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Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (WS 12 13)

2013-01-26T16:48:41Z

Unicycle:

Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Laserlicht im LWL wird jeweils an den Grenzflächen (Glas, Luft) total reflektiert. Die beiden Grenzgeraden ''AB'' und ''CD'' können als ideale Spiegel betrachtet werden. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal den weiteren Weg des Lichts vom Punkt ''P'' aus bis zur Begrenzungslinie <math>\overline{BC}</math>. 

[[Datei:lwl.jpg|500px]]
 
Ich steche in P ein, stelle den Zirkel bis zum Scheitel des Winkels Bete ein, mache einen Bogen um P, sodass ein Schnittpunkt S1 mit der Halbgeraden DC+ entsteht, dann verbinde ich P mit S1. Jetzt steche ich in S1 ein und zeichen einen Bogen um S1 mit dem Radius |SP|, bis ein Schnittpunt S2 mit der Halbgeraden AB+ entsteht. Ich verbinde S1 und S2. Liegt S2 außerhalb der Strecke AB schneidet die Strecke S1S2 BC und die Aufgabe ist gelöst. Wenn nicht, muss der Vorgang erneut wiederholt werden.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:48, 26. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:_Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 7.4P (WS 12 13)

2013-01-26T16:32:35Z

Unicycle:

Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math> (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand). 
 
Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> ist die Vereinigung der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math>.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:32, 26. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 7.1P (WS 12 13)

2013-01-26T16:29:34Z

Unicycle:

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (Jeder rechte Winkel)
|-
| Behauptung || (Maß 90)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 (<math>\alpha +\beta</math>)|| (Def. Nebenwinkel)
|-
| 2 (<math>\alpha =\beta</math> || (Def. rechter Winkel, 1.))
|-
| 3 ( <math>\alpha = 90</math>) || (Def. rechter Winkel, 1.), 2.))
|-

|}
von "Schoki". 
Was bringt dir die Information <math>\alpha +\beta</math>? Ich verstehe nicht, wie du bei 3. auf 90 kommst. 
Frage an alle: Was muss man ergänzen oder ändern, damit der Beweis Sinn macht? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:40, 20. Dez. 2012 (CET)
 
 
{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\alpha</math> sei ein rechter Winkel || Voraussetzung
|-
| 2 <math>|\alpha| = 90</math> || Def. rechter Winkel, 1.)
|-

|}
 
Würde das reichen?--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:22, 26. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 7.2P (WS 12 13)

2013-01-26T16:28:58Z

Unicycle:

Beweisen Sie: Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

https://mail-attachment.googleusercontent.com/attachment/?ui=2&ik=711b502cff&view=att&th=13bb41455a8b801f&attid=0.1&disp=inline&safe=1&zw&saduie=AG9B_P_XWFWLszUpxJnZBpjMnjTD&sadet=1355937013389&sads=-sfcMR3pshyQo6z9eKZB9RHP6nI

Da ich das reinschreiben in Wiki zu kompliziert finde, schicke ich ein Bild von den Zusatzaufgaben 7. von Schoki 
Also bei mir funktioniert der Link nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:56, 21. Dez. 2012 (CET) 
 
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>|\alpha| = 90</math>
|-
| Behauptung || <math>\alpha</math> ist ein rechter Winkel
|}

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>|\alpha| = 90</math> || Voraussetzung
|-
| 2 <math>\alpha</math> ist ein rechter Winkel || Def. rechter Winkel, 1.)
|-

|} 
Auch hier: Reicht das?--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:28, 26. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 7.1P (WS 12 13)

2013-01-26T16:22:11Z

Unicycle:

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || (Jeder rechte Winkel)
|-
| Behauptung || (Maß 90)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 (<math>\alpha +\beta</math>)|| (Def. Nebenwinkel)
|-
| 2 (<math>\alpha =\beta</math> || (Def. rechter Winkel, 1.))
|-
| 3 ( <math>\alpha = 90</math>) || (Def. rechter Winkel, 1.), 2.))
|-

|}
von "Schoki". 
Was bringt dir die Information <math>\alpha +\beta</math>? Ich verstehe nicht, wie du bei 3. auf 90 kommst. 
Frage an alle: Was muss man ergänzen oder ändern, damit der Beweis Sinn macht? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:40, 20. Dez. 2012 (CET)
 
 
{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\alpha</math> sei ein rechter Winkel || Voraussetzung
|-
| 2 <math>\alpha = 90</math> || Def. rechter Winkel, 1.)
|-

|}
 
Würde das reichen?--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:22, 26. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Winkelmaß, Rechte Winkel WS 12 13

2013-01-20T16:24:39Z

Unicycle: /* Definition IV.4 : (Rechter Winkel) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

==== Definition IV.6 : (Winkelmaß)====
::Jedem Winkel <math>\ \alpha</math> kann genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels <math>\ \alpha</math> bezeichnet. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren:

