Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Benutzer:UrsUla

2017-06-13T09:04:41Z

UrsUla: Die Seite wurde neu angelegt: „{| class="wikitable" |- | * || e || a || b |- | e || e || a || b |- | a || a || b || e |- | b || b || e || a |} {| class="wikitable" |- | <math>\oplus</math> …“

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| * || e || a || b
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| e || e || a || b
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| a || a || b || e
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| b || b || e || a
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{| class="wikitable"
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| <math>\oplus</math> || <math>\overline{0}</math> || <math>\overline{1}</math> || <math>\overline{2}</math>
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| <math>\overline{0}</math> || <math>\overline{0}</math> || <math>\overline{1}</math> || <math>\overline{2}</math>
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| <math>\overline{1}</math> || <math>\overline{1}</math> || <math>\overline{2}</math> || <math>\overline{0}</math>
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Lösung von Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017

2017-05-16T10:46:18Z

UrsUla:

Sei <math>e_{1}</math> Einselement von <math>[G,\circ]</math>. 
Annahme: <math>\exists e_{2} \in G</math>: <math>e_{2}</math> ist auch Einselement und <math>e_{1} \neq e_{2}</math> 
 
<math>e_{2} \circ a = e_{1} \circ a</math> <math>| \circ a^{-1}</math> 

<math>e_{2} \circ \underbrace{a \circ a^{-1}}_{=e_{1}} = e_{1} \underbrace{a \circ a^{-1}}_{=e_{1}}</math> 

<math>e_{2} \circ e_{1} = e_{1} \circ e_{1}</math> 
<math>e_{2} = e_{1}</math> Widerspruch zur Annahme.

[[Kategorie:Algebra]]

Lösung von Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017

2017-05-16T10:45:00Z

UrsUla: Die Seite wurde neu angelegt: „Sei <math>e_{1}</math> Einselement von <math>[G,\circ]</math>. Annahme: <math>\exists e_{2} \in G</math>: <math>e_{2}</math> ist auch Einselement und <ma…“

Serie 1 Gruppendefinition SoSe 2017

2017-05-16T10:25:24Z

UrsUla: /* Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017=
Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe.

[[Lösung von Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016=
<math>D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}</math>, 
<math>\forall n \in \mathbb{N} : D^n := \underbrace{D \cdot D \cdot \ldots \cdot D}_{n mal}</math>, 
<math>M:=\left\{D^i|1 \leq i \leq 8 \right\} </math>. 
Beweisen Sie: <math>\left[ M, \cdot \right ]</math> ist eine Gruppe. 

[[Lösung von Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016]]

[[TEST Aufgabe 1.2]]

=Aufgabe 1.3. Algebra SoSe 2017=
Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.
# Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an.
# Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe versteht.
# Definieren Sie die andere der beiden Vierergruppen.
[[Lösung von Aufgabe 1.3 SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.4 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleichheit gibt es keine weitere Gruppe der Ordnung 4 als die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.

=Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements <math>g</math> ist gleich dem Rechtsinversen von <math>g</math>. 

[[Lösung von Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn in einer Gruppe <math>G</math> das Element <math>e</math> linksneutral ist, dann ist <math>e</math> in <math>G</math> auch rechtsneutral.

[[Lösung von Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gibt es genau ein neutrales bzw. Einselement.

[[Lösung von Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.8 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Element genau ein inverses Element.

=Aufgabe 1.9 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: 
Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> eine Gruppe ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> ein Monoid, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist.
=Aufgabe 1.10 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> ein Monoid ist, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> eine Gruppe.


|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Lösung von Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017

2017-05-15T20:28:20Z

UrsUla: Die Seite wurde neu angelegt: „Es sei <math>e</math> das linksneutrale Element von <math>a</math>, mit <math>a</math> <math>\in</math> <math>G</math>. Wir multiplizieren <math>e</math> von r…“

Es sei <math>e</math> das linksneutrale Element von <math>a</math>, mit <math>a</math> <math>\in</math> <math>G</math>.
Wir multiplizieren <math>e</math> von rechts mit <math>a</math>. 

