Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Hauptseite

2014-01-27T15:33:41Z

TobiWan: /* Hinweise */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
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'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
 
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Wintersemester 2013/14 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.Oktober

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==

'''Das Tutorium am Mittwoch, dem 29.01.2014 startet schon um 16:00 Uhr und nicht, wie gewohnt um 16:15 Uhr. 

Bitte kommuniziert die Änderung an eure KommilitonInnen weiter.''' 
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] ([[Benutzer Diskussion:TobiWan|Diskussion]]) 16:33, 27. Jan. 2014 (CET)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Di.|| 08-10 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Di.|| 16-18 Uhr || A206 ||J. Spannagel

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A108 ||T. Wanielik

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Wintersemester 2013/14!
 
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}} 
{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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|-
| Freitag || 10 - 12 ||H001 ||Gieding/Spannagel
|}

====Übungen====

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| || || ||
|-
| || || ||
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====Tutorium/Übung====

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| || || ||
|-
| || || ||

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
*Hab die Vorabvideos aus dem MOOC online gestellt. Bitte noch nicht großartig publizieren, momentan sind sie auf youtube noch versteckt, weil sie die Endfassung noch nicht erreicht haben.
*Robben23 hat sich Gedanken zum Thalessatz gemacht. Diskutieren Sie mit: [[Satzfindung vom Satz des Thales]]
*[[Findung des Satzes von Pythagoras]]
Wann sind den endlich die Klausurergebnisse da.

==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|-
| || ||||
|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. 
|}
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

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====Vorlesung====
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|-
| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-05T10:28:40Z

TobiWan:

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

Tipp: Im Wiki nachlesen und den Beweis dann indirekt führen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 26. Jun. 2013 (CEST)

* Zwei Geraden sind parallentreu, wenn bei der Geradenspiegelung zueinander parallelen Geraden p1 und p2 ebensfalls zueinader parallel abgebilder werden. Kurz formuliert:
--> p1 II p2 --> p1` II p2 ` wobei Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beweisdurchführung

*Vor.: p1 II p2, Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beh.: p1`II p2`

1. Sg (p1)= p1` und Sg(p2`) Voraussetzung

2. p1 II p2 Voraussetzung

3.

--> HILFE!!!! ICH KOMM NICHT MEHR WEITER. IRGENDWIE BIN ICH DURCHEINANDER GEKOMMEN. WAS MACHE ICH FALSCH?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:51, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 18:50, 4.Juli 

Probier es mal, wie Anne schon oben angemerkt hat, über einen indirekten Beweis. Wie muss also die Annahme lauten?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 12:28, 5. Jul. 2013 (CEST) 

[[Kategorie: Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.3 (SoSe 13 P)

2013-06-12T14:22:23Z

TobiWan:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
*Es fehlt der Bezug zur Gerade c.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Diese Aussage repräsentiert den Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
***So ist es.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST)

#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
*Umkehrung von (1). Gleiche Problematik wie in (1).--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der oberen Implikation. Eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ist jedoch nicht möglich, daher ist diese Implikation weder repräsentativ noch äquivalent zum Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
***Gut begründet und nur noch ein Fehler.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST)
****Komme nicht drauf.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:24, 12. Mai 2013 (CEST) 
*****Die Aussage ist sehr wohl wahr. Sie muss aber extra bewiesen werden, da sie eben nicht äquivalent zum Stufenwinkelsatz ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:28, 23. Mai 2013 (CEST)

#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
*Äquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz. Logischer Zusammenhang.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:59, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei handelt es sich um eine Kontraposition zu dem Stufenwinkelsatz. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
**Äquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:18, 10. Mai 2013 (CEST) 
** könnte jemand dies mal ohne Formelzeichen in einen Satz schreiben, ich versteh die ganzen Zeichen gar nicht und deswegen auch nicht die Aussage --[[Benutzer:Grashalm|Grashalm]] 11:36, 12. Jun. 2013 (CEST) 

Hallo Grashalm, hier einmal in Worten:
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math> bedeutet: Wenn das Maß des Winkels alpha ungleich dem Maß des Winkels beta, dann existiert ein Punkt S für den gilt: S ist element von a und S ist element von b. 
Hilft dir das weiter? --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:22, 12. Jun. 2013 (CEST) 

#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
*Selbe Problematik wie in (1) und (2).--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Da eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nicht möglich ist (siehe 2. Implikation), ist eine Äquivalenzrelation der beiden Aussagen ebenfalls ausgeschlossen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:18, 10. Mai 2013 (CEST) 
*** Mh, stimmt nicht ganz.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST )
****Bräuchte etwas Hilfe. Komme nicht drauf. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:24, 12. Mai 2013 (CEST) 
*****Siehe 2)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:28, 23. Mai 2013 (CEST)
******Wenn man also die 2.Implikation beweist, dann gilt auch diese Äquivalenzrelation oder? --[[Benutzer:Zweieck|Zweieck]] 14:03, 30. Mai 2013 (CEST)
*******So ist es.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:24, 2. Jun. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 13)

2013-05-01T16:15:47Z

TobiWan:

Definieren Sie den Begriff: "Drache" unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 
Ein Drachenviereck ist ein schiefes Drachenv. mit einer Diagonalen als Symmetrieachse.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:38, 30. Apr. 2013 (CEST) 
Schon sehr gut, aber beachte, dass eine Diagonale eine Strecke und eine Symmetrieachse eine Gerade ist. Was heißt das für unsere Definition konkret?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 18:15, 1. Mai 2013 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 12 13)

2013-02-06T10:52:03Z

TobiWan:

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen.
 
