TimoRR: /* Begründung Versuch 1: */

Die nachfolgende Lösung ist korrekt und sehr schön visualisiert, prima!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:16, 21. Jul. 2010 (UTC)
== Begründung Versuch 1: ==

leider keine Skizze, aber: 
Es ist ja nicht festgelegt, dass der Strahl <math> SW^{+} </math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB </math> liegt. Daher wäre der Strahl <math> SW^{+} </math> auch keine Winkelhalbierende. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:37, 1. Jul. 2010 (UTC)
 
Genau die Argumentation von [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] hätte ich auch so gegeben. Da <math> SW_2^{+} </math> nicht im Inneren des Winkels <math> \angle ASB </math> liegt, handelt es sich - obwohl gilt <math>| \angle ASW_2| = | \angle W_2SB |</math> - nicht um die Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math>.

Anmerkung--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:39, 22. Jul. 2010 (UTC) Aber die Winkel alpha1 und beta 1 müssten dennoch gleich groß sein, auch wenn es sich nicht um die Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math> handelt, oder!!?

<ggb_applet width="1000" height="655" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:24, 7. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.4

2010-07-20T16:52:57Z

TimoRR:

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>.

==== Existenz ====

Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>
 Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.

{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
| SWS
S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
 W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
 S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
| (VI), Definition Lot
|}

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

<ggb_applet width="1116" height="616" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Eindeutigkeit ====
Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt <math>\ L'</math>
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>|\angle PLL'| = 90</math>
| VSS, <math>\ L</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Außenwinkel von <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Supplementaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\angle PLL'| < </math> Außenwinkel von <math>|\angle LL'P|</math>
 <math>|\angle PLL'| < 90</math>
| Schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Annahme muss verworfen werden
| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
|}
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.4

2010-07-20T16:52:43Z

TimoRR:

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>.

siehe [[Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:]] --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 16:51, 20. Jul. 2010 (UTC)

==== Existenz ====

Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>
 Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.

{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
| SWS
S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
 W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
 S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
| (VI), Definition Lot
|}

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

<ggb_applet width="1116" height="616" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Eindeutigkeit ====
Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt <math>\ L'</math>
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>|\angle PLL'| = 90</math>
| VSS, <math>\ L</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Außenwinkel von <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Supplementaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\angle PLL'| < </math> Außenwinkel von <math>|\angle LL'P|</math>
 <math>|\angle PLL'| < 90</math>
| Schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Annahme muss verworfen werden
| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
|}
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.4

2010-07-20T16:51:47Z

TimoRR:

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>.

siehe [[== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==]] --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 16:51, 20. Jul. 2010 (UTC)

==== Existenz ====

Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>
 Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.

{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
| SWS
S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
 W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
 S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
| (VI), Definition Lot
|}

