Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 17 18)

2018-02-12T15:23:00Z

Tutor: Alex:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

[[Kategorie:Geo_P]]

5.1b) Kontraposition: Wenn das Dreieck nicht gleichschenklig ist, dann ist es auch nicht gleichseitig. 
Vor.: Dreieck ist nicht gleichschenklig 
Behaupt.: Dreieck ist auch nicht gleichseitig 

1) Dreieck hat keine zwei gleich langen Seite (Begründung: Vor., Def. gleichschenkliges Dreieck) 
2) Wenn Dreieck keine zwei gleichlangen Seiten hat, dann hat es auch keine drei gleich langen Seiten (Begründung: 1)) 
3) Wenn es nicht gleichschenklig ist, dann ist es auch nicht gleichseitig (Begründung: 1), 2), Def. gleichseitiges Dreieck) 

Von [[Benutzer: Lea-Sophie]]

Hallo Lea-Sophie, 
deine Beweisführung ist richtig ;) 
Liebe Grüße --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:23, 12. Feb. 2018 (CET)

Lösung von Aufgabe 11.2P (WS 17/18)

2018-01-10T21:04:54Z

Tutor: Alex:

Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze. 

[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
 
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung. 

[[Kategorie:Geo_P]]

zu 1. Verkettung von S(a)oS(b)= Drehung Verkettung S(c)o S(d)=Verschiebung 
zu 2. 
zu 3. Punktspiegelung = Ersatz 
Von [[Benutzer: Shop-girl]]

Hallo shop-girl, 
du hast recht ;) 
<math>S_{a}\circ S_{b}</math> besitzt die Eigenschaft der Drehung mit gleichem Drehzentrum 
und <math>S_{c}\circ S_{d} </math> besitz die Eigenschaft einer Verschiebung. 
Nach der Hintereinanderausführung würde eine Ersatzabbildung, die Punktspiegelung <math> S_{a'}\circ S_{d'} </math>
das Resultat sein. Kannst du das begründen? 
Liebe Grüße --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:04, 10. Jan. 2018 (CET)

Lösung von Aufgabe 11.2P (WS 17/18)

2018-01-10T20:57:52Z

Tutor: Alex:

Lösung von Aufgabe 2.2 (WS 17 18)

2017-11-23T15:10:06Z

Tutor: Alex:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff. 
Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Schiefer Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

[[Kategorie:Geo_P]]
 
Viereck:
Ein n-Eck mit genau 4 Ecken ist ein Viereck

Trapez:
Ein Trapez ist ein Viereck mit ein Paar parallele Seiten

gleichschenkliges Trapez:
Ein Trapez mit einer Symmetrieachse, die nicht auf einer der Diagonalen liegt, ist ein gleichschenkliges Trapez.

Parallelogramm:
Wenn ein Trapez, ein weiteres Paar parallele Seiten hat, dann ist es ein Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein schiefer Drachen bei dem sich alle Diagonalen halbieren.

Schiefer Drache:
Ein schiefer Drache ist ein Viereck, bei min. 1 Diagonale, die andere Diagonale halbiert

Drache:
Ein Drache ist ein schiefer Drache, bei dem eine Symmetrieachse auf einer Diagonale liegt

Raute:
Wenn das Parallelogramm, 4 gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute

Rechteck:
Ein Rechteck ist eine Parallelogramm, mit einem rechten Winkel

Quadrat:
Ein Quadrat ist eine Rechteck mit 4 gleich langen Seiten
Ein Quadrat ist ein eine Raute mit einem rechten Winkel 
Von [[Benutzer: Sponki]] 
Deine Antworten sind korrekt ;) 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:10, 23. Nov. 2017 (CET)

Übung Aufgaben 2 (WS 17 18)

2017-11-23T15:03:06Z

Tutor: Alex: /* Aufgabe 2.2 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Erstellen Sie ein Haus der Vierecke.

[[Lösung von Aufgabe 2.1 (WS_17_18)]]

== Aufgabe 2.2==
Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff. 
Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Schiefer Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

[[Lösung von Aufgabe 2.2 (WS_17_18)]]

== Aufgabe 2.3==
Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

[[Lösung von Aufgabe 2.3 (WS_17_18)]]

== Aufgabe 2.4 ==
In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
# Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
# Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
# Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
# Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
[[Lösung von Aufgabe 2.4 (WS_17_18)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.1 (WS 17 18)

2017-11-05T18:37:17Z

Tutor: Alex:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
Wenn ein Dreieck zwei kongruente Innenwinkel hat, dann ist es gleichschenklig. Von [[Benutzer:Shop-girl]] 
Das ist korrekt ;) 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 18:49, 5. Nov. 2017 (CET) 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen. 
Genau dann wenn ein Dreieck zwei kongruente Innenwinkel hat, ist es gleichschenklig. Von [[Benutzer:Shop-girl]] 
Das ist auch richtig ;) 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 18:49, 5. Nov. 2017 (CET) 
[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.1 (WS 17 18)

2017-11-05T17:49:05Z

Tutor: Alex:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
Wenn ein Dreieck zwei kongruente Innenwinkel hat, dann ist es gleichschenklig. Von [[Shop-girl]] 
Das ist korrekt ;) 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 18:49, 5. Nov. 2017 (CET) 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen. 
Genau dann wenn ein Dreieck zwei kongruente Innenwinkel hat, ist es gleichschenklig. Von [[Shop-girl]] 
Das ist auch richtig ;) 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 18:49, 5. Nov. 2017 (CET) 
[[Category:Geo_P]]

Benutzer:Tutor: Alex

2017-11-02T15:11:57Z

Tutor: Alex:

Ich bin euer Online-Tutor für das WS 17/18 ;)

Anregungen

2017-06-09T21:59:28Z

Tutor: Alex:

__TOC__

=== Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel ===
[http://geometrie.zum.de/index.php?title=Anregungen&action=purge GeoGebra Applet wird nicht angezeigt?] 
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kxEhvRvA/width/800/height/650/border/888888" width="800px" height="650px" style="border:0px;"> </iframe> 
Copyright by Ryan Hirst (unverändert von [https://www.geogebra.org/material/show/id/71230 GeoGebra Material])

Sei C der äußere Punkt des Hebels, sowie Punkt A und Punkt B Schieber innerhalb der Konstruktion, wobei sich A entlang der y-Achse und B entlang der x-Achse bewegt. 
Weiterhin sei <math> \alpha </math> der Winkel, der zwischen der x-Achse und der Halbgeraden <math>BC^{+}</math> entsteht (wobei B der Scheitel ist). Dann gilt für die Koordinaten von C folgende Parameterform: 
<math>x=(p+q)\cdot cos(\alpha)</math> 
<math>y=q \cdot sin(\alpha)</math> 
Hierbei ist p die Strecke <math>\overline{AB}</math> und q die Strecke <math>\overline{BC}.</math> Nun was kann man mit diesem Gerät machen? 
Es handelt sich hier um einen Ellipsograph. Neben der ''Gärtnerkonstruktion'', kann man mit diesem Gerät eine Ellipse konstruieren. 
Durch Umformen (mittels ''Satz des Pythagoras'', <math>(sin \ \alpha)^{2}+(cos \ \alpha)^{2}=1</math>) erhalten wir: 
<math>\frac{x^{2}}{(p+q)^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 </math> 
Dies ist eine Ellipsengleichung. 
Es lassen sich noch andere, geometrische Objekte aus dem ''Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel'' definieren, bspw. eine Hypozykloide (betätige den Button ''rolling circle'').
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:59, 23. Dez. 2016 (CET)
 <hr> 
=== Zykloide ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxqe3G3x/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Eine Zykloide ist die Ortslinie/Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve beschreibt. 
Schon wie oben erwähnt und gezeigt kann man diesen Kreis nicht nur auf Geraden, sondern auch auf Kreisen selbst, innerhalb oder außerhalb abrollen lassen. 
Lässt man den Kreis außen auf einem anderen Kreis abrollen, so entsteht eine ''Epizykloide''. Rollt man den Kreis jedoch im Inneren eines Kreises ab, so entsteht eine ''Hypozykloide''. 
Verschiedene Ortskurven lassen sich bilden, wenn man in der GeoGebra Applet den Radius des abrollenden Kreises und den Radius des großen Kreises ändert.
Dabei gelten spezielle Verhältnisse um Schleifen zu bilden.
Bspw. beträgt der Radius des großen Kreises R=6 und der Radius des abrollenden Kreises r=1.5, so entstehen 4 Schleifen. Bei dem ''Trammel of Archimedes'' ist R=6 und r=3.
In meiner selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr experimentieren. 
Sei P der Punkt, der die Hypozykloide bildet, so gilt folgende Parameterform für dessen Koordinaten: 
<math>x=r\cdot (t - sin(t))</math> 
<math>y=r\cdot (1 - cos(t))</math> 
Hierbei ist r der Radius des Kreises und t der Parameter (''Wälzwinkel''). 
Möchte man eine gewissen Anzahl an n ''Schleifen'', gilt folgendes Verhältnis: 
<math>n=\frac{max(R,r)}{ggT(R,r)}</math> 
Dabei ist R der Radius des großen Kreises und r der, des abrollenden Kreises. So ist <math>max</math> das Maximum der zwei Radien und der <math>ggT</math>, größte gemeinsame Teiler beider Radien. 
Für was sind Zykloiden gut? Heutzutage nutzt man Zykloiden als Modelle in der Getriebetechnik. Dabei sollen Verzahnungen von mehreren Zahnrädern und Zahnstangen simuliert werden. 
Aber auch schon im 16. Jahrhundert nutzte man sie für erste Flächen- und Längenberechnungen oder zur Konstruktion von Ellipsen. Weiterhin konnte man Planetenbahnen in unserem Sonnensystem vereinfacht darstellen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:28, 1. Jan. 2017 (CET)

Was ein Zufall, am Samstag erst ist ein Video zu einer Anwendung von Zykloiden erschienen, als Zusammenarbeit des Youtube-Channels vSauce und Adam Savage (bekannt aus „MythBusters“): 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/skvnj67YGmw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 
Darin zeigen Sie, dass man mithilfe von Zykloiden eine Lösung zum Brachistochrone-Problem finden kann. Ein Brachistochrone ist der schnellste Weg für eine Kugel um von A nach B zu rollen,
wobei B natürlich niedriger als A liegt.
Sie lösen das Problem, indem Sie einen Kreis auf einer Geraden abrollen. Auf diese Weise erhält man ein Brachistochrone,
das zudem noch ein Tautochrone ist, ein Objekt benötigt also immer die selbe Menge an Zeit, um zum Tiefpunkt der Kurve zu gelangen.
Ganz nebenbei werden auch noch Unterarten von Zykloiden erklärt (Trochoide, Epi- und Hypozykloide).
Hier übrigens noch ein Geogebra-Applet von mir, als Demonstration wie man mit Zykloiden Ellipsen (oder verschiedene andere Figuren) konstruieren kann. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:15, 23. Jan. 2017 (CET)
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Hallo AlanTu, 
dein Beitrag zu Zykloiden, sowie deine GeoGebra-Applikation sind klasse ;) 
Ich freue mich sehr, dass diese Seite dich (euch Studenten) anregt, eine andere Sichtweise auf die Geometrie zu erhalten, nebst dem, was in den Vorlesungen, Seminaren, ... geboten wird.
Jeden Monat (bis zur vorlesungsfreien Zeit) möchte ich Euch eine andere Besonderheit der Geometrie nahebringen, die Ihr so, nur in Teilen oder vllt. nicht im Studium analysiert. 
Um jeden Beitrag und jede Erweiterung bin ich und auch die anderen Studenten dankbar. 
Weiter so! 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 02:18, 24. Jan. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Inversion am Kreis ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mtUpW9Mu/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Punkte kann man nicht nur an Geraden spiegeln. In meinem selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr einen Punkt am Kreis spiegeln. 
In der ebenen Geometrie ist die Spiegelung am Kreis eine Abbildung die nur ''winkeltreu'' ist.
Da diese Abbildung nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Geradenspiegelung keine Kongruenzabbildung. 
Bei einer Spiegelung am Kreis, mit Radius <math>r</math> , Punkt <math>P</math> und Bildpunkt <math>P'</math> , gilt stets folgende Bedingung:
<math>(\overline{OP})\cdot(\overline{OP'})=\ r^2 </math> 
Befindet sich <math>P</math> im Inneren des Kreises, so erhält man <math>P'_1</math> wie folgt:
* Konstruiere die Halbgerade <math>OP^{+}</math>
* Konstruiere die Senkrechte auf <math>OP^{+}</math>, die durch <math>P</math> geht
* Der Inversionskreis bildet mit der Senkrechten zwei Schnittpunkte, konstruiere jeweils die Tangenten am Inversionskreis durch die Schnittpunkte
* Der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit der Halbgeraden <math>OP^{+}</math> ist <math>P'_1</math> 
Liegt Punkt <math>P</math> jedoch im Äußeren des Kreises, so erhält man <math>P'_2</math> wie folgt:
* Bestimme den Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>\overline{OP}</math> und konstruiere einen Kreis <math>k</math> um <math>M</math> mit <math>r=\overline{MP}</math>
* <math>k</math> schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten, bilde deren Gerade
* Diese Gerade schneitet die Strecke <math>\overline{OP}</math>, dies ist der Spiegelpunkt <math>P'_2</math> 
Bewegt man <math>P</math> nahe an den Mittelpunkt <math>O</math> des Inversionskreises, so gelangt dessen Bildpunkt ins unendlich Ferne.
Bewegt man <math>P</math> jedoch nahe an den Rand des Inversionskreises, so liegt dessen Bildpunkt auch nahe an dem Rand des Inversionskreises. Liegt <math>P</math> auf dem Rand, so ist er ein Fixpunkt. 
Natürlich kann man nicht nur Punkte, sondern auch geometrische Objekte der ebenen Geometrie am Kreis spiegeln, so wird aber bspw. aus einer Strecke, die gespiegelt wird, eine Kurve.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 00:00, 01. Feb. 2017 (CET)