 
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! !!
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| Voraussetzung || Dreieck ABC mit den Innenwinkeln <math>\alpha ,\beta ,\gamma</math>
|-
| Behauptung || <math>\left| \alpha \right| +\left| \beta \right| +\left| \gamma \right| = 180</math>
|}

 
{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung!! Hinweis (Tutorin_Anne)!!Änderungsvorschläge
|-
|1. Wir konstruieren eine Gerade g, für die gilt g ll <math>\overline{AB}</math> ^ C<math>\in</math>g || Parallelenaxiom, Vor.
|-
|2. D(mb,180)(A)=C ^ D(mb,180)(B)=B' ||1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
|-
|2.1 <math>B'C \equiv g</math> ||1.),2.) || Warum folgt das aus Schritt 1 und 2? || Man müsste vllt. noch Satz IX.4 erwähnen, sodass gilt AB parallel C'B und laut Parallelenaxiom gibt es nur eine parallele Gerade durch C, heißt B'C muss auf g zu liegen kommen.
|-
|3. <math>\alpha \tilde {=}\alpha '</math> || Wechselwinkelsatz, 1.),2.),2.1), Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend || Das sind zu viele Begründungen, entscheide dich! || Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), 2.1),2.)
|-
|4. D(ma,180)(A)=A' ^D(ma,180)(B)=C || 1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
|-
|5. <math>\beta \tilde {=} \beta'</math> || 4.),2.1) Wechselwinkelsatz, Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend ||Das sind zu viele Begründungen, entscheide dich! || Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), 2.1),4.)
|-
|6. <math>\left| \alpha' \right| + \left| \beta' \right|+ \left| \gamma \right|= 180</math> || 4.), 5.),Def. Nebenwinkel, Satz(Nebenwinkel sind supplementär)|| Woher weißt du, dass sie alle an einer Geraden liegen?|| Die Winkel alpha',beta',gamma' besitzen alle den gleichen Scheitelpunkt, nämlich C. Das ist anzunehmen, da der Winkel alpha mit dem Scheitelpunkt A punktgespiegelt wird und alpha' nun den Scheitelpunkt C hat.(Für B analog). Der Winkel Gamma hat ja schon den Scheitelpunkt C.
|-
|7. <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right|+ \left| \gamma \right|= 180</math> || 3.),5.),6.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 00:37, 3. Feb. 2013 (CET) 
* Im Großen und Ganzen stimmt der Beweis. Ich habe ein paar Kleinigkeiten angemerkt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:49, 5. Feb. 2013 (CET)

 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 11:52, 6. Feb. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 12 13)

2013-02-06T10:51:35Z

TobiWan:

Lösung von Zusatzaufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-02-06T10:26:59Z

TobiWan:

Beweisen Sie den schwachen Außenwinkelsatz. Hinweis: Sie dürfen sich auf Aufgabe 12.3 beziehen.
 
[[Datei:TobiWan_Schwacheraws.jpg |700px]] --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 23:16, 30. Jan. 2013 (CET) 
Super - toll, dass du deinen Beweis einstellst. 
Dein Ansatz ist völlig richtig. Wie kommst du auf Schritt 3? Warum folgt er aus Schritt 1 und 2 - was hast du da wie verrechnet?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:15, 31. Jan. 2013 (CET)
 
Wir könne hier eigentlich 2 Fälle betrachten. 
Fall 1: <math>\left| \alpha \right| = 0</math>, dann muss gelten: <math>\left| \gamma \right| =\left| \delta \right|</math> Problem: Wenn ein Innenwinkel das Maß 0 hat, entsteht kein Dreieck. 
-> Fall 1 ist zu verwerfen. 
Fall2: <math>\left| \alpha \right| > 0</math> und <math>\left| \gamma \right| > 0</math> ; Es entsteht ein Dreieck. 
Dann kann auch keiner der beiden Winkel das gleiche Maß wie <math>\delta</math> haben. Dass sie nicht größer als dieser sein können, versteht sich von selbst. Daraus folgt dann, dass beide Winkel jeweils kleiner sein müssen als <math>\delta</math>. 
Meintest du das Anne?
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 00:55, 3. Feb. 2013 (CET) 
Nein, das meine ich eigentlich nicht. Da wir ein Dreieck voraussetzen, brauchst du Fall 1 nicht betrachten. 
Ich bin der Meinung, dass du Schritt 2 überhaupt nicht brauchst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:20, 4. Feb. 2013 (CET) 
 
Okay, stimmt eigentlich....Wenn ich in 1.) sage, dass die Summe der Winkel Delta ergibt, folgt daraus direkt, dass die alpha und gamma kleiner sein müssen.--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 19:35, 4. Feb. 2013 (CET) 
* Eben, aber die Frage ist trotzdem, warum genau? (Hinweis: Die Gleichung 4 + x =2 lässt sich ja auch lösen und 4 ist deshalb nicht kleiner 2.)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:10, 5. Feb. 2013 (CET)
 
Laut Definition "Winkelmaß", kann jeder Winkel nur eine reele Zahl zwischen 0 und 180 zugeordnet werden, heißt kleiner Null geht nicht. Und wir wissen ein Winkel im Dreieck kann nicht das Maß 0 haben, denn sonst gäbe es kein Dreieck.--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 11:26, 6. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-02-04T19:21:25Z

TobiWan: /* Definition IX.4 (Translation): */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)
*Genau--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:45, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\ SD^{+} \cup \ SC^{+} = \ SA^{+} \cup \ SB^{+}</math> || 1.), Def. Vereinigungsmenge
|-
| 3.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 2.), Def. Winkel
|-
| 4. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 5.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 4.), 3.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET) 

*Danke für den Beweis TobiWan. Schritt 3-5 sind richtig. Allerdings stimmt Schritt 1 nicht. Warum sollten die Strahlen identisch sein? Das sind sie in meiner Skizze nach deiner Voraussetzung nicht. Ich habe eine Ahnung, was du gemeint hast - aber den Fehler findest du oder andere bestimmt. Was möchtest du mit Schritt 2 sagen??--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
* Sonst würde ich mit der Voraussetzung allgemeiner beginnen: Es seine <math> \angle ASB</math> und <math> \angle CSD</math> zwei Scheitelwinkel. (Alles weitere folgt dann im Beweis.) Aber deine Voraussetzung ist schon auch in Ordnung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
 

Wir haben es uns gerade noch einmal genauer angeschaut. Wir müssen in der Voraussetzung noch erwähnen, dass gilt: Zw (BSD) und Zw (ASC)
 

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C; Zw (BSD) und Zw (ASC)
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 1.), Def. Winkel
|-
| 3. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 4.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 3.), 2.)
|}--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 16:26, 26. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