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIe40TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VlLcuM2EF1nToHiIpspU/yTqkie8kw2rprErpEzi+wgEpIQ8zckaEu+QU6RM/hzDh0iJ0kDICVS9Ee07Bm5KlyYJgA2Gu/1625Jgw/zKEQXJMtpEg8VXdUURGI/CWg8HSoFmxx4yofDd4MpSaZknGE0SbIIs6FiqobCxwt6+O6nQT5LLhEOxZKvlFwOlQkOc6KgPM0IDvIZIawxjos5DSnOFifjv4jP8vWENHIcpwXswrICxvwo+Ezz6rEnNkxDyn6lFzQgGQoTf6g4NrgO/30lGaM+DoeKpckRY6gYG5MwZPLZWZLRqyRmfPna+ARGEMrpFYE3NT426ImDDkjhhzSgOOaHEX7AIoQuacBm4IJjgUlCpzPw1bI0ac1PkiwYLXJGIjT/k2QJzLkc54V8MDSLP+XgFuxna2Kq/iSskIsRYQxYyRGekzVe04wGjYfj/GMSrofShMbsE05ZkQlKzXJoxBZ8A9gr4/4exdOQlGM6ID4j/vk4mY8EBropTZ8tUvGKcGg8/ZSESYYyjq4NC8r7WN7FGu7papUm1mhiRWmDG13N631DrBD3sbyLVSGNpWvlyfXq1LpWbUNzxAc4jBCJq8OHeEyAWQUVMWWfqweIgPP1UfkLvxfRGCRQj4GVTf2lbA56G9EzOCdZTEIZIzFwWyRFji54LMq9hCMB8WkEj3JCL73jdP0BDsjRgEwzUjkuBSQBE7ONONwYHvQqJ7gPOfjqM8gEcB7Gz8KFykAkQyVSp6qCAsz4KFdCSCICMmEiJkRIrbA5UlY5IRHyroRczq9Rhul740NEEg7TGYaRSgIhXoDY60cS9k4mk5wwNB8qB7oH0gF5ebXp35KgiQOOAU9xSJBkyu1zxlJCJNmsDHKUwn5CMjUyBIY538tVbbHXgalqjoKuZO4Ui6S+eGIQ25ol+RKwJ6Ab/SjoTF0cR3deHzpdNQ2JnaFyrb8Udh9/WNjJUNBeHzpb1SV0uup5Wv3Su+HoJ1GE4wDFOIJ9RfYX6FFedxHWuIgR1nlAImxwbCVwBavml7fSZmmpxY1IUSvsYTV/H5wpKlyAe9PTXMPwXMeydLNfVvZn8adrVWFZ86dvyZ9hyWi0H+NvXYTYDHJ9THJI7caaOEly5q8x5y6VGTlMLr+QSUjmAmg5XSsLD7DyBS82OBlJTtpk4Me5yMBShSJWtj7Ow1TUgvMhLWlbK6mF9TreDyxVpnST33mAu6plGrW4b/UIj5yHfIvlmlxWahpBF+lTtoIz5NI7jhnUbSLqYLscnxOS8j7oJD7LcJzzdnhnPo9afI6353P8lvgEUVrNtCXTmaPqK349R3P7q8vbZ34fq0an37UavVK98VTN2qgyC5G6N1jcpfg8KIvTliz87WXhv7AsoDsOqMQTlp+Uq5fX6D1a3qB///4HyYL42gkREqFTSsY12hwYlurqrrPPounaerTDYHndqfW4brceNnw6Nx3HtXUA0bE6tB67xEH3JuUF2hB3xy7kPoJOn+oNbzoRdNMmyHT7rqvZtmlDl2h5fed/hup1Z55mYJefsTz+GZkzyAAwUR71529Fwn6RfxXUa1HA4AWl+fb3AHjnVJgznLFTXmCQbChs2b0bqtP4GP40XEYF181z4DLeKFxO+fGx73VDyyzRkhAtr4clVltAZe7cCb0cAAeg537z8qr4sbohYjURuemAiLVfiBglAlo3AOxKQLfPEZC9RxiALOxmUJR9rtExpzjNmLjtEBPOHuEBMdHs+zXNrhBxm0C53QByN9LI+066cfcLI6f5FZxVplbT3IylbRFa3tVLOPRF9whpo3e62/Z7tV27C69y7e45avfeeLk0H/m2tY5dr/4rivjdsPzh9PA/UEsHCMM6q7lzBQAAah0AAFBLAQIUABQACAAIAIe40TzDOqu5cwUAAGodAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAArQUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz IV.1 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz IV.1 ====
Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.

== Rechte Winkel ==

==== Definition IV.2 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition IV.3 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Satz IV.2: ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz IV.3a : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz IV.3a : ====
:: Übungsaufgabe 

==== Satz IV.3b : ====
::Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

==== Beweis von Satz IV.3b : ====
:: Übungsaufgabe 

Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":

==== Definition IV.4 : (Rechter Winkel) ====
Ein Winkel, der genau das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat, heißt rechter Winkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:45, 18. Jan. 2013 (CET)

 
* Diese Defniniton steht schon oben! Hier ist eine neue Definition gesucht, die sich aus dem Kriterium (steht darüber) ableiten lässt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:08, 20. Jan. 2013 (CET)

Dann könnte ich ja einfach sagen: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. ?!?!--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:51, 20. Jan. 2013 (CET) 

Nein, das ist ja der Satz IV.3a... 
Ich denke, die Definition wäre: Wenn ein Winkel, das Maß 90 hat, dann ist er ein rechter Winkel. 
Oder: Ein rechter Winkel, ist ein Winkel mit dem Maß 90. 

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... Ergänzen Sie:

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 12 13)

2013-01-20T16:16:27Z

Unicycle:

Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

Als Hilfe schon mal eine Tabelle. Für die Findung der Lösung darf auch nur angefangen werden. Ist es sinnvoll den Beweis direkt oder indirekt durch Widerspruch zu beweisen? Welche Definitionen sind vermutlich hilfreich? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:36, 10. Dez. 2012 (CET) 
 
Beweis durch Kontraposition: 
Note: <math>\neg (Zw (A,B,C)\vee Zw (A,C,B)\vee Zw (B,A,C)) \Leftrightarrow \neg Zw (A,B,C) \wedge \neg Zw (A,C,B) \wedge \neg Zw (B,A,C)</math> 
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\neg Zw (A,B,C) \wedge \neg Zw (A,C,B) \wedge \neg Zw (B,A,C)</math>
|-
| Behauptung || <math>\neg koll (A,B,C)</math>
|}
 
Fall 1: <math>\neg Zw (A,B,C)</math> (Vor1) 

Fall 2: <math>\neg Zw (A,C,B)</math> (Vor2) 

Fall 3: <math>\neg Zw (B,A,C)</math> (Vor3) 

Zu Fall 1: 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 |1 |AB| + |BC| > |AC| v |AB| + |BC| < |AC| || Vor1; Def. Zw
|-
| 2 Es existiert ein Dreieck ABC || 1.); Dreiecksungleichung
|-
| 3 <math>\neg koll (A,B,C)</math> || 2.); Def. koll
|}
 
Fall 2 und 3 analog zu Fall 1. 
q.e.d. 

* Tolle Idee. Aber auch hier muss man genau hinsehen: 
Deine Note (= Notiz?) ist richtig, wie auch die Kontraposition, die du in Voraussetzung und Behauptung geteilt hast.
Aber dann Vorsicht: Zuerst sehe ich es als problematisch eine Voraussetzung in Fälle zu unterteilen. Es geht ja um die gesamte Aussage. 
Zweitens, der Teilbeweis für Fall 1 stimmt so nicht. Schritt 2 kannst du nicht folgern. Denn dies steht so nicht in der Dreiecksungleichung drin.Es kann aus |AB| + |BC| > |AC| immer noch folgen, dass koll (A,B,C) ist z.B. wenn Zw (A,C,B)gilt (Mache dir dazu eine Skizze).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 20. Jan. 2013 (CET) 

Naja, die Aussage ist ja nur dann richtig, wenn die 3 Fälle jeweils zu <math>\neg koll (A,B,C)</math> führen. Ich kann also auch sagen: <math>(\neg Zw (A,B,C)\Rightarrow \neg koll (A,B,C)) \wedge (\neg Zw (A,C,B) \Rightarrow \neg koll (A,B,C))\wedge (\neg Zw (B,A,C)\Rightarrow \neg koll (A,B,C))</math> 
Daher hab ich die 3 Fälle. ;) 
Aber es gilt doch nach Vor1: <math>\neg Zw (A,B,C)</math> und deswegen können A, B und C nicht kollinear sein, denn dann würde Zw (A,B,C) ja gelten. 
Wenn ich sage: |AB| + |BC| > |AC| dann existiert ein Dreieck A, B, C, wenn ich sage: |AB| + |BC| >/= |AC|, dann könnten sie auch kolliniear sein, aber das können sie nicht, wegen Voraussetzung 1.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:15, 20. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 12 13)

2013-01-20T16:15:30Z

Unicycle:

Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

Als Hilfe schon mal eine Tabelle. Für die Findung der Lösung darf auch nur angefangen werden. Ist es sinnvoll den Beweis direkt oder indirekt durch Widerspruch zu beweisen? Welche Definitionen sind vermutlich hilfreich? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:36, 10. Dez. 2012 (CET) 
 
Beweis durch Kontraposition: 
Note: <math>\neg (Zw (A,B,C)\vee Zw (A,C,B)\vee Zw (B,A,C)) \Leftrightarrow \neg Zw (A,B,C) \wedge \neg Zw (A,C,B) \wedge \neg Zw (B,A,C)</math> 
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\neg Zw (A,B,C) \wedge \neg Zw (A,C,B) \wedge \neg Zw (B,A,C)</math>
|-
| Behauptung || <math>\neg koll (A,B,C)</math>
|}
 
Fall 1: <math>\neg Zw (A,B,C)</math> (Vor1) 

Fall 2: <math>\neg Zw (A,C,B)</math> (Vor2) 

Fall 3: <math>\neg Zw (B,A,C)</math> (Vor3) 

Zu Fall 1: 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 |1 |AB| + |BC| > |AC| v |AB| + |BC| < |AC| || Vor1; Def. Zw
|-
| 2 Es existiert ein Dreieck ABC || 1.); Dreiecksungleichung
|-
| 3 <math>\neg koll (A,B,C)</math> || 2.); Def. koll
|}
 
Fall 2 und 3 analog zu Fall 1. 
q.e.d. 

* Tolle Idee. Aber auch hier muss man genau hinsehen: 
Deine Note (= Notiz?) ist richtig, wie auch die Kontraposition, die du in Voraussetzung und Behauptung geteilt hast.
Aber dann Vorsicht: Zuerst sehe ich es als problematisch eine Voraussetzung in Fälle zu unterteilen. Es geht ja um die gesamte Aussage. 
Zweitens, der Teilbeweis für Fall 1 stimmt so nicht. Schritt 2 kannst du nicht folgern. Denn dies steht so nicht in der Dreiecksungleichung drin.Es kann aus |AB| + |BC| > |AC| immer noch folgen, dass koll (A,B,C) ist z.B. wenn Zw (A,C,B)gilt (Mache dir dazu eine Skizze).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 20. Jan. 2013 (CET) 

Naja, die Aussage ist ja nur dann richtig, wenn die 3 Fälle jeweils zu <math>\neg koll (A,B,C)</math> führen. Ich kann also auch sagen: <math>(\neg Zw (A,B,C)\Leftrightarrow \neg koll (A,B,C)) \wedge (\neg Zw (A,C,B) \Leftrightarrow \neg koll (A,B,C))\wedge (\neg Zw (B,A,C)\Leftrightarrow \neg koll (A,B,C))</math> 
Daher hab ich die 3 Fälle. ;) 
Aber es gilt doch nach Vor1: <math>\neg Zw (A,B,C)</math> und deswegen können A, B und C nicht kollinear sein, denn dann würde Zw (A,B,C) ja gelten. 
Wenn ich sage: |AB| + |BC| > |AC| dann existiert ein Dreieck A, B, C, wenn ich sage: |AB| + |BC| >/= |AC|, dann könnten sie auch kolliniear sein, aber das können sie nicht, wegen Voraussetzung 1.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 17:15, 20. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 2.1P (WS 12 13)

2013-01-19T14:59:42Z

Unicycle:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, bei dem die nicht parallelen Seiten kongruent zueinander sind. --[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 10:46, 22. Nov. 2012 (CET)
*Diese Definition stimmt nicht. Warum? Und wo liegt der Fehler? Wie lautet eine korrekte Definition?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:31, 22. Nov. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_P]]
Die Lösung stimmt nicht, weil dies auch für die Parallelogramme gilt.
*Nein, das ist nicht die richtige Begründung. Diese Definition schließt allerdings z.B. Rauten mit ein - vielleicht hast du das gemeint?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:11, 5. Jan. 2013 (CET)
 
Rauten sind auch Parallelogramme...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:59, 19. Jan. 2013 (CET)
 
Wenn er schreibt: Die nicht parallelen Seiten sind kongruent zueinander. Schließt das nicht das Parallelogramm aus? Denn da sind die kongruenten Seiten parallel zueinander. --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:59, 19. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1 P (WS 12 13)

2013-01-19T14:52:16Z

Unicycle:

<math>\neq</math> Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 
b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 
c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

A)
Implikation 1: Der Absatnd zweier Punkte A und B ist 0. 
Implikation 2: A und B sind identisch.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Du hast zwar Aussagen formuliert, aber keine Implikationen. Implikationen sind Sätze, bei denen aus einer Aussage A eine weitere (B) folgt. A<math> \Rightarrow</math> B--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) |AB| = 0 => A = B 
2.) A = B => |AB| = 0--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
*Top!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
Kontra 1: Der Abstand zweier Punkte ist größer 0. 
Kontra 2: A und B sind verschiedene Punkte. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Auch Kontrapositionen sind Implikationen. Das muss auch hier geändert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) <math>|AB|\neq 0 => A \neq B</math> 
2.) <math>A \neq B => |AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
 
* Achtung, hier hat sich ein Fehler eingeschlichen. Was genau ist eine Kontraposition? Was wäre die Kontraposition vom allgemeinen Fall <math> A \rightarrow B</math> ?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
Mist! Die Seiten müssen jeweils getauscht werden. Die Kontraposition von: <math> A \rightarrow B</math> ist <math> \neg B \rightarrow \neg A</math>. 
 
Annahme1: Der Anstand zweier Punkte A und B ist 0, wenn A und B zwei nicht identische Punkte sind. 

Annahme 2: Der Abstand zweier Punkte ist nicht 0, wenn A und B zwei identische Punkte sind. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET). 
Hier hast du Annahme und Voraussetzung verwoben. Nenne nur die Annahme.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET) 
1.) <math>A \neq B</math> 
2.) <math>|AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
*Genau!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1 P (WS 12 13)

2013-01-19T14:51:43Z

Unicycle:

<math>\neq</math> Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 
b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 
c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

A)
Implikation 1: Der Absatnd zweier Punkte A und B ist 0. 
Implikation 2: A und B sind identisch.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Du hast zwar Aussagen formuliert, aber keine Implikationen. Implikationen sind Sätze, bei denen aus einer Aussage A eine weitere (B) folgt. A<math> \Rightarrow</math> B--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) |AB| = 0 => A = B 
2.) A = B => |AB| = 0--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
*Top!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
Kontra 1: Der Abstand zweier Punkte ist größer 0. 
Kontra 2: A und B sind verschiedene Punkte. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Auch Kontrapositionen sind Implikationen. Das muss auch hier geändert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) <math>|AB|\neq 0 => A \neq B</math> 
2.) <math>A \neq B => |AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
 
* Achtung, hier hat sich ein Fehler eingeschlichen. Was genau ist eine Kontraposition? Was wäre die Kontraposition vom allgemeinen Fall <math> A \rightarrow B</math> ?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
Mist! Die Seiten müssen jeweils getauscht werden. Die Kontraposition von: <math> A \rightarrow B</math> ist <math> \negB \rightarrow \neg A</math>. 
 