: Eine Anwendung der Spiegelung am Kreis findet sich zum Beispiel bei (katoptischen Zylinder-)[[:w:Anamorphose|Anamorphosen]], bei denen Bilder verzerrt gezeichnet werden und nur aus einem bestimmten Blickwinkel, oder im Spezialfall von katoptischen Anamorphosen nur mit Spiegel(n) oder Prisma/-en das gewünschte Bild ergeben.
: Hier ein paar Beispiele für Zylinderanamorphosen, am Beispiel des Stuhls kann man besonders gut die Verzerrung gerader Linien nachvollziehen, wenn man im aufgezeichneten Bild die Kanten betrachtet, die in der Spiegelung gerade erscheinen:
: <gallery>
: File:Salon du livre ancien et de l'estampe 2013 041.jpg
: File:Anamorphosis_chair.jpg
: File:Historisches_Museum_Basel_Anamorphosis_25102013.jpg
: </gallery>
: Diese Zylinderanamorphose ist im Gegensatz zur „normalen“ Anamorphose weniger bekannt, welche oft bei Straßenkünstlern zum Einsatz kommt, die räumliche Bilder auf den Boden malen. Aber auch ganz alltägliche „Straßenmalereien“ wie Pfeile und Symbole auf den Straßen werden in der Regel anamorph aufgebracht:
: <gallery>
: File:HK_TST_East_Hong_Kong_Museum_of_History_square_floor_picture_view_Aug-2012.JPG
: File:HK TST East Hong Kong Museum of History square view Terracotta Army Aug-2012.JPG
: File:Manfred Stader Stocznia Szczecinska 1 (Piotr Kuczynski).jpg
: File:Busandbike.jpg
: </gallery>
: Relativ bekannt sind auch die Videos von „brusspup“ zu anamorphen Bildern:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tBNHPk-Lnkk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GIvD-_ITco8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: Auch die [https://www.youtube.com/user/brusspup anderen Videos in dem Kanal] sind teils recht interessant, beispielsweise ist da auch eins dabei, das wieder einen Zusammenhang zu Zykloiden hat:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/pNe6fsaCVtI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: (die weißen Punkte beschreiben jeweils Hypozykloide, wobei der Radius des inneren „rollenden“ Kreises genau halb so groß ist, wie der Radius des äußeren Kreises)
: --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:54, 4. Feb. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Sinus und Kosinus ===

Sinus und Kosinus bilden die beiden wichtigsten ''trigonometrischen Funktionen'', vor Tangens und Sekans. Sie beschreiben periodische Abläufe, wie bspw. Wellen oder Schwingungen.
In der Geometrie werden sie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. 
<iframe scrolling="no" title="Sinus und Kosinus" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/FvuQtRKK/width/1300/height/914/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1300px" height="914px" style="border:0px;"> </iframe> 
Definiert werden sie durch das Verhältnis der Länge einer Kathete zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, sodass man aus diesem Quotienten den Winkel berechnen kann. 
<math>Sinus \ eines \ Winkel = \frac{Gegenkathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> 
So gilt speziell für den Winkel <math>\alpha</math>: 
- Die Seite ''a'' wird als Gegenkathete bezeichnet, denn sie liegt <math>\alpha</math> gegenüber
- Die Seite ''b'' wird als Ankathete bezeichnet, denn sie liegt am Winkel <math>\alpha</math>
- Die Seite ''c'' wird als Hypotenuse bezeichnet 
Also gilt: 
<math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> 
Für den Kosinus gilt: 
<math>Kosinus \ eines \ Winkel = \frac{Ankathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> , also <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> 
Möchte man die Graphen der Funktionen darstellen, so müssen wir am ''Einheitskreis'' <math>x^2 + y^2 = 1 </math> arbeiten (Somit Hypotenusenlänge = 1 und Umfang = <math>2\pi</math>).
Ein Punkt <math> P </math> mit den Koordinaten <math> (x,y) </math> auf dem Einheitskreis, läuft in Abhängigkeit der Zeit auf diesem, schließt dabei ein rechtwinkliges Dreieck ein, was wir in meinem
selbst erstellten GeoGebra Applet sehen können. Dabei beschreibt die ''rote Strecke'' , sprich Gegenkathete zu <math>\alpha</math> die <math>y</math>-Koordinate des
Punktes <math>P</math> und die ''blaue Strecke'', sprich Ankathete zu <math>\alpha</math> die <math>x</math>-Koordinate.
Somit kann man den Punkt wie folgt beschreiben <math> P \ (cos(\alpha),sin(\alpha)) </math>. Durch das ''Abtragen'' der Werte in Abhängigkeit der Zeit (besser mittels Vektoren), erhalten wir die
Graphen der Funktionen. 
Man könnte noch Kapitel füllen mit diesem Thema, bspw. auf Eigenschaften der Funktionen, den Satz des Pythagoras oder Zusammenhänge eingehen, aber das soll erstmal für einen kleinen Einblick reichen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 15:13, 7. Mai 2017 (CEST)
 <hr> 
== Lissajous Figuren ==

<iframe scrolling="no" title="Lissajous Figuren" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HQeqVudN/width/1400/height/914/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1400px" height="914px" style="border:0px;"> </iframe>

Schaut man auf ein Oszilloskop, so kann man auf diesem elektronischen Messgerät eine oder mehrere elektrische Spannungen im zeitlichen Verlauf als Kurven erkennen.
Vorzugsweise kann man periodische Verläufe sehen und die charakteristische Einzelheiten ihrer ''Form'' auf zwei trigonometrische Funktionen zurückführen. Den <math> Sinus </math> und <math> Kosinus </math>.
Überlagert man diese zwei harmonischen, rechtwinklig zueinander stehenden Schwingungen so entstehen '''Lissajous Figuren'''.
Alternativ könnte man durch ein Pendelschwingen das Bild einer Lissajous Figur erhalten. 
Folgende Funktion parametrisiert uns das Schaubild: 
<math> t \mapsto \begin{pmatrix} cos(n_1 \cdot \omega t) \\ sin(n_2 \cdot \omega t) \end{pmatrix} </math> 
Hierbei ist <math> \omega </math> die Periodendauer, <math> t </math> der Zeitpunkt, in Bezug auf den Punkt <math> P </math>, <math> n_1 </math> das Amplituden-Verhältnis für den <math> Kosinus </math> und <math> n_2 </math> das Amplituden-Verhätnis für den <math> Sinus </math>. 
Probiert in meinem selbsterstellen GeoGebra Applet verschiedene Frequenzverhältnisse und Periodendauern aus. Da ich dieselbe Periodendauer <math> \omega </math> für die x-, als auch y-Koordinate des Punktes
verwendet habe, entstehen immer periodische Formen (sprich: es gibt z.B. keine ''Geraden'' als Schaubild, sondern nur Kurven, ohne ''Knickstellen'' (nennt man Singularität)).
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:41, 9. Jun. 2017 (CEST)

[[Kategorie:Geo P]]

Anregungen

2017-06-09T20:41:05Z

Tutor: Alex:

__TOC__

=== Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel ===
[http://geometrie.zum.de/index.php?title=Anregungen&action=purge GeoGebra Applet wird nicht angezeigt?] 
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kxEhvRvA/width/800/height/650/border/888888" width="800px" height="650px" style="border:0px;"> </iframe> 
Copyright by Ryan Hirst (unverändert von [https://www.geogebra.org/material/show/id/71230 GeoGebra Material])

Sei C der äußere Punkt des Hebels, sowie Punkt A und Punkt B Schieber innerhalb der Konstruktion, wobei sich A entlang der y-Achse und B entlang der x-Achse bewegt. 
Weiterhin sei <math> \alpha </math> der Winkel, der zwischen der x-Achse und der Halbgeraden <math>BC^{+}</math> entsteht (wobei B der Scheitel ist). Dann gilt für die Koordinaten von C folgende Parameterform: 
<math>x=(p+q)\cdot cos(\alpha)</math> 
<math>y=q \cdot sin(\alpha)</math> 
Hierbei ist p die Strecke <math>\overline{AB}</math> und q die Strecke <math>\overline{BC}.</math> Nun was kann man mit diesem Gerät machen? 
Es handelt sich hier um einen Ellipsograph. Neben der ''Gärtnerkonstruktion'', kann man mit diesem Gerät eine Ellipse konstruieren. 
Durch Umformen (mittels ''Satz des Pythagoras'', <math>(sin \ \alpha)^{2}+(cos \ \alpha)^{2}=1</math>) erhalten wir: 
<math>\frac{x^{2}}{(p+q)^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 </math> 
Dies ist eine Ellipsengleichung. 
Es lassen sich noch andere, geometrische Objekte aus dem ''Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel'' definieren, bspw. eine Hypozykloide (betätige den Button ''rolling circle'').
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:59, 23. Dez. 2016 (CET)
 <hr> 
=== Zykloide ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxqe3G3x/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Eine Zykloide ist die Ortslinie/Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve beschreibt. 
Schon wie oben erwähnt und gezeigt kann man diesen Kreis nicht nur auf Geraden, sondern auch auf Kreisen selbst, innerhalb oder außerhalb abrollen lassen. 
Lässt man den Kreis außen auf einem anderen Kreis abrollen, so entsteht eine ''Epizykloide''. Rollt man den Kreis jedoch im Inneren eines Kreises ab, so entsteht eine ''Hypozykloide''. 
Verschiedene Ortskurven lassen sich bilden, wenn man in der GeoGebra Applet den Radius des abrollenden Kreises und den Radius des großen Kreises ändert.
Dabei gelten spezielle Verhältnisse um Schleifen zu bilden.
Bspw. beträgt der Radius des großen Kreises R=6 und der Radius des abrollenden Kreises r=1.5, so entstehen 4 Schleifen. Bei dem ''Trammel of Archimedes'' ist R=6 und r=3.
In meiner selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr experimentieren. 
Sei P der Punkt, der die Hypozykloide bildet, so gilt folgende Parameterform für dessen Koordinaten: 
<math>x=r\cdot (t - sin(t))</math> 
<math>y=r\cdot (1 - cos(t))</math> 
Hierbei ist r der Radius des Kreises und t der Parameter (''Wälzwinkel''). 
Möchte man eine gewissen Anzahl an n ''Schleifen'', gilt folgendes Verhältnis: 
<math>n=\frac{max(R,r)}{ggT(R,r)}</math> 
Dabei ist R der Radius des großen Kreises und r der, des abrollenden Kreises. So ist <math>max</math> das Maximum der zwei Radien und der <math>ggT</math>, größte gemeinsame Teiler beider Radien. 
Für was sind Zykloiden gut? Heutzutage nutzt man Zykloiden als Modelle in der Getriebetechnik. Dabei sollen Verzahnungen von mehreren Zahnrädern und Zahnstangen simuliert werden. 
Aber auch schon im 16. Jahrhundert nutzte man sie für erste Flächen- und Längenberechnungen oder zur Konstruktion von Ellipsen. Weiterhin konnte man Planetenbahnen in unserem Sonnensystem vereinfacht darstellen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:28, 1. Jan. 2017 (CET)

Was ein Zufall, am Samstag erst ist ein Video zu einer Anwendung von Zykloiden erschienen, als Zusammenarbeit des Youtube-Channels vSauce und Adam Savage (bekannt aus „MythBusters“): 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/skvnj67YGmw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 
Darin zeigen Sie, dass man mithilfe von Zykloiden eine Lösung zum Brachistochrone-Problem finden kann. Ein Brachistochrone ist der schnellste Weg für eine Kugel um von A nach B zu rollen,
wobei B natürlich niedriger als A liegt.
Sie lösen das Problem, indem Sie einen Kreis auf einer Geraden abrollen. Auf diese Weise erhält man ein Brachistochrone,
das zudem noch ein Tautochrone ist, ein Objekt benötigt also immer die selbe Menge an Zeit, um zum Tiefpunkt der Kurve zu gelangen.
Ganz nebenbei werden auch noch Unterarten von Zykloiden erklärt (Trochoide, Epi- und Hypozykloide).
Hier übrigens noch ein Geogebra-Applet von mir, als Demonstration wie man mit Zykloiden Ellipsen (oder verschiedene andere Figuren) konstruieren kann. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:15, 23. Jan. 2017 (CET)
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Hallo AlanTu, 
dein Beitrag zu Zykloiden, sowie deine GeoGebra-Applikation sind klasse ;) 
Ich freue mich sehr, dass diese Seite dich (euch Studenten) anregt, eine andere Sichtweise auf die Geometrie zu erhalten, nebst dem, was in den Vorlesungen, Seminaren, ... geboten wird.
Jeden Monat (bis zur vorlesungsfreien Zeit) möchte ich Euch eine andere Besonderheit der Geometrie nahebringen, die Ihr so, nur in Teilen oder vllt. nicht im Studium analysiert. 
Um jeden Beitrag und jede Erweiterung bin ich und auch die anderen Studenten dankbar. 
Weiter so! 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 02:18, 24. Jan. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Inversion am Kreis ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mtUpW9Mu/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Punkte kann man nicht nur an Geraden spiegeln. In meinem selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr einen Punkt am Kreis spiegeln. 
In der ebenen Geometrie ist die Spiegelung am Kreis eine Abbildung die nur ''winkeltreu'' ist.
Da diese Abbildung nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Geradenspiegelung keine Kongruenzabbildung. 
Bei einer Spiegelung am Kreis, mit Radius <math>r</math> , Punkt <math>P</math> und Bildpunkt <math>P'</math> , gilt stets folgende Bedingung:
<math>(\overline{OP})\cdot(\overline{OP'})=\ r^2 </math> 
Befindet sich <math>P</math> im Inneren des Kreises, so erhält man <math>P'_1</math> wie folgt:
* Konstruiere die Halbgerade <math>OP^{+}</math>
* Konstruiere die Senkrechte auf <math>OP^{+}</math>, die durch <math>P</math> geht
* Der Inversionskreis bildet mit der Senkrechten zwei Schnittpunkte, konstruiere jeweils die Tangenten am Inversionskreis durch die Schnittpunkte
* Der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit der Halbgeraden <math>OP^{+}</math> ist <math>P'_1</math> 
Liegt Punkt <math>P</math> jedoch im Äußeren des Kreises, so erhält man <math>P'_2</math> wie folgt:
* Bestimme den Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>\overline{OP}</math> und konstruiere einen Kreis <math>k</math> um <math>M</math> mit <math>r=\overline{MP}</math>
* <math>k</math> schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten, bilde deren Gerade
* Diese Gerade schneitet die Strecke <math>\overline{OP}</math>, dies ist der Spiegelpunkt <math>P'_2</math> 
Bewegt man <math>P</math> nahe an den Mittelpunkt <math>O</math> des Inversionskreises, so gelangt dessen Bildpunkt ins unendlich Ferne.
Bewegt man <math>P</math> jedoch nahe an den Rand des Inversionskreises, so liegt dessen Bildpunkt auch nahe an dem Rand des Inversionskreises. Liegt <math>P</math> auf dem Rand, so ist er ein Fixpunkt. 
Natürlich kann man nicht nur Punkte, sondern auch geometrische Objekte der ebenen Geometrie am Kreis spiegeln, so wird aber bspw. aus einer Strecke, die gespiegelt wird, eine Kurve.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 00:00, 01. Feb. 2017 (CET)