<math>a</math> <math> \cdot</math> <math>e</math> 
Wir wissen weiter, dass <math>a^{-1}\cdot a = e</math> gilt (Definition Linksinvers). 
also <math>a \cdot (a^{-1} \cdot a) </math> . 
Aus der Assoziativität folgt: 
<math>(a \cdot a^{-1}) \cdot a </math> 
Und letztlich folgt aus der Lösung von Aufgabe 1.5 Linksinvers = rechtsinvers dann 
<math>e \cdot a
</math> 
Das Linksneutrale <math>e</math> von <math>a</math> ist auch das Rechtsneutrale.

[[Kategorie:Algebra]]

Serie 1 Gruppendefinition SoSe 2017

2017-05-15T20:07:03Z

UrsUla: /* Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017=
Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe.

[[Lösung von Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016=
<math>D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}</math>, 
<math>\forall n \in \mathbb{N} : D^n := \underbrace{D \cdot D \cdot \ldots \cdot D}_{n mal}</math>, 
<math>M:=\left\{D^i|1 \leq i \leq 8 \right\} </math>. 
Beweisen Sie: <math>\left[ M, \cdot \right ]</math> ist eine Gruppe. 

[[Lösung von Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016]]

[[TEST Aufgabe 1.2]]

=Aufgabe 1.3. Algebra SoSe 2017=
Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.
# Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an.
# Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe versteht.
# Definieren Sie die andere der beiden Vierergruppen.
[[Lösung von Aufgabe 1.3 SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.4 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleichheit gibt es keine weitere Gruppe der Ordnung 4 als die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.

=Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements <math>g</math> ist gleich dem Rechtsinversen von <math>g</math>. 

[[Lösung von Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn in einer Gruppe <math>G</math> das Element <math>e</math> linksneutral ist, dann ist <math>e</math> in <math>G</math> auch rechtsneutral.

[[Lösung von Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gibt es genau ein neutrales bzw. Einselement.

=Aufgabe 1.8 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Element genau ein inverses Element.

=Aufgabe 1.9 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: 
Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> eine Gruppe ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> ein Monoid, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist.
=Aufgabe 1.10 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> ein Monoid ist, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> eine Gruppe.


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</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Lösung von Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017

2017-05-08T21:22:42Z

UrsUla: Die Seite wurde neu angelegt: „Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Halbgruppe, dann ist <math>(G,\cdot)</math> eine Gruppe, wenn gilt: <math>i) \exist e \in G \; \forall a\in G: e\cdot a …“

Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Halbgruppe, dann ist <math>(G,\cdot)</math> eine Gruppe, wenn gilt: 
<math>i) \exist e \in G \; \forall a\in G: e\cdot a = a</math> 
<math>ii) \forall a\in G\;\exist a^{-1} \in G: a^{-1}\cdot a = e</math>.

Serie 1 Gruppendefinition SoSe 2017

2017-05-08T21:13:41Z

UrsUla: /* Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017=
Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe.

[[Lösung von Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017]]

=Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016=
<math>D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}</math>, 
<math>\forall n \in \mathbb{N} : D^n := \underbrace{D \cdot D \cdot \ldots \cdot D}_{n mal}</math>, 
<math>M:=\left\{D^i|1 \leq i \leq 8 \right\} </math>. 
Beweisen Sie: <math>\left[ M, \cdot \right ]</math> ist eine Gruppe. 

[[Lösung von Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016]]

[[TEST Aufgabe 1.2]]

=Aufgabe 1.3. Algebra SoSe 2017=
Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.
# Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an.
# Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe versteht.
# Definieren Sie die andere der beiden Vierergruppen.

=Aufgabe 1.4 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleichheit gibt es keine weitere Gruppe der Ordnung 4 als die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.

=Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017=
Bweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements <math>a</math> ist gleich dem Rechtsinversen von <math>a</math>.

=Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn in einer Gruppe <math>G</math> das Element <math>e</math> linksneutral ist, dann ist <math>e</math> in <math>G</math> auch rechtsneutral.

=Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gibt es genau ein neutrales bzw. Einselement.

=Aufgabe 1.8 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Element genau ein inverses Element.