Annahme1: Der Anstand zweier Punkte A und B ist 0, wenn A und B zwei nicht identische Punkte sind. 

Annahme 2: Der Abstand zweier Punkte ist nicht 0, wenn A und B zwei identische Punkte sind. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET). 
Hier hast du Annahme und Voraussetzung verwoben. Nenne nur die Annahme.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET) 
1.) <math>A \neq B</math> 
2.) <math>|AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
*Genau!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1 P (WS 12 13)

2013-01-19T14:51:17Z

Unicycle:

<math>\neq</math> Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 
b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 
c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

A)
Implikation 1: Der Absatnd zweier Punkte A und B ist 0. 
Implikation 2: A und B sind identisch.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Du hast zwar Aussagen formuliert, aber keine Implikationen. Implikationen sind Sätze, bei denen aus einer Aussage A eine weitere (B) folgt. A<math> \Rightarrow</math> B--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) |AB| = 0 => A = B 
2.) A = B => |AB| = 0--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
*Top!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
Kontra 1: Der Abstand zweier Punkte ist größer 0. 
Kontra 2: A und B sind verschiedene Punkte. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Auch Kontrapositionen sind Implikationen. Das muss auch hier geändert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) <math>|AB|\neq 0 => A \neq B</math> 
2.) <math>A \neq B => |AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
 
* Achtung, hier hat sich ein Fehler eingeschlichen. Was genau ist eine Kontraposition? Was wäre die Kontraposition vom allgemeinen Fall <math> A \rightarrow B</math> ?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
Mist! Die Seiten müssen jeweils getauscht werden. Die Kontraposition von: <math> A \rightarrow B</math> ist <math> \negB \rightarrow \neg A</math>.
 
Annahme1: Der Anstand zweier Punkte A und B ist 0, wenn A und B zwei nicht identische Punkte sind. 

Annahme 2: Der Abstand zweier Punkte ist nicht 0, wenn A und B zwei identische Punkte sind. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET). 
Hier hast du Annahme und Voraussetzung verwoben. Nenne nur die Annahme.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET) 
1.) <math>A \neq B</math> 
2.) <math>|AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
*Genau!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 18. Jan. 2013 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

2013-01-19T14:48:19Z

Unicycle:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
 
a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math> 
Behauptung: <math>a \|| c</math> 
Annahme: <math>\neg (a||c)</math> 
1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme 
2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.) 
3.) <math>a||b \wedge \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom 
Widerspruch zur Voraussetzung 
* Ich kann den Beweis bis auf Schritt 3. gut nachvollziehen. Wie genau kommst du darauf, dass c nicht parallel zu b sein kann?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:50, 18. Jan. 2013 (CET)

Wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann, laut Parallelenaxiom, c durch S nicht auch parallel zu b sein.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:47, 19. Jan. 2013 (CET)
 
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

2013-01-19T14:47:58Z

Unicycle:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
 
a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math> 
Behauptung: <math>a \|| c</math> 
Annahme: <math>\neg (a||c)</math> 
1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme 
2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.) 
3.) <math>a||b \wedge \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom 
Widerspruch zur Voraussetzung 
* Ich kann den Beweis bis auf Schritt 3. gut nachvollziehen. Wie genau kommst du darauf, dass c nicht parallel zu b sein kann?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:50, 18. Jan. 2013 (CET)

Wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann laut Parallelenaxiom c durch S nicht auch parallel zu b sein.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:47, 19. Jan. 2013 (CET)
 
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

2013-01-19T14:47:40Z

Unicycle:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
 
a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math> 
Behauptung: <math>a \|| c</math> 
Annahme: <math>\neg (a||c)</math> 
1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme 
2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.) 
3.) <math>a||b \wedge \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom 
Widerspruch zur Voraussetzung 
* Ich kann den Beweis bis auf Schritt 3. gut nachvollziehen. Wie genau kommst du darauf, dass c nicht parallel zu b sein kann?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:50, 18. Jan. 2013 (CET)
 
Wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann laut Parallelenaxiom c durch S nicht auch parallel zu b sein.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:47, 19. Jan. 2013 (CET)
 
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 12 13)

2013-01-19T14:39:41Z

Unicycle:

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 12 13)

2013-01-19T14:36:46Z

Unicycle:

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 12 13)

2013-01-19T14:32:44Z

Unicycle:

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (WS 12 13)

2013-01-17T21:36:10Z

Unicycle:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

Zum Verwenden von mathematischen Zeichen, kann man den Formeleditor öffnen (Symbol ganz links, Summenzeichen). Als Hilfestellung schon mal eine Tabelle. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:38, 10. Dez. 2012 (CET)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Zw (A,B,C)
|-
| Behauptung || koll (A,B,C)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>|AB| + |BC| = |AC|</math> || Voraussetzung, Def. Zwischenrelation
|-
| 2 <math>B \in \overline{AC} </math> || 1.)
|-
| 3 <math>A, B, C \in AC </math> || 1,) ; 2,)
|-
| 4 koll (A,B,C) || 3.); Def. koll
|}
 
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen kann, kommt mir irgendwie zu primitiv vor...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:13, 17. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (WS 12 13)

2013-01-17T21:35:00Z

Unicycle:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

Zum Verwenden von mathematischen Zeichen, kann man den Formeleditor öffnen (Symbol ganz links, Summenzeichen). Als Hilfestellung schon mal eine Tabelle. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:38, 10. Dez. 2012 (CET)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Zw (A,B,C)
|-
| Behauptung || koll (A,B,C)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 |AB| + |BC| = |AC| || Voraussetzung, Def. Zwischenrelation
|-
| 2 <math>B \in \overline{AC} </math> || 1.)
|-
| 3 <math>A, B, C \in AC </math> || 1,) ; 2,)
|-
| 4 koll (A,B,C) || 3.); Def. koll
|}
 
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen kann, kommt mir irgendwie zu primitiv vor...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:13, 17. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (WS 12 13)

2013-01-17T21:15:40Z

Unicycle:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

Zum Verwenden von mathematischen Zeichen, kann man den Formeleditor öffnen (Symbol ganz links, Summenzeichen). Als Hilfestellung schon mal eine Tabelle. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:38, 10. Dez. 2012 (CET)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Zw (A,B,C)
|-
| Behauptung || koll (A,B,C)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 g sei Gerade durch A und C|| Voraussetzung
|-
| 2 <math>B \in g</math> || 1.), Def. Zwischenrelation
|-
| 3 <math>A, B, C \in g</math> || 1,) ; 2,)
|-
| 4 koll (A,B,C) || 3.); Def. koll
|}
 
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen kann, kommt mir irgendwie zu primitiv vor...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:13, 17. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (WS 12 13)