Vor: Geraden g,h,k || g parallel h <math>\wedge</math> k nicht parallel g 
<math>\ g \cap k </math> = {A} <math> \wedge </math> <math>\ h \cap k</math> = {B} 
Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math> 
Beh: <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> | \overline{AB}| =| \overline{AS}| +| \overline{SB}|</math> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> || Mittelpunkt einer Strecke, Vor.
|-
| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B || Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)
|-
| 3. D(S,180)S=S ^D(S,180)k=k || Def Fixpunkt, Fixgerade, Satz IX.5
|-
| 4. D(S,180)<math>\alpha</math> =<math>\beta</math> || winkelmaßerhaltend, winkeltreue, Vor., 2.),3.),
|-
| 5. <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> || 4.)
|} --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:34, 19. Jan. 2013 (CET) 

Sehr schöner Beweis. Stimmt auch bis auf zwei (ich nehme an) Schreibfehler: Die Behauptung muss lauten <math>|\alpha | =|\beta | </math> oder <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>, denn die Wechselwinkel sind ja nicht identisch. In Schritt 1 gilt <math> | \overline{AB}| =| \overline{AS}| +| \overline{SB}|</math>, denn Strecken lassen sich nicht addieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:54, 25. Jan. 2013 (CET)
 
Ja, das waren Schreibfehler. Danke für den Hinweis, ich habe es oben korrigiert. --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 21:42, 26. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

[[Datei:Hakunamatata_2013-01-26_16.49.41.jpg]]

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====
Eine Translation/Verschiebung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa o Sb mit a parallel b. Die Abbildung wird um den doppelten Abstand der Geraden a und b verschoben.--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 20:21, 4. Feb. 2013 (CET)

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-02-04T19:21:13Z

TobiWan: /* Definition IX.4 (Translation): */

Lösung von Aufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-02-04T18:39:38Z

TobiWan:

Zeigen Sie, dass die Verkettung einer Drehung <math>D_{\left( S,\alpha \right) } </math> mit einer Verschiebung wieder eine Drehung <math>D_{\left( P,\alpha \right) } </math> ergibt. Wo liegt das neue Drehzentrum ''P''?
 
[[Datei:TobiWan_Beweis1.jpg | 1000px]]
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 23:51, 30. Jan. 2013 (CET) 

Gute Konstruktion mit Erklärung dazu - danke! Das Drehzentrum wäre damit gefunden. Wenn es heißt "zeigen Sie" muss du zudem aber begründen, dass es immer bei einer Drehung verkettet mit einer Verschiebung zu einer Drehung kommt. Das kann nicht anhand einer Zeichnung gemacht werden, sondern muss allgemein (über die Lage der Spiegelachsen) erklärt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:23, 31. Jan. 2013 (CET)
 
[[Datei:TobiWan_Drehungverschiebungdrehung.jpg | 1000px]]
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 20:58, 1. Feb. 2013 (CET) 
Gute Idee! Du bist auf dem richtigen Weg. 
Wichtig ist, dass du die Reihenfolge der Geradenspiegelungen nicht vertauscht, denn sie ist ja für den Drehwinkel und die Verschiebungsrichtung entscheidend. Weshalb sollte man Gerade a und c' reduzieren dürfen - kannst du das begründen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:13, 2. Feb. 2013 (CET) 

 
Versuch 2: 
[[Datei:TobiWan_001.jpg | 800px]] --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 20:32, 2. Feb. 2013 (CET) Sehr gute Zeichnung!Auch die Erklärung ist gut. Zu Ergänzen ist noch eine Begründung, warum der Winkel der neuen Drehung mit der Orginaldrehung übereinstimmt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:36, 4. Feb. 2013 (CET) 
Wenn b' parallel d', dann gilt der Stufenwinkelsatz.Daraus folgt dann, dass der Winkel der neuen Drehung mit dem Originalwinkel übereinstimmt.--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 19:39, 4. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-02-04T18:35:27Z

TobiWan:

Lösung von Aufgabe 4.1 P (WS 12 13)

2013-02-03T17:24:56Z

TobiWan:

Beweisen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle: 
<math>(\ A \Rightarrow B) \ \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> 

Inwiefern hilft Ihnen diese Äquvalenz, wenn Sie einen geometrischen Satz beweisen wollen? 

[[Category:Einführung_P]]

Im Grunde, sagt die Äquivalenz ja aus, dass sowohl die Implikation und ihre Umkehrung gilt oder?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:34, 3. Feb. 2013 (CET) 

Nein, ich glaube nicht. Das ist ja nicht die Umkehrung, sondern die Kontraposition.
Umkehrung wäre <math>\ B \Rightarrow A</math> . Und die sind ja nicht äquivalent zueinander; die Kontraposition und die Implikation aber schon, laut Wahrheitstabelle.--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 18:24, 3. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-02-02T23:55:57Z

TobiWan:

Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 12 13)

2013-02-02T23:37:22Z

TobiWan:

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen.
 
 
<ggb_applet width="900" height="600" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Voraussetzung || Dreieck ABC mit den Innenwinkeln <math>\alpha ,\beta ,\gamma</math>
|-
| Behauptung || <math>\left| \alpha \right| +\left| \beta \right| +\left| \gamma \right| = 180</math>
|}

 
{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
|1. Wir konstruieren eine Gerade g, für die gilt g ll <math>\overline{AB}</math> ^ C<math>\in</math>g || Parallelenaxiom, Vor.
|-
|2. D(mb,180)(A)=C ^ D(mb,180)(B)=B' ||1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
|-
|2.1 <math>B'C \equiv g</math> ||1.),2.)
|-
|3. <math>\alpha \tilde {=}\alpha '</math> || Wechselwinkelsatz, 1.),2.),2.1), Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend
|-
|4. D(ma,180)(A)=A' ^D(ma,180)(B)=C || 1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
|-
|5. <math>\beta \tilde {=} \beta'</math> || 4.),2.1) Wechselwinkelsatz, Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend
|-
|6. <math>\left| \alpha' \right| + \left| \beta' \right|+ \left| \gamma \right|= 180</math> || 4.), 5.),Def. Nebenwinkel, Satz(Nebenwinkel sind supplementär)
|-
|7. <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right|+ \left| \gamma \right|= 180</math> || 3.),5.),6.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 00:37, 3. Feb. 2013 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 12 13)

2013-02-02T22:53:04Z

TobiWan:

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen.
 
