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Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-23T13:09:05Z

Vankman: /* Versuch 1 */

===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math> 
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math>
| (Euklidisches Parallelenaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel
| (I), (Def. Scheitelwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math>
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math>
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (VII), (V), (VI)
|}
-> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

 Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
 Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)
Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-23T13:08:45Z

Vankman: /* Versuch 1 */

===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math> 
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math>
| (Euklidisches Parallelenaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel
| (I), (Def. Scheitelwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math>
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math>
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (VII), (V), (VI)
|}
-> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

 Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
 Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)
Habe den beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks

2010-07-22T09:35:51Z