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

<ggb_applet width="1116" height="616" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAPhW9DwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VvbjuO2Gb5unoLwRdAWa4+ok2VkZgN3UjQLOF0jk26B3AxoiZa5lilHombseZ4+QBb7Bu39PlN/HuSDLHt9mllvjAEkk79I/t/3n0h5rr+fTRL0QLOcpfymgVtWA1EephHj8U2jEMNm0Pj+9TfXMU1jOsgIGqbZhIibhtOyG7K9YK+/+dN1PkofEUmUyDtGH28aQ5LktIHyaUZJlI8oFWvtpJixhJFs/nbwnoYiX3boQd7waQGziKyAtnAS9Vhefr1SE04TJn5gDyyiGUrS8Kbhe7B0uHtHM8FCktw0XEu32DcNu9IJTY7sHaUZe0q5kOLLwYfQglDOniggYsu26yul6DUtwoRFjHCpjFoHCCH0yCIxAlnH92FMyuIRLNbHrh4uTNMsupvngk7Q7FeapbC0Dm7hwG4HnuVg+LPdBprrLscHEpx223Ux9vzA6XiAIiwZ1uLZLQ9bnmsHvm+3LUs+tLVLTU0f7qgQwGWOyIwuUY4zFpXoyvs3+d/SJFp0T1PGxS2ZiiJTduCYpjsxl5MBcJnUscvjhJo2G2ga0XA8SGd3GjhHD/3LfKoeUesZxLdpkmYok5SAYrG5DvRVyciFLqQsJWMpCTOGHHTRjzu2klDXgb4qqYRxvTSjOC6VxlY5DcuRbIDBpfkulE/IgII5NFDBmeiVX8BsxkZVrB/4ZzEZgN+sGs5iTHyuMa+vKiZ3PaYZp4m2Kw7UFmmRowdpwHoutZCIhmwCX3WHgYRIuv4FC9CtEY0zWi5ce50GTPVaq7Zbab6+Khch15DDWkMB4QP0EVIX6d0CPOum8SNl/OmBcFrElDdQRITsln6U0AkFJxPKOJRtLUDqNxYRJVXBoTRU07+EGyaPmJpZSr81wvE91t3wdK0dKYsjyXREoKVlFE3IHCLJqupqup/SaB0QwgFYPaegUzmApG5KaWSipzD2jqYwpPKeFV4UnDmayfgJInOIBPL6pJ9VItrRZFhR0zrGCjRgn4GueyJ0o/MB93Y4zKmQmjZxR2naxC+Bq2VwxefE9XYT13XHXgJ70UYXHAtOmE4mhEeIkwnM04PYqhBhMksjYknLQwRLoDQIhSg7Yj2UGWADZxmmFyjGjfXILUYQIDnNc5VexGoiecbwYB3P06YZBgbpZrAYax/16G9cy+Q6PbAJ1DshE7t5Ufm4QsytJkbyY8vYWuXn04fdBKmksQAXpOXzoHNRat6CIsbpBNh3nA4ULYFzKkFsGz3Y2iQI7xuEbE8HIcepJRAfQA7JwhVXKRuTJH38mQ4TOlM06N6VNL6Fszsay/YKa/2StSpdg91s5Wa0EuvBOTxqLZQckTbO4lBlvmw6xqOcszmUAjiRYfMNF1B9UVXNbBZVY0qnspp9y3/JCM/lTmhfln9OBdQ+9a7pYK9l/fW/v2sP3aT89lsyTfPvdhNfyVfmkb2z1t6e6LuKWHkZ6Mvp1HotHzY6sHdxO27HdtqmXHDXmwPsnZKzamOjgWk1Qm5msE8f9iGgGidXGNgVLb2LjpZOPYNfLFjesizcYNGUHpupje5mDPBk4QJnukektE8Ple+fLVTut3TKYCf2AEtJsxyhmWVqwbllSpansmUGkDZ1FYPLghGveB/UoxmboW4p3y2lurYs9dsta+0DgaLrmDm6bjl015OyrS0xGgrckA2Bo2OL0aXfrtlFeEBJGp7FLI524jMmUK8mnM5rg68sVzebDzGyo6rXRfKtsEk1m6GOz3aJwAqh/cMzZH9bhjyItxpvPjpBrkRfVwffnfvlJbF2q7P+8XX+tCsuiE9Jn/Vlahl6tzhadFixGr1Isfp8EXitWK1CP68n6kkRtdH+1RS2O7cv2+xieJhdDF/ELsYvYBd+rV1Apeu6VtCxrU7gWZZv+39vYmMb+HznBi9gDdtCeKztYbhhCb1DYnbvxGhdw/AZonVb+7a/nwVg1y0PfoNW1Rae6lrPtNcxLtnbtsv89PGg/c3H6s4Gt7y21e74ju23O27Q8YNTiyL+HDsbOzBn0fV8veDOZh3eQZomlPDlUeg9riK84qL7gHp6IFui5puawt1dkpCpIlG19Qs+Fqj/Cv2DZgQE48P0H12g9m37QO27iBRDFL9CdyKj4Ziibv8wFNhFoaAjHbbqT1DrYPg342OaoE8fEJmgu3BEmaDJ1GDDOPqRJAM6oBzM41W/ichAZES+KTwIpPcXBZI2Fezsbyvv4EZaSv5KmYv8QcO3vxWp+I7TgnJ9a7yo/BYxinr/+w+PqRJfmteREI4vCkJjZ2UG2cfdTKWJ8nDEKYtgpFjaV293nuynyTxO+bbzJJUpexuZ8h2D8cIx1mKJFiP38rsDJcvnKho9ZYnhYrCXKHEnm2xhz1F8efjAlFohZLutVav55EhV14+uV3TdU52ji/Zm+eqhfPPQvPBXD7vxJ/fHGtsXY2Dx7mfHRimobKKDr5eh6dfGT/myu+4kQ5LzNR9w1OeI/uqbo617KhPcbS1G7m0tOF08DPki0T9HODhj2F8qY+j8blt6y6yuz50yJHLP6BK7NDopa9Sc9Vgmh3QqvRu/Wrwkj/hMuFo5Sv+aGPpjRa3PFF3Pm/SfhZ8/8iH67u3Y5BK3Y539t2O/PlKGximPYUWAGfoho0xtUPu9LiogtZr02esehgu/KFz0Tt/e8oOyXcchH9GfzW231/8LYrlAFHarsIkfgYUh3VeF5mr1p9bqPxLMv2S8/j9QSwcI9WXe0vQHAADEMQAAUEsBAhQAFAAIAAgA+Fb0PPVl3tL0BwAAxDEAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAAAuCAAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Eindeutigkeit ====
Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt <math>\ L'</math>
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>|\angle PLL'| = 90</math>
| VSS, <math>\ L</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Außenwinkel von <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Supplementaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\angle PLL'| < </math> Außenwinkel von <math>|\angle LL'P|</math>
 <math>|\angle PLL'| < 90</math>
| Schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Annahme muss verworfen werden
| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
|}
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Halbebenen oder das Axiom von Pasch