: Eine Anwendung der Spiegelung am Kreis findet sich zum Beispiel bei (katoptischen Zylinder-)[[:w:Anamorphose|Anamorphosen]], bei denen Bilder verzerrt gezeichnet werden und nur aus einem bestimmten Blickwinkel, oder im Spezialfall von katoptischen Anamorphosen nur mit Spiegel(n) oder Prisma/-en das gewünschte Bild ergeben.
: Hier ein paar Beispiele für Zylinderanamorphosen, am Beispiel des Stuhls kann man besonders gut die Verzerrung gerader Linien nachvollziehen, wenn man im aufgezeichneten Bild die Kanten betrachtet, die in der Spiegelung gerade erscheinen:
: <gallery>
: File:Salon du livre ancien et de l'estampe 2013 041.jpg
: File:Anamorphosis_chair.jpg
: File:Historisches_Museum_Basel_Anamorphosis_25102013.jpg
: </gallery>
: Diese Zylinderanamorphose ist im Gegensatz zur „normalen“ Anamorphose weniger bekannt, welche oft bei Straßenkünstlern zum Einsatz kommt, die räumliche Bilder auf den Boden malen. Aber auch ganz alltägliche „Straßenmalereien“ wie Pfeile und Symbole auf den Straßen werden in der Regel anamorph aufgebracht:
: <gallery>
: File:HK_TST_East_Hong_Kong_Museum_of_History_square_floor_picture_view_Aug-2012.JPG
: File:HK TST East Hong Kong Museum of History square view Terracotta Army Aug-2012.JPG
: File:Manfred Stader Stocznia Szczecinska 1 (Piotr Kuczynski).jpg
: File:Busandbike.jpg
: </gallery>
: Relativ bekannt sind auch die Videos von „brusspup“ zu anamorphen Bildern:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tBNHPk-Lnkk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GIvD-_ITco8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: Auch die [https://www.youtube.com/user/brusspup anderen Videos in dem Kanal] sind teils recht interessant, beispielsweise ist da auch eins dabei, das wieder einen Zusammenhang zu Zykloiden hat:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/pNe6fsaCVtI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: (die weißen Punkte beschreiben jeweils Hypozykloide, wobei der Radius des inneren „rollenden“ Kreises genau halb so groß ist, wie der Radius des äußeren Kreises)
: --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:54, 4. Feb. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Sinus und Kosinus ===

Sinus und Kosinus bilden die beiden wichtigsten ''trigonometrischen Funktionen'', vor Tangens und Sekans. Sie beschreiben periodische Abläufe, wie bspw. Wellen oder Schwingungen.
In der Geometrie werden sie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. 
<iframe scrolling="no" title="Sinus und Kosinus" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/FvuQtRKK/width/1300/height/914/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1300px" height="914px" style="border:0px;"> </iframe> 
Definiert werden sie durch das Verhältnis der Länge einer Kathete zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, sodass man aus diesem Quotienten den Winkel berechnen kann. 
<math>Sinus \ eines \ Winkel = \frac{Gegenkathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> 
So gilt speziell für den Winkel <math>\alpha</math>: 
- Die Seite ''a'' wird als Gegenkathete bezeichnet, denn sie liegt <math>\alpha</math> gegenüber
- Die Seite ''b'' wird als Ankathete bezeichnet, denn sie liegt am Winkel <math>\alpha</math>
- Die Seite ''c'' wird als Hypotenuse bezeichnet 
Also gilt: 
<math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> 
Für den Kosinus gilt: 
<math>Kosinus \ eines \ Winkel = \frac{Ankathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> , also <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> 
Möchte man die Graphen der Funktionen darstellen, so müssen wir am ''Einheitskreis'' <math>x^2 + y^2 = 1 </math> arbeiten (Somit Hypotenusenlänge = 1 und Umfang = <math>2\pi</math>).
Ein Punkt <math> P </math> mit den Koordinaten <math> (x,y) </math> auf dem Einheitskreis, läuft in Abhängigkeit der Zeit auf diesem, schließt dabei ein rechtwinkliges Dreieck ein, was wir in meinem
selbst erstellten GeoGebra Applet sehen können. Dabei beschreibt die ''rote Strecke'' , sprich Gegenkathete zu <math>\alpha</math> die <math>y</math>-Koordinate des
Punktes <math>P</math> und die ''blaue Strecke'', sprich Ankathete zu <math>\alpha</math> die <math>x</math>-Koordinate.
Somit kann man den Punkt wie folgt beschreiben <math> P \ (cos(\alpha),sin(\alpha)) </math>. Durch das ''Abtragen'' der Werte in Abhängigkeit der Zeit (besser mittels Vektoren), erhalten wir die
Graphen der Funktionen. 
Man könnte noch Kapitel füllen mit diesem Thema, bspw. auf Eigenschaften der Funktionen, den Satz des Pythagoras oder Zusammenhänge eingehen, aber das soll erstmal für einen kleinen Einblick reichen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 15:13, 7. Mai 2017 (CEST)
 <hr> 
== Lissajous Figuren ==

<iframe scrolling="no" title="Lissajous Figuren" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Z3n6m5hf/width/1400/height/874/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1400px" height="874px" style="border:0px;"> </iframe>

Schaut man auf ein Oszilloskop, so kann man auf diesem elektronischen Messgerät eine oder mehrere elektrische Spannungen im zeitlichen Verlauf als Kurven erkennen.
Vorzugsweise kann man periodische Verläufe sehen und die charakteristische Einzelheiten ihrer ''Form'' auf zwei trigonometrische Funktionen zurückführen. Den <math> Sinus </math> und <math> Kosinus </math>.
Überlagert man diese zwei harmonischen, rechtwinklig zueinander stehenden Schwingungen so entstehen '''Lissajous Figuren'''.
Alternativ könnte man durch ein Pendelschwingen das Bild einer Lissajous Figur erhalten. 
Folgende Funktion parametrisiert uns das Schaubild: 
<math> t \mapsto \begin{pmatrix} cos(n_1 \cdot \omega t) \\ sin(n_2 \cdot \omega t) \end{pmatrix} </math> 
Hierbei ist <math> \omega </math> die Periodendauer, <math> t </math> der Zeitpunkt, in Bezug auf den Punkt <math> P </math>, <math> n_1 </math> das Amplituden-Verhältnis für den <math> Kosinus </math> und <math> n_2 </math> das Amplituden-Verhätnis für den <math> Sinus </math>. 
Probiert in meinem selbsterstellen GeoGebra Applet verschiedene Frequenzverhältnisse und Periodendauern aus. Da ich dieselbe Periodendauer <math> \omega </math> für die x-, als auch y-Koordinate des Punktes
verwendet habe, entstehen immer periodische Formen (sprich: es gibt z.B. keine ''Geraden'' als Schaubild, sondern nur Kurven, ohne ''Knickstellen'' (nennt man Singularität)).
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:41, 9. Jun. 2017 (CEST)

[[Kategorie:Geo P]]

Anregungen

2017-06-09T19:51:05Z

Tutor: Alex:

__TOC__

=== Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel ===
[http://geometrie.zum.de/index.php?title=Anregungen&action=purge GeoGebra Applet wird nicht angezeigt?] 
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kxEhvRvA/width/800/height/650/border/888888" width="800px" height="650px" style="border:0px;"> </iframe> 
Copyright by Ryan Hirst (unverändert von [https://www.geogebra.org/material/show/id/71230 GeoGebra Material])

Sei C der äußere Punkt des Hebels, sowie Punkt A und Punkt B Schieber innerhalb der Konstruktion, wobei sich A entlang der y-Achse und B entlang der x-Achse bewegt. 
Weiterhin sei <math> \alpha </math> der Winkel, der zwischen der x-Achse und der Halbgeraden <math>BC^{+}</math> entsteht (wobei B der Scheitel ist). Dann gilt für die Koordinaten von C folgende Parameterform: 
<math>x=(p+q)\cdot cos(\alpha)</math> 
<math>y=q \cdot sin(\alpha)</math> 
Hierbei ist p die Strecke <math>\overline{AB}</math> und q die Strecke <math>\overline{BC}.</math> Nun was kann man mit diesem Gerät machen? 
Es handelt sich hier um einen Ellipsograph. Neben der ''Gärtnerkonstruktion'', kann man mit diesem Gerät eine Ellipse konstruieren. 
Durch Umformen (mittels ''Satz des Pythagoras'', <math>(sin \ \alpha)^{2}+(cos \ \alpha)^{2}=1</math>) erhalten wir: 
<math>\frac{x^{2}}{(p+q)^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 </math> 
Dies ist eine Ellipsengleichung. 
Es lassen sich noch andere, geometrische Objekte aus dem ''Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel'' definieren, bspw. eine Hypozykloide (betätige den Button ''rolling circle'').
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:59, 23. Dez. 2016 (CET)
 <hr> 
=== Zykloide ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxqe3G3x/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Eine Zykloide ist die Ortslinie/Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve beschreibt. 
Schon wie oben erwähnt und gezeigt kann man diesen Kreis nicht nur auf Geraden, sondern auch auf Kreisen selbst, innerhalb oder außerhalb abrollen lassen. 
Lässt man den Kreis außen auf einem anderen Kreis abrollen, so entsteht eine ''Epizykloide''. Rollt man den Kreis jedoch im Inneren eines Kreises ab, so entsteht eine ''Hypozykloide''. 
Verschiedene Ortskurven lassen sich bilden, wenn man in der GeoGebra Applet den Radius des abrollenden Kreises und den Radius des großen Kreises ändert.
Dabei gelten spezielle Verhältnisse um Schleifen zu bilden.
Bspw. beträgt der Radius des großen Kreises R=6 und der Radius des abrollenden Kreises r=1.5, so entstehen 4 Schleifen. Bei dem ''Trammel of Archimedes'' ist R=6 und r=3.
In meiner selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr experimentieren. 
Sei P der Punkt, der die Hypozykloide bildet, so gilt folgende Parameterform für dessen Koordinaten: 
<math>x=r\cdot (t - sin(t))</math> 
<math>y=r\cdot (1 - cos(t))</math> 
Hierbei ist r der Radius des Kreises und t der Parameter (''Wälzwinkel''). 
Möchte man eine gewissen Anzahl an n ''Schleifen'', gilt folgendes Verhältnis: 
<math>n=\frac{max(R,r)}{ggT(R,r)}</math> 
Dabei ist R der Radius des großen Kreises und r der, des abrollenden Kreises. So ist <math>max</math> das Maximum der zwei Radien und der <math>ggT</math>, größte gemeinsame Teiler beider Radien. 
Für was sind Zykloiden gut? Heutzutage nutzt man Zykloiden als Modelle in der Getriebetechnik. Dabei sollen Verzahnungen von mehreren Zahnrädern und Zahnstangen simuliert werden. 
Aber auch schon im 16. Jahrhundert nutzte man sie für erste Flächen- und Längenberechnungen oder zur Konstruktion von Ellipsen. Weiterhin konnte man Planetenbahnen in unserem Sonnensystem vereinfacht darstellen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:28, 1. Jan. 2017 (CET)

Was ein Zufall, am Samstag erst ist ein Video zu einer Anwendung von Zykloiden erschienen, als Zusammenarbeit des Youtube-Channels vSauce und Adam Savage (bekannt aus „MythBusters“): 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/skvnj67YGmw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 
Darin zeigen Sie, dass man mithilfe von Zykloiden eine Lösung zum Brachistochrone-Problem finden kann. Ein Brachistochrone ist der schnellste Weg für eine Kugel um von A nach B zu rollen,
wobei B natürlich niedriger als A liegt.
Sie lösen das Problem, indem Sie einen Kreis auf einer Geraden abrollen. Auf diese Weise erhält man ein Brachistochrone,
das zudem noch ein Tautochrone ist, ein Objekt benötigt also immer die selbe Menge an Zeit, um zum Tiefpunkt der Kurve zu gelangen.
Ganz nebenbei werden auch noch Unterarten von Zykloiden erklärt (Trochoide, Epi- und Hypozykloide).
Hier übrigens noch ein Geogebra-Applet von mir, als Demonstration wie man mit Zykloiden Ellipsen (oder verschiedene andere Figuren) konstruieren kann. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:15, 23. Jan. 2017 (CET)
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Hallo AlanTu, 
dein Beitrag zu Zykloiden, sowie deine GeoGebra-Applikation sind klasse ;) 
Ich freue mich sehr, dass diese Seite dich (euch Studenten) anregt, eine andere Sichtweise auf die Geometrie zu erhalten, nebst dem, was in den Vorlesungen, Seminaren, ... geboten wird.
Jeden Monat (bis zur vorlesungsfreien Zeit) möchte ich Euch eine andere Besonderheit der Geometrie nahebringen, die Ihr so, nur in Teilen oder vllt. nicht im Studium analysiert. 
Um jeden Beitrag und jede Erweiterung bin ich und auch die anderen Studenten dankbar. 
Weiter so! 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 02:18, 24. Jan. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Inversion am Kreis ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mtUpW9Mu/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Punkte kann man nicht nur an Geraden spiegeln. In meinem selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr einen Punkt am Kreis spiegeln. 
In der ebenen Geometrie ist die Spiegelung am Kreis eine Abbildung die nur ''winkeltreu'' ist.
Da diese Abbildung nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Geradenspiegelung keine Kongruenzabbildung. 
Bei einer Spiegelung am Kreis, mit Radius <math>r</math> , Punkt <math>P</math> und Bildpunkt <math>P'</math> , gilt stets folgende Bedingung:
<math>(\overline{OP})\cdot(\overline{OP'})=\ r^2 </math> 
Befindet sich <math>P</math> im Inneren des Kreises, so erhält man <math>P'_1</math> wie folgt:
* Konstruiere die Halbgerade <math>OP^{+}</math>
* Konstruiere die Senkrechte auf <math>OP^{+}</math>, die durch <math>P</math> geht
* Der Inversionskreis bildet mit der Senkrechten zwei Schnittpunkte, konstruiere jeweils die Tangenten am Inversionskreis durch die Schnittpunkte
* Der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit der Halbgeraden <math>OP^{+}</math> ist <math>P'_1</math> 
Liegt Punkt <math>P</math> jedoch im Äußeren des Kreises, so erhält man <math>P'_2</math> wie folgt:
* Bestimme den Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>\overline{OP}</math> und konstruiere einen Kreis <math>k</math> um <math>M</math> mit <math>r=\overline{MP}</math>
* <math>k</math> schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten, bilde deren Gerade
* Diese Gerade schneitet die Strecke <math>\overline{OP}</math>, dies ist der Spiegelpunkt <math>P'_2</math> 
Bewegt man <math>P</math> nahe an den Mittelpunkt <math>O</math> des Inversionskreises, so gelangt dessen Bildpunkt ins unendlich Ferne.
Bewegt man <math>P</math> jedoch nahe an den Rand des Inversionskreises, so liegt dessen Bildpunkt auch nahe an dem Rand des Inversionskreises. Liegt <math>P</math> auf dem Rand, so ist er ein Fixpunkt. 
Natürlich kann man nicht nur Punkte, sondern auch geometrische Objekte der ebenen Geometrie am Kreis spiegeln, so wird aber bspw. aus einer Strecke, die gespiegelt wird, eine Kurve.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 00:00, 01. Feb. 2017 (CET)

