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Dreieckskongruenz (SoSe 11)

2011-07-28T17:15:48Z

Verteidigungswolf: /* Der Kongruenzsatz SSS */

== Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
===Videos zur Idee der Kongruenz===
{{#ev:youtube|fs5NeNuGzA8}}
{{#ev:youtube|Wm9xdlvD6Z8}}
{{#ev:youtube|tF-z3vQZZFA}}

== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
======Als Folge von Tafeln ======
[[Der fotografierte Beweis]]
======Video======
{{#ev:youtube|vgACEclZ4aI}}
{{#ev:youtube|gKsqeAUNf8g}}
{{#ev:youtube|VYptKtH_ZkQ}}

===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

<ggb_applet width="892" height="590" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

 Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. 

<math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
<math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
<math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 13:59, 12. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beweisversuch (aber ohne Basiswinkelsatz: geht das so auch?):

Vor. Zwei Dreiecke <math>\overline{ABC} und \overline {DEF}</math>

(1) <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
(2) <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
(3) <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> 

Beh: <math>\overline{ABC} \cong \overline {DEF}</math>

Es genügt zu zeigen: <math>\angle CAB \cong \angle FDE </math> weil SWS bereits als Axiom festgelegt

Annahme: oBdA <math>\angle CAB > \angle FDE</math>

1) Auf <math> EF+ </math> gibt es einen Punkt F* | Ax. v. Lineal
<math>\overline BC \cong \overline EF*</math>

2) F ist Element des Inneren von <math> \angle F*DE </math> und <math> Zw(F*,F,E) </math>

3)<math> \angle FDE </math> ist nicht kongruent zu <math> \angle F*DE </math> | 2) und Folgerung aus dem Winkeladd.ax.

4) <math>\overline ABC \cong \overline DEF* </math> | SWS, Vor (1), Vor.

5) <math>\overline BC \cong \overline EF* </math> | 4)

6) <math>\overline BC ist nicht kongruent zu \overline EF </math> | 5),3)

das ist ein Widerspruch zur Vor.(2) also müssen die beiden Dreiecke kongruent zueinander sein.

Ich komme mit der Schreibweise hier nicht zurecht hoffe man erkennt was ich gemeint hab. 
Die Schlussfolgerungen in den Schritten 5 und 6 ergeben für mich keinen Sinn, da du ja schon in Schritt 1 <math>\overline{EF*}</math> so konstruierst, dass <math>\overline{BC} \cong \overline{EF*}</math> ist!?--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 13:05, 16. Jul. 2011 (CEST) Für mich auch nicht
 
Ich sehe den Schritt 2 als unbegründet. Aus der Annahme weißt du nur etwas über die Winkel. Hier kann man nicht auf einen F* schließen, für den diese Bedingungen (Zw(F*,F,E) gelten. 
Für den richtigen Beweis nehme man lieber den Basiswinkelsatz zur Hilfe.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:02, 24. Jul. 2011 (CEST) 

Wie ist es denn mit dem SsW-Satz? Können wir den auch beweisen?--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:50, 23. Jul. 2011 (CEST) Ich denke, auch dieser würde sich mit den uns bekannten Sätzen und Axiomen beweisen lassen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

Dürfen wir SsW als bekannt voraussetzen?--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 19:15, 28. Jul. 2011 (CEST)

Tangentenkriterium

2011-07-26T15:44:14Z

Verteidigungswolf: /* Satz 2: (Tangente am Kreis) */

== Tangentenkriterium ==
===== Kriterium: (Tangete am Kreis) =====
::Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht. 
===== Satz 1: (Tangete am Kreis) =====
::<math>\ t \cap k = \lbrace A\rbrace \Rightarrow MA \perp \ t </math> 
 
 
Beweis durch Wiederspruch: 
Voraussetzung: <math>\ t \cap k = \lbrace A\rbrace</math> 
Behauptung: <math>MA \perp \ t </math> 
 
Annahme: <math>\ MA \not\perp \ t</math>

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B. || Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
|-
| 2 || Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. <math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> und <math>|CB| = |BA|</math> || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
|-
| 3 || <math>|\angle MBA | = |\angle MBC| = 90</math> || nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
|-
| 4 || <math>\overline{MBA} \cong \overline{MBC} </math> || SWS, (2), (3) und weil trivialerweise <math> \overline{MB}</math> zu sich selbst kongruent ist.
|-
| 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) <math>|MC| = |MA| = r</math> nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
|}
 
<ggb_applet width="1366" height="604" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST) 
Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)
 
 
Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)

===== Satz 2: (Tangente am Kreis) =====
::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace \Rightarrow </math> t ist Tangente an k. 
 