2010-07-19T18:24:38Z

TimoRR: /* Beweis von Satz IV.3 */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math> ist eine Gerade
| <math>\ G</math> ist eine Ebene

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| eindimensional
| zweidimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| Anfangspunkt <math>\ A</math>
| Trägergerade <math>\ g</math>

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| nulldimensional
| eindimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center>

|-
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig: 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden: 
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math>
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center>

|-
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math>
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math>

|}
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)

Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.

Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
 '''Fallunterscheidung:'''
 Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
 Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)
|-
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).
 Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.
|| Schritt (3) und Satz von Pasch
|-
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)
|-
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und
 <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)
|-
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
|-
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene
|-
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3]
|-
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math>
 Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik
|-
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''||
|}

Stimmt das so? Nochmal geändert...
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)

[[Bild:Dozenten.jpg]]

Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.

Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Lösung von Aufgabe 7.5]]

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

2010-07-18T19:16:28Z

TimoRR: /* Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
:: ...Die Gerade <math>\ l</math>, die senkrecht auf <math>\ g</math> steht und durch den Punkt <math>\ P</math> geht heißt Lotgerade von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Der Schnittpunkt <math>\ L</math> von <math>\ l</math> mit <math>\ g</math>, heißt Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Unter dem Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, versteht man die Strecke <math> \overline {PL} </math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...
:: ... die Länge der Lotes <math> \overline {PL} </math> von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
[[Lösung von Aufgabe 12.4]]

[[Bild:Lot.png|500px]]

{| class="wikitable center"
|+ EXISTENZ
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls <math>P1N \perp g</math>, dann ist <math>\overline{P1N}</math> unser Lot. Fall 2: <math>P1N \not\perp g</math>, dann weiter mit (II)
| Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Antragen von <math>\alpha1: \alpha1 \cong \alpha2</math>
| Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Antragen von <math>|NP|1: |NP1| \cong\ |NP2|</math>
| Konstruktion, Axiom vom Lineal
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Antragen von <math>|NL| \cong\ |NL|</math>
| trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2}</math>
| (II), (III), (IV), SWS
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\angle NLP1 \cong\ \angle NLP2</math>
| beides rechte Winkel --> <math>\overline{PN}</math> ist Lot auf g.
|}

[[Bild:Lot2.png|500px]]

<math> \overline{P1L} </math>ist Lot von P auf g 
Annahme:<math> \exists N \in g mit \overline{P1N} ist auch Lot von P auf g, L \not\cong N \alpha1 ist bezüglich \alpha nicht anliegender Innenwinkel (\overline{NLP1}) --> Widerspruch, weil \alpha1 < \alpha (schwacher Außenwinkelsatz) </math>

hhm, sowas blödes - kann jemand ne Fehleranalyse machen!?