: Eine Anwendung der Spiegelung am Kreis findet sich zum Beispiel bei (katoptischen Zylinder-)[[:w:Anamorphose|Anamorphosen]], bei denen Bilder verzerrt gezeichnet werden und nur aus einem bestimmten Blickwinkel, oder im Spezialfall von katoptischen Anamorphosen nur mit Spiegel(n) oder Prisma/-en das gewünschte Bild ergeben.
: Hier ein paar Beispiele für Zylinderanamorphosen, am Beispiel des Stuhls kann man besonders gut die Verzerrung gerader Linien nachvollziehen, wenn man im aufgezeichneten Bild die Kanten betrachtet, die in der Spiegelung gerade erscheinen:
: <gallery>
: File:Salon du livre ancien et de l'estampe 2013 041.jpg
: File:Anamorphosis_chair.jpg
: File:Historisches_Museum_Basel_Anamorphosis_25102013.jpg
: </gallery>
: Diese Zylinderanamorphose ist im Gegensatz zur „normalen“ Anamorphose weniger bekannt, welche oft bei Straßenkünstlern zum Einsatz kommt, die räumliche Bilder auf den Boden malen. Aber auch ganz alltägliche „Straßenmalereien“ wie Pfeile und Symbole auf den Straßen werden in der Regel anamorph aufgebracht:
: <gallery>
: File:HK_TST_East_Hong_Kong_Museum_of_History_square_floor_picture_view_Aug-2012.JPG
: File:HK TST East Hong Kong Museum of History square view Terracotta Army Aug-2012.JPG
: File:Manfred Stader Stocznia Szczecinska 1 (Piotr Kuczynski).jpg
: File:Busandbike.jpg
: </gallery>
: Relativ bekannt sind auch die Videos von „brusspup“ zu anamorphen Bildern:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tBNHPk-Lnkk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GIvD-_ITco8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: Auch die [https://www.youtube.com/user/brusspup anderen Videos in dem Kanal] sind teils recht interessant, beispielsweise ist da auch eins dabei, das wieder einen Zusammenhang zu Zykloiden hat:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/pNe6fsaCVtI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: (die weißen Punkte beschreiben jeweils Hypozykloide, wobei der Radius des inneren „rollenden“ Kreises genau halb so groß ist, wie der Radius des äußeren Kreises)
: --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:54, 4. Feb. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Sinus und Kosinus ===

Sinus und Kosinus bilden die beiden wichtigsten ''trigonometrischen Funktionen'', vor Tangens und Sekans. Sie beschreiben periodische Abläufe, wie bspw. Wellen oder Schwingungen.
In der Geometrie werden sie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. 
<iframe scrolling="no" title="Sinus und Kosinus" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/FvuQtRKK/width/1300/height/914/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1300px" height="914px" style="border:0px;"> </iframe> 
Definiert werden sie durch das Verhältnis der Länge einer Kathete zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, sodass man aus diesem Quotienten den Winkel berechnen kann. 
<math>Sinus \ eines \ Winkel = \frac{Gegenkathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> 
So gilt speziell für den Winkel <math>\alpha</math>: 
- Die Seite ''a'' wird als Gegenkathete bezeichnet, denn sie liegt <math>\alpha</math> gegenüber
- Die Seite ''b'' wird als Ankathete bezeichnet, denn sie liegt am Winkel <math>\alpha</math>
- Die Seite ''c'' wird als Hypotenuse bezeichnet 
Also gilt: 
<math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> 
Für den Kosinus gilt: 
<math>Kosinus \ eines \ Winkel = \frac{Ankathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> , also <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> 
Möchte man die Graphen der Funktionen darstellen, so müssen wir am ''Einheitskreis'' <math>x^2 + y^2 = 1 </math> arbeiten (Somit Hypotenusenlänge = 1 und Umfang = <math>2\pi</math>).
Ein Punkt <math> P </math> mit den Koordinaten <math> (x,y) </math> auf dem Einheitskreis, läuft in Abhängigkeit der Zeit auf diesem, schließt dabei ein rechtwinkliges Dreieck ein, was wir in meinem
selbst erstellten GeoGebra Applet sehen können. Dabei beschreibt die ''rote Strecke'' , sprich Gegenkathete zu <math>\alpha</math> die <math>y</math>-Koordinate des
Punktes <math>P</math> und die ''blaue Strecke'', sprich Ankathete zu <math>\alpha</math> die <math>x</math>-Koordinate.
Somit kann man den Punkt wie folgt beschreiben <math> P \ (cos(\alpha),sin(\alpha)) </math>. Durch das ''Abtragen'' der Werte in Abhängigkeit der Zeit (besser mittels Vektoren), erhalten wir die
Graphen der Funktionen. 
Man könnte noch Kapitel füllen mit diesem Thema, bspw. auf Eigenschaften der Funktionen, den Satz des Pythagoras oder Zusammenhänge eingehen, aber das soll erstmal für einen kleinen Einblick reichen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 15:13, 7. Mai 2017 (CEST)
 <hr> 
== Lissajous Figuren ==

<iframe scrolling="no" title="Lissajous Figuren" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Z3n6m5hf/width/1400/height/874/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1400px" height="874px" style="border:0px;"> </iframe>

[[Kategorie:Geo P]]

Anregungen

2017-06-09T19:49:51Z

Tutor: Alex:

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=== Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel ===
[http://geometrie.zum.de/index.php?title=Anregungen&action=purge GeoGebra Applet wird nicht angezeigt?] 
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kxEhvRvA/width/800/height/650/border/888888" width="800px" height="650px" style="border:0px;"> </iframe> 
Copyright by Ryan Hirst (unverändert von [https://www.geogebra.org/material/show/id/71230 GeoGebra Material])

Sei C der äußere Punkt des Hebels, sowie Punkt A und Punkt B Schieber innerhalb der Konstruktion, wobei sich A entlang der y-Achse und B entlang der x-Achse bewegt. 
Weiterhin sei <math> \alpha </math> der Winkel, der zwischen der x-Achse und der Halbgeraden <math>BC^{+}</math> entsteht (wobei B der Scheitel ist). Dann gilt für die Koordinaten von C folgende Parameterform: 
<math>x=(p+q)\cdot cos(\alpha)</math> 
<math>y=q \cdot sin(\alpha)</math> 
Hierbei ist p die Strecke <math>\overline{AB}</math> und q die Strecke <math>\overline{BC}.</math> Nun was kann man mit diesem Gerät machen? 
Es handelt sich hier um einen Ellipsograph. Neben der ''Gärtnerkonstruktion'', kann man mit diesem Gerät eine Ellipse konstruieren. 
Durch Umformen (mittels ''Satz des Pythagoras'', <math>(sin \ \alpha)^{2}+(cos \ \alpha)^{2}=1</math>) erhalten wir: 
<math>\frac{x^{2}}{(p+q)^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 </math> 
Dies ist eine Ellipsengleichung. 
Es lassen sich noch andere, geometrische Objekte aus dem ''Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel'' definieren, bspw. eine Hypozykloide (betätige den Button ''rolling circle'').
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:59, 23. Dez. 2016 (CET)
 <hr> 
=== Zykloide ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxqe3G3x/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Eine Zykloide ist die Ortslinie/Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve beschreibt. 
Schon wie oben erwähnt und gezeigt kann man diesen Kreis nicht nur auf Geraden, sondern auch auf Kreisen selbst, innerhalb oder außerhalb abrollen lassen. 
Lässt man den Kreis außen auf einem anderen Kreis abrollen, so entsteht eine ''Epizykloide''. Rollt man den Kreis jedoch im Inneren eines Kreises ab, so entsteht eine ''Hypozykloide''. 
Verschiedene Ortskurven lassen sich bilden, wenn man in der GeoGebra Applet den Radius des abrollenden Kreises und den Radius des großen Kreises ändert.
Dabei gelten spezielle Verhältnisse um Schleifen zu bilden.
Bspw. beträgt der Radius des großen Kreises R=6 und der Radius des abrollenden Kreises r=1.5, so entstehen 4 Schleifen. Bei dem ''Trammel of Archimedes'' ist R=6 und r=3.
In meiner selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr experimentieren. 
Sei P der Punkt, der die Hypozykloide bildet, so gilt folgende Parameterform für dessen Koordinaten: 
<math>x=r\cdot (t - sin(t))</math> 
<math>y=r\cdot (1 - cos(t))</math> 
Hierbei ist r der Radius des Kreises und t der Parameter (''Wälzwinkel''). 
Möchte man eine gewissen Anzahl an n ''Schleifen'', gilt folgendes Verhältnis: 
<math>n=\frac{max(R,r)}{ggT(R,r)}</math> 
Dabei ist R der Radius des großen Kreises und r der, des abrollenden Kreises. So ist <math>max</math> das Maximum der zwei Radien und der <math>ggT</math>, größte gemeinsame Teiler beider Radien. 
Für was sind Zykloiden gut? Heutzutage nutzt man Zykloiden als Modelle in der Getriebetechnik. Dabei sollen Verzahnungen von mehreren Zahnrädern und Zahnstangen simuliert werden. 
Aber auch schon im 16. Jahrhundert nutzte man sie für erste Flächen- und Längenberechnungen oder zur Konstruktion von Ellipsen. Weiterhin konnte man Planetenbahnen in unserem Sonnensystem vereinfacht darstellen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:28, 1. Jan. 2017 (CET)

Was ein Zufall, am Samstag erst ist ein Video zu einer Anwendung von Zykloiden erschienen, als Zusammenarbeit des Youtube-Channels vSauce und Adam Savage (bekannt aus „MythBusters“): 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/skvnj67YGmw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 
Darin zeigen Sie, dass man mithilfe von Zykloiden eine Lösung zum Brachistochrone-Problem finden kann. Ein Brachistochrone ist der schnellste Weg für eine Kugel um von A nach B zu rollen,
wobei B natürlich niedriger als A liegt.
Sie lösen das Problem, indem Sie einen Kreis auf einer Geraden abrollen. Auf diese Weise erhält man ein Brachistochrone,
das zudem noch ein Tautochrone ist, ein Objekt benötigt also immer die selbe Menge an Zeit, um zum Tiefpunkt der Kurve zu gelangen.
Ganz nebenbei werden auch noch Unterarten von Zykloiden erklärt (Trochoide, Epi- und Hypozykloide).
Hier übrigens noch ein Geogebra-Applet von mir, als Demonstration wie man mit Zykloiden Ellipsen (oder verschiedene andere Figuren) konstruieren kann. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:15, 23. Jan. 2017 (CET)
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Hallo AlanTu, 
dein Beitrag zu Zykloiden, sowie deine GeoGebra-Applikation sind klasse ;) 
Ich freue mich sehr, dass diese Seite dich (euch Studenten) anregt, eine andere Sichtweise auf die Geometrie zu erhalten, nebst dem, was in den Vorlesungen, Seminaren, ... geboten wird.
Jeden Monat (bis zur vorlesungsfreien Zeit) möchte ich Euch eine andere Besonderheit der Geometrie nahebringen, die Ihr so, nur in Teilen oder vllt. nicht im Studium analysiert. 
Um jeden Beitrag und jede Erweiterung bin ich und auch die anderen Studenten dankbar. 
Weiter so! 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 02:18, 24. Jan. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Inversion am Kreis ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mtUpW9Mu/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Punkte kann man nicht nur an Geraden spiegeln. In meinem selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr einen Punkt am Kreis spiegeln. 
In der ebenen Geometrie ist die Spiegelung am Kreis eine Abbildung die nur ''winkeltreu'' ist.
Da diese Abbildung nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Geradenspiegelung keine Kongruenzabbildung. 
Bei einer Spiegelung am Kreis, mit Radius <math>r</math> , Punkt <math>P</math> und Bildpunkt <math>P'</math> , gilt stets folgende Bedingung:
<math>(\overline{OP})\cdot(\overline{OP'})=\ r^2 </math> 
Befindet sich <math>P</math> im Inneren des Kreises, so erhält man <math>P'_1</math> wie folgt:
* Konstruiere die Halbgerade <math>OP^{+}</math>
* Konstruiere die Senkrechte auf <math>OP^{+}</math>, die durch <math>P</math> geht
* Der Inversionskreis bildet mit der Senkrechten zwei Schnittpunkte, konstruiere jeweils die Tangenten am Inversionskreis durch die Schnittpunkte
* Der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit der Halbgeraden <math>OP^{+}</math> ist <math>P'_1</math> 
Liegt Punkt <math>P</math> jedoch im Äußeren des Kreises, so erhält man <math>P'_2</math> wie folgt:
* Bestimme den Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>\overline{OP}</math> und konstruiere einen Kreis <math>k</math> um <math>M</math> mit <math>r=\overline{MP}</math>
* <math>k</math> schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten, bilde deren Gerade
* Diese Gerade schneitet die Strecke <math>\overline{OP}</math>, dies ist der Spiegelpunkt <math>P'_2</math> 
Bewegt man <math>P</math> nahe an den Mittelpunkt <math>O</math> des Inversionskreises, so gelangt dessen Bildpunkt ins unendlich Ferne.
Bewegt man <math>P</math> jedoch nahe an den Rand des Inversionskreises, so liegt dessen Bildpunkt auch nahe an dem Rand des Inversionskreises. Liegt <math>P</math> auf dem Rand, so ist er ein Fixpunkt. 
Natürlich kann man nicht nur Punkte, sondern auch geometrische Objekte der ebenen Geometrie am Kreis spiegeln, so wird aber bspw. aus einer Strecke, die gespiegelt wird, eine Kurve.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 00:00, 01. Feb. 2017 (CET)

: Eine Anwendung der Spiegelung am Kreis findet sich zum Beispiel bei (katoptischen Zylinder-)[[:w:Anamorphose|Anamorphosen]], bei denen Bilder verzerrt gezeichnet werden und nur aus einem bestimmten Blickwinkel, oder im Spezialfall von katoptischen Anamorphosen nur mit Spiegel(n) oder Prisma/-en das gewünschte Bild ergeben.
: Hier ein paar Beispiele für Zylinderanamorphosen, am Beispiel des Stuhls kann man besonders gut die Verzerrung gerader Linien nachvollziehen, wenn man im aufgezeichneten Bild die Kanten betrachtet, die in der Spiegelung gerade erscheinen:
: <gallery>
: File:Salon du livre ancien et de l'estampe 2013 041.jpg
: File:Anamorphosis_chair.jpg
: File:Historisches_Museum_Basel_Anamorphosis_25102013.jpg
: </gallery>
: Diese Zylinderanamorphose ist im Gegensatz zur „normalen“ Anamorphose weniger bekannt, welche oft bei Straßenkünstlern zum Einsatz kommt, die räumliche Bilder auf den Boden malen. Aber auch ganz alltägliche „Straßenmalereien“ wie Pfeile und Symbole auf den Straßen werden in der Regel anamorph aufgebracht:
: <gallery>
: File:HK_TST_East_Hong_Kong_Museum_of_History_square_floor_picture_view_Aug-2012.JPG
: File:HK TST East Hong Kong Museum of History square view Terracotta Army Aug-2012.JPG
: File:Manfred Stader Stocznia Szczecinska 1 (Piotr Kuczynski).jpg
: File:Busandbike.jpg
: </gallery>
: Relativ bekannt sind auch die Videos von „brusspup“ zu anamorphen Bildern:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tBNHPk-Lnkk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GIvD-_ITco8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: Auch die [https://www.youtube.com/user/brusspup anderen Videos in dem Kanal] sind teils recht interessant, beispielsweise ist da auch eins dabei, das wieder einen Zusammenhang zu Zykloiden hat:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/pNe6fsaCVtI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: (die weißen Punkte beschreiben jeweils Hypozykloide, wobei der Radius des inneren „rollenden“ Kreises genau halb so groß ist, wie der Radius des äußeren Kreises)
: --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:54, 4. Feb. 2017 (CET)
 <hr> 
=== Sinus und Kosinus ===

Sinus und Kosinus bilden die beiden wichtigsten ''trigonometrischen Funktionen'', vor Tangens und Sekans. Sie beschreiben periodische Abläufe, wie bspw. Wellen oder Schwingungen.
In der Geometrie werden sie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. 
<iframe scrolling="no" title="Sinus und Kosinus" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/FvuQtRKK/width/1300/height/914/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1300px" height="914px" style="border:0px;"> </iframe> 
Definiert werden sie durch das Verhältnis der Länge einer Kathete zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, sodass man aus diesem Quotienten den Winkel berechnen kann. 
<math>Sinus \ eines \ Winkel = \frac{Gegenkathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> 
So gilt speziell für den Winkel <math>\alpha</math>: 
- Die Seite ''a'' wird als Gegenkathete bezeichnet, denn sie liegt <math>\alpha</math> gegenüber
- Die Seite ''b'' wird als Ankathete bezeichnet, denn sie liegt am Winkel <math>\alpha</math>
- Die Seite ''c'' wird als Hypotenuse bezeichnet 
Also gilt: 
<math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> 
Für den Kosinus gilt: 
<math>Kosinus \ eines \ Winkel = \frac{Ankathete \ des \ Winkels}{Hypotenuse}</math> , also <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> 
Möchte man die Graphen der Funktionen darstellen, so müssen wir am ''Einheitskreis'' <math>x^2 + y^2 = 1 </math> arbeiten (Somit Hypotenusenlänge = 1 und Umfang = <math>2\pi</math>).
Ein Punkt <math> P </math> mit den Koordinaten <math> (x,y) </math> auf dem Einheitskreis, läuft in Abhängigkeit der Zeit auf diesem, schließt dabei ein rechtwinkliges Dreieck ein, was wir in meinem
selbst erstellten GeoGebra Applet sehen können. Dabei beschreibt die ''rote Strecke'' , sprich Gegenkathete zu <math>\alpha</math> die <math>y</math>-Koordinate des
Punktes <math>P</math> und die ''blaue Strecke'', sprich Ankathete zu <math>\alpha</math> die <math>x</math>-Koordinate.
Somit kann man den Punkt wie folgt beschreiben <math> P \ (cos(\alpha),sin(\alpha)) </math>. Durch das ''Abtragen'' der Werte in Abhängigkeit der Zeit (besser mittels Vektoren), erhalten wir die
Graphen der Funktionen. 
Man könnte noch Kapitel füllen mit diesem Thema, bspw. auf Eigenschaften der Funktionen, den Satz des Pythagoras oder Zusammenhänge eingehen, aber das soll erstmal für einen kleinen Einblick reichen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 15:13, 7. Mai 2017 (CEST)
 <hr> 
== Lissajous Figuren ==

<iframe scrolling="no" title="Lissajous Figuren" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Z3n6m5hf/width/1300/height/874/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1300px" height="874px" style="border:0px;"> </iframe>

[[Kategorie:Geo P]]

Lösung von Aufgabe 4.1 (SoSe 17)

2017-06-05T16:07:10Z

Tutor: Alex:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
 

Sind die Basiswinkel kongruent, ist das Dreieck gleichschenklig. ( a und gleichzeitig b?)
[[Category:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
hier eine kleine Anmerkung zu deiner Lösung: 
Aussage A ist ''gleichschenkliges Dreieck'' und Aussage B ist ''Basiswinkel kongruent''. Ist bekannt, dass es sich um
ein gleichschenkliges Dreieck handelt, können wir von Basiswinkel im Anschluss reden. Bei deiner Formulierung der Umkehrung (aus B folgt A)
gehst du schon von Basiswinkel aus, sprich du suggerierst in der ersten Aussage schon, dass es ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Schreibe lieber ''zwei zueinander kongruente Innenwinkel''. 
Der Basiswinkelsatz sagt: 
1. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
2. Ein Dreieck mit zwei zueinander kongruente Innenwinkel ist ein gleichschenkliges Dreieck (Lösung Aufgabenteil a)) 
Wie können wir 1. und 2. zu einem Satz zusammenfassen? 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:46, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 17)

2017-06-05T15:51:46Z

Tutor: Alex:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

Parallelogramm
[[Kategorie:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
die Aufgabenstellung lautet: ''Nehmen Sie Stellung!''
Durch ein Wort, kann man leider nicht deine Stellungnahme zum gegebenen Sachkontext erkennen. Könntest du uns diese ausführlich darlegen? 
Ein kleiner Tipp: Schau dir das '''Haus der Vierecke'''([http://geometrie.zum.de/wiki/Quiz/Spiel_der_Woche_1_(SoSe_17) Quiz 1] und [http://geometrie.zum.de/wiki/Quiz/Spiel_der_Woche_5_(SoSe_17) Quiz 2]) an, dort wirst du etwas in Bezug auf Rechteck und die Antwortmöglichkeiten der Show feststellen. 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:51, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.1 (SoSe 17)

2017-06-05T15:46:58Z

Tutor: Alex:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
 

Sind die Basiswinkel kongruent, ist das Dreieck gleichschenklig. ( a und gleichzeitig b?)
[[Category:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
hier eine kleine Anmerkung zu deiner Lösung: 
Aussage A ist ''gleichschenkliges Dreieck'' und Aussage B ist ''Basiswinkel kongruent''. Ist bekannt, dass es sich um
ein gleichschenkliges Dreieck handelt, können wir von Basiswinkel im Anschluss reden. Bei deiner Formulierung gehst du
schon von Basiswinkel aus, sprich du suggerierst in der ersten Aussage schon, dass es ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Schreibe lieber ''zwei zueinander kongruente Innenwinkel''. 
Der Basiswinkelsatz sagt: 
1. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
2. Ein Dreieck mit zwei zueinander kongruente Innenwinkel ist ein gleichschenkliges Dreieck (Lösung Aufgabenteil a)) 
Wie können wir 1. und 2. zu einem Satz zusammenfassen? 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:46, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe 17)

2017-06-05T15:31:27Z

Tutor: Alex:

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreieck

Íntuitiv Real
[[Kategorie:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
ein Kommentar sollte eine kritische Anmerkung sein und nicht nur aus 2 Wörtern bestehen.
Bei dem Definitionsversuch handelt es sich nicht um eine intuitive Realdefinition. Auch hier wieder auf
die Formulierung ''Es gibt'' achten, da diese etwas anderes suggeriert. 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:31, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.4 (SoSe 17)

2017-06-05T15:27:25Z

Tutor: Alex:

Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 

Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn eine Punktsymmetrie zum Diagonalenschnittpunkt besteht.
[[Kategorie:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
deine Definition ist korrekt ;) Denn nur das Parallelogramm und seine Untermengen weisen eine Punktsymmetrie auf. 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:27, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe 17)

2017-06-05T15:23:46Z

Tutor: Alex:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

1) Real (da keine Instruktion (genetisch) und keine Wenn dann Formulierung (konventional))
2) real
3) konventional -> falls
4) real
5) konventional-> wenn dann
6) nein
7) real
8) real
9) konventional
10)real
11)genetisch
12) real
13) konventional
14) nein
15) nein
16) real
4)
[[Kategorie:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
hier ein paar Anmerkungen zu '''deinen''' Antworten: 
Antwort 1 hast du richtig, es handelt sich um eine formale Realdefinition.
Antwort 2 ist leider falsch. Es handelt sich hier um keine Definition, sondern um einen Satz (den Stufenwinkelsatz).
Antwort 3 richtig, ist eine Definition, die jedoch keinen Sinn ergibt ;P
Antwort 4 ist nicht richtig, hier auch wieder der Hinweis zur Formulierung ''Es gibt''.
Antwort 5 hast du richtig erkannt, jedoch hier aufpassen, da keine eindeutige Definition, denn ein 5-Eck hat auch vier Ecken (nur nicht '''genau''' vier).
Antwort 6 richtig.
Antwort 7 nicht richtig, ist der ''Satz des Thales''.
Antwort 8 richtig.
Antwort 9 richtig.
Antwort 10 richtig, es handelt sich um eine ''intuitive''.
Antwort 11 richtig.
Antwort 12 richtig.
Antwort 13 nicht richtig, ist eine formale Realdefinition.
Antwort 14 richtig.
Antwort 15 richtig.
Antwort 16 nicht richtig, ist eine informelle Definition, da zu viele Angaben an Informationen. 
Es wäre schön, wenn du bei deinen Antworten mit ''nein'' eine Begründung liefern könntest. 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:23, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 17)

2017-06-05T15:08:08Z

Tutor: Alex:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
# Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
# Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
# Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
# Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 

1 ist korrekt.
2 würde ich sagen prinzipiell ja, aber es wäre nicht mehr als Drachen zu bezeichnen.
3 genau so wie 2
4 falsch
[[Kategorie:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
hier ein paar Anmerkungen zu '''deinen''' Lösungen: 
Antwort 1 hast du richtig als Definition erkannt.
Antwort 2 ist falsch, da das Rechteck unberücksichtigt bleibt muss diese Definition falsch sein.
Antwort 3 ist nicht wie 2. Schau dir dazu nochmal die [http://geometrie.zum.de/wiki/Definitionen_in_der_Mathematik_SoSe_17#Was_ist_eine_Definition.3F Arten von Definitionen] an, dann wird dir etwas in Bezug auf die Satzstruktur auffallen. Die Formulierung ''Es gibt'' suggeriert etwas anderes.
Antwort 4 hast du richtig beantwortet. Begründung? 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:08, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 17)

2017-06-05T14:51:22Z

Tutor: Alex:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

Parallelogramm
[[Kategorie:Geo_P]]

Hallo Kissa052, 
die Aufgabenstellung lautet: ''Nehmen Sie Stellung!''
Durch ein Wort, kann man leider nicht deine Stellungnahme zum gegebenen Sachkontext erkennen. Könntest du uns diese ausführlich darlegen? 
Ein kleiner Tipp: Schau dir das '''Haus der Vierecke''' an, dort wirst du etwas in Bezug auf Rechteck und die Antwortmöglichkeiten der Show feststellen. 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:51, 5. Jun. 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 17)

2017-05-31T20:49:07Z

Tutor: Alex:

Geben Sie eine andere Schreibweise der folgenden Mengen an und prüfen Sie, welche Mengen identisch sind. 
<math>M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}</math> 
<math>M_2 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}+2 = 0\}</math> 
<math>M_3 = \{x\vert x\in \mathbb{Z}\wedge x+2 = 0\}</math> 
<math>M_4 = \{x\vert x\in \mathbb{Q}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math> 
<math>M_5 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math> 
<math>M_6 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge (x+2)^{2} = 0\}</math> 

[[Kategorie:Geo_P]]
Könnte man mir ein Beispiel zur anderen Schreibweise geben. Ich habe das Skript durchgearbeitet und die Videos, aber mir ist die andere Schreibweise noch nicht so klar.
Ansonsten bin ich bei der Gleichheit der Mengen zur folgenden Ansicht gekommen: M4 = M5 da bei beiden x²=2 und Q und R sich nicht ausschließen. Alles andere sind nicht gleiche Mengen, da ihr Definitionsbereich es nicht zulässt.

