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Bewegungen (2010)

2010-11-11T12:46:36Z

Tunichtgut: /* Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen) */

== Der Begriff der Bewegung ==
=== Die Grundideen ===
====Starrheit und Kopieren====
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===Abstraktion von den physikalischen Gegebenheiten===
Die Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken.

Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden.

Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet.

Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte.

=== Der Begriff der Bewegung ===
==== Definition ====
=====Definition 1.1: Bewegung=====
::Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die abstandserhaltend ist.

:: korrekt. wie könnte man noch formulieren? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:09, 20. Okt. 2010 (UTC)
:: Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die die Streckenlängen invariant lässt.

:: Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der die Strecken gleich lang sind.

:: Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der jede Originalstrecke gleichlang zu ihrer Bildstrecke ist.

:: Es sei <math>\phi</math> eine Abbildung der Ebene <math>\epsilon</math> auf sich selbst. <math>\phi</math> ist eine Bwegung, wenn <math>\forall A, B \in \epsilon : |AB| =|\phi(A) \phi(B)|</math> gilt.

Bemerkung: Der Begriff der Kongruenzabbildung ist synonym zum Bewegungsbegriff.

=== Eigenschaften von Bewegungen ===
===== Satz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen) =====
::Jede Bewegung ist eine Bijektion.

==== Beweis von Satz 1.1 ====
===== Vorüberlegungen =====
Es sei <math>\ \beta</math> eine Bewegung, die die Ebene <math> \epsilon</math> auf sich selbst abbildet.

Wir haben zu zeigen, dass <math>\ \beta</math> ein Bijektion ist. 
Hierzu haben wir zu zeigen, dass die Abbildung <math>\ \beta</math> 
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t surjektiv]

und

*[http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t injektiv]

ist.

===== Surjektivität =====
Die Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung auf)

===== Injektivität =====
Alle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene <math>\epsilon</math>. Wir verzichten deshalb darauf, die Zugehörigkeit der im folgenden verwendeten Punkte zu <math>\epsilon</math> explizit zu betonen. Die gestrichenen Punktbezeichnungen mögen immer das Bild des Punktes mit der entsprechenden ungestrichenen Punktbezeichnung bezüglich der Bewegung <math>\beta</math> kennzeichnen.

zu zeigen:

# Jeder Punkt <math>\ P'</math> ist das Bild von maximal einem Punkt <math>\ P</math>. oder 
# Je zwei verschiedene Originalpunkte <math>\ P</math> und <math>\ Q</math> haben nicht dasselbe Bild. oder 
# <math>P \ne Q\Rightarrow P' \ne Q'</math>

Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen.

Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)

{| class="wikitable"
|-
|Voraussetzung:|| <math>P \ne Q</math>
|-
|Behauptung:||<math> P' \ne Q'</math>
|-
|Annahme:||<math>\ P' = Q' </math>
|}

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| Der Abstand von <math>\ P'</math> zu <math>\ Q'</math> ist gleich 0.
| Annahme + Abstandsaxiom (Axiom II.1)
|-
| (II)
| Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ Q</math> ist größer als 0.
| Voraussetzung + Abstandsaxiom
|-
| (III)
| (I) und (II) widersprechen sich.
| Definition Bewegung (als Abbildung der Ebene auf sich, mit invarianten Abständen von beliebigen Punktpaaren. )--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:37, 19. Okt. 2010 (UTC)
|}

===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====
:: Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.
===== Beweis von Satz 1.2 =====
[[Lösung_von_Aufgabe_1.3_WS2010)]]

===== Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen) =====
::Die Zwischenrelation ist eine Invariante bei jeder Bewegung.

===== Beweis von Satz 1.3 =====
siehe [[Lösung_von_Aufgabe_1.2_WS2010]]

=====Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen) =====
:: Für eine jede Bewegung <math>\ \beta</math> gilt:

::{| class="wikitable"
|-
| (a) || Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.
|-
| (b) || Das Bild einer Halbgeraden <math>\ AP^+</math> ist eine Halgerade mit dem Anfagspunkt <math>\ \beta(A)</math>.
|-
| (c) || Das Bild einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Strecke <math>\overline{\beta(A)\beta(B)}</math>
|-
| (d) || Falls zwei Geraden, Strecken, Halbgeraden oder zwei verschiedene dieser Figuren einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam haben, so haben die Bildfiguren den Punkt <math>\ \beta(P)</math> gemeinsam.
|}

===== Beweis von Satz 1.4: =====
:: Die Beweise ergeben sich mehr oder weniger unmittelbar aus Satz 1.3.
::Fühlen Sie sich frei zu üben.

===== Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)=====
:: Für jede Bewegung <math>\ \beta</math> und jeden Winkel <math>\angle ASB</math> gilt:
:: <math>| \angle ASB| = | \angle \beta(A) \beta(S) \beta(B)|</math>

=====Beweis von Satz 1.5:=====

Abstandserhaltung von <math>\ \beta</math>und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.

Benutzer:Tunichtgut

2010-11-04T10:17:44Z

Tunichtgut: Die Seite wurde neu angelegt: <ggb_applet width="558" height="399" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGtVZD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VhNc9s2ED07vwLDQ2+h8UESwFRyRnUP9YxTt+M0h95AEpJQU...

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Geradenspiegelungen

2010-11-03T10:14:22Z

Tunichtgut: /* Übungsaufgabe */

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Übungsaufgabe ===
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung aneiner Geraden <math>\ g</math> 
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Wir fällen das Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt <math>\ P</math> und der Geraden <math>\ g</math>. Außerdem steht das Lot senkrecht auf <math>\ g</math> , was die Voraussetzung dafür ist, dass <math>\ g</math> später Mittelsenkrechte werden kann.
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes + Existenz und Eindeutigkeit des Schnittpunktes <math>L</math>
|-
| 2.
| Nun tragen wir die Strecke <math>\overline{PL}</math> auf der Halbgeraden <math>\ LP^-</math> ab
| Axiom vom Lineal (Eindeutigkeit des Streckenabtragens auf einem Strahl) Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten der Halbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden <math>\ g</math>
| Existenz und Eindeutigkeit des Streckenabtragens
|-
| 3.
| Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit <math>\ P'</math>
| <math>\ P'</math> ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an <math>\ g</math>. Das wird dadurch ersichtlich, dass <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> den gleichen Abstand zu <math>\ g</math> haben und <math>\ g</math> somit Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist.
| Axiom vom Lineal -geändert Tunichtgut-
|}
Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:20, 1. Nov. 2010 (UTC): Mit der Korrektheit ist hier etwas anderes gemeint ... .

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine ....

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:
(1) Für den Fall dass P <math>\in</math> <math>\ g</math>: P = P'

(2) Für den fall dass P <math>\notin</math> <math>\ g</math>: Die Gerade <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Alternativ?

Es seien eine Gerade g und zwei Punkte A, A' <math>\in</math> g. s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A, wenn gilt: s ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'[Balken drüber].

Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 15:49, 1. Nov. 2010 (UTC): 
"Balken drüber": \overline{AA'}: <math>\overline{AA'}</math> 
Handelt es sich wirklich um eine Definition des Begriffs Geradenspiegelung oder doch eher um eine Definition des Begriffs Spiegelgerade? Beide hängen natürlich eng miteinander zusammen, aber wenn Geradenspiegelung zu definieren ist ... . 
Macht es Sinn einem Punkt seine Spiegelgerade zuzuordnen ("s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A")

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:
=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.

Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:01, 1. Nov. 2010 (UTC): Auch wenn wir Umlaufsinn bisher nirgends definiert haben, wissen wir, dass jede Geradenspieglung den Umlaufsinn verändert. Kann eine Geradenspeigelung damit die Identität sein? Sie meinen nicht, dass die jweils betrachtete Geradenspiegelung die Identität ist, sondern, dass jeder Punkt der Spiegelgeraden <math>g</math> auf sich selbst abgebildet wird.