Datei:Lot2.png

2010-07-18T19:07:39Z

TimoRR: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

2010-07-18T19:01:29Z

TimoRR: /* Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: */

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

2010-07-18T19:00:49Z

TimoRR: /* Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
:: ...Die Gerade <math>\ l</math>, die senkrecht auf <math>\ g</math> steht und durch den Punkt <math>\ P</math> geht heißt Lotgerade von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Der Schnittpunkt <math>\ L</math> von <math>\ l</math> mit <math>\ g</math>, heißt Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Unter dem Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, versteht man die Strecke <math> \overline {PL} </math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...
:: ... die Länge der Lotes <math> \overline {PL} </math> von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
[[Lösung von Aufgabe 12.4]]

[[Bild:Lot.png|500px]]

{| class="wikitable center"
|+ bla
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls <math>P1N \perp g</math>, dann ist <math>\overline{P1N}</math> unser Lot. Fall 2: <math>P1N \not\perp g</math>, dann weiter mit (II)
| Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Antragen von <math>\alpha1: \alpha1 \cong \alpha2</math>
| Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Antragen von <math>|NP|1: |NP1| \cong\ |NP2|</math>
| Konstruktion, Axiom vom Lineal
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Antragen von <math>|NL| \cong\ |NL|</math>
| trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2}</math>
| (II), (III), (IV), SWS
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\angle NLP1 \cong\ \angle NLP2</math>
| beides rechte Winkel --> <math>\overline{PN}</math> ist Lot auf g.
|}

Datei:Lot.png

2010-07-18T18:46:38Z

TimoRR: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:Lot auf Gerade Beweis.ggb

2010-07-18T18:26:24Z

TimoRR: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-08T19:16:59Z

TimoRR:

Satz: 
Der längsten Seite eines Dreiecks liegt der größte Innenwinkel des Dreiecks gegenüber. Ebenso gilt: 
Der kürzesten Seite eines Dreiecks liegt der kleinste Innenwinkel des Dreiecks gegenüber.

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:12, 5. Jul. 2010 (UTC): 
Super! Jetzt noch die Umkehrung?

Dem größten Innenwinkel eines Dreiecks liegt die längste Seite gegenüber. Dem kleinsten Innenwinkel eines Dreiecks liegt die kürzeste Seite gegenüber.