 
Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.
 
Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST): Wenn in der Voraussetzung steht: ::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace </math>, heißt das dann nicht schon, dass es nur einen Schnittpunkt von t und k gibt? Vermutlich ist aber genau das zu beweisen, denn dass eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt schneidet, Tangente heißt, ist doch Definition und nicht Satz. Vielleicht wäre ::<math>MA \perp \ t \wedge \lbrace A\rbrace \in k \cap t
</math> besser in der Voraussetzung? [Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende] 
Voraussetzung: <math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace </math> 
Behauptung: t ist Tangente an k 
Annahme: Es ex. ein Punkt S: <math>S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace S\rbrace</math>
 
 
Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.
 
 
{| class="wikitable"
|-
| 1 || <math>\left| MA \right| = \left| MS \right| </math> || Annahme, Definiton Kreis und Radius
|-
| 2 || <math>|\angle MAS| = |\angle MSA| = 90 </math> || Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
|-
| 3 || Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen. || Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck
|}
 
<ggb_applet width="1366" height="604" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
Gut! Aber auch hier lieber ein paar Schritte mehr!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:34, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wieso wird bei der Umkehrung eine Senkrechte auf dem Radius ausgeschlossen? Die Umkehrung lautet doch: Wenn t senkrecht auf MA, dann ist t Tangente. Und t kann doch Senkrecht auf MA stehen und den Kreis zweimal schneiden?
--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 17:44, 26. Jul. 2011 (CEST)

Tangentenkriterium

2011-07-26T15:34:39Z

Verteidigungswolf: /* Satz 2: (Tangente am Kreis) */

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe 11)

2011-07-26T07:58:08Z

Verteidigungswolf: /* Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt, dann ist der Winkel ein Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:28, 17. Jul. 2011 (CEST) Dann könnten die Schenkel des Winkels auch außerhalb des Inneren des Kreises k liegen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:15, 24. Jul. 2011 (CEST) 
 
Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt und seine beiden Schenkel denselben Kreis schneiden, dann ist der Winkel ein Peripheriwinkel.--[[Benutzer:Prayush|Prayush]] 21:21, 17. Jul. 2011 (CEST)
 ganz wichtig: ... ein '''Peripheriewinkel des Kreises k'''! (Erklärung von m.g. unter Zentriwinkel)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:15, 24. Jul. 2011 (CEST)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt M eines Winkels <math> \angle AMB </math> der Mittelpunkt eines Kreises k ist, dann ist der Winkel ein Zentriwinkel. ''Dieser Kreis sei ein Umkreis eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>'' --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:31, 17. Jul. 2011 (CEST) Das Kursive wurde nachträglcih eingefügt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:46, 17. Jul. 2011 (CEST) 

Bemerkung m.g.: 
::Nach der Definition wäre jeder Winkel ein Zentriwinkel. Der Begriff macht erst Sinn, wenn er als Relationsbegriff aufgefasst wird: Ein bestimmter Winkel ist ''Zentriwinkel von einem bestimmten Kreis''.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:19, 17. Jul. 2011 (CEST)

Definition (Zentriwinkel): Es sei ABC ein Dreieck und M der Mittelpunkt seines Umkreises k. Jeder Winkel mit Scheitelpunkt M heißt Zentriwinkel des Kreises k.

Ist das so richtig, oder ist nur der Winkel AMB Zentriwinkel? --[[Benutzer:...s...|...s...]] 17:48, 23. Jul. 2011 (CEST)

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Auch die anderen Winkel sind Zentriwinkel des Kreises k. Es gibt mehrere und unterschiedlich große Zentriwinkel in einem Kreis. 
Wie könnte man Zentriwinkel eines Kreises noch definieren, ohne ein Dreieck zu nutzen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:18, 24. Jul. 2011 (CEST) 

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: 
Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:40, 17. Jul. 2011 (CEST)
 Was ist ein zugehöriger Zentriwinkel? 
<ggb_applet width="328" height="321" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:25, 24. Jul. 2011 (CEST)

 

Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der dazugehörige Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 15:45, 24. Jul. 2011 (CEST) 
Bei dieser Formulierung ist auch kritisch, dass "Zentriwinkel über einem Kreisbogen" nicht definiert wurde.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:25, 24. Jul. 2011 (CEST)
 

Wie heißt der Satz denn jetzt richtig?--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 09:48, 26. Jul. 2011 (CEST)

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:39, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]] 
Was bedeutet "über" ?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:26, 24. Jul. 2011 (CEST)

Es seien A und B zwei Punkte des Kreises k. Für alle C, die sich bezüglich AB in einer Halbebene befinden und C Element k gilt: Winkel ACB ist immer gleich groß.--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 09:58, 26. Jul. 2011 (CEST)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe 11)

2011-07-26T07:48:49Z

Verteidigungswolf: /* Der Zentri-Peripheriewinkelsatz */

Lösung von Aufg. 14.5 (SoSe 11)

2011-07-26T06:25:51Z

Verteidigungswolf:

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz. 