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math>\ A</math> = <math>\ A'</math>
| Definition Geradenspiegelung
|-
| 2.
| <math>\ |BL| = |B'L|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 3.
| <math>\|AL| = |A'L|</math>
| Es handelt sich um dieselbe Gerade.
|-
| 4.
| <math>\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 5.
| <math>\overline {ABL}</math> kongruent <math>\overline {A'B'L}</math>
| 2. + 3. + 4. + SWS
|-
| 6.
| <math>\ |AB| = |A'B'|</math>
| 5.
|}

=====Fall 3=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math> | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math>
|-
| 2.
| <math>\overline {AML}</math> kongruent <math>\overline {A'ML}</math>
| 1.
|-
| 3.
| <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math>
| Wechselwinkelsatz, da <math>\overline {AA'} || \overline {BB'}</math>
|-
| 4.
| <math> | \angle MAL| = | \angle MA'L |</math> --> <math> | \angle ALB| = | \angle A'LB' |</math>
| 2. + 3.
|-
| 5.
| <math> | \overline {BL}| = | \overline {B'L}|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 6.
| <math> | \overline {AL}| = | \overline {A'L}|</math>
| 2.
|-
| 7.
| <math> | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|</math>
| 4. + 5. + 6. + SWS
|-
| 8.
| <math> | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|</math>
| 7.
|}
Ergänzung: Für den Fall, das A und B nicht in der selben Halbebene bezüglich der Geraden s liegt, läuft der Beweis analog, nur dass die Winkel anderst benannt werden müssen.

Müsste es bei Fall 3 Schritt 5 nicht <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> heißen oder bezieht man hier Fall 2 mit ein, sodass der Beweis formal und logisch richtig ist? Ja <math>\overline{BB'}</math> ist korrekt, habs geändert. Vielen Dank :) --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 16:02, 30. Okt. 2010 (UTC)

Bemerkung--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:44, 1. Nov. 2010 (UTC): soweit ich sehe ist der Beweis korrekt. Fall 2 dürfte, da er bereits bewiesen wurde, verwendet werden. Vielleicht doch zwei Unterfälle: <math>A</math> und <math>B</math> in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math> und <math>A</math> und <math>B</math> in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math>?

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
==== Satz 2.2 ====
:: Zu jeder Geraden gibt es genau eine Geradenspiegelung.

Anders ausgedrückt: Eine Geradenspieglung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

====Möglicher Beweis von Satz 2.2====

1.(es gibt mindestens eine)
::
Es sei eine Gerade g und ein Punkt P nicht Є g. Ich konstruiere P´ dermaßen, dass gilt: g ist Mittelsenkrechte von |PP´|. Nach Def. ist dies eine Geradenspiegelung an g.
::Damit ist die Existenz bewiesen.
::
::
2. (es gibt höchstens eine)
::
Um zu zeigen dass es nicht mehr Geradenspiegelungen geben kann, nehme ich an, dass es mindestens zwei Geradenspiegelungen an einer Geraden gibt.
::
So konstruiere ich also P´´ so, dass g die Mittelsenkrechte von |P´P´´| ist (dies möge auf dem Bild so sein).

<ggb_applet width="247" height="280" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
::
Bleibt also z.z.: P = P´´
::
Kann ich das zeigen bin ich fertig, denn dann habe ich wieder die Identität und das "Spiegelspielchen" könnte von neuem beginnen.
Also nehme ich an: P ≠P``
::
Es möge gelten: |PP´| ∩ g = Q und |P`P``| ∩ g = R
::
Ich betrachte das Dreieck ∆P´QR:
::
Es gilt also nach Konstruktion (Ich geh einfach mal davon aus ich könnte so etwas konstruieren) bzw. Def. Spiegelung an einer Geraden: |<P´QR = <P`RQ = 90°|(Wiederspruch zum Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck)
::
Also ist P = P´´.
::Damit ist bewiesen, dass es nicht mehr als eine Spiegelung geben kann. --[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 23:23, 2. Nov. 2010 (UTC)

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.

Dieser Satz gilt, da nach Definition Geradenspiegelung die Spiegelgerade s die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline PS(P) </math> ist und diese Mittelsenkrechte exisitert und eindeutig ist. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:40, 2. Nov. 2010 (UTC)

Geradenspiegelungen

2010-10-29T09:34:35Z

Tunichtgut: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */