Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Hauptseite

2014-07-31T18:38:03Z

Tutorin Anne: /* Hinweise */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
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<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Sommersemester 2014 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.April

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
Ich wünsche euch eine erfolgreiche Klausur und eine schöne vorlesungsfreie Sommerzeit.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:38, 31. Jul. 2014 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
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| Mo.|| 12-14 Uhr || A108 ||M. Schulte

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A206 ||M. Schulte

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| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||S. Wachter

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Sommersemester 2014!
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />

{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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| Freitag || 10 - 12 ||H001 ||Gieding/Spannagel
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====Übungen====

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====Tutorium/Übung====

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
* Habe das Wiki gerade für das neue Semester zurückgesetzt.

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|Freitag || 12 - 14 h ||Computerraum|| Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. Seit dem Sommersemester 2014 gilt sie als Modul-3-Veranstaltung auch für die neue Prüfungsordnung.<br />
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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====Vorlesung====
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|-
| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
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| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
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[[zum-wiki:Hauptseite]]

Lösung von Zusatzaufgabe 3.1P (SoSe 14)

2014-07-30T11:38:58Z

Tutorin Anne:

Geben Sie eine exakte Realdefinition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden.<br />

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel genau in der Mitte teilt.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:29, 15. Mai 2014 (CEST)
in der Mitte teilt ist umgangssprachlich. Das ist also informell.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 17:01, 15. Mai 2014 (CEST)<br />

Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels läuft und das Innere des Winkels in zwei deckungsgleiche (kongruente) Teile teilt.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:53, 24. Jun. 2014 (CEST)<br />

Hier ist ebenfalls nicht klar, wo die Halbgerade beginnt und "Teile" ist ungenau. Besser ist es von entstehenden Winkeln zu sprechen, als von Teilen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:49, 25. Jun. 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Kann man sagen, dass die Halbgerade den Innenwinkel in zwei Halbebenen teilt?<br />

Das ist zu ungenau Picksel. Zudem ist der Innenwinkel ja keine Ebene, die in Halbebenen geteilt werden kann. Es ist sinnvoll, das Winkelmaß der entstehenden Winkel zu nennen, da dies ja gleich ist. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:38, 30. Jul. 2014 (CEST)

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2014-07-28T11:20:34Z

Tutorin Anne: /* Hinweise */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
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<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Sommersemester 2014 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.April

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
Es wundert mich schon ein bisschen, dass Ihr so ruhig geworden seid. Warum? Bevorzugt ihr Übungen und Lerngruppen?<br />
Ihr könnt hier schon auch noch Fragen etc. einstellen, ich schaue mir das dann an.
Ansonsten wünsche ich euch weiterhin eine gute Klausurvorbereitung und am Freitag eine erfolgreiche Klausur.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:19, 28. Jul. 2014 (CEST)

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====Vorlesung====
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|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Mo.|| 12-14 Uhr || A108 ||M. Schulte

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||S. Wachter

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Sommersemester 2014!
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

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====Vorlesung====
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====Übungen====

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====Tutorium/Übung====

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
* Habe das Wiki gerade für das neue Semester zurückgesetzt.

==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|Freitag || 12 - 14 h ||Computerraum|| Gieding
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====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. Seit dem Sommersemester 2014 gilt sie als Modul-3-Veranstaltung auch für die neue Prüfungsordnung.<br />
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*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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====Vorlesung====
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====Übung====
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| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
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beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2014-07-28T11:19:09Z

Tutorin Anne: /* Hinweise */

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'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

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{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
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<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Sommersemester 2014 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.April

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
Es wundert mich schon ein bisschen, dass Ihr so ruhig geworden seid. Warum? Bevorzugt ihr Übungen und Lerngruppen?<br />
Ich wünsche euch eine gute Klausurvorbereitung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:19, 28. Jul. 2014 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
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|-

| Mo.|| 12-14 Uhr || A108 ||M. Schulte

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||S. Wachter

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Sommersemester 2014!
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />

{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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| Freitag || 10 - 12 ||H001 ||Gieding/Spannagel
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====Übungen====

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====Tutorium/Übung====

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
* Habe das Wiki gerade für das neue Semester zurückgesetzt.

==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|-
|Freitag || 12 - 14 h ||Computerraum|| Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. Seit dem Sommersemester 2014 gilt sie als Modul-3-Veranstaltung auch für die neue Prüfungsordnung.<br />
|}
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

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====Vorlesung====
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| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2014-07-14T09:16:54Z

Tutorin Anne: /* Hinweise */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

-----
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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Sommersemester 2014 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.April

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
Ich habe auf den Lösungsseiten zur Übungsreihe 11 Tabellen eingefügt, die ihr verwenden könnt, um den Beweis ordentlich ins Wiki einzufügen. Sie warten nur so auf eure Lösungsvorschläge (Signatur unter ''Erweitert'' nicht vergessen)!!<br />
Ich wünsche euch eine gute Klausurvorbereitung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 11:16, 14. Jul. 2014 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
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|-

| Mo.|| 12-14 Uhr || A108 ||M. Schulte

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||S. Wachter

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Sommersemester 2014!
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />

{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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|-
| Freitag || 10 - 12 ||H001 ||Gieding/Spannagel
|}

====Übungen====

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|-
| || || ||
|-
| || || ||
|}

====Tutorium/Übung====

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|-
| || || ||
|-
| || || ||

|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
|}
</div>
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
* Habe das Wiki gerade für das neue Semester zurückgesetzt.

==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|-
|Freitag || 12 - 14 h ||Computerraum|| Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. Seit dem Sommersemester 2014 gilt sie als Modul-3-Veranstaltung auch für die neue Prüfungsordnung.<br />
|}
</div>
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

==Newsticker==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

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====Vorlesung====
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| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
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|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 14)

2014-07-14T09:13:13Z

Tutorin Anne:

Beweisen Sie Satz IX.1:<br />
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''.<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]
Die Tabelle - damit der Beweis übersichtlich ist - kann gefüllt werden. Muss aber nicht verwendet werden!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 11:13, 14. Jul. 2014 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (V. hier eintragen)
|-
| Behauptung || (Beh. hier eintragen)
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Schritt 1 hier)|| (Begründung 1)
|-
| 2 || (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 || (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 || (Schritt) || (Begründung)
|}
<br />

Lösung von Aufgabe 11.4P (SoSe 14)

2014-07-14T09:11:34Z

Tutorin Anne:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>.<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]

Die Tabelle kann vielleicht helfen, dass es ordentlicher aussieht:--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 11:11, 14. Jul. 2014 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (V. hier eintragen)
|-
| Behauptung || (Beh. hier eintragen)
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Schritt 1 hier)|| (Begründung 1)
|-
| 2 || (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 || (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 || (Schritt) || (Begründung)
|}
<br />

Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 14)

2014-07-14T09:10:45Z

Tutorin Anne:

Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]
Die Tabelle kann, muss aber nicht, genutzt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 11:10, 14. Jul. 2014 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (V. hier eintragen)
|-
| Behauptung || (Beh. hier eintragen)
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Schritt 1 hier)|| (Begründung 1)
|-
| 2 || (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 || (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 || (Schritt) || (Begründung)
|}
<br />

Lösung von Zusatzaufgabe 11.1P (SoSe 14)

2014-07-14T09:09:33Z

Tutorin Anne:

#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
[[Kategorie:Einführung_P]]

Für Teil 2 hier schon mal eine Tabelle, falls sie jemand benötigt. Sonst einfach löschen:--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 11:09, 14. Jul. 2014 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (V. hier eintragen)
|-
| Behauptung || (Beh. hier eintragen)
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Schritt 1 hier)|| (Begründung 1)
|-
| 2 || (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 || (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 || (Schritt) || (Begründung)
|}
<br />

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 14)

2014-07-14T09:07:13Z

Tutorin Anne:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz.<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]

Hier mal mein Versuch:

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander
|AC| = |BC| --> |α| = |β|

Beweisschritt Begründung

1) |AC| = |BC| Vor.

2) g ist Mittelsenkrechte der Strecke AB,
C liegt auf g und G liegt auf g ''mit G als Schnittpunkt von g und Strecke AB'' 1); Mittelsenkrechtenkriterium

3) Sg(A)=B 2); Def. Geradenspiegelung

4) Sg(C)=C ''Sg(G)=G'' 2);Def. Fixpunkt ''genaugenommen steht das in der Def. Geradenspiegelung, nicht in der Definition für Fixpunkt, es ist lediglich ein Fixpunkt''

5) <CAG = α und <CBG= β 2);Def. Winkel

6) Sg(α) = β |α| = |β| 3);4);5); Def. Winkeltreue ''und Winkelmaßerhaltung'' der Geradenspiegelung --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 11:48, 8. Jul. 2014 (CEST)<br />

Was meinst ihr? Steckt ein guter Plan dahinter. Könnt ihr alle Schritte nachvollziehen? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:32, 11. Jul. 2014 (CEST)

Im Schritt 3 können wir auch am Punkt G spiegeln? G ist doch Schnittpunkt von der Gerade g und der Stecke AB. Dann wäre es Punktspiegelung. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 17:55, 13. Jul. 2014 (CEST)<br />
''Der Beweis ist korrekt. Ja, man könnte auch eine Punktspiegelung nutzen, was aber nicht besser ist. Von der Formulierung und wenn man es genauer nimmt, würde ich das in kursiv geschrieben hinzufügen.''--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 11:07, 14. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 14)

2014-07-14T08:48:03Z

Tutorin Anne:

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]

Wenn die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.

|α| = |β| --> |AC| = |BC| --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 10:25, 9. Jul. 2014 (CEST)<br />

Die Umkehrung beinhaltet sozusagen eine Falle. So ist die Umkehrung nicht korrekt. Wer findet den Fehler und kann ein anderen Vorschlag machen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:33, 11. Jul. 2014 (CEST)

Wenn in einem Dreieck (genau?) zwei Winkel kongruent zu einander sind, dann nennt man diese Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks.<br />

Das Problem ist hier schon erkannt, es muss zunächst von kongruenten Winkeln im Allgemeinen gesprochen werden. Allerdings ist die Wenn- Dann Formulierung falsch. Es klingt so wie eine Konventionaldefinition für Basiswinkel.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:04, 13. Jul. 2014 (CEST)

Wenn in einem Dreieck zwei Winkel kongruent zu einander sind, dann ist dieses Dreieck gleichschenklig.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:11, 13. Jul. 2014 (CEST)<br />
top!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 10:48, 14. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 14)

2014-07-14T08:47:37Z

Tutorin Anne:

Definieren Sie den Begriff "Gleichschenkliges Dreieck". Definieren Sie außerdem die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks.
<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, das zwei gleich lange Seiten hat. Diese zwei gleich langen Seiten nennt man Schenkel. Die dritte Seite des Dreiecks nennt man Basis. Die Innenwinkel der Basis nennt man Basiswinkel. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 11:33, 8. Jul. 2014 (CEST)<br />

Gut! Lediglich kannst du nicht von den Innenwinkel der Basis sprechen, sondern musst dies genauer umschreiben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:29, 11. Jul. 2014 (CEST)

Zwei an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 16:49, 13. Jul. 2014 (CEST)<br />

Gut! oder: Die Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks, die die Basis enthalten, nennt man Basiswinkel.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 10:47, 14. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 14)

2014-07-13T07:04:21Z

Tutorin Anne:

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 14)

2014-07-11T17:35:55Z

Tutorin Anne:

Beweisen Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]

Wenn die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
|α| = |β| --> |AC| = |BC|

{| class="wikitable"
|-
! Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) g ist Mittelsenkrechte der Strecke AB,C liegt auf g und G liegt auf g || Mittelsenkrechtenkriterium

|-
| 2) Strecke AG = Strecke GB || 1); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 3) Sg(A)=B || 2)
|-
| 4) Sg(C)=C || 1); Def. Fixpunkt
|-
| 5) Winkelmaß α = Winkelmaß β || Vor.
|-
| 6) <CAG = < CBG || 5)
|-
| 7) Strecke AC = Strecke BC || 3);4);6)
|}

(Ich habe keine Ahnung ob das so stimmt)<br />

Schritt 1) ist schon nicht korrekt, da du ja nicht wissen kannst, ob C auf der Mittelsenkrechten liegt, da du sonst die Behauptung für das Mittelsenkrechtenkriterium nutzt. Damit fällt die Beweisführung und ich brauche weiter nicht schauen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:35, 11. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 14)

2014-07-11T17:35:31Z

Tutorin Anne:

Beweisen Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.<br />
[[Kategorie:Einführung_P]]

Wenn die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
|α| = |β| --> |AC| = |BC|

{| class="wikitable"
|-
! Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) g ist Mittelsenkrechte der Strecke AB,C liegt auf g und G liegt auf g || Mittelsenkrechtenkriterium

|-
| 2) Strecke AG = Strecke GB || 1); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 3) Sg(A)=B || 2)
|-
| 4) Sg(C)=C || 1); Def. Fixpunkt
|-
| 5) Winkelmaß α = Winkelmaß β || Vor.
|-
| 6) <CAG = < CBG || 5)
|-
| 7) Strecke AC = Strecke BC || 3);4);6)
|}

(Ich habe keine Ahnung ob das so stimmt)
Schritt 1) ist schon nicht korrekt, da du ja nicht wissen kannst, ob C auf der Mittelsenkrechten liegt, da du sonst die Behauptung für das Mittelsenkrechtenkriterium nutzt. Damit fällt die Beweisführung und ich brauche weiter nicht schauen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:35, 11. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 14)

2014-07-11T17:33:21Z

Tutorin Anne:

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 14)

2014-07-11T17:32:05Z

Tutorin Anne:

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 14)

2014-07-11T17:29:11Z

Tutorin Anne:

Lösung von Zusatzaufgabe 10.1 (SoSe 14)

2014-07-11T17:25:42Z

Tutorin Anne:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema:
#Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Raute unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.<br />

[[Kategorie:Einführung_P]]

1. Wenn ein Viereck durch eine Geradenspiegleung auf sich selbst abgebildet wird, dann ist das Viereck achsensymmetrisch.

2. Ein Drache ist ein Viereck, mit einer Symmetrieachse, die auf einer der Diagonalen liegt.

3. Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Symmetrieachsen, die auf den Diagonalen liegen. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 15:33, 9. Jul. 2014 (CEST)

<br />
Super!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:25, 11. Jul. 2014 (CEST)

Benutzer:Tutorin Anne

2014-07-11T17:24:07Z

Tutorin Anne: /* Sommersemester 2014 */

= Sommersemester 2014 =
Weil ich mein Staatsexamen schon hinter mir habe, grüße ich euch dieses Semester aus Kamerun. Wasser, Strom und Internet fallen hier regelmäßig aus, so dass es passieren könnte, dass ich mal ein paar Tage nicht auf die Wikiseite komme.
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 23:50, 5. Mai 2014 (CEST)
Ich bin wieder in Deutschland... schon seit längerem...--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:24, 11. Jul. 2014 (CEST)
==Newsticker==
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|}

= Mandala ganz einfach selbst gemacht!=

<ggb_applet width="581" height="494" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

= Wo sich überall Mathematik verbirgt?! =
Die Idee kam so<br />

<ggb_applet width="916" height="657" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
=Anleitung: Mein erster Beitrag im Wiki=
Nach dem ihr euch mit einem Fantasienamen angemeldet habt, könnt ihr Beiträge einfügen. Dabei kann man zunächst etwas Reinschreiben und das geht so:<br />

[[Datei: Wiki_Anleitung1.PNG ]]<br /><br />

Die meisten Symbole sind ja selbsterklärend. Die Wichtigsten sind:<br />

[[Datei: Wiki_Anleitung2.PNG]]<br /><br />

Nicht vergessen! Vor dem Speichern selbst das Layout mittels "Vorschau" überprüfen. Oft fehlen z.B. Zeilenumbrüche.

[[Datei: Wiki_Anleitung3.PNG]]<br /><br />

Am Rand findet ihr zur Orientierung die wichtigsten Dinge:<br /><br />

[[Datei: Wiki_Anleitung4.PNG ]]<br /><br />
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:13, 16. Apr. 2013 (CEST)

= Tabelle als Vorlage =

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (V. hier eintragen)
|-
| Behauptung || (Beh. hier eintragen)
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Schritt 1 hier)|| (Begründung 1)
|-
| 2 || (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 || (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 || (Schritt) || (Begründung)
|}
<br />

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || ...
|-
| Behauptung || ....
|-
| Annahme || ...
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||...)|| ...
|-
| 2 || ... || ...
|-
| 3 || ... || ...
|-
| 4 || ... || ...
|-
| ... || ... || ...
|-
| ... || ... || ...
|}
<br />
= Beweis: Parallelentreue der Geradenspiegelung Z9.1 SS2013 =
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a II b, <math>S_g (a) = a'</math> und <math>S_g (b)=b'</math>
|-
| Behauptung || a' II b'
|-
| Annahme || a' <s>II</s> b'
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>a' \cap b' </math> = {S'} || ...
|-
| 2 || <math>S = S_g (S')</math> || ...
|-
| 3 || <math>S \in a</math> und <math>S \in b</math> || ...
|-
| 4 || <math>a \cap b </math> = {S} || ...
|-
| 5 || a' II b' || ...
|-
| 6 || Widerspruch zur Voraussetzung || ...
|}
<br />

=WS12/13 Beweis zum Rechteck=
Satz: Ein Rechteck hat 2 Symmetrieachsen.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Rechteck <math> \overline{ABCD}</math>
|-
| Behauptung || <math> \overline{ABCD}</math> hat zwei Symmetrieachsen
|}
<br />
'''Vorüberlegung:''' Es muss gezeicht werden, dass das Rechteck bei der Spiegelung an<math> m_{AB}</math> und <math>m_{BC}</math> jeweils wieder auf sich abgebildet wird.<br />
<ggb_applet width="329" height="285" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />

==Beweisführung==

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || m ist Mittelsenkrechte von <math> \overline{AB}</math> und n ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BC}</math>|| Vor.; Def. Mittelsenkrechten
|-
| 2 || <math>|AM| = |BM|</math> || 1.; Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3 || <math>S_m (A)=B</math> || 2.; Eigenschaften Geradenspiegelung (abstandserhaltend)
|-
| 4 || <math>| \alpha| = 90 = |\beta| </math> || Vor.
|-
| 5 || <math> S_m ( \alpha) = \beta </math> ||4. Eigenschaften Geradenspiegelung (Winkeltreue)
|-
| 6 || <math>|AD| = |BC|</math> || 5. Vor.
|-
| 7 || <math>S_m (D) = A</math> ||6. Eigenschaften Geradenspiegelung (abstandserhaltend) - müsste nicht S<sub>m</sub>(D) = C sein?
|-
| 8 || <math>S_m ( \overline{ABCD}) = \overline{BADC}</math> ||3.7. Eigenschaften Geradenspiegelung
|-
| 9 || m ist Symmetrieachse ||8.
|-
| 10 || n ist Symmetrieachse || analog Schritt 2-9 bezogen auf n
|-
|}
Das ist jetzt mal so meine Idee, ich denke so könnte man es machen (mit richtiger Begründung!) - aber auch anders.
Jetzt bitte Begründungen einfügen!!!
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:58, 6. Feb. 2013 (CET)

=SS12, Übung 10.3 Umkehrung des Basiswinkelsatzes, direkter Beweis=
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit üblicher Bezeichnung, <math>|\alpha| = |\beta|</math>
|-
| Behauptung || <math>|AC| =|BC|</math>
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1) m ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>|| (Begründung 1)
|-
| 2) <math>m \cap \overline{AC} = {S}<br /> \vee m \cap \overline{AC} = {C}<br />\vee m \cap \overline{BC} = {S}</math> || (Begründung 2)
|-
| 3) FAll 1)<math>|AS| =|BS|</math> || (Begründung)
|-
| 4) <math>|\alpha| = |<ABS|</math> || (Begründung)
|-
| 5) <math>|\beta| = |<ABS|</math> || (Begründung)
|-
| 6) <math>BS^+ =BC^+</math> || (Begründung)
|-
| 7) <math> S = C</math> || (Begründung)
|-
| 8) <math>|AC| =|BC|</math> || (Begründung)
|-
| 9) Fall 2) analog Fall 1 || -
|-
| 10) Fall 3) <math>|AC| =|BC|</math> || (Begründung)
|}
<br />

= Funktionen (Elementare Funktionen SS 11) =
'''Quadratische Funktion und ihr Graph, eine Parabel'''<br /><br />
<ggb_applet width="897" height="664" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Tutorium SS11=
== Tutorium 13, Aufgabe 1 ==

{| class="wikitable"
|-
| Voraussetzung || <math><ASB</math> sei ein beliebiger Winkel
|-
| Behauptung || 1. Existenz einer Winkelhalbierenden 2. Eindeutigkeit dieser Wh
|}
Beweis zu 1. <br />
z.z. Es exisitert ein Strahl <math>SP^+</math>, für den gilt <math>|<SA^+,SP^+| + |<SP^+,SB^+| =|<SA^+,SB^+|</math> und <math>|<SA^+,SP^+| = |<SP^+,SB^+|</math>.<br /><br />

{| class="wikitable"
|-
| 1) || <math>|<SA^+,SB^+|</math> ist eine reele Zahl zwischen 0 und 180|| ...
|-
| 2) || ... || ...
|-
| 3) || ... || ...
|-
| 4) || ... || ...
|-
| 5) || ... || ...
|}

== Tutorium 3, Aufgabe 2 ==
<ggb_applet width="638" height="519" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /><br />

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 14

2014-07-07T08:06:55Z

Tutorin Anne: /* Definition V.6 : (Fixpunktgerade) */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. <br /><br />
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung.<br />
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math><br /><br />

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. <br />
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
<br /><br />
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. <br /><br />
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? <br />
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):<br /><br />

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>.<br />
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math><br /><br />
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?<br /><br />

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br />
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br />

Antwort: 1) die Gerade g als Spiegelachse, 2) alle Geraden, die senkrecht auf g stehen
--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 17:39, 23. Jun. 2014 (CEST)
Das ist korrekt. Super!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:02, 24. Jun. 2014 (CEST)

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br />
<br />
<math>g=\varphi(g)=g'</math> (Beitrag von Matheschüler)
<br />
<br />
Aufgabe: Gibt es <u>Fixpunktgeraden</u> bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br />
<br />
alle Geraden <math>g \equiv </math>Spiegelachse sind Fixgeraden (Beitrag von Matheschüler)
<br />
Bitte immer Signatur mit Zeitstempel, Matheschüler. Ich verstehe aus deinem Text, dass alle GEraden, die parallel zur Spiegelachse sind, Fixgeraden, oder meinst du Fixpunktgeraden sein sollen. DAs stimmt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:05, 24. Jun. 2014 (CEST)
<br />
ich meinte: alle Geraden <math>g \equiv </math>Spiegelachse sind Fixpunktgeraden <br/>
also alle Geraden, die mit der Spiegelachse identisch sind, sind Fixpunktgeraden --[[Benutzer:Matheschüler|Matheschüler]] ([[Benutzer Diskussion:Matheschüler|Diskussion]]) 15:31, 4. Jul. 2014 (CEST)
<br /> Das stimmt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 10:06, 7. Jul. 2014 (CEST)

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math><br /><br />
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.<br /><br />

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: <br />
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math><br />
Beweis:<br /><br />

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.<br />
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet.<br />

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Einführung_P]]

Beweis: <br />

Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (SoSe 14)

2014-07-01T07:08:56Z

Tutorin Anne:

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion.<br /> Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

<br /><br /><br />

[[Datei:Feuerwehrproblem.pdf|400px]]

Als erstes habe ich den Punkt A (Feuerwehr)an der Geraden g (Fluss) gespiegelt. Das Spiegelbild (A') habe dann mit dem Punkt B (das Haus) verbunden, dabei entsteht ein Schnittpunkt zu der Spiegelgerade. Wenn man dann den Punkt A mit dem Schnittpunkt verbindet, bekommt man den kürzesten Weg.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 20:47, 30. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]
<br />
Gut! Nettes Bild. Warum ist das der kürzeste Weg?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:08, 1. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.3P (WS 13/14)

2014-07-01T07:06:18Z

Tutorin Anne:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /> <br />
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> <br /><br />
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt ''D'' an, mit <math>\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> und nutzen Sie den Satz von Pasch)<br />

Verstehe nicht wirklich warum wir noch den vierten Punkt D brauchen. Man kann auch ohne den zusätzlichen Punkt zeigen, dass die Behauptung stimmt.

Voraussetzung: <math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math> <br /><br />
Behauptung: <math>\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math><br />
Annahme: <math>\overline{AC}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math><br />
{| class="wikitable"
|-
! Nr. !! Schritt !! Begründung
|-
| 1. || <math>\overline{AC}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> || Annahme
|-
| 3. || Wenn die Gerade g eine Seite schneidet, dann schneidet sie genau eine weitere Seite des Dreiecks. Gerade g schneidet entweder <math>\overline{AB}</math> oder <math>\overline{BC}</math> || Satz von Pasch
|-
| 4. ||<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math> <br /><br /> || Voraussetzung
|-
| 5. || Die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung stimmt. || 3),4)
|
|}--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 11:05, 18. Jun. 2014 (CEST)
<br />

[[Kategorie:Einführung_P]]

Der Beweis ist so nicht möglich, da du in Schritt 3 den Satz von Pasch anwendest. Dieser gilt aber nur bei Dreiecken. A, B und C sind aber kollinear.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:06, 1. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 3.1P (SoSe 14)

2014-06-25T17:49:36Z

Tutorin Anne:

Geben Sie eine exakte Realdefinition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden.<br />

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel genau in der Mitte teilt.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:29, 15. Mai 2014 (CEST)
in der Mitte teilt ist umgangssprachlich. Das ist also informell.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 17:01, 15. Mai 2014 (CEST)

Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels läuft und das Innere des Winkels in zwei deckungsgleiche (kongruente) Teile teilt.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:53, 24. Jun. 2014 (CEST)<br />

Hier ist ebenfalls nicht klar, wo die Halbgerade beginnt und "Teile" ist ungenau. Besser ist es von entstehenden Winkeln zu sprechen, als von Teilen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:49, 25. Jun. 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Relationen SoSe 14

2014-06-25T17:48:05Z

Tutorin Anne: /* Beispiel 3 */

== Relationen ==

=== Beispiele ===

==== Halt dich senkrecht====

[[File:Flag of Switzerland (Pantone).svg|thumb|Flag of Switzerland (Pantone)]]<br />
Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. <br />Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie ''Gerade <math>a</math> steht senkrecht'' ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von <math>a</math> bezüglich einer anderen Geraden <math>b</math> (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass <math>a</math> eine Senkrechte ist.<br />'''Die Relation Gerade <math>a</math> steht senkrecht auf Gerade <math>b</math> ist zweistellig.'''

====Eine klassische Dreiecksbeziehung====
Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung.<br />Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
==== Beispiel 3 ====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.

Ich wohne in eine 4-er WG. Mandi ist meine Mitbewohnerin. Sie hat einen Freund, der Tim heißt. Er kommt öfters zu uns zu Besuch. Anni wohnt zusammen in einer WG mit Mandi und Eric. Wie heißen die Mitbewohner von Picksel? Picksel wohnt zusammen mit:...... --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:29, 24. Jun. 2014
<br />
Ist das jetzt eine Relation zwischen 3, 4 oder 5 :) --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:47, 25. Jun. 2014 (CEST)

==== Ein Quiz zwischendurch ====
<quiz>
{Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine <u>zweistellige</u> Relation handelt}
+ Eine Ebene <math>\alpha</math> steht senkrecht zu einer Ebene <math>\beta</math>.
|| klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
- Der Punkt <math>B</math> liegt zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math>.
|| dreistellig
+ Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
|| Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.
</quiz>

==== Definition des Begriffs der Relation ====
<u>Definition: (n-stellige Relation)</u>
:::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

[[Category:Einführung_P]]

Relationen SoSe 14

2014-06-25T17:47:09Z

Tutorin Anne: /* Beispiel 3 */

== Relationen ==

=== Beispiele ===

==== Halt dich senkrecht====

[[File:Flag of Switzerland (Pantone).svg|thumb|Flag of Switzerland (Pantone)]]<br />
Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. <br />Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie ''Gerade <math>a</math> steht senkrecht'' ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von <math>a</math> bezüglich einer anderen Geraden <math>b</math> (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass <math>a</math> eine Senkrechte ist.<br />'''Die Relation Gerade <math>a</math> steht senkrecht auf Gerade <math>b</math> ist zweistellig.'''

====Eine klassische Dreiecksbeziehung====
Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung.<br />Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
==== Beispiel 3 ====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.

Ich wohne in eine 4-er WG. Mandi ist meine Mitbewohnerin. Sie hat einen Freund, der Tim heißt. Er kommt öfters zu uns zu Besuch. Anni wohnt zusammen in einer WG mit Mandi und Eric. Wie heißen die Mitbewohner von Picksel? Picksel wohnt zusammen mit:...... --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:29, 24. Jun. 2014
<br />
Ist das jetzt eine Dreiecks-, Vierecks- oder Fünfecksbeziehung :) --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:47, 25. Jun. 2014 (CEST)

==== Ein Quiz zwischendurch ====
<quiz>
{Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine <u>zweistellige</u> Relation handelt}
+ Eine Ebene <math>\alpha</math> steht senkrecht zu einer Ebene <math>\beta</math>.
|| klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
- Der Punkt <math>B</math> liegt zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math>.
|| dreistellig
+ Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
|| Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.
</quiz>

==== Definition des Begriffs der Relation ====
<u>Definition: (n-stellige Relation)</u>
:::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 3.2P (SoSe 14)

2014-06-25T17:44:06Z

Tutorin Anne:

Geben Sie eine genetische Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an.<br />

[[Category:Einführung_P]]

Man zeichnet zwei Geraden, die sich in einem Punkt P treffen. Nun zeichnet man eine Halbgerade, die im Scheitelpunkt P des Innenwinkels beginnt und die das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt.
--[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 11:57, 16. Mai 2014 (CEST)<br />

Das ist keine korrekte Definition, da sie nicht beschreibt, wie ich die Halbgerade konstruieren muss. Winkelfeld und deckungsgleich sind zudem nicht definiert. Desweiteren können sich zwei Geraden nicht in einem Punkt treffen, nur schneiden. <br />
Versuche dich an einer Konstruktionsbeschreibung (so wie du eine Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal konstruieren würdest), dann wird es klappen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:14, 16. Mai 2014 (CEST)<br />

Gegeben sei ein Winkel ABC, wobei B der Scheitelpunkt des Winkels ist. Man nehme den Zirkel und zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt B. Es entstehen zwei Schnittpunkte mit den Schenkeln des Winkels. An den Schnittpunkten mit den Schenkeln des Winkels wird der Zirkel erneut angesetzt. Dann zeichnet man jeweils einen Kreis mit gleichem Radius. Die Schnittpunkte dieser zwei Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden. Zuletzt muss man nur den Schnittpunkt mit dem Scheitelpunkt verbinden. Die Halbgerade die dabei entsteht ist die Winkelhalbierende.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 23:06, 24. Jun. 2014 (CEST)<br />
Schon ganz gut!! Du redest von Schnittpunkten und dann nur noch von dem Schnittpunkt (zweit letzter Satz). Das ist ungenau. Außerdem ist nicht klar, wo die Halbgerade beginnt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:44, 25. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 3.3 P (SoSe 14)

2014-06-25T17:41:39Z

Tutorin Anne:

Es seine A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />

Wir können einen Punkt P nehmen und sagen: Für alle Punkte P:= P ist Element von A und P ist Element von B, daraus folgt A=B--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 23:14, 24. Jun. 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]<br />
So kann man das nicht zeigen. Tip: Wenn zwei Teilmengenbeziehungen gezeigt werden, lässt sich daraus schließen, dass die Mengen gleich sind. Was muss man dazu tun?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:41, 25. Jun. 2014 (CEST)

Definitionen in der Mathematik SoSe 14

2014-06-24T12:20:42Z

Tutorin Anne: /* Definition E.1: Ellipse */

===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
<br /><br />
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
<br /><br />

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br />
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br />

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:<br />* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}<br />

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br />
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br />
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br />
#eine Ellipse, ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht.
#eine Ellipse ist ein plattgedrückter Kreis.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:25, 5. Mai 2014 (CEST)

<br />
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />
<br /><br />

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />

'''Aufgaben:'''<br />
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br />

#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br />
...

#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br />
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
<math>\overline{ F_{1} P} + \overline{ F_{2} P} = c</math> <math> F_{1} F_{2} </math> sind Punkte einer Ebene und c = konstant.
* Dieser Beitrag ist nicht unterschrieben; bitte vergesst das nicht! Sonst weiss man nicht; wer etwas eingefuegt hat. Die Idee ist richtig; aber was ist denn jetzt die Ellipse?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 17:06, 15. Mai 2014 (CEST)
Ellipse ist die Menge aller Punkte P für die gilt: <math>\overline{ F_{1} P} + \overline{ F_{2} P} = c; </math> <math> F_{1} F_{2} </math> sind Punkte einer Ebene und c = konstant.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:11, 23. Jun. 2014 (CEST)<br />
Besser!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:20, 24. Jun. 2014 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
...<br />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
<br /><br />
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
<br /><br />

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 14)

2014-06-24T12:18:46Z

Tutorin Anne:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff. <br /><br />
Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Schiefer Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

<u>Viereck</u>- ein n-Eck, bei dem n=4, ist ein Viereck.<br />

<u>Trapez</u> - ein Viereck mit 1 Paar paralleler Seiten ist ein Trapez. <br />

<u>Gl. Trapez</u> - ist ein Trapez mit einer Symmetrieachse.<br />
*Aufgepasst! Die Raute hat ist auch ein Trapez und hat mehrere Symmetrieachsen, ist aber kein gleichschenkliges Trapez.

<u>Parallelogramm</u>- ist ein allgemeines Trapez, bei der sich die Diagonalen halbieren.<br />

<u>Drachen</u> - ist ein ein Viereck, bei dem die Symmetrieachse auf einer der Diagonalen liegt.<br />
*Achsen können nicht auf Diagonalen liegen, da Achsen Geraden sind und Diagnoalen Strecken.

<u>Schiefer Drachen</u> - ist ein Drachen, bei dem eine Diagonale die andere halbiert.<br />

<u>Raute</u> - ist ein Drachen mit einer weiteren Symmetrieachse.<br />

<u>Rechteck</u> - ist ein Parallelogramm mit 4 Rechten Winkeln. <br />

<u>Quadrat</u> - ist eine Raute, bei der die Diagonalen gleich lang sind.
--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 11:30, 30. Apr. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Viereck: Ein Viereck ist eine geometrische Figur mit 4 geraden Seiten.
* Das ist ungenau, weil gerade Seiten nicht defniiert ist.
Trapez: Ein Trapez ist ein Viereck, das 2 parallele Seiten (Grundlinien) hat. Die anderen beiden Seiten heißen Schenkel.

gleichschenkliges Trapez: Ein gleichschenkliges Trapez ist eine besondere Trapezfprm, dessen Schenkel gleich lang sind.
* Die Definition ist umgangssprachlich. Man spricht nicht von Trapezform. Ein weiteres Problem ist, dass gleichlange Schenkel auch parallel sein könnten und es sich dann um ein Parallelogramm handelt. Das ist aber keine Teilmenge des gleichschenkligen Trapezes.

Parallelogramm: Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Seine Diagonalen halbieren sich.
* Zu viele Informationen. Der erste Satz genügt. Formale Definitionen enthalten nur die nötigsten Eigenschaften. Alle anderen werden in Sätzen formuliert und können bewiesen werden.

Drachen: Ein Drachen ist ein Viereck, bei dem die benachbarten Seiten gleich lang sind. Eine Diagonale wird durch die andere halbiert und sie stehen senkrecht aufeinander.
* das ist ungenau. z.B. benachbarte Seiten gleich lang... dann sind doch alle gleich lang

schiefer Drachen: Ein schiefer Drachen ist ein besonderer Drachen, bei dem eine Diagonale von der anderen halbiert wird.
* Schiefer Drache ist keine Untergruppe des Drachen, sondern schiefer Drache ist der Oberbegriff. Damit kannst du ihn nicht über Drachen defniieren.

Raute: Eine Raute ist ein Rechteck, bei dem 2 Seiten jeweils parallel zueinander sind. Seine Diagonalen halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander.
* informell, da zu viele Informationen.
Rechteck: Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln. Der Flächeninhalt mit den Seiten a und b ist A=a*b.
* informell, da zu viele Informationen.
Quadrat: Ein Quadrat ist ein Viereck mit 4 gleichen Seiten und 4 rechten Winkeln. Seine Diagonalen sind gleich lang, halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:31, 2. Mai 2014 (CEST)
* ebenfalls informell. (alles mit Aufzählungszeichen ist von --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 23:06, 2. Mai 2014 (CEST))
<u>Zweiter VERSUCH:</u><br />

<u>Gl. Trapez</u> - ist ein Trapez mit einer Symmetrieachse.<br />
*Aufgepasst! Die Raute hat ist auch ein Trapez und hat mehrere Symmetrieachsen, ist aber kein gleichschenkliges Trapez.
Gl. Trapez ist ein Trapez mit einer Symmetrieachse, die nicht auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 07:45, 7. Mai 2014 (CEST)
Sehr gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 15:40, 7. Mai 2014 (CEST)

Eine grundsätzliche Frage: In der Aufgabe steht ja, dass das n-Eck, die Seite und die Ecke eines n-Ecks bereits definiert sind. Das heißt ja dass zum Beispiel die Symmetrie, Winkel,... nicht definiert sind. Dann darf man diese Begriffe doch auch nicht verwenden, oder sehe ich das falsch? --[[Benutzer:Quadrat|Quadrat]] ([[Benutzer Diskussion:Quadrat|Diskussion]]) 16:38, 7. Mai 2014 (CEST)<br />
Wenn du es ganz genau nimmst. Aber ich würde sagen, du darfst trotzdem parallel und Winkel benutzen. Später werden die Begriffe auch noch genauer definiert. Man sollt sich aber bei jedem Begriff, den man verwendet klar sein, was es bedeutet und es gegebenenfalls vorher definieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 08:36, 8. Mai 2014 (CEST)

Raute: Ein Drache, bei dem alle Seiten gleich lang sind, ist eine Raute.<br />
korrekte informelle Definition. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:25, 11. Mai 2014 (CEST)<br />

Rechteck: Ein Trapez, bei dem die Seiten senkrecht zueinander stehen, ist ein Rechteck.<br />
das ist informell; da nicht genau beschrieben wird welche Seiten senkrecht stehen und Ein Viereck bei dem... dann auch ausreichen wuerde.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:25, 11. Mai 2014 (CEST)<br />

Drachen: Ein schiefer Drachen, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, ist ein Drachen.--[[Benutzer:Audrey Hepburn|Audrey Hepburn]] ([[Benutzer Diskussion:Audrey Hepburn|Diskussion]]) 12:26, 8. Mai 2014 (CEST) <br />
Ja genau--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:25, 11. Mai 2014 (CEST)<br />

Hallo Anne, wir werden nächste Woche eine Probeklausur schreiben. Aus diesem Grund gehe ich noch einmal alle Aufgaben durch und versuche die noch offenen Fragen zu klären. Bei dieser Aufgabe habe ich versucht die Vierecke neu zu definieren.<br />
<u>Drachen</u> ist ein sch. Drachen bei dem die Symmetrieachse auf einer der Diagonallen liegt. - Dazu hast du geschrieben, dass es nicht korrekt ist,da Symmetrieachse eine Gerade ist und Diagonalle eine Strecke. Wir haben aber in der Vorlesung und in der Übung so definiert. <br />
ok, dann wird das so schon gehen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:18, 24. Jun. 2014 (CEST)
<u>Parallelogramm</u> - ist ein Viereck mit der Punktsymmetrie.<br />
kein gutes Deutsch, ansonsten stimmt das.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:18, 24. Jun. 2014 (CEST)
<u>Parallelogramm</u> - ist ein sch. Drachen bei dem die Diagonallen sich gegenseitig halbieren.<br />
ok, du kannst auch sagen, ein Viereck bei dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:18, 24. Jun. 2014 (CEST)
<u>Rechteck</u>- ist ein Trapez mit einer weiteren Symmetrieachse.<br />
Ein Trapez hat überhaupt keine Symmetrieachse... da stimmt so nicht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:18, 24. Jun. 2014 (CEST)
<u>Rechteck</u>- ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. <br />
korrekt--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:18, 24. Jun. 2014 (CEST)
<u>Quadrat</u> - ist eine Raute bei der die Symmetrieachsen gleich lang sind.<br />
Achsen sind Geraden und GEraden haben keine Länge... das stimmt so nicht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:18, 24. Jun. 2014 (CEST)
<u>Rechteck</u> - ist ein sch. Drachen (oder Parallelogramm) bei dem die Diagonallen gleich lang sind.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:53, 23. Jun. 2014 (CEST)
ein schiefer Drache mit gleich langen Diagonalen muss kein Rechteck sein. Mit Parallelogramm wäre es richtig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:18, 24. Jun. 2014 (CEST)

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 14

2014-06-24T12:05:59Z

Tutorin Anne: /* Definition V.6 : (Fixpunktgerade) */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. <br /><br />
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung.<br />
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math><br /><br />

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. <br />
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
<br /><br />
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. <br /><br />
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? <br />
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):<br /><br />

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>.<br />
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math><br /><br />
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?<br /><br />

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br />
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br />

Antwort: 1) die Gerade g als Spiegelachse, 2) alle Geraden, die senkrecht auf g stehen
--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 17:39, 23. Jun. 2014 (CEST)
Das ist korrekt. Super!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:02, 24. Jun. 2014 (CEST)

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br />
<br />
<math>g=\varphi(g)=g'</math> (Beitrag von Matheschüler)
<br />
<br />
Aufgabe: Gibt es <u>Fixpunktgeraden</u> bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br />
<br />
alle Geraden <math>g \equiv </math>Spiegelachse sind Fixgeraden (Beitrag von Matheschüler)
<br />
Bitte immer Signatur mit Zeitstempel, Matheschüler. Ich verstehe aus deinem Text, dass alle GEraden, die parallel zur Spiegelachse sind, Fixgeraden, oder meinst du Fixpunktgeraden sein sollen. DAs stimmt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:05, 24. Jun. 2014 (CEST)

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math><br /><br />
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.<br /><br />

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: <br />
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math><br />
Beweis:<br /><br />

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.<br />
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet.<br />

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Einführung_P]]

Beweis: <br />

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 14

2014-06-24T12:02:42Z

Tutorin Anne: /* Definition V.5 : (Fixgerade) */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. <br /><br />
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung.<br />
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math><br /><br />

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. <br />
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
<br /><br />
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. <br /><br />
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? <br />
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):<br /><br />

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>.<br />
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math><br /><br />
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?<br /><br />

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>.<br /><br />
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br /><br />

Antwort: 1) die Gerade g als Spiegelachse, 2) alle Geraden, die senkrecht auf g stehen
--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 17:39, 23. Jun. 2014 (CEST)
Das ist korrekt. Super!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:02, 24. Jun. 2014 (CEST)

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade.<br />
<br />
<math>g=\varphi(g)=g'</math>
<br />
<br />
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?<br />
<br />
alle Geraden <math>g \equiv </math>Spiegelachse sind Fixgeraden
<br />

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math><br /><br />
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.<br /><br />

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: <br />
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math><br />
Beweis:<br /><br />

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>.<br />
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.<br />
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet.<br />

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Einführung_P]]

Beweis: <br />

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 14)

2014-06-23T06:43:06Z

Tutorin Anne:

Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />

Unter dem Inneren eines Dreiecks versteht man die Schnittmenge dreier Halbebenen:=BA<sup>+</sup> geschnitten mit BC<sup>+</sup> geschnitten mit CA<sup>+</sup>--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 10:29, 18. Jun. 2014 (CEST)
<br />

Die Definition ist fast korrekt. Lediglich die Bezeichnung der Halbebenen ist nicht korrekt. Mit deiner Bezeichnung sprichst du von Halbgeraden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:18, 18. Jun. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Int (ABC)= CAB<sup>+</sup> geschnitten mit CBA<sup>+</sup> geschnitten mit BAC<sup>+</sup> --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 13:54, 22. Jun. 2014 (CEST)<br />
Genau.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 08:43, 23. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe 14)

2014-06-23T06:42:06Z

Tutorin Anne:

Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>.<br />

Habe die Frage nicht wirklich verstanden. Trotzdem hier mein Versuch:<br />

Dreieck <math>\overline{ABC}</math> = Strecke AB vereinigt mit der Strecke BC vereinigt mit der Strecke AC --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 10:15, 18. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Ich habe es so ähnlich: Gegeben seien drei paarweise, nicht kollineare Punkte A,B,C. Das Dreieck ABC ist die Vereinigungsmenge der Strecken AB, BC und CA. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 13:53, 22. Jun. 2014 (CEST)
<br />

Sehr gut MarieSo, die Ergänzung mit den nichtkollinearen Punkten ist wichtig. Die Formulierung mit "Vereinigungsmenge der Strecken" von MarieSo ist auch besser.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 08:42, 23. Jun. 2014 (CEST)

Hauptseite

2014-06-21T04:57:36Z

Tutorin Anne: /* Hinweise */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Sommersemester 2014 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.April

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
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| Mo.|| 12-14 Uhr || A108 ||M. Schulte

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||S. Wachter

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Sommersemester 2014!
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />

{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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| Freitag || 10 - 12 ||H001 ||Gieding/Spannagel
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====Übungen====

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| || || ||
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====Tutorium/Übung====

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
* Habe das Wiki gerade für das neue Semester zurückgesetzt.

==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|Freitag || 12 - 14 h ||Computerraum|| Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. Seit dem Sommersemester 2014 gilt sie als Modul-3-Veranstaltung auch für die neue Prüfungsordnung.<br />
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

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====Vorlesung====
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| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



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Lösung von Aufgabe 4.4 P (SoSe 14)

2014-06-18T18:50:52Z

Tutorin Anne:

Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition? <br />
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks.<br />
Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz.<br />

Meiner Meinung nach ist dies ein Satz, also eine Existenzaussage. <br />
Sätze sind beweisbar, Definitionen nicht.--[[Benutzer:Audrey Hepburn|Audrey Hepburn]] ([[Benutzer Diskussion:Audrey Hepburn|Diskussion]]) 12:23, 20. Mai 2014 (CEST)<br />
Kannst du das noch genauer begründen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:10, 20. Mai 2014 (CEST)<br />
Sätze sind sogar immer wahre Aussagen. Ich sage auch, dass es ein Satz ist, denn in einer (math.) Definition wird ein math. Gegenstand mit seinen wichtigsten (und nötigsten) Eigenschaften kurz beschrieben.--[[Benutzer:The Niggster|The Niggster]] ([[Benutzer Diskussion:The Niggster|Diskussion]]) 12:47, 22. Mai 2014 (CEST)
OK. Außerdem sind ja auch Mittelpunkt, Umkreis und Dreieck keine unbekannten Begriffe und bereits definiert.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:50, 18. Jun. 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 14)

2014-06-18T18:48:47Z

Tutorin Anne:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />

a) A steht in Relation zu B, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:34, 26. Mai 2014 (CEST)

a) A und B sind zwei Punkte der Ebene E ohne der Gerade g, für die Punkte A und B gilt: A steht in Relation zu B genau dann, wenn die Strecke AB die Gerade g schneidet und die leere Menge ergibt. (Also schneidet nicht)
<gallery>
Datei:Strecke_AB.jpg|

</gallery><br />
Ergänzend kann man also sagen, das A in Relation zu B steht, wenn sie in der selben Halbebene bezüglich g liegen.<br />
Mit dieser Erkenntnis lässt sich dann Aufgabe b) auch leicht begründen.So wie Picksel angefangen hat, ist es zu allgemein.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:48, 18. Jun. 2014 (CEST)

b) Reflexiv: jeder Punkt steht zu sich selbst in Relation<br />

Symmetrisch: A steht in Relation zu B, wie B zu A. Ob ich Strecke AB definiere oder BA ist völlig egal.<br />

Transitiv: Wenn A zu B und B zu C, dann steht auch A in Relation zu C. <br />

<gallery>
Datei:Transitivität.jpg|

</gallery> --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:36, 27. Mai 2014 (CEST)<br />
Die Veranschaulichung mit den Skizzen ist spitze! Danke Picksel für die Mühe!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:48, 18. Jun. 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 14)

2014-06-18T18:41:01Z

Tutorin Anne:

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

<math>\ AB^-</math>= (AB ohne AB<sup>+</sup> ) vereinigt mit {A}<br />

Ich finde die noetigen Zeichen nicht. Habe versucht so gut, wie moeglich aufzuschreiben.
Halbgerade AB<sup>-</sup> ist eine Gerade AB ohne der Halbgerade AB<sup>+</sup> vereinigt mit dem Punkt A.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 13:02, 12. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]<br />
<br />
Sehr richtig. Hier in Formelschreibweise: <math> AB^- </math> <math>:=</math> <math>AB \backslash{AB^+} \cup \{A\}</math><br />

Es gibt aber noch viele andere Möglichkeiten, wer findet noch welche?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:41, 18. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe 14)

2014-06-18T18:32:50Z

Tutorin Anne:

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen und der Satz von Pasch_SoSe_14#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen.<br />
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''

Wir gehen von der Definition der Strecke aus. Wir haben gesagt, dass Strecke AB={P|Zw.(A,P,B)} vereinigt (A,B).<br />
Dann koennen wir sagen, dass M ist konvex, wenn gilt: Strecke AB ist Element M. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 13:21, 12. Jun. 2014 (CEST)<br /><br />

Die Übersetzung in verbale Form ist nicht vollständig. Viele Mengen können irgendwo eine Strecke haben, die komplett enthalten ist und trotzdem ist es keine konvexe Menge.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:32, 18. Jun. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe 14)

2014-06-18T18:30:55Z

Tutorin Anne:

a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3.<br />
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

a) Kontraposition: Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex ist, dann sind entweder beide Mengen nicht konvex, oder nur eine davon.<br />

b) Umkehrung: Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex ist, dann sind die zwei Punktmengen auch konvex.
<gallery>
Datei:Nicht_konvex_1.png|
Datei:Nicht_konvex_2.png|
</gallery>
--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 15:14, 12. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]
<br />
Danke, sehr schöne Skizzen!! Die Kontraposition ist korrekt, lässt sich aber noch einfacher formulieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:30, 18. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe 14)

2014-06-18T18:28:41Z

Tutorin Anne:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Voraussetzung: M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> sind zwei konvexe Punktmengen<br />
Behauptung: Der Durchschnitt von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> ist auch konvex

{| class="wikitable"
|-
! Nummer !! Schritt !! Begruendung
|-
| 1. || Punkte A und B sind Elemente der Menge M<sub>1</sub> || Voraussetzung
|-
| 2. || Punkte A und B sind Elemente der Menge M<sub>2</sub> || Voraussetzung
|-
| 3. || Punkte A und B sind Elemente von M<sub>1</sub> geschnitten M<sub>2</sub> || Def. Schnittmenge
|-
| 4. || Strecke AB ist Element der Menge M<sub>1</sub> || 1., Def. konvexe Punktmenge
|-
| 5. || Strecke AB ist Element der Menge M<sub>2</sub> || 2., Def. konvexe Punktmenge
|-
| 6. ||Strecke AB ist Element von M<sub>1</sub> geschnitten M<sub>2</sub> || 3.
|-
| 7. ||Da die Strecke AB in der Schnittmenge komplett enthalten ist, kann man daraus schliessen, dass die Schnittmenge auch konvex ist. || 6. Def. konvexe Punktmenge
|}--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 14:35, 12. Jun. 2014 (CEST)<br />

Der Beweis ist so gut wie korrekt. Wenn ihr durchschaut, seht ihr dass Picksel Schritt 4 und 5 überhaupt nicht mehr für die folgenden Schritte gebraucht hat. Da gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder sie sind unnötig, oder die darauffolgenden Schritte sind unzureichend begründet (zweiteres ist der Fall). Was muss ergänzt werden?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:28, 18. Jun. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe 14)

2014-06-18T18:25:13Z

Tutorin Anne:

a) Gegeben seien drei paarweise verschiedene und nichtkollineare Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /> <br />
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> <br /><br />
b) Was hat Aufgabe 6.5 mit Aufgabe 5.4 zu tun?<br />

a) Direkter Beweis:<br />

Vor.
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\ </math>

Beh.: <math>\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> <br />

{| class="wikitable"
|-
! Nr. !! Schritt !! Begruendung
|-
| 1 || <math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math> || Voraussetzung
|-
| 2. || Punkte A und B sind auf der selben Halbebene|| 1), Def. Halbebene
|-
| 3. || <math>\overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math>|| Voraussetzung
|-
| 4. || Punkte B und C sind auf der selben Halbebene || 3), Def. Halbebene
|-
| 5. || Punkte A und C sind auf der selben Halbebene, wie der Punkt B. Das heisst Punkte A und C sind auf der selben Halbebene. || 2), 4)
|-
| 6. || Wenn alle drei Punkte auf der selben Halbebene sind, dann schneidet weder die Strecke AB, noch BC, noch AC die Gerade g. || Schlussfolgerung aus 5)
|}

Man koennte auch durch die Kontraposition Beweisen, das haben wir allerdings in der Vorlesung gemacht, als wir den Satz von Pasch bewiesen haben. <br /><br />

Danke für den sehr ordentlichen Beitrag. Wirklich super, Picksel!Ich würde ergänzen, von welcher Halbebenen du sprichst. Es handelt sich um die Halbebene (z.B.) <math> gA^+</math>. Dann beziehst du Schritt 4 auch auf diese Halbebene. In Schritt 5) hast du richtig gefolgert, dass A und C in der selben Halbebene liegen. In Schritt 6) genügt es zu schreiben, dass aus 5)und der Definition Halbebene folgt, dass <math>\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> . Damit ist der Beweis vollständig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:25, 18. Jun. 2014 (CEST)<br />

b) Damit haben wir die Transitivitaet bewiesen.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:03, 15. Jun. 2014 (CEST)<br />

so ist es!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:25, 18. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 14)

2014-06-18T18:18:29Z

Tutorin Anne:

Lösung von Aufg. 7.4P (WS 13/14)

2014-06-18T18:15:07Z

Tutorin Anne:

Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.<br />

[[Kategorie:Einführung_P]]

Beweis:
vor.: Ein Winkel Alpha ist ein rechter Winkel
Beh.: Alpha hat das Maß 90

1) alpha ist ein rechter Winkel -> Vor<br />

2) Beta ist ein Nebenwinkel von Alpha -> Def. rechter Winkel<br />

3) alpha = Beta -> De. rechter Winkel<br />

4) /alpha/ + /beta/ = 180 -> Satz über Nebenwinkel (supplementär); 2)<br />

5) /alpha/ = 90 -> 2);3); Rechnen in R<br />

--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 15:25, 17. Jun. 2014 (CEST)

Zum Schritt 2): Die Begründung ist nicht richtig, denke ich zumindest. Man könnte nur sagen, dass jeder Winkel einen Nebenwinkel hat. Das müsste ein Axiom sein.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 11:19, 18. Jun. 2014 (CEST)<br />

Ja, das steht nicht in der Definition. Aber man kann dies z.B. mit der Existenz von Nebenwinkeln begründen. Ansonst ist der Beweis richtig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:15, 18. Jun. 2014 (CEST)

Strecken und Halbgeraden SoSe 14

2014-06-12T07:20:21Z

Tutorin Anne: /* Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert:<br /><br />
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::<span style="color: blue">Übungsaufgabe</span>

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte und <math>\ P</math> die Menge aller Punkte,<br />
(ergänzen Sie)<br />

die vereinigt mit der Menge <math> \{A,B\}</math> die Strecke <math>\overline{AB}</math> ergeben, wenn <math> \ P</math> <u>zwischen</u> <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegt.
<br/>
<br/>
<math>\overline{AB}:= \{P|Zw(A,P,B)\} \cup \{A,B\}</math> (Matheschüler-Beitrag)<br />
Die zweite Definition ist korrekt, die erste ist so nicht korrekt, da schlecht versprachlicht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:26, 31. Mai 2014 (CEST)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:<br /><br />

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)<br />

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird.<br />
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAOKcuTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrrbts2FP69PgWhBUWL1Y6oq43aLZK02wpkS7BkwVAMK2iJlrnIkitRvrTo/+09Nuy9+iQ7JCXbsh3VTlLn0uaPLJI6PPy+85E8ZFrPx/0QDWmSsjhqa7iua4hGXuyzKGhrGe/WGtrzZw9aAY0D2kkI6sZJn/C2ZtYNTZRn7NmDb1ppLx4hEsomZ4yO2lqXhCnVUDpIKPHTHqW8VE6yMQsZSSZHnT+px9NZhTLyKhpk0AtPMijz+v4hS4vXXdnhIGT8BRsynyYojL225tjgOvw6owlnHgnbmqWrEqOtGQuVUGSK2l6csHdxxEXzmfEulCCUsncUvtRFWWtXDrRFMy9kPiORGIz0AxohNGI+7wF6RkPYpCzogbMNy1DmvDhO/JNJymkfjV/TJBb+GALpSf5mueItBcegR1uXVfNv0gwdnlDOgZcUkTGdIRYkzC+QEr9fpftx6E+rBzGL+AEZ8CyRnJp50QmfCPvQVSL83YuCkOZlBkDeo955Jx6fSBCwqUyfTgbyE+lPJziIwzhBiRiODQ3yZ0c9ZRvh6LSVLtvoskVuQxid1uOmIVvIZ0c9ZauQRcq1fOC4GDTWi25YikSBQBFCcTr4kHQoUKuhLGL8sHiBEDjPh4rVBz9n/Q5oYD4Ipjbxddls7S6ET+ucJhENVYxEQG0WZykaimBUfUlHfOqxPryqihwSIuj6FRxQpT4NElo4rhSkAJO1+nwcLhS3dgsnhA8p+OpxmApgPFyMRSiVg0raWr8e1DXkEy5KhRRC2qegEy5jQobUFJs9bTopxFLfRXzm9TOUoXplfMhIIuGgR6CkUEBIJqD2+SFJe0fdbko5Gre1GrZAOeI5V/1T7JdxIBHgKQcJkhwI+4KxAaV+PgHyPMzRAHqUopmjQ6KYit7Mup53Z9SbGnqnvpaNlMLE3CA7dnP6FWSfAG//xsDT1WjMbYBn15tOAZ7e2Aw9L+73SeSjiPShq0OYHSRkTKwZiOgi/hDBAkkFU8aLikCZyg0sESEmminOgVaee3gPJB7RFBRtz4a5e1Wy9EtQ5TYldNiuYmqGdU2vN3Bz/q8hv4ewNRTyOrChu3MNFifeisHTt5Fqk6rpj/VhbfYYr2btWMZ8mbZgia/jar7Kwjm+lHCwodYu+by8eBQjNWsb2nHrlm6bpuXojYZj6NJjOevVHdfCuGE6puFYrms6V9HVGSAYJ6uVdbzEVFbN1FAZK6jILtaWUaWt8hJ8neKqkI9VN50VcOO6YdiNBnZMxzVtw3BMifaso3VGN7cm5/LxSMJpCnuEfPgc3qVYEB0PBAGXJm15OhxuRNrwLpGm5raJsLE8990ATVCagGkh/hyIkaaaZmgXDbUFyHc/RcboLpGB61bTarquo9uuazmOo/ZNkPVYkCUZuulaNrZN/LKG3etnp2LrQKOA9xbUMlqSSadaJlHWpwnzpqB2pEFAIsvxWDH8tTHHnw4kLw8k0kkfjR6vip1FD70te+jnHo7X9M/fsn+ndMxx7uPDt1nMn74ePTp+gvaeoP3HqkBb9prDV1rZxLobEEi1fKZ2AtD6KG/so4chf4qmwT8/OhvL4YnHhpuUJV122Zj6qmTmEUsPySn9bbFYHoWkQE63GIs6FoGdRS61PFuA4IvDjNMTDxLR6DD21EZHTsW2mokNazkPWkmFsUgF8HC8GRXGlan4+Pe/ggn08a//kHj7B+FVvBRHHzkx4nFveTFX8LIP1GzAi3l1iQQgkS+IivKKdUIDUb7uBo9Ur1xpbq1An1y8qWiunfKWUpZVHEpVgZ78LWrrcyXDi7BUJcOSmVDkda8iTpOUypO25QO/c0oH4qT1KDpNSJSKE/dyzF0cHr+QybqhQatDIwFLBaN0K2GxJWl/6ZGwnLp314+E7rYi4TPsg+YOa/Lzs1pzZaCYS4GyKtWfrD4YEGHj1M2Gg23dtjBkNk3nNkfN6pXeKq30e/t/1NZf4q2vu+CqJR6vu9uySxzs/B4PaSJi6P3e/ocdRLIu2kHAzPvvPqCd9dmxr8jOTSzet54qp0zVJWhxvu6Lr4UJt5yigGJokEUBoiCcBP1AE+LTCMDY23/4Ldafsgj5jKIOZaL4RxJ2grzJjuJwB2WwpCpGax82INS98i1e9cmbsz2ajLVpWsFSxX3NwTJE5dPJuTXtsledlTBV3sesfRtTk1c3cjugV963mJuA8+KegWNcJzgv7wc4WP8c4Hx/z8DZWFaLF83hJIijhWToQCVDL+BhiHhCxBTILaZGZwzMeudYtfbeYNXelz/gCyp/WDCEN7g6ixrkbhQkTC1fmBpUXuNclFCVbrZtc37dXzoTv9J6cnE0Lh4qCdRuZJAbhu383aGeXx2qyDM2uo3afgpXCb9/5+AvhI9xjn/NuNMM0DvHQG1JAZtdyN4yArp3joBCArWpBizrdjOwO//fo/IfpvP/GH/2P1BLBwj3i9pEKgcAAGMuAABQSwECFAAUAAgACADinLk894vaRCoHAABjLgAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAGQHAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
Beide Definitionen von Matheschüler<br />

:Definition: Halbgerade <math>AB^+ = \overline{AB} \cup \{P|Zw(A,B,P)\}</math> <br />
<br />
Diese Definition ist korrekt, es gibt allerdings noch viele andere Möglichkeiten. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:27, 31. Mai 2014 (CEST)
:Definition: Halbgerade <math>AB^- = \overline{AB} \cup \{P|Zw(P,A,B)\}</math>
Diese Definition ist falsch.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:27, 31. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]
:Definition: Halbgerade <math>AB^- = {A} \cup \{P|Zw(P,A,B)\}</math> <br />
habe die zweite Def nun korrigiert, hoffe sie ist richtig. für die erste fällt mir keine allgemeinere Def. ein. andere menschen,<br />
warum helft ihr nicht? --[[Benutzer:Matheschüler|Matheschüler]] ([[Benutzer Diskussion:Matheschüler|Diskussion]]) 17:14, 10. Jun. 2014 (CEST)<br />
Tja, ich weiß auch nicht warum sich momentan so wenig im Wiki beteiligen.
Matheschüler, bitte niemals eine Antwort direkt korrigieren, sondern immer kopieren
und dann verbessern. Sonst sieht man den Fortschritt ja nicht mehr!Die korregierte Definition der Halbgerade <math>AB^-</math> ist korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:20, 12. Jun. 2014 (CEST)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:20, 12. Jun. 2014 (CEST)

Hauptseite

2014-06-12T07:13:55Z

Tutorin Anne: /* Hinweise */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

-----
{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Sommersemester 2014 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.April

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

-----

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| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
Bleibt engagiert! Zu Übung 6 und 7 gibt es noch keine Lösungsvorschläge... also los! Ich werde bis zum 17.06 kein Internet haben, hoffe aber, dass ich hier am 18.06 viele neue Beiträge finden werde.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:13, 12. Jun. 2014 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
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|-

| Mo.|| 12-14 Uhr || A108 ||M. Schulte

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||S. Wachter

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Sommersemester 2014!
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />

{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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====Übungen====

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====Tutorium/Übung====

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
* Habe das Wiki gerade für das neue Semester zurückgesetzt.

==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|Freitag || 12 - 14 h ||Computerraum|| Gieding
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====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. Seit dem Sommersemester 2014 gilt sie als Modul-3-Veranstaltung auch für die neue Prüfungsordnung.<br />
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

==Newsticker==
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| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

==Newsticker==
<dpl>
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category=Category:Linalg
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</dpl>
</div>
|}

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Benutzer:Tutorin Anne

2014-06-12T07:11:17Z

Tutorin Anne: /* Sommersemester 2014 */

= Sommersemester 2014 =
Weil ich mein Staatsexamen schon hinter mir habe, grüße ich euch dieses Semester aus Kamerun. Wasser, Strom und Internet fallen hier regelmäßig aus, so dass es passieren könnte, dass ich mal ein paar Tage nicht auf die Wikiseite komme.
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 23:50, 5. Mai 2014 (CEST)
Vom 13.06 bis 17.06 habe ich kein Internetzugang. Am 18.06. werde ich aber gerne alle eure Beiträge korregieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:11, 12. Jun. 2014 (CEST)
==Newsticker==
<dpl>
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category=Category:Einführung_P
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userdateformat= d.m.y, G:i -
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</dpl>

|}

= Mandala ganz einfach selbst gemacht!=

<ggb_applet width="581" height="494" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

= Wo sich überall Mathematik verbirgt?! =
Die Idee kam so<br />

<ggb_applet width="916" height="657" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
=Anleitung: Mein erster Beitrag im Wiki=
Nach dem ihr euch mit einem Fantasienamen angemeldet habt, könnt ihr Beiträge einfügen. Dabei kann man zunächst etwas Reinschreiben und das geht so:<br />

[[Datei: Wiki_Anleitung1.PNG ]]<br /><br />

Die meisten Symbole sind ja selbsterklärend. Die Wichtigsten sind:<br />

[[Datei: Wiki_Anleitung2.PNG]]<br /><br />

Nicht vergessen! Vor dem Speichern selbst das Layout mittels "Vorschau" überprüfen. Oft fehlen z.B. Zeilenumbrüche.

[[Datei: Wiki_Anleitung3.PNG]]<br /><br />

Am Rand findet ihr zur Orientierung die wichtigsten Dinge:<br /><br />

[[Datei: Wiki_Anleitung4.PNG ]]<br /><br />
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:13, 16. Apr. 2013 (CEST)

= Tabelle als Vorlage =

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (V. hier eintragen)
|-
| Behauptung || (Beh. hier eintragen)
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Schritt 1 hier)|| (Begründung 1)
|-
| 2 || (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 || (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 || (Schritt) || (Begründung)
|}
<br />

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || ...
|-
| Behauptung || ....
|-
| Annahme || ...
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||...)|| ...
|-
| 2 || ... || ...
|-
| 3 || ... || ...
|-
| 4 || ... || ...
|-
| ... || ... || ...
|-
| ... || ... || ...
|}
<br />
= Beweis: Parallelentreue der Geradenspiegelung Z9.1 SS2013 =
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a II b, <math>S_g (a) = a'</math> und <math>S_g (b)=b'</math>
|-
| Behauptung || a' II b'
|-
| Annahme || a' <s>II</s> b'
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>a' \cap b' </math> = {S'} || ...
|-
| 2 || <math>S = S_g (S')</math> || ...
|-
| 3 || <math>S \in a</math> und <math>S \in b</math> || ...
|-
| 4 || <math>a \cap b </math> = {S} || ...
|-
| 5 || a' II b' || ...
|-
| 6 || Widerspruch zur Voraussetzung || ...
|}
<br />

=WS12/13 Beweis zum Rechteck=
Satz: Ein Rechteck hat 2 Symmetrieachsen.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Rechteck <math> \overline{ABCD}</math>
|-
| Behauptung || <math> \overline{ABCD}</math> hat zwei Symmetrieachsen
|}
<br />
'''Vorüberlegung:''' Es muss gezeicht werden, dass das Rechteck bei der Spiegelung an<math> m_{AB}</math> und <math>m_{BC}</math> jeweils wieder auf sich abgebildet wird.<br />
<ggb_applet width="329" height="285" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />

==Beweisführung==

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || m ist Mittelsenkrechte von <math> \overline{AB}</math> und n ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BC}</math>|| Vor.; Def. Mittelsenkrechten
|-
| 2 || <math>|AM| = |BM|</math> || 1.; Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3 || <math>S_m (A)=B</math> || 2.; Eigenschaften Geradenspiegelung (abstandserhaltend)
|-
| 4 || <math>| \alpha| = 90 = |\beta| </math> || Vor.
|-
| 5 || <math> S_m ( \alpha) = \beta </math> ||4. Eigenschaften Geradenspiegelung (Winkeltreue)
|-
| 6 || <math>|AD| = |BC|</math> || 5. Vor.
|-
| 7 || <math>S_m (D) = A</math> ||6. Eigenschaften Geradenspiegelung (abstandserhaltend) - müsste nicht S<sub>m</sub>(D) = C sein?
|-
| 8 || <math>S_m ( \overline{ABCD}) = \overline{BADC}</math> ||3.7. Eigenschaften Geradenspiegelung
|-
| 9 || m ist Symmetrieachse ||8.
|-
| 10 || n ist Symmetrieachse || analog Schritt 2-9 bezogen auf n
|-
|}
Das ist jetzt mal so meine Idee, ich denke so könnte man es machen (mit richtiger Begründung!) - aber auch anders.
Jetzt bitte Begründungen einfügen!!!
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:58, 6. Feb. 2013 (CET)

=SS12, Übung 10.3 Umkehrung des Basiswinkelsatzes, direkter Beweis=
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit üblicher Bezeichnung, <math>|\alpha| = |\beta|</math>
|-
| Behauptung || <math>|AC| =|BC|</math>
|}
<br />

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1) m ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>|| (Begründung 1)
|-
| 2) <math>m \cap \overline{AC} = {S}<br /> \vee m \cap \overline{AC} = {C}<br />\vee m \cap \overline{BC} = {S}</math> || (Begründung 2)
|-
| 3) FAll 1)<math>|AS| =|BS|</math> || (Begründung)
|-
| 4) <math>|\alpha| = |<ABS|</math> || (Begründung)
|-
| 5) <math>|\beta| = |<ABS|</math> || (Begründung)
|-
| 6) <math>BS^+ =BC^+</math> || (Begründung)
|-
| 7) <math> S = C</math> || (Begründung)
|-
| 8) <math>|AC| =|BC|</math> || (Begründung)
|-
| 9) Fall 2) analog Fall 1 || -
|-
| 10) Fall 3) <math>|AC| =|BC|</math> || (Begründung)
|}
<br />

= Funktionen (Elementare Funktionen SS 11) =
'''Quadratische Funktion und ihr Graph, eine Parabel'''<br /><br />
<ggb_applet width="897" height="664" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Tutorium SS11=
== Tutorium 13, Aufgabe 1 ==

{| class="wikitable"
|-
| Voraussetzung || <math><ASB</math> sei ein beliebiger Winkel
|-
| Behauptung || 1. Existenz einer Winkelhalbierenden 2. Eindeutigkeit dieser Wh
|}
Beweis zu 1. <br />
z.z. Es exisitert ein Strahl <math>SP^+</math>, für den gilt <math>|<SA^+,SP^+| + |<SP^+,SB^+| =|<SA^+,SB^+|</math> und <math>|<SA^+,SP^+| = |<SP^+,SB^+|</math>.<br /><br />

{| class="wikitable"
|-
| 1) || <math>|<SA^+,SB^+|</math> ist eine reele Zahl zwischen 0 und 180|| ...
|-
| 2) || ... || ...
|-
| 3) || ... || ...
|-
| 4) || ... || ...
|-
| 5) || ... || ...
|}

== Tutorium 3, Aufgabe 2 ==
<ggb_applet width="638" height="519" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAC6Fkz4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VhNc9o8ED63v0Lje8AfmJAZSIeSS2bStwfaHnoTtjAqtuRXkgnw67ta2WCHvG9Ck860ycXRar0fz+6zkhl/2BY52TCluRQTL+j5HmEikSkX2cSrzPJi5H24fj/OmMzYQlGylKqgZuJFvdCz8opfv3831it5T2iOKt84u594S5pr5hFdKkZTvWLMdOS02vKcU7X7vPjBEqOPG87IrSgr8GJUBbKkSO+4bpZ9dFjm3NzwDU+ZIrlMJt4whtDhv29MGZ7QfOINfCcJJ154Oepsgiiyuyup+F4KY9WPxpcgIUTzPQNEQisb9zHRMauSnKecCpsMxgFKhNzz1KwghAi8rBjPVhBrHFw6a4mUKp3vtGEF2X5nSkI4QWyB3rlV5FYa4gKHsY9b7RWaYZs5MwbKogndsiNgmeJpZ3GrP8r8KColF2ZGS1MprGlUi+ZmZx2AL2UDnoosZ7UsBMhXLFkv5HbuQIic6S+7El/BgBbZTOZSEQUvxDEo1M+Fe6KOjfSg5aOOjxq1DWv0sB9chaiBz4V7olbOhQutzjxosg78xg3XxAosjNCKh+RzumBQWo9Ugpu7ZgEtsK5TDdwL/1TFAjjQboKDzeC1bI77D9pnvGZKsNw1iYDaVrLSZGOb0fnCQFKW8AKWbqOGhNpyfYUAnDRlmWJN4I5BDjDc9duN+EA87jdB2Bg0xJoYGAWQj7G5WKYaYIn9L6XGSiwNclYw4IjBfsB2OuDyKfAOE0EiuRsa1wpHiGH70ebANqJ5uaIgafo/pzugejsftPdJpt0sqQC0MAVgXGkN2HqUjKX1eDN1E5MSTCIlWmAjRppsre7lAHhoDYyA1nv3Nio5/ljmo+OoLq4D5Sl4wrcBz6DnD/32X9yANTwPrEQWBRUpEbQAv3dAdQSI2wOAUB8bitAAkXOwVKbZos5YbeIEeTs3DrhSrztKzAoYK5jWOO9Me7K9pDj+r5fmCC68GnbA9YMRwhv2ou5GhGBfhD3/cjjoVKP/7HTZv8LpaDe/eAGHa8LNOW09extdDbeableHCPugF4Yv6eoZV0l+0teh6+vZSVuvw//vaxjUPDlAuw5/X2c3B3scYI3s41dL9LxW5BkTG4hOKk3I1q+rt/OdQ7JvJFsA7sLdlIJatA9a9YFuUHxLpo3+tNGawtUv7oVXUavOkNU0qj1MB2D4seE2jdEjjLdHSQPNlvAllOUM0ty8DdL4zUkZ9eLXZ0k9/W9OWRKcxZLg97HE0uJ1SvIHkQRJEA4eUsNdixoyjM4jQ7fec5ZZ+bMLrp4ouK7tNcVSf0XJjzyCU3zozpsLVys7qQZRA/KLz3IEM7dEvhUGvkwY3vRPPzjWjJX2S++z+KKo0PaL3+m0PmTOKunsPy9w6omT7qSkf8dZ175QRMPmYty90dU3t2AAV7qrYVv+B1e73/5GxJ9F6t+Frn8CUEsHCBfRP9s4BAAASRIAAFBLAQIUABQACAAIAC6Fkz4X0T/bOAQAAEkSAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAcgQAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /><br />

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 14)

2014-06-05T14:48:34Z

Tutorin Anne:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften:<br />
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math><br />

Die Relation ist symmetrisch, reflexiv und transitiv (Also ein Äquivalenzrelation). --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:25, 26. Mai 2014 (CEST)

Richtig --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:23, 26. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Wisst Ihr das nur wegen dem Leftrightarrow oder weil Ihr Euch das irgendwie mit einer Wahrheitstabelle hergeleitet habt?
Ich verstehe gar nicht, was ich damit anfangen soll... :o( Außer dass der Leftrightarrow = Äquivalenzrelation heißt und diese immer symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.
--[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 16:47, 27. Mai 2014 (CEST)

Mach dir eine Skizze dazu. Der Satz besagt, dass g schneidet h genau dann, wenn g h schneidet und dabei keine leere Menge ergibt, also ein Schnittpunkt entsteht.<br />
Reflexiv: jede Gerade schneidet sich selbst<br />
Symmetrisch: wenn g h schneidet, dann auch h schneidet g.<br />
Transitiv: dafür nimmst du noch eine Gerade z.B. c. Wenn g schneidet h und h schneidet c, dann muss g auch c schneiden. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:54, 29. Mai 2014 (CEST)<br />

Danke Picksel, dass hast du schön erklärt. Das Äquilanzzeichen besagt hier einfach, dass die Relation <math>\ g S h </math> so definiert ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 08:38, 2. Jun. 2014 (CEST)

Aber könnten g und c nicht auch parallel sein? Dann würde h sowohl g als auch c schneiden aber g würde nicht c schneiden.<br />

Du hast absolut Recht. Die Relation ist damit nicht transitiv, da du dies mit einem Gegenbeispiel belegt hast. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:48, 5. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.5 P (SoSe 14)

2014-06-02T15:47:30Z

Tutorin Anne:

Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu?<br />
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch.<br />

a) A kann nicht links von sich selbst liegen.<br />

b) stimmt nicht<br />

c) passt<br />

d)links neben sich selbst, geht doch nicht? Also stimmt.<br />

e)trifft zu<br />

--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:59, 27. Mai 2014 (CEST)

hätte ich genau so gesagt wie "Picksel" --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 10:23, 27. Mai 2014 (CEST)
<br />
Korrekt! Wer kann noch benennen, welche Eigenschaften einer Relation beschrieben werden?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 17:47, 2. Jun. 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 14)

2014-06-02T15:43:13Z

Tutorin Anne:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?<br />
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

*Parallelität von Geraden der Ebene : reflexiv, symmetrisch, transitiv
*Kongruenz geometrischer Figuren : reflexiv, symmetrisch, transitiv,
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math> : reflexiv, transitiv
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math> : transitiv
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> : reflexiv
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math> : symmetrisch, transitiv --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:22, 26. Mai 2014 (CEST)

Stimme dir zu, MarieSo --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:19, 26. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Ist die Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> nicht auch transitiv?
Wenn 4>2 ist und 2>1 ist, ist auch 4>1. --[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 16:42, 27. Mai 2014 (CEST)

Ich denke da reicht es nur einen Gegenbeispiel zu nennen, wo es nicht der Fall ist. Z.B. 4≥3 und 3≥7 daraus folgt 4≥7. Die erste Aussage ist Wahr, die zweite falsch. Wahr und falsch ergibt falsch. Der hintere Teil 4≥7 ist falsch. Bei der Implikation aus falsch folgt falsch, bedeutet die Aussage ist wahr. Also müsste die Größer-gleich-Relation transitiv sein. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:47, 29. Mai 2014 (CEST)<br />

Es ist richtig, wie Pippilotta schreibt, dass die Größer-Gleich-Relation auch transitiv ist. Es gibt kein Gegenbeispiel. Bei einem Gegenbeispiel muss aus einer wahren Gegebenheit ein falsches Ergebnis folgen. Das Beispiel von Picksel hilft hier nicht weiter. Sonst stimme ich den Antworten von MarieSo zu, bis auf eine. Die Ungleichheit in R ist nicht transitiv. Wer findet ein Gegenbeispiel?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 08:30, 2. Jun. 2014 (CEST)

Na ja, damit wollte ich zeigen, dass man keinen Gegenbeispiel finden kann. Auch in dem Fall, den ich hier geschildert habe, ist die Aussage wahr, wegen der Implikation. Also ist die Relation transitiv. Zu d) 4≠5 und 5≠4 → 4≠4 --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 08:56, 2. Jun. 2014 (CEST)<br />

So ist es, danke für den Nachtrag. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 17:43, 2. Jun. 2014 (CEST)