2013-01-17T21:13:36Z

Unicycle:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

Zum Verwenden von mathematischen Zeichen, kann man den Formeleditor öffnen (Symbol ganz links, Summenzeichen). Als Hilfestellung schon mal eine Tabelle. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:38, 10. Dez. 2012 (CET)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Zw (A,B,C)
|-
| Behauptung || koll (A,B,C)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 g sei Gerade durch A und C|| Voraussetzung
|-
| 2 B \in g || 1.), Def. Zwischenrelation
|-
| 3 A, B, C \in g || 1,) ; 2,)
|-
| 4 koll (A,B,C) || 3.); Def. koll
|}
 
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen kann, kommt mir irgendwie zu primitiv vor...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:13, 17. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

2013-01-17T21:04:29Z

Unicycle:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
 
a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math> 
Behauptung: <math>a \|| c</math> 
Annahme: <math>\neg (a||c)</math> 
1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme 
2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.) 
3.) <math>a||b \wedge \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom 
Widerspruch zur Voraussetzung 
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

2013-01-17T21:03:58Z

Unicycle:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
 
a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math> 
Behauptung: <math>a \|| c</math> 
Annahme: <math>\neg (a||b)</math> 
1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme 
2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.) 
3.) <math>a||b \wedge \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom 
Widerspruch zur Voraussetzung 
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

2013-01-17T21:02:58Z

Unicycle:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
 
a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math> 
Behauptung: <math>a \|| c</math> 
Annahme: <math>\neg (a||b)</math> 
1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme 
2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.) 
3.) <math>a||b => \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom 
Widerspruch zur Voraussetzung 
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1 P (WS 12 13)

2013-01-17T20:38:09Z

Unicycle:

<math>\neq</math> Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 
b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 
c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

A)
Implikation 1: Der Absatnd zweier Punkte A und B ist 0. 
Implikation 2: A und B sind identisch.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Du hast zwar Aussagen formuliert, aber keine Implikationen. Implikationen sind Sätze, bei denen aus einer Aussage A eine weitere (B) folgt. A<math> \Rightarrow</math> B--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) |AB| = 0 => A = B 
2.) A = B => |AB| = 0--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
 
Kontra 1: Der Abstand zweier Punkte ist größer 0. 
Kontra 2: A und B sind verschiedene Punkte. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET) 
Auch Kontrapositionen sind Implikationen. Das muss auch hier geändert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET)
 
1.) <math>|AB|\neq 0 => A \neq B</math> 
2.) <math>A \neq B => |AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
 
Annahme1: Der Anstand zweier Punkte A und B ist 0, wenn A und B zwei nicht identische Punkte sind. 

Annahme 2: Der Abstand zweier Punkte ist nicht 0, wenn A und B zwei identische Punkte sind. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:50, 26. Nov. 2012 (CET). 
Hier hast du Annahme und Voraussetzung verwoben. Nenne nur die Annahme.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 27. Nov. 2012 (CET) 
1.) <math>A \neq B</math> 
2.) <math>|AB| \neq 0</math>--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 21:38, 17. Jan. 2013 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 12 13)

2013-01-11T17:15:20Z

Unicycle:

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielp latz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Kategorie:Einführung_P]]
 
Also, nach vielem Ausprobieren (möglichst viele Spiegelachsen finden, Punkte spiegeln und verbinden) bin ich auf eine Lösung gekommen, ich weiß allerdings (noch) nicht genau wieso die stimmt und ob's nicht doch einfacher geht... 
Hier meine Schritte: 
1.) Gerade g durch B und C 
2.) A spiegeln an der Geraden g -> A' 
3.) C spiegeln an der Geraden durch A und B -> C' 
4.) Gerade h durch B und C' 
5.) A an der Geraden h spiegeln -> A'1 
6.) B an der Geraden j durch A und A'1 spiegeln -> B' 
7.) Gerade k druch A' und B' zeichnen 
8.) Schnittpunkt der Geraden k mit dem Baumstamm ist die Knickstelle 
9.) Mit dem Zirkel überprüfen --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:19, 7. Jan. 2013 (CET)
 
Ich verstehe die Konstruktion nicht und erhalte gar kein Schnittpunkt bei 8.) Wie bist du denn darauf gekommen? 
Die tatsächliche Lösung ist wirklich einfacher!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:06, 8. Jan. 2013 (CET) 
 
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[[Datei: Fahnenmast-lösungsversuch.PNG | 500px]] (für alle, die Geogebra nicht öffnen können)
 
Danke für den Hinweis, dass ich bei der Zeichnung die Punkte vergessen hatte. Dies nun die richtige Zeichnung. Leider gibt es trotzdem kein Schnittpunkt (zumindest nicht in meinem Fall). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 08:08, 10. Jan. 2013 (CET) 
Ich habe eben erst gesehen, dass es das zweigestrichene A nicht richtig anzeigt...habe es jetzt verbessert. B wird an der Gerade durch A und das zweite gespiegelte A (das rechts neben dem Baumstamm) gespiegelt, nicht an der Horizontalen durch A--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 18:14, 11. Jan. 2013 (CET) 
Darauf gekommen bin ich, wie jedes Kind, das Spiegeln gerade in der Schule hatte: Ausprobieren. ;-) 
Ich habe erstmal alle Punkte an den vorhandenen Geraden gespiegelt, dann habe ich durch die gespiegelten Punkte und die "alten" Punkte Geraden gezogen und wieder gespiegelt, mir das ganze angeschaut und überlegt, wo ich noch spiegeln könnte, dass eine Gerade den Baumstamm schneidet, bis ich dann irgendwann einen richtigen Schnittpunkt hatte...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:13, 9. Jan. 2013 (CET) 
 
Meiner Meinung nach müssen wir einen Punkt auf der Strecke AB finden, bei dem wir den Baumstamm ansägen können, sodass der punkt B auf C liegen kommt!! Daher brauchen wir einfach die Mittelsenkrechte von der strecke BC konstuieren. Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechten und der Strecke AB ist somit unser "Fällpunkt"--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:35, 9. Jan. 2013 (CET) 
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht? :D 
Ich war wohl zu sehr auf's Spiegeln fixiert...Find ich gut deine Lösung! --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:28, 9. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 12 13)

2013-01-11T17:14:12Z

Unicycle:

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielp latz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Kategorie:Einführung_P]]
 
Also, nach vielem Ausprobieren (möglichst viele Spiegelachsen finden, Punkte spiegeln und verbinden) bin ich auf eine Lösung gekommen, ich weiß allerdings (noch) nicht genau wieso die stimmt und ob's nicht doch einfacher geht... 
Hier meine Schritte: 
1.) Gerade g durch B und C 
2.) A spiegeln an der Geraden g -> A' 
3.) C spiegeln an der Geraden durch A und B -> C' 
4.) Gerade h durch B und C' 
5.) A an der Geraden h spiegeln -> A'1 
6.) B an der Geraden j durch A und A'1 spiegeln -> B' 
7.) Gerade k druch A' und B' zeichnen 
8.) Schnittpunkt der Geraden k mit dem Baumstamm ist die Knickstelle 
9.) Mit dem Zirkel überprüfen --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:19, 7. Jan. 2013 (CET)
 