Hallo Kissa052, 
ich werde versuchen dir die erste Menge ausführlich zu beschreiben. Ziel dieser Übung ist es sich mit der
Mengenschreibweise auseinanderzusetzen, vertraut zu machen und einzelne Mengen untereinander zu vergleichen.
Dies machst du am besten, indem du die Elemente einer Menge beispielhaft, anhand der Vorschrift anschaust. 
<math>M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}</math> bedeutet: Die Menge <math> M_1 </math> enthält alle Elemente (alle Zahlen) <math> x </math>, für die gilt,
<math> x \in \mathbb{N} </math> , sprich es soll eine Zahl aus den natürlichen Zahlen gewählt werden '''und''' (das ist dieses Zeichen <math>\wedge</math>) die Gleichung
<math> x+2 = 0 </math> soll dabei erfüllt werden. 
Jetzt die Frage: Kennst du ein Element / Elemente der natürlichen Zahlen, die uns diese Gleichung löst? Ich denke da gibt es keins, denn <math> \mathbb{N}:=\{0,1,2,3,4,...\}</math>.
Das gesuchte Element ist <math> -2 </math> , jedoch ist <math> -2 \notin \mathbb{N} </math>. Somit gilt: <math> M_1= \empty </math> . 
Zu deiner Aussage, dass <math> M_4 = M_5 </math> (nicht richtig) folgenden Hinweis: 
Du hast schon richtig geschlossen, dass <math> x^2=2 </math> . Auch hier die Frage: Welches Element <math> x </math> , löst uns diese Gleichung?
(Wir müssen hier wurzelziehen, dann kommen wir schnell zu einem Problem in <math> \mathbb{Q} </math>). 
Nur weil hier andere ''Grundmengen'' (<math> \mathbb{N} , \mathbb{Z}, \mathbb{Q} \ und \ \mathbb{R} </math>) verwendet worden sind, schließt das nicht zwangsweise aus, dass
bspw. <math> M_3=M_6 </math> gilt. (diese Behauptung ist im Übrigen richtig ;) )
Das Wort ''Definitonsbereich'' steht im Zusammenhang mit Funktionen, was ich hier nicht verwenden würde. 
Hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Versuche es und lass uns gerne an deinen Ergebnissen teilhaben, ich würde mich freuen ;)
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:23, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

2017-05-31T16:25:18Z

Tutor: Alex:

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere:
Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden.
A: n+1
B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052, 
deine Schlussfolgerung, dass <math> A = B </math> ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben.
Schreibe für eine gerade Zahl <math> k \ : \ k=2*n </math> und für eine ungerade Zahl <math> l \ : \ l=2*n+1 </math> mit <math> n\in\mathbb{N} </math>. 
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also <math> A=\{2,4,6,...\}=\{k\vert k=2*n \ mit \ n\in\mathbb{N}\} </math>. (bei der Null können wir uns streiten ;P ) 
Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen: <math> k^2 = (2*n)^2 = 4*n^2 = 2*(2*n^2) </math>.
Es sei <math> m=2*n^2 </math> , somit gilt: <math> k^2 = 2*m </math> , wobei auch <math> m \in \mathbb{N}</math> . 
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf <math> l </math> anwenden? (geht so ähnlich wie oben) 
So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind <math> B = \{2,4,6,...\}=\{x\vert x^2 \ ist \ gerade \wedge x \in \mathbb{N}\} </math> .
Somit gilt für die Mengen <math> A=B </math> 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 17)

2017-05-31T16:19:53Z

Tutor: Alex:

Geben Sie eine andere Schreibweise der folgenden Mengen an und prüfen Sie, welche Mengen identisch sind. 
<math>M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}</math> 
<math>M_2 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}+2 = 0\}</math> 
<math>M_3 = \{x\vert x\in \mathbb{Z}\wedge x+2 = 0\}</math> 
<math>M_4 = \{x\vert x\in \mathbb{Q}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math> 
<math>M_5 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math> 
<math>M_6 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge (x+2)^{2} = 0\}</math> 

[[Kategorie:Geo_P]]
Könnte man mir ein Beispiel zur anderen Schreibweise geben. Ich habe das Skript durchgearbeitet und die Videos, aber mir ist die andere Schreibweise noch nicht so klar.
Ansonsten bin ich bei der Gleichheit der Mengen zur folgenden Ansicht gekommen: M4 = M5 da bei beiden x²=2 und Q und R sich nicht ausschließen. Alles andere sind nicht gleiche Mengen, da ihr Definitionsbereich es nicht zulässt.

Hallo Kissa052, 
ich werde versuchen dir die erste Menge ausführlich zu beschreiben. Ziel dieser Übung ist es sich mit der
Mengenschreibweise auseinanderzusetzen, vertraut zu machen und einzelne Mengen untereinander zu vergleichen.
Dies machst du am besten, indem du die Elemente einer Menge beispielhaft, anhand der Vorschrift anschaust. 
<math>M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}</math> bedeutet: Die Menge <math> M_1 </math> enthält alle Elemente (alle Zahlen) <math> x </math>, für die gilt,
<math> x \in \mathbb{N} </math> , sprich es soll eine Zahl aus den natürlichen Zahlen gewählt werden '''und''' (das ist dieses Zeichen <math>\wedge</math>) die Gleichung
<math> x+2 = 0 </math> soll dabei erfüllt werden. 
Jetzt die Frage: Kennst du ein Element / Elemente der natürlichen Zahlen, die uns diese Gleichung löst? Ich denke da gibt es keins, denn <math> \mathbb{N}:=\{0,1,2,3,4,...\}</math>.
Das gesuchte Element ist <math> -2 </math> , jedoch ist <math> -2 \notin \mathbb{N} </math>. Somit gilt: <math> M_1= \empty </math> . 
Zu deiner Aussage, dass <math> M_4 = M_5 </math> folgenden Hinweis: 
Du hast schon richtig geschlossen, dass <math> x^2=2 </math> . Auch hier die Frage: Welches Element <math> x </math> , löst uns diese Gleichung?
(Wir müssen hier wurzelziehen, dann kommen wir schnell zu einem Problem in <math> \mathbb{Q} </math>). 
Nur weil hier andere ''Grundmengen'' (<math> \mathbb{N} , \mathbb{Z}, \mathbb{Q} \ und \ \mathbb{R} </math>) verwendet worden sind, schließt das nicht zwangsweise aus, dass
bspw. <math> M_3=M_6 </math> gilt. (diese Behauptung ist im Übrigen richtig ;) )
Das Wort ''Definitonsbereich'' steht im Zusammenhang mit Funktionen, was ich hier nicht verwenden würde. 
Hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Versuche es und lass uns gerne an deinen Ergebnissen teilhaben, ich würde mich freuen ;)
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:23, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.3 (SoSe 17)

2017-05-31T16:16:56Z

Tutor: Alex:

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen. Stellen Sie die Teilmengenbeziehungen in einem Venn.Diagramm dar. 
<math>M_1:</math> Menge aller gleichschenkligen Dreiecke 
<math>M_2:</math> Menge aller gleichseitigen Dreiecke 
<math>M_3: </math> Menge aller gleichwinkligen Dreiecke 

[[Kategorie:Geo_P]]
M1 c M2 und M1 c M3 (da nicht alle Winkel und Seiten gleich sind)
M3 = M2 (da wenn alle Winkel gleich sind auch alle Seiten automatisch gleich sind)

Hallo Kissa052, 
deine Aussagen bezüglich den Winkeln und Seiten der Dreiecke ist richtig ;) 
Du hast nur das Teilmengenzeichen falsch herum gesetzt.
<math> M_2 \subset M_1 </math> (sprich: Menge <math> M_2 </math> ist eine (echte) Teilmenge von Menge <math> M_1 </math> ,
also es gibt weniger gleichseitige, als gleichschenklige Dreiecke, jedoch ist jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig, aber nicht umgekehrt)
sowie <math> M_3 \subset M_1 </math>.
Deine Aussage <math> M_3=M_2 </math> stimmt. Setzen wir alles Zusammen erhalten wir: <math> M_2 = M_3 \subset M_1 </math>. 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:34, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.4 (SoSe 17)

2017-05-31T15:50:16Z

Tutor: Alex:

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen. 
<math>S_1:</math> Menge aller Vierecke mit vier kongruenten Winkeln 
<math>S_2:</math> Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen 
<math>S_3: </math> Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel 

Ich würde sagen: S1= S2 und S1 c S 3 und S 2 c S 3

--[[Benutzer:Kissa052|Kissa052]] ([[Benutzer Diskussion:Kissa052|Diskussion]]) 12:18, 31. Mai 2017 (CEST)

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
→ → →
<div class="mw-collapsible-content">
Ich glaube, dass <math>S_1 = S_2 = S_3</math> gilt. Alles sind Definitionen für Rechtecke.

Bei <math>S_1</math> ergibt sich das ziemlich direkt, denn nach dem Innenwinkelsatz können vier kongruente Winkel in einem Viereck nur <math>\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ</math> haben.

Bei <math>S_2</math> bilden die Diagonalen mit den Seiten des Vierecks vier gleichschenklige Dreiecke, wobei jeweils zwei gegenüberliegende Dreiecke kongruent und somit alle Basiswinkel von je zwei gegenüberliegenden Dreiecken identisch sind. Nennen wir die Basiswinkel des einen gegenüberliegenden Dreieckspaars <math>\alpha</math>, die des anderen Paars <math>\beta</math>, so ergibt sich die Innenwinkelsumme <math>360^\circ=4\cdot(\alpha + \beta) \iff \alpha + \beta = 90^\circ</math>, somit sind alle Innenwikel rechtwinklig.

Bei <math>S_3</math> kann man über Stufen- und Wechselwinkelsatz zeigen, dass bei einem Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten jeweils gegenüberliegende Innenwinkel kongruent sind. Somit muss in solch einem Viereck gegenüber des gegebenen rechten Winkels noch ein rechter Winkel liegen. Da die beiden übrigen Winkel aber auch gegenüberliegend und somit gleich groß sind, teilen sich die beiden die restlichen <math>180^\circ</math> bis zur Innenwinkelsumme vo <math>360^\circ</math> auf, die die beiden rechten Winkel noch „übrig lassen“. Somit sind '''alle''' Winkel in diesem Viereck rechtwinklig.
--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 17:37, 31. Mai 2017 (CEST)
</div>
</div>

Hallo, 
oh, da war jemand schneller als ich^^ find ich gut, dass sich auch Studenten untereinander helfen ;)
Zu AlanTu's Anmerkung habe ich nichts mehr hinzuzufügen, perfekt! 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:50, 31. Mai 2017 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 1.3 (SoSe 17)

2017-05-31T15:34:47Z

Tutor: Alex:

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen. Stellen Sie die Teilmengenbeziehungen in einem Venn.Diagramm dar. 
<math>M_1:</math> Menge aller gleichschenkligen Dreiecke 
<math>M_2:</math> Menge aller gleichseitigen Dreiecke 
<math>M_3: </math> Menge aller gleichwinkligen Dreiecke 

[[Kategorie:Geo_P]]
M1 c M2 und M1 c M3 (da nicht alle Winkel und Seiten gleich sind)
M3 = M2 (da wenn alle Winkel gleich sind auch alle Seiten automatisch gleich sind)

Hallo Kissa052, 
deine Aussagen bezüglich den Winkel und Seiten der Dreiecke ist richtig ;) 
Du hast nur das Teilmengenzeichen falsch herum gesetzt.
<math> M_2 \subset M_1 </math> (sprich: Menge <math> M_2 </math> ist eine (echte) Teilmenge von Menge <math> M_1 </math> ,
also es gibt weniger gleichseitige, als gleichschenklige Dreiecke, jedoch ist jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig, aber nicht umgekehrt)
sowie <math> M_3 \subset M_1 </math>.
Deine Aussage <math> M_3=M_2 </math> stimmt. Setzen wir alles Zusammen erhalten wir: <math> M_2 = M_3 \subset M_1 </math>. 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:34, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 17)

2017-05-31T15:23:14Z

Tutor: Alex:

Geben Sie eine andere Schreibweise der folgenden Mengen an und prüfen Sie, welche Mengen identisch sind. 
<math>M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}</math> 
<math>M_2 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}+2 = 0\}</math> 
<math>M_3 = \{x\vert x\in \mathbb{Z}\wedge x+2 = 0\}</math> 
<math>M_4 = \{x\vert x\in \mathbb{Q}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math> 
<math>M_5 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math> 
<math>M_6 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge (x+2)^{2} = 0\}</math> 

[[Kategorie:Geo_P]]
Könnte man mir ein Beispiel zur anderen Schreibweise geben. Ich habe das Skript durchgearbeitet und die Videos, aber mir ist die andere Schreibweise noch nicht so klar.
Ansonsten bin ich bei der Gleichheit der Mengen zur folgenden Ansicht gekommen: M4 = M5 da bei beiden x²=2 und Q und R sich nicht ausschließen. Alles andere sind nicht gleiche Mengen, da ihr Definitionsbereich es nicht zulässt.