=Aufgabe 1.9 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: 
Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> eine Gruppe ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> ein Monoid, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist.
=Aufgabe 1.10 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> ein Monoid ist, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> eine Gruppe.


|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

2017-05-08T21:08:49Z

UrsUla: /* endliche Gruppen */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Beispiele für Gruppen=
==endliche Gruppen==

===Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks===
{| class="wikitable"
|-
! !! id!! <math>D_{180}</math>!! <math>S_h</math>!! <math>S_v</math>
|-
| <math>id</math> || <math>id</math> || <math>D_{180}</math>|| <math>S_h</math> || <math>S_v</math>
|-
| <math>D_{180}</math>|| <math>D_{180}</math> || <math>id</math> || <math>S_v</math> || <math>S_h</math>
|-
| <math>S_h</math> || <math>S_h</math> || <math>S_v</math> || <math>id</math> || <math>D_{180}</math>
|-
| <math>S_v</math> || <math>S_v</math> || <math>S_h</math> || <math>D_{180}</math>|| <math>id</math>
|}
===Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute===

==unendliche Gruppen==
=== Gebrochene Zahlen: <math>[\mathbb{Q}^+, \cdot ]</math> ===
=== Ganze Zahlen: <math>[\mathbb{Z}, +]</math> ===

=Gegenbeispiele für Gruppen=
[[Test_02]]
=Gruppendefinitionen=
==Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)==
'''Definition 1a: (Gruppe Langfassung)'''
-----
Es sei <math>G</math> eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math>. 
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur <math>\mathbb{G}:=[G, \odot ]</math> Gruppe: 
# <math>\odot</math> ist auf <math>G</math> abgeschlossen: <math>\forall a,b \in G: a \odot b \in G</math>
# <math>\odot</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert in <math>G</math> ein ("universelles") Einslement <math>e</math>: <math>\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a </math>.
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert zu jedem <math>a</math> aus <math>G</math> ein ("persönliches") inverses Element <math>a^{-1}</math>: <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e</math>.

==Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)==
'''Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung)'''
-----
Es sei <math>G</math> eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math>. 
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur <math>\mathbb{G}:=[G, \odot ]</math> Gruppe: 
# <math>\odot</math> ist auf <math>G</math> abgeschlossen: <math>\forall a,b \in G: a \odot b \in G</math>
# <math>\odot</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert in <math>G</math> ein ("universelles") Einslement <math>e</math>: <math>\exist e \in G \forall a \in G: e \odot a= a </math>.
# Bezüglich <math>\odot</math> existiert zu jedem <math>a</math> aus <math>G</math> ein ("persönliches") inverses Element <math>a^{-1}</math>: <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a^{-1} \odot a = e</math>.

==Ordnung einer Gruupe==
Definition:(Gruppenordnung)
: Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente.
==Halbgruppe==
Eine nichtleere Menge <math>H</math> auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math> definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn <math>\odot</math> abgeschlossen auf <math>H</math> und assoziativ ist.
(Bitte dazu in die Diskussion schauen!)

==Monoid==
Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid.

== Das Linkseinslement ist auch Rechtseinslement==
Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement <math>e</math> sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement <math>a</math> multipliziert eben dieses Element <math>a</math> das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird.
Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente. 
Es gilt der Satz: 

====Satz 1====
:Wenn in einer Halbgruppe ein linksseitiges Einselement und zu jedem Element der Halbgruppe ein linksseitiges inverses Element existiert, so sind dieses Linkseinselement und diese Linksinversen gleichzeitig Rechtseinselement und Rechtsinverse. 
====Beweis von Satz 1====
Übungsaufgabe, Hinweise
# Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers
# Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse <math>g^{-1}</math> eines beliebigen Elementes <math>g</math> von rechts mit <math>g</math>:<math>g \odot g^{-1}</math>
# Ersetzen Sie <math>g</math> durch <math>e \odot g</math>
# Ersetzen Sie <math>e</math> durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von <math>g</math> mit dem Linksinversen von <math>g</math>: <math>(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}</math>.
# Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität...

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]