Ich verstehe die Konstruktion nicht und erhalte gar kein Schnittpunkt bei 8.) Wie bist du denn darauf gekommen? 
Die tatsächliche Lösung ist wirklich einfacher!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:06, 8. Jan. 2013 (CET) 
 
<ggb_applet width="624" height="536" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
[[Datei: Fahnenmast-lösungsversuch.PNG | 500px]] (für alle, die Geogebra nicht öffnen können)
 
Danke für den Hinweis, dass ich bei der Zeichnung die Punkte vergessen hatte. Dies nun die richtige Zeichnung. Leider gibt es trotzdem kein Schnittpunkt (zumindest nicht in meinem Fall). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 08:08, 10. Jan. 2013 (CET) 
Ich habe eben erst gesehen, dass es das zweigestrichene A nicht richtig anzeigt...habe es jetzt verbessert. B wird an der Gerade durch A und das zweite gespiegelte A (das rechts neben dem Baumstamm) gespiegelt--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 18:14, 11. Jan. 2013 (CET) 
Darauf gekommen bin ich, wie jedes Kind, das Spiegeln gerade in der Schule hatte: Ausprobieren. ;-) 
Ich habe erstmal alle Punkte an den vorhandenen Geraden gespiegelt, dann habe ich durch die gespiegelten Punkte und die "alten" Punkte Geraden gezogen und wieder gespiegelt, mir das ganze angeschaut und überlegt, wo ich noch spiegeln könnte, dass eine Gerade den Baumstamm schneidet, bis ich dann irgendwann einen richtigen Schnittpunkt hatte...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:13, 9. Jan. 2013 (CET) 
 
Meiner Meinung nach müssen wir einen Punkt auf der Strecke AB finden, bei dem wir den Baumstamm ansägen können, sodass der punkt B auf C liegen kommt!! Daher brauchen wir einfach die Mittelsenkrechte von der strecke BC konstuieren. Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechten und der Strecke AB ist somit unser "Fällpunkt"--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:35, 9. Jan. 2013 (CET) 
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht? :D 
Ich war wohl zu sehr auf's Spiegeln fixiert...Find ich gut deine Lösung! --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:28, 9. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 8.3P (WS 12 13)

2013-01-11T17:08:43Z

Unicycle:

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

So schaut's bei mir aus: 
[[Datei:Unicycle_M-GII_Billiardtisch.jpg]] 
Begründung: Ich konstruiere durch die Spiegelung die kürzeste Strecke zwischen den Kugeln über 2 Banden.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:33, 9. Jan. 2013 (CET)
*Sehr gut. Für mich bleibt noch offen: Warum ist die kürzeste Strecke die gesuchte Lösung? Warum sollte die Kugel gerade die kürzeste Strecke nehmen? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:58, 10. Jan. 2013 (CET) 
Da die Kugel, bei einer längeren Strecke, die zu treffende Kugel nur schneidet oder an ihr vorbeirollt bzw. über 3 oder mehr Banden erst trifft.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 18:08, 11. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.3P (WS 12 13)

2013-01-09T19:33:14Z

Unicycle:

Datei:Unicycle M-GII Billiardtisch.jpg

2013-01-09T19:30:13Z

Unicycle: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = [[Benutzer:Unicycle|Unicycle]]
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 12 13)

2013-01-09T19:28:03Z

Unicycle:

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielp latz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Kategorie:Einführung_P]]
 
Also, nach vielem Ausprobieren (möglichst viele Spiegelachsen finden, Punkte spiegeln und verbinden) bin ich auf eine Lösung gekommen, ich weiß allerdings (noch) nicht genau wieso die stimmt und ob's nicht doch einfacher geht... 
Hier meine Schritte: 
1.) Gerade g durch B und C 
2.) A spiegeln an der Geraden g -> A' 
3.) C spiegeln an der Geraden durch A und B -> C' 
4.) Gerade h durch B und C' 
5.) A an der Geraden h spiegeln -> A'' 
6.) B an der Geraden j durch A und A'' spiegeln -> B' 
7.) Gerade k druch A' und B' zeichnen 
8.) Schnittpunkt der Geraden k mit dem Baumstamm ist die Knickstelle 
9.) Mit dem Zirkel überprüfen --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:19, 7. Jan. 2013 (CET)
 
Ich verstehe die Konstruktion nicht und erhalte gar kein Schnittpunkt bei 8.) Wie bist du denn darauf gekommen? 
<ggb_applet width="497" height="847" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
Die tatsächliche Lösung ist wirklich einfacher!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:06, 8. Jan. 2013 (CET) 
 
Du hast in deiner Zeichnung B und C verwechselt (B ist die Spitze des Baumstammes, C, da wo er aufkommt) 
Darauf gekommen bin ich, wie jedes Kind, das Spiegeln gerade in der Schule hatte: Ausprobieren. ;-) 
Ich habe erstmal alle Punkte an den vorhandenen Geraden gespiegelt, dann habe ich durch die gespiegelten Punkte und die "alten" Punkte Geraden gezogen und wieder gespiegelt, mir das ganze angeschaut und überlegt, wo ich noch spiegeln könnte, dass eine Gerade den Baumstamm schneidet, bis ich dann irgendwann einen richtigen Schnittpunkt hatte...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:13, 9. Jan. 2013 (CET) 
 
Meiner Meinung nach müssen wir einen Punkt auf der Strecke AB finden, bei dem wir den Baumstamm ansägen können, sodass der punkt B auf C liegen kommt!! Daher brauchen wir einfach die Mittelsenkrechte von der strecke BC konstuieren. Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechten und der Strecke AB ist somit unser "Fällpunkt"--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:35, 9. Jan. 2013 (CET) 
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht? :D 
Ich war wohl zu sehr auf's Spiegeln fixiert...Find ich gut deine Lösung! --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:28, 9. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 12 13)

2013-01-09T19:19:54Z

Unicycle:

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielp latz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Kategorie:Einführung_P]]
 
Also, nach vielem Ausprobieren (möglichst viele Spiegelachsen finden, Punkte spiegeln und verbinden) bin ich auf eine Lösung gekommen, ich weiß allerdings (noch) nicht genau wieso die stimmt und ob's nicht doch einfacher geht... 
Hier meine Schritte: 
1.) Gerade g durch B und C 
2.) A spiegeln an der Geraden g -> A' 
3.) C spiegeln an der Geraden durch A und B -> C' 
4.) Gerade h durch B und C' 
5.) A an der Geraden h spiegeln -> A'' 
6.) B an der Geraden j durch A und A'' spiegeln -> B' 
7.) Gerade k druch A' und B' zeichnen 
8.) Schnittpunkt der Geraden k mit dem Baumstamm ist die Knickstelle 
9.) Mit dem Zirkel überprüfen --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:19, 7. Jan. 2013 (CET)
 
Ich verstehe die Konstruktion nicht und erhalte gar kein Schnittpunkt bei 8.) Wie bist du denn darauf gekommen? 
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Die tatsächliche Lösung ist wirklich einfacher!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:06, 8. Jan. 2013 (CET) 
 