Hallo Kissa052, 
ich werde versuchen dir die erste Menge ausführlich zu beschreiben. Ziel dieser Übung ist es sich mit der
Mengenschreibweise auseinanderzusetzen, vertraut zu machen und einzelne Mengen untereinander zu vergleichen.
Dies machst du am besten, indem du die Elemente einer Menge beispielhaft, anhand der Vorschrift anschaust. 
<math>M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}</math> bedeutet: Die Menge <math> M_1 </math> enthält alle Elemente (alle Zahlen) <math> x </math>, für die gilt,
<math> x \in \mathbb{N} </math> , sprich es soll eine Zahl aus den natürlichen Zahlen gewählt werden '''und''' (das ist dieses Zeichen <math>\wedge</math>) die Gleichung
<math> x+2 = 0 </math> soll dabei erfüllt werden. 
Jetzt die Frage: Kennst du ein Element / Elemente der natürlichen Zahlen, die uns diese Gleichung löst? Ich denke da gibt es keins, denn <math> \mathbb{N}:=\{0,1,2,3,4,...\}</math>.
Das gesuchte Element ist <math> -2 </math> , jedoch ist <math> -2 \notin \mathbb{N} </math>. Somit gilt: <math> M_1= \empty </math> . 
Zu deiner Aussage, dass <math> M_4 = M_5 </math> folgenden Hinweis: 
Du hast schon richtig geschlossen, dass <math> x^2=2 </math> . Auch hier die Frage: Welches Element <math> x </math> , löst uns diese Gleichung?
(Wir müssen hier wurzelziehen, dann kommen wir schnell auf ein Problem in <math> \mathbb{Q} </math>). 
Nur weil hier andere ''Grundmengen'' (<math> \mathbb{N} , \mathbb{Z}, \mathbb{Q} \ und \ \mathbb{R} </math>) verwendet worden sind, schließt das nicht zwangsweise aus, dass
bspw. <math> M_3=M_6 </math> gilt. (diese Behauptung ist im Übrigen richtig ;) )
Das Wort ''Definitonsbereich'' steht im Zusammenhang mit Funktionen, was ich hier nicht verwenden würde. 
Hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Versuche es und lass uns gerne an deinen Ergebnissen teilhaben, ich würde mich freuen ;)
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:23, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

2017-05-31T15:13:27Z

Tutor: Alex:

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere:
Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden.
A: n+1
B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052, 
deine Schlussfolgerung, dass <math> A = B </math> ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben.
Schreibe für eine gerade Zahl <math> k \ : \ k=2*n </math> und für eine ungerade Zahl <math> l \ : \ l=2*n+1 </math> mit <math> n\in\mathbb{N} </math>. 
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also <math> A=\{2,4,6,...\}=\{k\vert k=2*n \ mit \ n\in\mathbb{N}\} </math>. (bei der Null können wir uns streiten ;P ) 
Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen: <math> k^2 = (2*n)^2 = 4*n^2 = 2*(2*n^2) </math>.
Es sei <math> m=2*n^2 </math> , somit gilt: <math> k^2 = 2*m </math> , wobei auch <math> m \in \mathbb{N}</math> . 
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf <math> l </math> anwenden? (geht so ähnlich wie oben) 
So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind <math> B = \{2,4,6,...\}=\{x\vert x^2 \ ist \ gerade \wedge x \in \mathbb{N}\}=\{x\vert x^2=2*n \ mit \ n \in \mathbb{N} \} </math> .
Somit gilt für die Mengen <math> A=B </math> 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

2017-05-31T14:49:03Z

Tutor: Alex:

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere:
Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden.
A: n+1
B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052, 
deine Schlussfolgerung, dass <math> A = B </math> ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben.
Schreibe für eine gerade Zahl <math> k \ : \ k=2*n </math> und für eine ungerade Zahl <math> l \ : \ l=2*n+1 </math> mit <math> n\in\mathbb{N} </math>. 
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also <math> A=\{2,4,6,...\}=\{k\vert k=2*n \ mit \ n\in\mathbb{N}\} </math>. (bei der Null können wir uns streiten ;P ) 
Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen: <math> k^2 = (2*n)^2 = 4*n^2 = 2*(2*n^2) </math>.
Es sei <math> m=2*n^2 </math> , somit gilt: <math> k^2 = 2*m </math> , wobei auch <math> m \in \mathbb{N}</math> . 
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf <math> l </math> anwenden? (geht so ähnlich wie oben) 
So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind <math> B = \{2,4,6,...\}=\{x \in \mathbb{N} \vert x^2 \ ist \ gerade \}=\{x\vert x^2=2*n \ mit \ n \in \mathbb{N} \} </math> .
Somit gilt für die Mengen <math> A=B </math> 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

2017-05-31T14:46:21Z

Tutor: Alex:

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere:
Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden.
A: n+1
B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052, 
deine Schlussfolgerung, dass <math> A = B </math> ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben.
Schreibe für eine gerade Zahl <math> k \ : \ k=2*n </math> und für eine ungerade Zahl <math> l \ : \ l=2*n+1 </math> mit <math> n\in\mathbb{N} </math>. 
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also <math> A=\{2,4,6,...\}=\{k\vert k=2*n \ mit \ n\in\mathbb{N}\} </math>. (bei der Null können wir uns streiten ;P ) 
Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen: <math> k^2 = (2*n)^2 = 4*n^2 = 2*(2*n^2) </math>.
Es sei <math> m=2*n^2 </math> , somit gilt: <math> k^2 = 2*m </math> , wobei auch <math> m \in \mathbb{N}</math> . 
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf <math> l </math> anwenden? (geht so ähnlich wie oben) 
So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind <math> B = \{2,4,6,...\}=\{x \in \mathbb{N} \vert x^2 \ ist \ gerade \} </math> .
Somit gilt für die Mengen <math> A=B </math> , da für deren Elemente <math> k=x </math> gilt. 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

2017-05-31T14:43:20Z

Tutor: Alex:

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere:
Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden.
A: n+1
B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052, 
deine Schlussfolgerung, dass <math> A = B </math> ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben.
Schreibe für eine gerade Zahl <math> k \ : \ k=2*n </math> und für eine ungerade Zahl <math> l \ : \ l=2*n+1 </math> mit <math> n\in\mathbb{N} </math>. 
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also <math> A=\{2,4,6,...\}=\{k\vert k=2*n \ mit \ n\in\mathbb{N}\} </math>. (bei der Null können wir uns streiten ;P ) 
Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen: <math> k^2 = (2*n)^2 = 4*n^2 = 2*(2*n^2) </math>.
Es sei <math> m=2*n^2 </math> , somit gilt: <math> k^2 = 2*m </math> , wobei auch <math> m \in \mathbb{N}</math> . 
Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf <math> l </math> anwenden? (geht so ähnlich wie oben) 
So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind <math> B = \{2,4,6,...\}=\{x\vert x^2 \ ist \ gerade \ und \ x \in \mathbb{N} \} </math> .
Somit gilt für die Mengen <math> A=B </math> , da für deren Elemente <math> k=x </math> gilt. 
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)

Benutzer:Jaschkamc

2017-05-30T23:06:30Z

Tutor: Alex:

[[Datei:20170530 144716.jpg|miniatur]]

Wie Groß ist der Flächeninhalt des Quadrates <math>Q_\text{ges}</math> ohne die Löcher?

Diese Frage stellte ich meinem 21 Monate alten Sohn. Er soll ja wissen womit er spielt.

<math>A_\text{ges}= Q-(Tr+Ra+Kr)</math>

<math>Q= Quadrat</math>

<math>a</math> = Seitenlänge

<math>Tr= Trapez</math>

<math>a</math> und <math>c</math>= zueinander parallele Seiten

<math>h</math>= rechtwinklig zu <math>a</math> und <math>c</math>

<math>Ra= Raute</math>

<math>d_1</math> und <math>d_2</math>= Diagonalen

<math>Kr= Kreis</math>

<math>r</math>= Radius

<math>A_\text{ges}= a^2 - ((1/2*(a+c)*h) + (1/2*d_1*d_2) + (\pi*r^2))</math>

Hallo Jaschkamc, 
das ist ein tolles Spiel um Kindern Geometrie näher zu bringen, sehr schön ;)
Bestimmt hast du in der Didaktik der Mathematik das ''van Hiele'' Modell kennengelernt. Dein Spielwürfel würde hier die Niveaustufe 0 ''Räumlich-anschauungsgebundenes Denken (Visualization)'' darstellen.
Sprich geometrische Objekte als einprägsames Ganzes, als Phänomen wahrnehmen und andere demnach beispielhaft zuordnen. 
Deine Formeln und Anmerkungen sind korrekt. Hast du vllt. für uns Längen, mit denen wir rechnen können? 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 21:59, 30. Mai 2017 (CEST)

Benutzer:Jaschkamc

2017-05-30T20:05:08Z

Tutor: Alex:

[[Datei:20170530 144716.jpg|miniatur]]

Wie Groß ist der Flächeninhalt des Quadrates <math>Q_\text{ges}</math> ohne die Löcher?

Diese Frage stellte ich meinem 21 Monate alten Sohn. Er soll ja wissen womit er spielt.

<math>A_\text{ges}= Q-(Tr+Ra+Kr)</math>

<math>Q= Quadrat</math>

<math>a</math> = Seitenlänge

<math>Tr= Trapez</math>

<math>a</math>und <math>c</math>= zueinander parallele Seiten

<math>h</math>= rechtwinklig zu <math>a</math> und <math>c</math>

<math>Ra= Raute</math>

<math>d1</math> und <math>d2</math>= Diagonalen

<math>Kr= Kreis</math>

<math>r</math>= Radius

<math>A_\text{ges}= a^2 - ((1/2*(a+c)*h) + (1/2*d1*d2) + (\pi*r^2)</math>

Hallo Jaschkamc, 
das ist ein tolles Spiel um Kindern Geometrie näher zu bringen, sehr schön ;)
Bestimmt hast du in der Didaktik der Mathematik das ''van Hiele'' Modell kennengelernt. Dein Spielwürfel würde hier die Niveaustufe 0 ''Räumlich-anschauungsgebundenes Denken (Visualization)'' darstellen.
Sprich geometrische Objekte als einprägsames Ganzes, als Phänomen wahrnehmen und andere demnach beispielhaft zuordnen. 
Deine Formeln und Anmerkungen sind korrekt. Hast du vllt. für uns Längen, mit denen wir rechnen können? 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 21:59, 30. Mai 2017 (CEST)

Benutzer:Jaschkamc

2017-05-30T19:59:41Z

Tutor: Alex:

[[Datei:20170530 144716.jpg|miniatur]]

Wie Groß ist der Flächeninhalt des Quadrates <math>Qges</math> ohne die Löcher?

Diese Frage stellte ich meinem 21 Monate alten Sohn. Er soll ja wissen womit er spielt.

<math>A_ges= Q-(Tr+Ra+Kr)</math>

<math>Q= Quadrat</math>

<math>a</math> = Seitenlänge

<math>Tr= Trapez</math>

<math>a</math>und <math>c</math>= zueinander parallele Seiten

<math>h</math>= rechtwinklig zu <math>a</math> und <math>c</math>

<math>Ra= Raute</math>

<math>d1</math> und <math>d2</math>= Diagonalen

<math>Kr= Kreis</math>

<math>r</math>= Radius

<math>A_ges= a^2 - ((1/2*(a+c)*h) + (1/2*d1*d2) + (\pi*r^2)</math>

Hallo Jaschkamc, 
das ist ein tolles Spiel um Kindern Geometrie näher zu bringen, sehr schön ;)
Bestimmt hast du in der Didaktik der Mathematik das ''van Hiele'' Modell kennengelernt. Dein Spielwürfel würde hier die Niveaustufe 0 ''Räumlich-anschauungsgebundenes Denken (Visualization)'' darstellen.
Sprich geometrische Objekte als einprägsames Ganzes, als Phänomen wahrnehmen und andere demnach beispielhaft zuordnen. 
Deine Formeln und Anmerkungen sind korrekt. Hast du vllt. für uns Längen, mit denen wir rechnen können? 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 21:59, 30. Mai 2017 (CEST)

Benutzer:Paterminator

2017-05-16T21:31:59Z

Tutor: Alex:

[[Datei:Wolkendreieck.jpg#filelinks|200px]]

[[Datei:Formel flächeninhalt dreieck.png|formel]] 

[[Datei:Formel Umfang.png|Umfang]]

Manchmal, wenn ich mal wieder gemütlich auf der Neckarwiese sitze, beobachte ich den Himmel.
Statt mir dann Chemtrail- Verschwörungstheorien auszudenken, überlege ich mir lieber, welche Figuren ich zwischen den Kondensstreifen der Flugzeuge erkennen kann.
Auf meinem Bild kann man näherungsweise (die Geraden bzw. Kondensstreifen sind natürlich nicht vollständig gerade) ein Dreieck entdecken.
Durch die Formeln oben kann man den Flächeninhalt (A) oder den Umfang (U) eines solchen Dreieckes berechnen.

Hallo Paterminator,
als ich das Wort Chemtrail- Verschwörungstheorie in deinen Zeilen gelesen hatte, musste ich anfangen zu lachen. ;P
Auf YouTube gibt's ja einen ''bekannten'' Song dazu und auch die Aufmachung eines bekannten Comedian ist echt lustig. 
Hier ein paar Anmerkungen zu deinem Beitrag:
Deine Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und Umfangs eines Dreiecks sind richtig.
Speziell auf dein Bild bezogen, was würdest du als <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> bzw. <math>g</math> und <math>h</math> wählen? (vllt. kannst du dein Bild bearbeiten und diese einzeichnen)
Um näherungsweise die Längen der Seiten zu bestimmen kann man sich mittels seinem Daumen und dem 2. Strahlensatz helfen. Deine Arm-, sowie Daumlänge
sind bekannt, die Entfernung zu den Kondensstreifen müssten wir schätzen. Bringen wir den Daumen deckungsgleich, mit einem Auge angepeilt, mit der Kondensstreifenlänge,
können wir ''Pi-mal-Daumen'' die Seitenlänge bestimmen. 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 19:53, 16. Mai 2017 (CEST)

Hey Alex, hoffe dir gefällt meine künstlerische Meisterleistung ;)
Es freut mich, dass ich dich zum Lachen bringen konnte, vielleicht verlinkst du mir mal den Chemtrail Song? :D 

[[Datei:Wolkendreieck neu.jpg|bearbeitet|200px]]

Hey Paterminator,
sehr gute Arbeit, ja das ist eine künstlerische Meisterleistung ;) 
Hier eine Kleinigkeit für dich ;P Ich distanziere mich in jeglicher Form von diesem Song (mein Geschmack ist das nicht)^^ 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/am7H2_14HxY" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 23:29, 16. Mai 2017 (CEST)

Benutzer:Paterminator

2017-05-16T21:29:33Z

Tutor: Alex:

[[Datei:Wolkendreieck.jpg#filelinks|200px]]

[[Datei:Formel flächeninhalt dreieck.png|formel]] 

[[Datei:Formel Umfang.png|Umfang]]

Manchmal, wenn ich mal wieder gemütlich auf der Neckarwiese sitze, beobachte ich den Himmel.
Statt mir dann Chemtrail- Verschwörungstheorien auszudenken, überlege ich mir lieber, welche Figuren ich zwischen den Kondensstreifen der Flugzeuge erkennen kann.
Auf meinem Bild kann man näherungsweise (die Geraden bzw. Kondensstreifen sind natürlich nicht vollständig gerade) ein Dreieck entdecken.
Durch die Formeln oben kann man den Flächeninhalt (A) oder den Umfang (U) eines solchen Dreieckes berechnen.