Winkelmessung

2010-07-08T09:01:08Z

TimoRR: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ====

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIqy0TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VjLcts2FF03X4HhXjRA8DkjJSOnm8y4tSdKs+imA5GQhJoPlQRtyX+VfEi/qRcASVGPkUU7kz6m2kC8AC8uzrnnAuD43SZL0QMvK1HkE4vY2EI8j4tE5MuJVcvFKLTevX0zXvJiyeclQ4uizJicWNR2LGWvxds3P4yrVfGIWKqHfBb8cWItWFpxC1XrkrOkWnEu9+ys3ohUsHJ7O/+dx7LadRgnH/J1DbPIsgZbnCU3omofr/SE61TIH8WDSHiJ0iKeWL4HocO/z7yUImbpxHKxsTgTyznoBBNVvauiFE9FLtXwnfMFWBCqxBOHN7Gyja/0Qse8jlORCJarxeg4YBBCjyKRq4nlYQ9ccrFcKYAINd7ioiiT2baSPEObX3lZTKyR7yugt+bJxeqhgrC48qF7+k/aC3+YcSmBlQqxDd/htSxFsvfwobou0p1pXYhcvmdrWZeaUtqYZnKrJoC5ShXvNF+mvLE5gPiKx/fzYjPTGMBKtOtP27V+RQc0X74v0qJEpUIX1r1s2rlp9RgVaTcK6zFYj2h8KKddP4kcPUK3c9PqUanITWjNykm7aoLbaUSFlEHBCJnYLT5lcw7MWqjOhbxpHyAD7pulEvPCz3U2Bwn0c6DzSb6Vz/HVQfaM73mZ89TkSA7c1kVdoQeVi2YuHUjCY5HBo+kgTXSKrl8gAGNN+LLkbeBGQAYw3Yv7eXhgHl+1QagYKog1llAJYD1SrUUJVYJIJlZmL20LJUwqq1JCyjMOMpE6J3RKddhMfyNWVxUKLfBD+HoLhAEnc0RnE0vXKwaWVgYp24Lg+8vSDn8qkv3FshxA0ysB3a2VA0XLmvOkKXKyyWW0BpdaGb2QNFQV2oAAbYL3fhDTFgTs2i5k6ZNxpt8xqlLlQMdBG8oNTM8Adv3fASyyQ6eDyB0GUVxkGcsTlLMMproB2WtUhNoLEMMmsRAjBjCDRS3bTmbcNU6OEFdVpEOTWfuFRa5AvzmvKl39ZL/O7XFi9qPLKcEvJ2QHKbzq7OWg6xuIXTswSehgO/AxjbpfcFg5zyyQ/5GbMZWpXyKDvTUW8jw7dzqB9+lhR5zMznOyr4LZsQb28N4V5z7cxDGbj24HquB2sai4VBiPCNGQUvJ9qkoYYhzggEZh5DuOuysqlGKPhq4bERz6r5HPe1HG6aGAZkY+buuyR1V8nirYHUTcURG/UD+Da9orBHRZ8oslzx8gtqKsENrghsctNhOip9ayAdhG5mxGGtMT6ZEDeVGKDZq246ftqKk6a4Y2cYFPx6XY94jnA7NT2kwxdcHziYyYeoqow4w4KVlIwVgsRHw+Iz7kEg4ksNaDpIhNUjBo1FH5RG5Mh8h4+iIZ+65mXTVz0wzXMDUSdi4rq5GGnLohJcQLnf62hR3PBcjDIAgiteO/XIWXYU5OYH49BPPrvw1zx9RN98K9jCjQCfZ9N/SpS/wg7FDHPvV8QJ1gwH7g4Wof9BnPYAM7Uf6uDerTI7CTC4rfmpU7wJP/C+BrCmDwXP3zBtW//pFF85qqzbfTHmzYx/eqe87X6kJ7m38qWV6p7xpmTO++NuDskxzl1N0QAd/9A84+o/DFZ58hJ58o8iJKQuIR4kTNdQprnj2qCm+EfQeHr9H/R7Y9fe65OyJpfp6kEjy1FMz/TXeGEbXVPcBzqBfpG4NnNkdwScDquFB7iQeCiyJzynSo7esK7Lmh45HwW90gvoMc9berw5uiIXxm9tdj3v/8cp54/YGlYw1Gq/chnroBnNhegIkHCRzBESH0aPAc86cVbIgnuPnkpdqOfO9C8skZqugBVayMdzIKW2OaFo8f+SLlG43lATnDkL/bQ/76GPmvg5D/egp54tLIj2gAewWNXoW8g90TlfM88r3K6QdaVeS7EnNKEVf9r3f6e3Xzwf7tX1BLBwhOOxK7mAUAAOIXAABQSwECFAAUAAgACACKstE8TjsSu5gFAADiFwAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAANIFAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.
 Beweis:
 Voraussetzung: Ein Winkel hat die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel (Definition V.6): <math>\alpha = \beta</math>
 Behauptung: '''Jeder''' dieser rechten Winkel hat die Größe 90.
 Anmerkung: Die Existenz von rechten Winkeln (Satz V.3) wird als gegeben angenommen.

{| class="wikitable"
|-
| ''Schritt'' || ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || Der rechte Winkel und sein Nebenwinkel (gleich groß!) sind supplementär. || nach Voraussetzung und Axiom IV.4: (Supplementaxiom) - Nebenwinkel sind supplementär.
|-
| (2) || Die Größen von zwei supplementären Winkel ergeben zusammen 180. || (Zulässige?) Umkehrung der Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
|-
| (3) || <math>\alpha + \beta = 180</math> || Nach (1), (2)
|-
| (4) || <math>\alpha + \alpha = 180</math>
 <math>2 \alpha = 180</math>
 <math>\alpha = 90</math>
 <math>\rightarrow \beta = 90</math>
|| Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>) und (3)
 algebraische Umformung
 algebraische Umformung
Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>)
 
|}
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)

 Eigentlich steckt in der Problematik rechte Winkel/90 eine Äquivalenz. Können sie diese formulieren?
 Ein Versuch:
 Wenn ein Winkel die Größe 90 hat (wenn er 90° beträgt), so ist es ein rechter Winkel '''und umgekehrt'''.
 Der Winkel hat die Größe 90<math>\Leftrightarrow</math>Rechter Winkel (Äquivalenzrelation)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)
 Ein zweiter Versuch:
 Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:38, 28. Jun. 2010 (UTC):
Ich hab Ihnen die Definition "supplementär" anders formuliert. (Meist ist eine Definition als Äquivalenz gemeint.) Jetzt dürften Ihre Probleme ausgeräumt sein. Der Beweis und die Äquivalenz sind korrekt.

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

korrekt --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .
die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die
<math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Übungsaufgabe

Diskussion:Winkelmessung

2010-07-08T09:00:21Z

TimoRR: Die Seite wurde neu angelegt: ===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) ===== :: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> u...

Halbebenen oder das Axiom von Pasch

2010-07-08T08:52:00Z

TimoRR: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */

Datei:Beweis Satz IV.1

2010-07-08T08:50:04Z

TimoRR: {{Information |Beschreibung = Beweis von Satz IV.1 per Hand |Quelle = timoRR |Urheber = timoRR |Datum = 08.07.2010 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = bitte kommentieren }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Beweis von Satz IV.1 per Hand
|Quelle = timoRR
|Urheber = timoRR
|Datum = 08.07.2010
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen = bitte kommentieren
}}

Lösung von Aufgabe 10.5

2010-07-06T21:55:02Z

TimoRR: /* Beweis Versuch 1: */

Satz VI.1/2:
Es sei <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math>. 
Dann gilt: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

== Beweis Versuch 1: ==
VSS: <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math> 
Beh: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende von <math> \angle ASB </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>| \angle ASW| + | \angle WSB |= | \angle ASB| </math>
| Winkeladditionsaxiom, W liegt im Innern von <math>\angle ASB</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>| \angle ASW| = | \angle WSB | </math>
| (I), Def. Winkelhalbierende
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>| \angle ASW| + | \angle ASW |= | \angle ASB| </math>
| (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>2| \angle ASW| = | \angle ASB| </math> --> <math> | \angle ASW |= 1/2| \angle ASB| </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>| \angle ASW| =| \angle WSB| = 1/2| \angle ASB| </math>
| (III), (V)
|}

qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:51, 1. Jul. 2010 (UTC)

Das war ja jetzt der Beweis für die Existenz, fehlt jetzt noch einer für die Eindeutigkeit!?
Wenn ja, wie sähe der dann aus!? Reicht dafür das Winkelkonstruktionsaxiom!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 17:00, 6. Jul. 2010 (UTC)

Bei dem Satz wird nicht zwischen Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden unterschieden. Das kommt doch nur vor, wenn "genau" im Satz steht. Kann es sein dass du den Satz: "Jeder Winkel hat genau eine Winkelhalbierende" meinst? Da muss man dann nämlich Existenz und Eindeutigkeit beweisen. Hier ist nur gezeigt, dass bei einer Winkelhalbierenden (VSS) die Winkel, die durch die Winkelhalbierenden entstehen gleichgroß sind und diese das halbe Maß des Gesamtwinkel (Beh) haben. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 6. Jul. 2010 (UTC)

HI, oh, ja da hast du Recht - hab da im falschen Satz geschaut - alles klar - dann stimmt ja alles =) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:55, 6. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 10.5

2010-07-06T17:00:43Z

TimoRR: /* Beweis Versuch 1: */

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.1

2010-07-06T15:03:03Z

TimoRR:

Lösung von Aufgabe 10.1

2010-07-06T15:02:46Z

TimoRR:

:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ {AB}</math> und die Gerade <math>\ {CD}</math> senkrecht aufeinander stehen .

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> <s>eine</s> ''mindestens zwei'' Geraden gibt, die vollständig in <math>\epsilon</math> liegen, und senkrecht auf <math>\ g</math> stehen.

:::'''Nochmal richtig:''' Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei sich schneidende Geraden gibt, die senkrecht auf <math>\ g</math> stehen.

Lösung von Aufgabe 10.2

2010-07-06T14:51:35Z

TimoRR: /* Zweiter Beweisversuch */

== [[Beweis Versuch 1 (verbessert):]] ==

VSS: <math> g \subset E </math>, <math>P \in g</math> 
Beh: es gibt genau eine Gerade <math>s</math> durch <math>P</math>, die senkrecht auf <math>g</math> steht 

EXISTENZ
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Punkt <math> B \in E </math>, <math>P</math> ungleich <math>B</math>
| Axiom I.2
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es existiert ein Punkt <math> Q \in E</math>, Q nicht Element g
|
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es existiert ein Punkt <math> C\in gQ^{+}: | \angle PB^{+},PC^{+}| = 90 </math>
| Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| es exisitiert genau eine Gerade <math> s </math> durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math>
| Axiom I.1, (II)
|}