 
<ggb_applet width="896" height="662" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Datei:TobiWan Innenwinkelsatz.png

2013-02-02T22:47:05Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-GFDL}}

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== Lizenz ==
{{Bild-GFDL}}

Lösung von Zusatzaufgabe 12.1P (WS 12 13)

2013-02-02T22:38:44Z

TobiWan:

Definieren Sie den Begriff: "Achsensymmetrische Figur".
 
Eine Figur, die durch eine Geradenspiegelung auf sich selbst abgebildet wird, heißt achsensymmetrische Figur. --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 23:38, 2. Feb. 2013 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-02-02T19:32:59Z

TobiWan:

Datei:TobiWan 001.jpg

2013-02-02T19:31:17Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Lösung von Zusatzaufgabe 7.4P (WS 12 13)

2013-02-02T10:23:30Z

TobiWan:

Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math> (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand). 
 
Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> ist die Vereinigung der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math>.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:32, 26. Jan. 2013 (CET) 
So ist es. Super!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:11, 31. Jan. 2013 (CET)
 
Kann man auch sagen ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> ist ein n-Eck mit n=3 ? --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 11:23, 2. Feb. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 7.4P (WS 12 13)

2013-02-02T10:23:16Z

TobiWan:

Lösung von Aufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-02-01T19:58:06Z

TobiWan:

Lösung von Aufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-02-01T09:24:58Z

TobiWan:

Datei:TobiWan Drehungverschiebungdrehung.jpg

2013-02-01T09:23:39Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Datei:TobiWan Drehung+verschiebung=drehung.jpg

2013-02-01T09:23:03Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Lösung von Aufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-01-30T22:51:37Z

TobiWan:

Datei:TobiWan Beweis1.jpg

2013-01-30T22:49:50Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = Aufgabe 12.4P |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

{{Information_ohne_UploadWizard
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== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Lösung von Zusatzaufgabe 12.4P (WS 12 13)

2013-01-30T22:16:36Z

TobiWan:

Datei:TobiWan Schwacheraws.jpg

2013-01-30T22:15:45Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = schwacher AWS |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

{{Information_ohne_UploadWizard
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== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Lösung von Zusatzaufgabe 12.3P (WS 12 13)

2013-01-30T22:12:50Z

TobiWan:

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz für Dreiecke.
 
[[Datei:TobiWan_Saw_alleine.jpg|700px]] 
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 23:12, 30. Jan. 2013 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Datei:TobiWan Saw alleine.jpg

2013-01-30T22:12:01Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = Starker Außenwinkelsatz-ohne SAS |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Starker Außenwinkelsatz-ohne SAS
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|Urheber = [[Benutzer:TobiWan|TobiWan]]
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== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Datei:TobiWan Saw.jpg

2013-01-30T22:09:27Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = Starker Außenwinkelsatz |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Starker Außenwinkelsatz
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== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Beziehungen zwischen Seitenlängen und Innenwinkelgrößen von Dreiecken WS 12 13

2013-01-30T13:11:12Z

TobiWan: /* Beweis von Satz XIV.1 */

===== Satz XIV.1: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz XIV.1 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]
[[Bild:Seite_winkel_02.png]] 

[[Datei:TobiWan_003.jpg|600px]] --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 00:25, 29. Jan. 2013 (CET) 

Also im Grunde denke ich das der Ansatz auf jeden fall richtig ist! Ich habe es auch mal versucht... meine ersten vier Schritte entsprechen deiner vorgehensweise.

Dann: 
4. <math>\delta1 = \delta2 </math> '''Begründung:''' deine 4; Basiswinkelsatz 
5. <math>\delta 2</math> ist Außenwinkel von <math>\beta</math> im Dreieck ABB` '''Begründung:''' Def. Außenwinkel 
6. Abstand von <math>\alpha</math> = <math>\delta 1 + \delta 2</math> '''Begründung:''' Mein 4. Schritt 
7. Abstand <math>\delta 1\le Abstand \alpha und Abstand \beta \le \delta 2</math> '''Begründung:''' 6. , schwacher Außenwinkelsatz 
8. <math>\alpha \ge \beta</math> '''Begründung:''' 4,6,7--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:03, 29. Jan. 2013 (CET) 

Ich muss in Schritt 6 noch erwähnen, dass <math>\gamma</math> konstant bleibt, dann müsste mein Satz auch stimmen. Er ist ein wenig umständlich formuliert glaube ich. --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 14:11, 30. Jan. 2013 (CET) 

===== Satz XIV.2: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz XIV.2 =====
Zusatzaufaufgabe 

Hier ist der Link zu meinem Beweis:

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:2013-01-29_17.06.06.jpg--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:09, 29. Jan. 2013 (CET)

Beziehungen zwischen Seitenlängen und Innenwinkelgrößen von Dreiecken WS 12 13

2013-01-28T23:25:15Z

TobiWan: /* Beweis von Satz XIV.1 */

Datei:TobiWan 003.jpg

2013-01-28T23:23:11Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Datei:TobiWan 002.jpg

2013-01-28T23:17:58Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = Größere_Seite_größerer_Winkel |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Größere_Seite_größerer_Winkel
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = [[Benutzer:TobiWan|TobiWan]]
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|Genehmigung =
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== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-26T20:42:37Z

TobiWan: /* Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

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===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\ SD^{+} \cup \ SC^{+} = \ SA^{+} \cup \ SB^{+}</math> || 1.), Def. Vereinigungsmenge
|-
| 3.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 2.), Def. Winkel
|-
| 4. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 5.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 4.), 3.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET) 

*Danke für den Beweis TobiWan. Schritt 3-5 sind richtig. Allerdings stimmt Schritt 1 nicht. Warum sollten die Strahlen identisch sein? Das sind sie in meiner Skizze nach deiner Voraussetzung nicht. Ich habe eine Ahnung, was du gemeint hast - aber den Fehler findest du oder andere bestimmt. Was möchtest du mit Schritt 2 sagen??--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
* Sonst würde ich mit der Voraussetzung allgemeiner beginnen: Es seine <math> \angle ASB</math> und <math> \angle CSD</math> zwei Scheitelwinkel. (Alles weitere folgt dann im Beweis.) Aber deine Voraussetzung ist schon auch in Ordnung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
 