Du hast in deiner Zeichnung B und C verwechselt (B ist die Spitze des Baumstammes, C, da wo er aufkommt) 
Darauf gekommen bin ich, wie jedes Kind, das Spiegeln gerade in der Schule hatte: Ausprobieren. ;-) 
Ich habe erstmal alle Punkte an den vorhandenen Geraden gespiegelt, dann habe ich durch die gespiegelten Punkte und die "alten" Punkte Geraden gezogen und wieder gespiegelt, mir das ganze angeschaut und überlegt, wo ich noch spiegeln könnte, dass eine Gerade den Baumstamm schneidet, bis ich dann irgendwann einen richtigen Schnittpunkt hatte...--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:13, 9. Jan. 2013 (CET) 
 
Meiner Meinung nach müssen wir einen Punkt auf der Strecke AB finden, bei dem wir den Baumstamm ansägen können, sodass der punkt B auf C liegen kommt!! Daher brauchen wir einfach die Mittelsenkrechte von der strecke BC konstuieren. Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechten und der Strecke AB ist somit unser "Fällpunkt"--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:35, 9. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 12 13)

2013-01-09T19:13:54Z

Unicycle:

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielp latz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Kategorie:Einführung_P]]
 
Also, nach vielem Ausprobieren (möglichst viele Spiegelachsen finden, Punkte spiegeln und verbinden) bin ich auf eine Lösung gekommen, ich weiß allerdings (noch) nicht genau wieso die stimmt und ob's nicht doch einfacher geht... 
Hier meine Schritte: 
1.) Gerade g durch B und C 
2.) A spiegeln an der Geraden g -> A' 
3.) C spiegeln an der Geraden durch A und B -> C' 
4.) Gerade h durch B und C' 
5.) A an der Geraden h spiegeln -> A'' 
6.) B an der Geraden j durch A und A'' spiegeln -> B' 
7.) Gerade k druch A' und B' zeichnen 
8.) Schnittpunkt der Geraden k mit dem Baumstamm ist die Knickstelle 
9.) Mit dem Zirkel überprüfen --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:19, 7. Jan. 2013 (CET)
 
Ich verstehe die Konstruktion nicht und erhalte gar kein Schnittpunkt bei 8.) Wie bist du denn darauf gekommen? 
 Du hast in deiner Zeichnung B und C verwechselt (B ist die Spitze des Baumstammes, C, da wo er aufkommt)--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:13, 9. Jan. 2013 (CET)--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:13, 9. Jan. 2013 (CET)
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Die tatsächliche Lösung ist wirklich einfacher!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:06, 8. Jan. 2013 (CET) 
 
Meiner Meinung nach müssen wir einen Punkt auf der Strecke AB finden, bei dem wir den Baumstamm ansägen können, sodass der punkt B auf C liegen kommt!! Daher brauchen wir einfach die Mittelsenkrechte von der strecke BC konstuieren. Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechten und der Strecke AB ist somit unser "Fällpunkt"--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:35, 9. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 12 13)

2013-01-07T21:31:26Z

Unicycle:

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 12 13)

2013-01-07T21:19:43Z

Unicycle:

Lösung von Aufg. 6.1P (WS 12/13)

2012-12-12T17:35:13Z

Unicycle:

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine formal korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>. <math>\ AB^{+} :\operatorname(P/Zw) (A, B, P) u\overline{AB}</math> --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:15, 12. Dez. 2012 (CET)

<math>P \in AB: P\in \overline{AB} v B \in \overline{AP}</math>--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:20, 12. Dez. 2012 (CET)

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte A und B. <math>\ AB^+</math> ist die Menge aller Punkte P für die gilt <math>\ {A,B} \cup {P| \ Zw(APB) \vee Zw (ABP)} </math>. --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 18:35, 12. Dez. 2012 (CET) (Ich weiß nicht, warum das Ding, die geschweiften Klammern nicht mitschreibt...)

Ich würde mich echt freuen, wenn mehr Studenten diese Möglichkeit des Wikis nutzen und sich passiv (lesen, nachdenken, verstehen) wie auch aktiv (Fragen stellen, Lösungsvorschläge einstellen) beteiligen. 
Hier könnt ihr die Lösungen zu dieser Aufgabe auch einstellen: http://wikis.zum.de/geowiki/Strecken_und_Halbgeraden_WS_12_13#Definition_I.5:_.28Halbgerade.2C_bzw._Strahl.29
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:25, 10. Dez. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 P (WS 12 13)

2012-11-25T19:10:04Z

Unicycle:

Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
 
Wenn eine Gerade eine Strecke in der Mitte mit einem rechten Winkel schneidet, dann ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:10, 25. Nov. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (WS 12 13 P)

2012-11-25T18:07:06Z

Unicycle:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 

Wenn zwei Geraden mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind g und h identisch.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:24, 22. Nov. 2012 (CET)

b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Wenn zwei Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben, dann sind g und h nicht identisch.
-> Diese Annahme ist falsch, womit die Implikation bewiesen ist. --[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:24, 22. Nov. 2012 (CET) 
Wo schreibst du denn hier die Annahme auf? Allein das ist gefragt :). Und wenn die Annahme falsch ist, dann muss das schon auch belegt/begründet werden. WICHTIG: Die Annahme ist keine Implikation, d.h. sie beginnt nie mit WENN.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:30, 22. Nov. 2012 (CET) 
 
Annahme: Zwei Geraden g und h, die nicht identisch sind, haben mehr als einen Punkt gemeinsam.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 19:06, 25. Nov. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (WS 12 13 P)

2012-11-25T18:06:36Z

Unicycle:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 

Wenn zwei Geraden mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind g und h identisch.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:24, 22. Nov. 2012 (CET)

b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Wenn zwei Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben, dann sind g und h nicht identisch.
-> Diese Annahme ist falsch, womit die Implikation bewiesen ist. --[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:24, 22. Nov. 2012 (CET) 
Wo schreibst du denn hier die Annahme auf? Allein das ist gefragt :). Und wenn die Annahme falsch ist, dann muss das schon auch belegt/begründet werden. WICHTIG: Die Annahme ist keine Implikation, d.h. sie beginnt nie mit WENN.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:30, 22. Nov. 2012 (CET) 
 
Annahme: Zwei Geraden haben mehr als einen Punkt gemeinsam.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 19:06, 25. Nov. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 2.3 (WS 12 13)

2012-11-19T08:57:49Z

Unicycle:

Definieren Sie den Begriff: "Drache" unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 

Ein Drache ist ein Viereck bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist. --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:27, 15. Nov. 2012 (CET) 

*Guter Ansatz. Hier ist noch zu beachten, dass eine Diagonale eine Strecke ist und eine Symmetrieachse eine Gerade ist. Somit kann eine Diagnoale keine Symmetrieachse sein. Wie muss die Definition korrigiert werden? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:19, 16. Nov. 2012 (CET)

Ein Drache ist ein Viereck bei dem mindestens eine Diagonale auf einer Symmetrieachse liegt.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 09:57, 19. Nov. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Ein Drachen ist ein Viereck, das mindestens eine Diagonale besitzt, die gleich der Symmetrieachse ist.

Lösung von Aufgabe 2.2 (WS 12 13)

2012-11-19T08:55:19Z

Unicycle:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

zu 1.) 
Scherenwagenheber sind Rauten.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:25, 15. Nov. 2012 (CET)

zu 2.) 
Eine Raute ist ein Viereck bei dem beide Diagonalen Symmetrieachsen sind.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:25, 15. Nov. 2012 (CET)

*Guter Ansatz. Hier ist noch zu beachten, dass eine Diagonale eine Strecke ist und eine Symmetrieachse eine Gerade ist. Somit kann eine Diagnoale keine Symmetrieachse sein. Wie muss die Definition korrigiert werden? (vgl. Aufgabe 2.3) Oder wie könnte man die Raute noch definieren?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:24, 16. Nov. 2012 (CET)

Zu 2) Wenn die Diagonalen eines Vierecks senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren, so heißt das Viereck Raute.

zu 3.) 
Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleichlangen Seiten. 
Eine Raute ist ein Drache mit vier gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:25, 15. Nov. 2012 (CET)
zu 3) Eine Raute ist ein Drachen bei dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren.

zu 4.) 
Ein allgemeines Wagenheberviereck ist ein n-Eck mit n=4. Es gehört zu den allgemeinen Vierecken. (Bemerkung: Ein allgemeines Viereck wäre eher unhandlich im Einsatz als Wagenheber, aber hier ist ja nach der rein geometrischen Sicht gefragt)--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:25, 15. Nov. 2012 (CET)
*Also mit einem allgemeinen Viereck lässt sich doch nicht einfach ein Auto anheben. Das Viereck muss ja schon bewegbar sein ( das ist ein allgemeinse Viereck ja) und trotzdem ermöglichen, dass das Auto gerade hochgehoben wird. Eine gewisse Eigenschaft ist dazu nötig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:24, 16. Nov. 2012 (CET)
Nagut, wenn das Auto grade hochgehoben werden muss, dann ist es ein Drachen.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 09:55, 19. Nov. 2012 (CET)

Ein allgemeines Wagenheberviereck ist ein Drachen, oder?

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 2.5P (WS 12 13)

2012-11-15T15:01:28Z

Unicycle:

Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)? 

* Sei <math>M</math> ein Punkt und <math>P</math> eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: <math>\left| MP \right|</math> ist konstant, so ist <math>P</math> ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>. 
Die Definition ist nicht richtig, da sie nicht für eine Ebene definiert ist und somit z.B. eine Kugel oder Halbkugel nicht ausschließt.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:47, 15. Nov. 2012 (CET)
 
 
* Sei <math>M</math> ein Punkt und <math>P</math> eine Punktmenge. Wenn gilt: <math>X\in P:\left| XM \right|=r</math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis. 
Das gleiche wie oben, man kann damit auch eine Kugel konstruieren.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 16:01, 15. Nov. 2012 (CET) 
 
* Sei <math>M</math> ein Punkt in der Ebene <math>E</math> und <math>P</math> eine Punktmenge. Wenn <math>P</math> alle Punkte <math>X</math> enthält für die gilt∶ <math>\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}</math> und <math>X\in E </math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. 
Auch hier ist es noch nicht sauber definiert, da nicht ausgeschlossen ist, dass P noch mehr Punkte außer X enthält. Man müsste hier schreiben "...Wenn P nur die Punkte X enthält..."--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 16:01, 15. Nov. 2012 (CET) 
 
* Sei <math>M</math> ein Punkt in der Ebene <math>E</math> und <math>P</math> eine Punktmenge. Wenn <math>P</math> genau alle Punkte <math>X</math> enthält für die gilt∶ <math>\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}</math> und <math>X\in E </math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. 
Hier ist zwar das Problem von oben erkannt, aber nicht richtig umgesetzt. Das genau alle betont lediglich, dass auch wirklich alle X in P enthalten sind, schließt aber immernoch nicht aus, dass P mehr Punkte als nur die Punkte X enthält.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 16:01, 15. Nov. 2012 (CET) 
 
* Sei <math>M</math> ein Punkt in der Ebene <math>E</math> und <math>P</math> eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle <math>X \in P</math> gilt∶ <math>\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}</math>, dann ist <math>P</math> ein Kreis. 
Auch hier ist es wieder das gleiche Problem. Man müsste schreiben "...,dann beschreibt die Menge aller X \in P einen Kreis." --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 16:01, 15. Nov. 2012 (CET) 
 
* Sei <math>M</math> ein Punkt und <math>P</math> eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von <math>P</math> liegen in ein und derselben Ebene wie <math>M</math>. Wenn gilt: <math>\left| MP \right|</math> ist konstant, so ist <math>P</math> ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>.
Hier haben wir endlich eine korrekte Definiton des Kreises. Er liegt in einer Ebene und der Abstand zum Mittelpunkt ist immer der selbe.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 16:01, 15. Nov. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 2.5P (WS 12 13)

2012-11-15T14:48:13Z

Unicycle:

Lösung von Zusatzaufgabe 2.5P (WS 12 13)

2012-11-15T14:47:51Z

Unicycle:

Lösung von Zusatzaufgabe 2.2P (WS 12 13)

2012-11-15T14:43:51Z

Unicycle:

Ein Tangentenviereck ist das, was der Begriff suggeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte die Schnittpunkte von vier unterschiedlichen Tangenten eines Kreises sind.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:43, 15. Nov. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 12 13 P)

2012-11-15T14:37:35Z

Unicycle:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
 
 
zu a) 
Bei zueinander kongruenten Basiswinkeln ist ein Dreieck gleichschenklig.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:37, 15. Nov. 2012 (CET) 

zu b) 
Genau dann, wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, sind die Basiswinkel kongruent zueinander.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:37, 15. Nov. 2012 (CET) 

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 2.5 (WS 12 13)

2012-11-15T14:31:12Z

Unicycle:

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke. 
 
Antwort: 
Das ist noch keine reine Definiton, da man den ersten Teil beweisen kann und Beweise bei Definitionen nichts zu suchen haben.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:30, 15. Nov. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 2.5 (WS 12 13)

2012-11-15T14:30:21Z

Unicycle:

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

Das ist noch keine reine Definiton, da man den ersten Teil beweisen kann und Beweise bei Definitionen nichts zu suchen haben.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:30, 15. Nov. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 2.4 (WS 12 13)

2012-11-15T14:27:54Z

Unicycle:

Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Ja lässt es sich. Das Parallelogramm hat keine Symmetrieachse, ist aber um 180° drehbar. Eine Drehung ist eine Verkettung zweier Punktspiegelungen. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 13:02, 10. Nov. 2012 (CET) 

Wie lässt sich das Parallelogramm definieren?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:18, 10. Nov. 2012 (CET)

Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit einer Punktsymmetrie. --[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:27, 15. Nov. 2012 (CET)