EINDEUTIGKEIT
Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, ist die Eindeutigkeit bereits gezeigt. 
qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)

== [[Zweiter Beweisversuch]] (verbessert) ==

Voraussetzung: g Element E, P Element g
Behauptung: s Element g und s senkrecht auf g

Existenz:
{| class="wikitable center"
|+ Es gibt eine Gerade s Element, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf g steht
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein X Element E mit der Eigenschaft, dass X Element S und X Element PX+
| Axiom I.2 (Gerade hat mindestens 2 Punkte)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
|| Es existieren auf der Geraden g ein Punkt P1 auf PP1+ und ein Punkt P2 auf PP1- |Winkel(XPP2)| = |Winkel(XPP1)| = |w| mit w = 90
| Definition V.6 (Rechter Winkel), Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| s steht senkrecht auf g
| (II), Definition V.8 (Relation senkrecht)
|}

Eindeutigkeit:
Nach Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 gibt es in jeder Halbebene genau nur einen Strahl mit|w|=|Winkel(XPP2)| bzw. |w| = |Winkel(XPP1)|
Nach Winkelmaßaxiom IV.1 gibt es für w genau eine reelle Zahl zwischen 0 und 180.
Nach der Definition V.6, Satz V.3 und Satz V.4 gibt es rechte Winkel mit der Größe 90.
Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.
Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht, da beim Schnitt ein rechter Winkel enstehen muss, der mit der Größe 90 nur einmalig existiert.

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:51, 2. Jul. 2010 (UTC):

# Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms im Laufe des Beweises ''"generiert"''. Dementsprechend sollte die Gerade <math>\ s</math> nicht in den Voraussetzungen auftauchen.
# Nur mittels einer Definition wird man eine Existenzaussage nicht begründen können. Definitionen mögen zwar alles mögliche festlegen können, ob die Dinge dann auch existieren steht auf einem anderen Blatt. Wir hätten sonst auch beweisen können: Behauptung: Es existieren rechte Winkel. Begründung: Weil rechte Winkel definiert wurden müssen sie auch existieren.

Lösung von Aufgabe 10.2

2010-07-01T23:15:05Z

TimoRR: /* Zweiter Beweisversuch */

== [[Beweis Versuch 1:]] ==

VSS: <math> g \subset E </math>, <math>P \in g</math> 
Beh: es gibt genau eine Gerade s durch P, die senkrecht auf g steht 

EXISTENZ
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| in <math> g </math> gibt es einen Strahl mit <math> {PB^{+}} </math>
| Axiom I.2 und Def. Halbgerade
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es existiert genau ein Strahl <math>{PC^{+}}</math> in der Halbebene <math>{gC^{+}}</math> mit <math>| \angle CPB| = 90 </math>
| Winkelkonstruktionsaxiom, (I)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| es exisitiert genau eine Gerade s durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math>
| Axiom I.1, (II)
|}

EINDEUTIGKEIT
Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, die die Eindeutigkeit bereits gezeigt. 
qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)

== [[Zweiter Beweisversuch]] ==

Voraussetzung: g Element E, s Element E, P Element g
Behauptung: s Element g und s senkrecht auf g

Existenz:
{| class="wikitable center"
|+ Es gibt eine Gerade s Element, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf g steht
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein X Element E mit der Eigenschaft, dass X Element S und X Element PX+
| Axiom I.2 (Gerade hat mindestens 2 Punkte)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
|| Es existieren auf der Geraden g ein Punkt P1 auf PP1+ und ein Punkt P2 auf PP1- |Winkel(XPP2)| = |Winkel(XPP1)| = |w| mit w = 90
| Definition V.6 (Rechter Winkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| s steht senkrecht auf g
| (II), Definition V.8 (Relation senkrecht)
|}

Eindeutigkeit:
Nach Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 gibt es in jeder Halbebene genau nur einen Strahl mit|w|=|Winkel(XPP2)| bzw. |w| = |Winkel(XPP1)|
Nach Winkelmaßaxiom IV.1 gibt es für w genau eine reelle Zahl zwischen 0 und 180.
Nach der Definition V.6, Satz V.3 und Satz V.4 gibt es rechte Winkel mit der Größe 90.
Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.
Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht, da beim Schnitt ein rechter Winkel enstehen muss, der mit der Größe 90 nur einmalig existiert.