Wir haben es uns gerade noch einmal genauer angeschaut. Wir müssen in der Voraussetzung noch erwähnen, dass gilt: Zw (BSD) und Zw (ASC)
 

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C; Zw (BSD) und Zw (ASC)
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 1.), Def. Winkel
|-
| 3. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 4.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 3.), 2.)
|}--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 16:26, 26. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

Vor: Geraden g,h,k || g parallel h <math>\wedge</math> k nicht parallel g 
<math>\ g \cap k </math> = {A} <math> \wedge </math> <math>\ h \cap k</math> = {B} 
Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math> 
Beh: <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> | \overline{AB}| =| \overline{AS}| +| \overline{SB}|</math> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> || Mittelpunkt einer Strecke, Vor.
|-
| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B || Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)
|-
| 3. D(S,180)S=S ^D(S,180)k=k || Def Fixpunkt, Fixgerade, Satz IX.5
|-
| 4. D(S,180)<math>\alpha</math> =<math>\beta</math> || winkelmaßerhaltend, winkeltreue, Vor., 2.),3.),
|-
| 5. <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> || 4.)
|} --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:34, 19. Jan. 2013 (CET) 

Sehr schöner Beweis. Stimmt auch bis auf zwei (ich nehme an) Schreibfehler: Die Behauptung muss lauten <math>|\alpha | =|\beta | </math> oder <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>, denn die Wechselwinkel sind ja nicht identisch. In Schritt 1 gilt <math> | \overline{AB}| =| \overline{AS}| +| \overline{SB}|</math>, denn Strecken lassen sich nicht addieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:54, 25. Jan. 2013 (CET)
 
Ja, das waren Schreibfehler. Danke für den Hinweis, ich habe es oben korrigiert. --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 21:42, 26. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

[[Datei:Hakunamatata_2013-01-26_16.49.41.jpg]]

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-26T09:49:39Z

TobiWan:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz. 

Voraussetzung: gleichschenkliges Dreieck mit <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
Behauptung: <math>\left| Beta \right|</math> = <math>\left| Alpha \right|</math>

[[Kategorie:Einführung_P]]
{| class="wikitable sortable"

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beobachtung
|-
| 1) <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
| Vor.
|-
| 2) m ist Mittelsenkrechte von AB; C <math>\in</math> m
| 1; Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3) Sm (A) = B
| 2; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4) Sm (C) = C
| Def. Fixpunkt
|-
| 5) <math>\left| AM \right|</math> = <math>\left| MB \right|</math>
| Def. Mittelsenkrechte
|-
| 6) Winkel CAM = <math>\alpha</math>; Winkel CBM =<math>\beta</math>
| Def. Winkel
|-
| 7) Sm (<math>\alpha</math>) = <math>\beta</math>
| 5; winkelmaßerhaltung
|}

--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:47, 16. Jan. 2013 (CET) 
Zwei Anmerkungen dazu: 
* Warum folgt aus Schritt 1) C <math>\in</math> m?
* '''Da du bestimmte Schritte zur Begründung weiterer Schritte nicht verwendet hast, brauchst du sie auch nicht. Oder doch?''' Für welche Schritte? Bitte ergänzt die Nummern, oder die Schritte können weg gelassen werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:03, 17. Jan. 2013 (CET)

Bei meinem ersten Schritt fehlt etwas ;-) So jetzt ist es ergänzt.
Wissen wir nicht, dass der Punkt c Element m ist, dadurch das wir ein gleichschenkliges Dreieck haben?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:39, 17. Jan. 2013 (CET) 
*Ja richtig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:47, 18. Jan. 2013 (CET)

Also passt es jetzt so?? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:09, 19. Jan. 2013 (CET) 
Nein, entweder du nutz alle Schritte von 1-6 für irgendwelche Begründungen oder du streichst all die jenigen raus, die du nicht zum Begründen genutzt hast.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:36, 20. Jan. 2013 (CET)

Damit ihr 2 hier nicht alleine diskutieren müsst..Hier mal meine Tabelle, abgeleitet von oben.
Was Anne einfach meint ist (glaube ich), dass du die Schritte bei den Begründungen angeben musst, weil sonst der Schritt keine Berechtigung für den weiteren Beweisverlauf hat. Außerdem ist die Bezeichnung der Winkel (Schritt 6) überflüssig (siehe Wiki-Seite "Der Basiswinkelsatz").--[[Benutzer:Kaeseknilch|Kaeseknilch]] 17:38, 20. Jan. 2013 (CET)

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| 1) <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
|Vor.
|-
| 2) m ist Mittelsenkrechte von AB; C <math>\in</math> m
| 1), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3) Sm (A) = B
| 2), Def. Geradenspiegelung
|-
| 4) Sm (C) = C
| 2), Def. Fixpunkt
|-
| 5) M = Sm(M)
| 2), Def. Fixpunkt
|-
| 6) Winkel MAC = Winkel MBC
| 3),4),5), Def. Winkeltreue
|}

--[[Benutzer:Kaeseknilch|Kaeseknilch]] 17:38, 20. Jan. 2013 (CET) 
*Danke Kaeseknilch, ich habe mich wohl nicht deutlich ausgedrückt. Dein Beweis ist fast richtig. Der letzte Schritt kannst du nicht so scheiben. Es würde bedeuten, dass die beiden Winkel identisch sind - und das sind sie nicht.
*Der Beweis kann natürlich auch ausführlicher geführt werden. Schritt 4) und 5) kann ebenso mit Def. Geradenspiegelung begründet werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:20, 25. Jan. 2013 (CET) 

Es müsste heißen: 6) Winkel MAC <math> \tilde {=}</math> Winkel MBC oder: <math>\left| \angle MAC \right| = \left| \angle MBC \right|</math> Meintest du das Anne?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 10:49, 26. Jan. 2013 (CET)

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-19T15:34:38Z

TobiWan: /* Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\ SD^{+} \cup \ SC^{+} = \ SA^{+} \cup \ SB^{+}</math> || 1.), Def. Vereinigungsmenge
|-
| 3.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 2.), Def. Winkel
|-
| 4. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 5.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 4.), 3.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET) 

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

Vor: Geraden g,h,k | g parallel h ^ k nicht parallel g 
<math>\ g \cap k </math> = {A} ^ <math>\ h \cap k</math> = {B} 
Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math> 
Beh: <math>\alpha </math>=<math>\beta</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> \overline{AB} =\overline{AS} +\overline{SB}</math> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> || Mittelpunkt einer Strecke, Vor.
|-
| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B || Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)
|-
| 3. D(S,180)S=S ^D(S,180)k=k || Def Fixpunkt, Fixgerade, Satz IX.5
|-
| 4. D(S,180)<math>\alpha</math> =<math>\beta</math> || winkelmaßerhaltend, winkeltreue, Vor., 1.), 2.),3.), 4.)
|-
| 5. <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> || 4.)
|} --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:34, 19. Jan. 2013 (CET) 

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-19T14:19:38Z

TobiWan: /* Satz IX.6 : */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\ SD^{+} \cup \ SC^{+} = \ SA^{+} \cup \ SB^{+}</math> || 1.), Def. Vereinigungsmenge
|-
| 3.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 2.), Def. Winkel
|-
| 4. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 5.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 4.), 3.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET) 

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis:

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-19T14:19:26Z

TobiWan: /* Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

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===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis:

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-19T14:13:22Z

TobiWan: /* Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\ SD^{+} \cup \ SC^{+} = \ SA^{+} \cup \ SB^{+}</math> || 1.), Def. Vereinigungsmenge
|-
| 3.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 2.), Def. Winkel
|-
| 4. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 5.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 4.), 3.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET) 

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (WS 12 13)

2013-01-19T13:15:14Z

TobiWan:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

Zum Verwenden von mathematischen Zeichen, kann man den Formeleditor öffnen (Symbol ganz links, Summenzeichen). Als Hilfestellung schon mal eine Tabelle. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:38, 10. Dez. 2012 (CET)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Zw (A,B,C)
|-
| Behauptung || koll (A,B,C)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>|AB| + |BC| = |AC|</math> || Voraussetzung, Def. Zwischenrelation
|-
| 2 <math>B \in \overline{AC} </math> || 1.)
|-
| 3 <math>A, B, C \in AC </math> || 1,) ; 2,)
|-
| 4 koll (A,B,C) || 3.); Def. koll
|}
 
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen kann, kommt mir irgendwie zu primitiv vor...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:13, 17. Jan. 2013 (CET) 
*Du hast nicht begründet, wie du auf den zweiten Schritt kommst. Wo steht denn das?
* Tipp: Schaut euch mal an, was unter Dreiecksungleichung steht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:44, 18. Jan. 2013 (CET) 
Hier fehlt noch etwas vor Schritt 2) 
Man muss hier eine Fallunterscheidung machen: 
Fall1: <math>|AB| + |BC| > |AC|\Rightarrow</math> <math>\exists</math> Dreieck ABC -> ist zu verwerfen,da Widerspruch zu 1.) 

Fall2: <math>|AB| + |BC| = |AC|\Rightarrow</math> <math>\neg \exists</math> Dreieck ABC -> ist anzunehmen, daraus folgt dann Punkt 2 
Begründung: Dreiecksungleichung, 1.) 
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 14:15, 19. Jan. 2013 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (WS 12 13)

2013-01-16T23:23:16Z

TobiWan:

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun über '''drei''' Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

Wie kann ich hier ein Bild hochladen??--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 13:10, 9. Jan. 2013 (CET) 
*Am linken Rand unter Werkzeuge - Datei hochladen, steht die Anleitung. Oder auf diesen Link klicken: http://wikis.zum.de/geowiki/Spezial:Hochladen --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:54, 10. Jan. 2013 (CET)
 

Viele Danke, Anne. http://wikis.zum.de/geowiki/images/7/7e/2013-01-09_13.05.03.jpg --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:22, 11. Jan. 2013 (CET)
*Sehr schöne und richtige Konstruktion. 
*Und wer übernimmt die Begründung?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:53, 13. Jan. 2013 (CET)

1. <math>S_g(\overline{AE}) </math> = <math>\overline{A'E}</math> 
2. <math>\left| A'E \right|</math> + <math>\left| ED \right|</math> = <math>\left| A'D \right|</math> 
3. <math>S_h(\overline{A'D}) </math> = <math>\overline{A''D}</math> 
4. <math>S_k(\overline{BC}) </math> = <math>\overline{B'C}</math> 
5. <math>\overline{A''B'} </math> = <math>\overline{A''D}</math> + <math>\overline{DC}</math> + <math>\overline{CB'}</math> 

Ich glaube bei 5. müssen jeweils noch die Betragsstriche hinzugefügt werden.
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:08, 14. Jan. 2013 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Ich glaube im Grunde ist der Ansatz nicht verkehrt, bei der Billiardtischaufgabe geht es aber denke ich Primär um Feststellung " einfallswinkel = Außfallswinkel" hier kommt es uns ja nicht auf die kürzeste Strecke an, wie bei der "Feuerwehraufgabe"--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 22:01, 16. Jan. 2013 (CET) 

So könnte man das Begründen: 
http://wikis.zum.de/geowiki/images/b/b6/Zusatzaufgabe8.2p.ws11.12.jpg 
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 00:23, 17. Jan. 2013 (CET)

Datei:Zusatzaufgabe8.2p.ws11.12.jpg

2013-01-16T23:18:56Z

TobiWan: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

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|Anmerkungen =
}}

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (WS 12 13)

2013-01-14T14:08:09Z

TobiWan:

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (WS 12 13)

2013-01-14T14:06:17Z

TobiWan:

Strecken und Halbgeraden WS 12 13

2013-01-14T13:28:50Z

TobiWan: /* Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie)
* Versucht es doch mal!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 10. Dez. 2012 (CET)
* Kann jemand helfen?--[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 15:18, 4. Jan. 2013 (CET)
*AB+ = {A,B} ∪ {P I Zw (A,B,P)} 
Achtung! Das ist so nicht ganz richtig.WEshalb?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:59, 13. Jan. 2013 (CET)

 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)

[[Category:Einführung_P]]

AB- : = {A} ∪ {P I Zw(P,A,B)}
Reicht das so?
* Ja!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:17, 7. Jan. 2013 (CET)
Und wie definiert man die Halbgerade ohne die Zwischenrelation? --[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 12:29, 7. Jan. 2013 (CET)
* Da gibt es viele Möglichkeiten. Wer kann die Frage beantworten?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:17, 7. Jan. 2013 (CET)

AB- : = {A} ∪ {P I |PA| +|AB| = |PB|}
so vielleicht?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 17:29, 13. Jan. 2013 (CET)
*Clever, du hast die Definition Zwischenrelation verwendet. Das ist richtig, aber im Endeffekt die gleiche Aussage wie oben. Es ist z.B. auch möglich über Streckenverhältnisse und Teilmengenbeziehungen den Strahl zu definieren. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:57, 13. Jan. 2013 (CET)

Ich bin mir nicht sicher, ob das so geht, aber hier mal ein anderer Versuch:

<math>AB- :</math> = { A I A <math>\in</math> g } <math>\cup</math> { P I P = A * x * <math>\vec{v}</math> ; x <math>\in</math> R+ ; P <math>\in</math> g}
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 14:28, 14. Jan. 2013 (CET)

Strecken und Halbgeraden WS 12 13

2013-01-13T16:29:21Z

TobiWan: /* Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIANh0uDwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VjbbuM2EH3ufgWh50YRJetiwM7CcV4CpN0C3u5Di6KgJNpmo4srUomcr+/wIlm+xLWTtE2A5kUWL8OZOXMOJxp9bvIMPdCKs7IYW9h2LESLpExZsRhbtZhfRNbnq0+jBS0XNK4ImpdVTsTY8mzXkuM1u/r03Ygvy0dEMrXkG6OPY2tOMk4txFcVJSlfUiq2xkndsIyRav0l/oMmgm8mtJHbYlXDKaKqYSzJ0zvG29dLdeAqY+KGPbCUVigrk7EV+OA6/PpGK8ESko2tgaNH3LHl7kzCkCdnl2XFnspCyOUb43MYQYizJwo7HTk2ulSBjmidZCxlpJDBKD9gEUKPLBXLsRX6PpikbLEEX33H0daSsqzS2ZoLmqPmF1qV0mgkE73Wb2EoXzi4ReU2NdN/U1bow4wKAahwRBq6ydeiYunWyy2/LrPN0KpkhZiSlagrBalnhmZiLQ+Asyrp76RYZNSMYcj4kib3cdnMVA6wp01/Xa/UFuVQvJiWWVmhSmYX4l6YZ6yfao30tFvlqDWOWmFsSKPdPB66aoV6xvqpVmWs0K6ZyHEbNXbaYxhHckCmESqxCz4jMQVkLVQXTNy1L1AB95tQ5YYf6zwGCvRroLOJ38rm6HKnekb3tCpopmukAGzrsuboQdaiPks5ktKE5fCqJ0xKiITrZ3BAj6Z0UdHWcU0gnTA1u1WHO8Ojy9YJ6QMHXxMBSgDxCBmLJKoAkoyt3F7YFkqJkKOSCRnNKdBEqJoo6pxWLOmyk/yOLXkmHFSb4/y2kpVWlIr2u0ndpB/mnykcUIjVksAvG5vyIGvQgH6kytoPZWpOxm3OII8qOKDiShsAfaI0NbonTHmjFZhUZOlgAOx0vHuRKzJ1AUysvQi1hJ0coOJQF6JzNMQv8zmnAjVj62IgRQN2Bwcz4Lw+A6Z+uDzNsd1IHXfh2T6Q9UlvV6u0uEhVVCd7u9lLyjwnRYoKksNRP6nsyX1MCj4iztiasirJ6K+T7xFU0W8mW7Vop6+1RWPnb/C4fhEe2NV6pp4vxmSoERn+G4j4b4bIjC7k+A4mE4gfm9xvoZEcR4Mba50uWNuCLpagmwXlXCpbF+y+TJxJIuclFPIGKoPhMQ3pc0AzTsqaSndo+8P+X7R7eR2Jlf5Z6DVcXyEsh/YmYaJLdyaxvy0EXChUCfT+PXFP6Upe0F+KrxUpuOzT9Jre/fOMhu2qN9lXb8/23haW4+Ldh8XVhY39Y8DwTHWCOSsMNDlpDDgk5mVWCzpL4I4s7spEEa513rRu2FG7Gtk1YgNtEMgfc9bQTTt1uGE8CeS3un+2+arVcoeu15quEsddwqbHCQtNQK8Q0hPo2uLyfGH0ivT1hN2T0NO8g6acFg/gW1lxhBrHpHztmHJ5akcayNuFJjc2Q0+4p6YAYcUaNGnXT9pVE/lvxtD2wgiUeOIZu5MBmNPqPPEljXz3MOWhEBI2Z8l5TI33merawX/EVNcxTD3chLw5U3HYMTX8qEw1F2t8gKn0HKbS/5l6FlN9O3SisHdd73LWeQVnt3Hvru0d6FMNvfzmIaWjdbtXAdNzWt3pi1rdYKCwlY9YP16K7qY1cm0vCI0U2MNg6IWh6+II0u0Gw3+sN53upS8+rzeN31tveiTFkFjfdwLXDcMIY9cJTZcEVRQF/S40VPkO7TByBngASEQh9t51a3oK5NPn/h0h50FOPhDkzyI+xJ7T+/MU4lAIQTAIcehhP4i6D3IfAfLT9BIf0Mubc/Ty5j3qJbRBYR/kwXlyedn/hqe+WpvP9ld/AVBLBwizfixVOwUAAOgXAABQSwECFAAUAAgACADYdLg8s34sVTsFAADoFwAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAHUFAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAOKcuTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrrbts2FP69PgWhBUWL1Y6oq43aLZK02wpkS7BkwVAMK2iJlrnIkitRvrTo/+