Hallo Paterminator,
als ich das Wort Chemtrail- Verschwörungstheorie in deinen Zeilen gelesen hatte, musste ich anfangen zu lachen. ;P
Auf YouTube gibt's ja einen ''bekannten'' Song dazu und auch die Aufmachung eines bekannten Comedian ist echt lustig. 
Hier ein paar Anmerkungen zu deinem Beitrag:
Deine Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und Umfangs eines Dreiecks sind richtig.
Speziell auf dein Bild bezogen, was würdest du als <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> bzw. <math>g</math> und <math>h</math> wählen? (vllt. kannst du dein Bild bearbeiten und diese einzeichnen)
Um näherungsweise die Längen der Seiten zu bestimmen kann man sich mittels seinem Daumen und dem 2. Strahlensatz helfen. Deine Arm-, sowie Daumlänge
sind bekannt, die Entfernung zu den Kondensstreifen müssten wir schätzen. Bringen wir den Daumen deckungsgleich, mit einem Auge angepeilt, mit der Kondensstreifenlänge,
können wir ''Pi-mal-Daumen'' die Seitenlänge bestimmen. 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 19:53, 16. Mai 2017 (CEST)

Hey Alex, hoffe dir gefällt meine künstlerische Meisterleistung ;)
Es freut mich, dass ich dich zum Lachen bringen konnte, vielleicht verlinkst du mir mal den Chemtrail Song? :D 

[[Datei:Wolkendreieck neu.jpg|bearbeitet|200px]]

Hey Paterminator,
sehr gute Arbeit, ja das ist eine künstlerische Meisterleistung ;) 
Hier eine Kleinigkeit für dich ;P 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/am7H2_14HxY" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 
Lieber Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 23:29, 16. Mai 2017 (CEST)

Benutzer:Paterminator

2017-05-16T17:53:29Z

Tutor: Alex:

Diskussion:Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

2017-05-16T17:38:23Z

Tutor: Alex:

Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

2017-05-16T11:41:42Z

Tutor: Alex: /* Halbgruppe */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Beispiele für Gruppen=
==endliche Gruppen==

===Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks===
{| class="wikitable"
|-
! !! id!! <math>D_{180}</math>!! <math>S_h</math>!! <math>S_v</math>
|-
| <math>id</math> || <math>id</math> || <math>D_{180}</math>|| <math>S_h</math> || <math>S_v</math>
|-
| <math>D_{180}</math>|| <math>D_{180}</math> || <math>id</math> || <math>S_v</math> || <math>S_h</math>
|-
| <math>S_h</math> || <math>S_h</math> || <math>S_v</math> || <math>id</math> || <math>D_{180}</math>
|-
| <math>S_v</math> || <math>S_v</math> || <math>S_h</math> || <math>D_{180}</math>|| <math>id</math>
|}
===Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute===

==unendliche Gruppen==
=== Gebrochene Zahlen: <math>[\mathbb{Q}^+, \cdot ]</math> ===
=== Ganze Zahlen: <math>[\mathbb{Z}, +]</math> ===

=Gegenbeispiele für Gruppen=

=Gruppendefinitionen=
==Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)==
'''Definition 1a: (Gruppe Langfassung)'''
-----
Es sei <math>G</math> eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math>. 
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur <math>\mathbb{G}:=[G, \odot ]</math> Gruppe: 
# <math>\odot</math> ist auf <math>G</math> abgeschlossen: <math>\forall a,b \in G: a \odot b \in G</math>
# <math>\odot</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert in <math>G</math> ein ("universelles") Einslement <math>e</math>: <math>\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a </math>.
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert zu jedem <math>a</math> aus <math>G</math> ein ("persönliches") inverses Element <math>a^{-1}</math>: <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e</math>.

==Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)==
'''Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung)'''
-----
Es sei <math>G</math> eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math>. 
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur <math>\mathbb{G}:=[G, \odot ]</math> Gruppe: 
# <math>\odot</math> ist auf <math>G</math> abgeschlossen: <math>\forall a,b \in G: a \odot b \in G</math>
# <math>\odot</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert in <math>G</math> ein ("universelles") Einslement <math>e</math>: <math>\exist e \in G \forall a \in G: e \odot a= a </math>.
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert zu jedem <math>a</math> aus <math>G</math> ein ("persönliches") inverses Element <math>a^{-1}</math>: <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a^{-1} \odot a = e</math>.

==Ordnung einer Gruppe==
'''Definition 2: (Gruppenordnung)'''
-----
: Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. 
Kurzschreibweise: Wenn <math>n</math> die Ordnung der Gruppe <math>G</math> ist: <math>|G|=n</math>

==Ordnung einer Gruppenelements==
'''Definition 3: (Ordung eines Gruppenelements)'''
-----
Es sei <math>[G,\odot]</math> eine Gruppe mit dem Einselement <math>e</math> und <math>g\in G</math>. Die kleinste natürliche Zahl <math>n</math> mit <math>n>0</math>, für die gilt <math>g^n=e</math> heißt Ordnung von <math>g</math>. 
Kurzschreibweise: <math>|g|=n</math>

==Halbgruppe==
'''Definition 4: (Halbgruppe)'''
-----
:Eine Menge <math>H</math> auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math> definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn <math>\odot</math> abgeschlossen auf <math>H</math> und assoziativ ist.
 
Bemerkung: Tutor Alex wies darauf hin, dass die Menge <math>H</math> auch die leere Menge sein darf. Er hat recht. Ich habe das geändert.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 16:43, 14. Mai 2017 (CEST)
(Bitte dazu in die Diskussion schauen! (Update))

==Monoid==
'''Definition 5: (Monoid)'''
-----
:Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid.

== Das Linkseinslement ist auch Rechtseinselement==
Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement <math>e</math> sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement <math>a</math> multipliziert eben dieses Element <math>a</math> das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird.
Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente. 
Es gilt der Satz: 

====Satz 1====
:Wenn in einer Halbgruppe ein linksseitiges Einselement und zu jedem Element der Halbgruppe ein linksseitiges inverses Element existiert, so sind dieses Linkseinselement und diese Linksinversen gleichzeitig Rechtseinselement und Rechtsinverse. 
====Beweis von Satz 1====
Übungsaufgabe, Hinweise
# Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers
# Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse <math>g^{-1}</math> eines beliebigen Elementes <math>g</math> von rechts mit <math>g</math>:<math>g \odot g^{-1}</math>
# Ersetzen Sie <math>g</math> durch <math>e \odot g</math>
# Ersetzen Sie <math>e</math> durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von <math>g</math> mit dem Linksinversen von <math>g</math>: <math>(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}</math>.
# Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität...

'''Beweis:'''
------
Es sei <math>g^{-1}</math> das Linksinverse von <math>g</math>. 

Wir muliplizieren <math>g^{-1}</math> von rechts mit <math>g</math>: 
(I) <math>g \cdot g^{-1}</math> 
(II) <math>g \cdot g^{-1}= e \cdot g \cdot g^{-1}</math> 
Wissen: Auch <math>g^{-1}</math> hat ein Linksinverses: <math>(g^{-1})^{-1}</math> 
Ersetzen <math>e</math> durch <math>(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}</math> 

(III) <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1} \cdot g \cdot g^{-1}</math> 
(IV) geschicktes Klammern: <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot g^{-1}</math> 
(V) Klammer berechnen:<math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot e \cdot g^{-1}</math> 
(VI) Mit <math>e</math> multiplizieren ist geschenkt ... <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}</math> 
(VII) <math>(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}</math> bedeutet, das Linksinverse vom Linksinversen von <math>g</math> mieinander multiplizieren. 
(VII) also <math>(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}=e</math> 
(IX) und damit <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}=e</math> 
(X) oder einfach: <math>g \cdot g^{-1}=e</math> und damit: Das Linksinverse <math>g^{-1}</math> von <math>g</math> ist auch sein Rechtsinverses 

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Diskussion:Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

2017-05-16T11:38:39Z

Tutor: Alex:

Benutzerin:Sina1234

2017-05-16T11:27:39Z

Tutor: Alex:

[[Datei:Abu Dhabi.jpg||350px]] 

Volumen Zyliner <math> V_{Z} = \pi \ast r^{2} </math>
 
Volumen Rechteck <math>V_{R} = a \ast b \ast h</math> 

 
--[[Benutzer:Sina1234|Sina1234]] ([[Benutzer Diskussion:Sina1234|Diskussion]]) 10:00, 26. Apr. 2017 (CEST)

Hallo Sina1234,
Urlaub in der Hauptstadt Abu Dhabi würde ich auch gern mal machen. Da ist doch auch einer der höchsten/längsten Aufzüge der Welt ;) 
Hier ein paar Anmerkungen zu deinem Beitrag:
Eine erste Modellierung der Wolkenkratzer durch einen Zylinder oder ein Rechteckt ist super. Würden wir jetzt den ''Modellierungskreislauf'' fortsetzen,
bräuchten wir noch eine mathematische Lösung, die wir dann noch auf die Realsituation validieren müssen. Kannst du das Volumen ungefähr abschätzen,
oder hast du einige Daten, mit denen wir rechnen können?
Deine Formeln für die geometrischen Körper sind korrekt, du müsstest uns nur sagen, was du mit <math>r</math>, <math>a</math>, <math>b</math> und <math>h</math> meinst. 
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 13:27, 16. Mai 2017 (CEST)

Definitionen in der Mathematik SoSe 17

2017-05-14T18:29:42Z

Tutor: Alex:

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

 
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*eine Ellipse ist ein gequetschter Kreis
*eine Ellipse ist ein ovaler Kreis
*eine Ellipse ist ein gestauchter oder gestreckter Kreis
*eine Ellipse ist eine abgerundete Raute
*eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (entwickelt in der Vorlesung am 8.5.17--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:17, 8. Mai 2017 (CEST))
*eine Ellipse ist das, was bei dem [http://geometrie.zum.de/wiki/Anregungen#Trammel_of_Archimedes_.2F_Ellipsenzirkel Ellipsenzirkel] entsteht (Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 20:12, 14. Mai 2017 (CEST))
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====
Gegeben seien zwei Punkte F1 und F2. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass |F1P|+|F2P| = const. und F1, F2 und P in ein und derselben Ebene liegen. Ist F1 = F2, so entsteht ein Kreis. (Bemerkung: Sehr gut [[Benutzer:Mrs.lieschen|Mrs.lieschen]])
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

[[Category:Geo_P]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 17

2017-05-14T18:28:59Z

Tutor: Alex:

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

 
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*eine Ellipse ist ein gequetschter Kreis
*eine Ellipse ist ein ovaler Kreis
*eine Ellipse ist ein gestauchter oder gestreckter Kreis
*eine Ellipse ist eine abgerundete Raute
*eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (entwickelt in der Vorlesung am 8.5.17--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:17, 8. Mai 2017 (CEST))
*eine Ellipse ist das, was bei dem [http://geometrie.zum.de/wiki/Anregungen#Trammel_of_Archimedes_.2F_Ellipsenzirkel Ellipsenzirkel] entsteht (Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 20:12, 14. Mai 2017 (CEST))
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====
Gegeben seien zwei Punkte F1 und F2.Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass |F1P|+|F2P| = const. und F1, F2 und P in ein und derselben Ebene liegen. Ist F1 = F2, so entsteht ein Kreis. (Bemerkung: Sehr gut [[Benutzer:Mrs.lieschen|Mrs.lieschen]])
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

[[Category:Geo_P]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 17

2017-05-14T18:22:11Z

Tutor: Alex:

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

 
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*eine Ellipse ist ein gequetschter Kreis
*eine Ellipse ist ein ovaler Kreis
*eine Ellipse ist ein gestauchter oder gestreckter Kreis
*eine Ellipse ist eine abgerundete Raute
*eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (entwickelt in der Vorlesung am 8.5.17--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:17, 8. Mai 2017 (CEST))
*eine Ellipse ist das, was bei dem [http://geometrie.zum.de/wiki/Anregungen#Trammel_of_Archimedes_.2F_Ellipsenzirkel Ellipsenzirkel] entsteht (Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 20:12, 14. Mai 2017 (CEST))
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====
Gegeben seien zwei Punkte F1 und F2.Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass |F1P|+|F2P| = const. und F1, F2 und P in ein und derselben Ebene liegen. Ist F1 = F2, so entsteht ein Kreis. (Bemerkung: Sehr gut Mrs.lieschen)
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

[[Category:Geo_P]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 17

2017-05-14T18:12:23Z

Tutor: Alex:

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

 
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*eine Ellipse ist ein gequetschter Kreis
*eine Ellipse ist ein ovaler Kreis
*eine Ellipse ist ein gestauchter oder gestreckter Kreis
*eine Ellipse ist eine abgerundete Raute
*eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (entwickelt in der Vorlesung am 8.5.17--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:17, 8. Mai 2017 (CEST))
*eine Ellipse ist das, was bei dem [http://geometrie.zum.de/wiki/Anregungen#Trammel_of_Archimedes_.2F_Ellipsenzirkel Ellipsenzirkel] entsteht (Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 20:12, 14. Mai 2017 (CEST))
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====
Gegeben seien zwei Punkte F1 und F2. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass |F1P|+|F2P| = const. und F1, F2 und P in ein und derselben Ebene liegen.
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

[[Category:Geo_P]]

Diskussion:Untergruppen SoSe 2017

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Tutor: Alex:

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