09Nuy9+iQ7JCXbsh3VTlLn0uaPLJI6PPy+85E8ZFrPx/0QDWmSsjhqa7iua4hGXuyzKGhrGe/WGtrzZw9aAY0D2kkI6sZJn/C2ZtYNTZRn7NmDb1ppLx4hEsomZ4yO2lqXhCnVUDpIKPHTHqW8VE6yMQsZSSZHnT+px9NZhTLyKhpk0AtPMijz+v4hS4vXXdnhIGT8BRsynyYojL225tjgOvw6owlnHgnbmqWrEqOtGQuVUGSK2l6csHdxxEXzmfEulCCUsncUvtRFWWtXDrRFMy9kPiORGIz0AxohNGI+7wF6RkPYpCzogbMNy1DmvDhO/JNJymkfjV/TJBb+GALpSf5mueItBcegR1uXVfNv0gwdnlDOgZcUkTGdIRYkzC+QEr9fpftx6E+rBzGL+AEZ8CyRnJp50QmfCPvQVSL83YuCkOZlBkDeo955Jx6fSBCwqUyfTgbyE+lPJziIwzhBiRiODQ3yZ0c9ZRvh6LSVLtvoskVuQxid1uOmIVvIZ0c9ZauQRcq1fOC4GDTWi25YikSBQBFCcTr4kHQoUKuhLGL8sHiBEDjPh4rVBz9n/Q5oYD4Ipjbxddls7S6ET+ucJhENVYxEQG0WZykaimBUfUlHfOqxPryqihwSIuj6FRxQpT4NElo4rhSkAJO1+nwcLhS3dgsnhA8p+OpxmApgPFyMRSiVg0raWr8e1DXkEy5KhRRC2qegEy5jQobUFJs9bTopxFLfRXzm9TOUoXplfMhIIuGgR6CkUEBIJqD2+SFJe0fdbko5Gre1GrZAOeI5V/1T7JdxIBHgKQcJkhwI+4KxAaV+PgHyPMzRAHqUopmjQ6KYit7Mup53Z9SbGnqnvpaNlMLE3CA7dnP6FWSfAG//xsDT1WjMbYBn15tOAZ7e2Aw9L+73SeSjiPShq0OYHSRkTKwZiOgi/hDBAkkFU8aLikCZyg0sESEmminOgVaee3gPJB7RFBRtz4a5e1Wy9EtQ5TYldNiuYmqGdU2vN3Bz/q8hv4ewNRTyOrChu3MNFifeisHTt5Fqk6rpj/VhbfYYr2btWMZ8mbZgia/jar7Kwjm+lHCwodYu+by8eBQjNWsb2nHrlm6bpuXojYZj6NJjOevVHdfCuGE6puFYrms6V9HVGSAYJ6uVdbzEVFbN1FAZK6jILtaWUaWt8hJ8neKqkI9VN50VcOO6YdiNBnZMxzVtw3BMifaso3VGN7cm5/LxSMJpCnuEfPgc3qVYEB0PBAGXJm15OhxuRNrwLpGm5raJsLE8990ATVCagGkh/hyIkaaaZmgXDbUFyHc/RcboLpGB61bTarquo9uuazmOo/ZNkPVYkCUZuulaNrZN/LKG3etnp2LrQKOA9xbUMlqSSadaJlHWpwnzpqB2pEFAIsvxWDH8tTHHnw4kLw8k0kkfjR6vip1FD70te+jnHo7X9M/fsn+ndMxx7uPDt1nMn74ePTp+gvaeoP3HqkBb9prDV1rZxLobEEi1fKZ2AtD6KG/so4chf4qmwT8/OhvL4YnHhpuUJV122Zj6qmTmEUsPySn9bbFYHoWkQE63GIs6FoGdRS61PFuA4IvDjNMTDxLR6DD21EZHTsW2mokNazkPWkmFsUgF8HC8GRXGlan4+Pe/ggn08a//kHj7B+FVvBRHHzkx4nFveTFX8LIP1GzAi3l1iQQgkS+IivKKdUIDUb7uBo9Ur1xpbq1An1y8qWiunfKWUpZVHEpVgZ78LWrrcyXDi7BUJcOSmVDkda8iTpOUypO25QO/c0oH4qT1KDpNSJSKE/dyzF0cHr+QybqhQatDIwFLBaN0K2GxJWl/6ZGwnLp314+E7rYi4TPsg+YOa/Lzs1pzZaCYS4GyKtWfrD4YEGHj1M2Gg23dtjBkNk3nNkfN6pXeKq30e/t/1NZf4q2vu+CqJR6vu9uySxzs/B4PaSJi6P3e/ocdRLIu2kHAzPvvPqCd9dmxr8jOTSzet54qp0zVJWhxvu6Lr4UJt5yigGJokEUBoiCcBP1AE+LTCMDY23/4Ldafsgj5jKIOZaL4RxJ2grzJjuJwB2WwpCpGax82INS98i1e9cmbsz2ajLVpWsFSxX3NwTJE5dPJuTXtsledlTBV3sesfRtTk1c3cjugV963mJuA8+KegWNcJzgv7wc4WP8c4Hx/z8DZWFaLF83hJIijhWToQCVDL+BhiHhCxBTILaZGZwzMeudYtfbeYNXelz/gCyp/WDCEN7g6ixrkbhQkTC1fmBpUXuNclFCVbrZtc37dXzoTv9J6cnE0Lh4qCdRuZJAbhu383aGeXx2qyDM2uo3afgpXCb9/5+AvhI9xjn/NuNMM0DvHQG1JAZtdyN4yArp3joBCArWpBizrdjOwO//fo/IfpvP/GH/2P1BLBwj3i9pEKgcAAGMuAABQSwECFAAUAAgACADinLk894vaRCoHAABjLgAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAGQHAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie)
* Versucht es doch mal!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 10. Dez. 2012 (CET)
* Kann jemand helfen?--[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 15:18, 4. Jan. 2013 (CET)
*AB+ = {A,B} ∪ {P I Zw (A,B,P)}
*

 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)

[[Category:Einführung_P]]

AB- : = {A} ∪ {P I Zw(P,A,B)}
Reicht das so?
* Ja!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:17, 7. Jan. 2013 (CET)
Und wie definiert man die Halbgerade ohne die Zwischenrelation? --[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 12:29, 7. Jan. 2013 (CET)
* Da gibt es viele Möglichkeiten. Wer kann die Frage beantworten?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:17, 7. Jan. 2013 (CET)

AB- : = {A} ∪ {P I |PA| +|AB| = |PB|}
so vielleicht?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 17:29, 13. Jan. 2013 (CET)