Innenwinkelsatz für Dreiecke ist bewiesen (und Betragsstriche bei Winkelgrößen etc. sind nicht so wichtig).
 Voraussetzung: Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen 
Behauptung: Jeder Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nichtanliegenden Innenwinkel. 
Beweis: 
1. Hilfskonstruktion: Nebenwinkel eines Innenwinkels (nennen wir ihn <math>\delta</math>), o.B.d.A. sei es der Nebenwinkel von <math>\gamma </math>. Begründung: Dreieck hat automatisch Nebenwinkel (brauche ich diese Begründung?) 
2. Es gilt: <math>180 = \alpha + \beta + \gamma </math>. Begründung: Innenwinkelsatz für Dreiecke. 
3. Es gilt außerdem: <math>180 = \delta + \gamma</math>. Begründung: <math>\delta</math> ist Nebenwinkel von <math>\gamma</math> und Nebenwinkel sind nach dem Supplementaxiom supplementär, was heißt: ihre Summe beträgt 180. 
4. Damit muss <math>\delta</math> genauso groß sein wie <math>\alpha + \beta</math>. Begründung: Rechnen in <math>\mathbb{R}</math>. 
Das könnte man jetzt noch an den anderen beiden Ecken durchexerzieren, aber dafür sollte o.B.d.A. reichen, weil ich ja eigentlich die Ecken benennen kann wie ich möchte und in meinem Beweis nie Bezug auf "längere Seite" o.ä. genommen haben. Richtig? Zu knapp? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 22:29, 25. Jul. 2011 (CEST) 

Bei 1. könnte man vielleicht von Außenwinkel sprechen, wir wollen ja den Außenwinkelsatz beweisen...und dann würd ich als Begründung Definition Außenwinkel schreiben?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 08:25, 26. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe 11)

2011-07-26T05:39:21Z

Verteidigungswolf: /* Definition IV.3: Halbraum */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGSMwjwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vlbb9s2FH5efwUhFMWGIbIoWbKF2imyrg8BsiVdsmIYhgG0RMtcdHElypcW/e87vMiW7FhR3KQXP0TmRYeH3+VQckavVkmMFjQvWJaODWxaBqJpkIUsjcZGyacnQ+PV6bNRRLOITnKCplmeED42HNM2RH/JTp/9MCpm2RKRWE55x+hybExJXFADFfOckrCYUcob/aRcsZiRfH05+Y8GvNgOqCDn6byEVXheQl+QhBesqJo9ueA8ZvxXtmAhzVGcBWPDcyF1+PaO5pwFJB4bfUv12GPD3hmELkeMzrKcfchSLqZvg0+hB6GCfaBwpyX6Rj250REtg5iFjKRiMzIPmITQkoV8BiH9IYSkLJoJgHxfRQuyLA+v1wWnCVr9TfNsbJxg7Auk16o5dEWjgLxgQdeSI/WWDEMX15RzoKVAZEW3gEU5CxuN8+KXLN52zTOW8tdkzstccurormu+FgvAWrlI+CyNYqr7MEA+o8HtJFtdSxCwo0LfrOfyFpnQJHqdxVmOcgGvCxP0daKuco7IdDPLknMsOUPHEEE349i35Qx5nairnBWzVKWmd46rXWOrWoYVSHQIGEGKm83HZEKBWgOVKeMXVQMkcLvdqrjh9zKZgAfqItjExI8Vc9Tbkc/oluYpjZVIUuC2zMoCLYQY1VoykZAGLIGmGtCQEEHXn5CA6g1plNMqceUgBZgctepC3Oke9aokRA4F5BpwKAWwHy72IpzKwSVjIzEj00Ah4aJXWCGmCQWfcKkJKakNNmfGpihk0t+Vk/X4FmUY3lORiyX94kLi+YxAppUJYrIGv9c3JSP+loXNrZIUIJP7ANvNRQBBypzSUNc4rpWM5hBS+qKGuASqQCvIAaocWoNhHRODtz+ou+UkZSJhf7mwqxlWqNyDz9uj8Kn7R2L1tdEZmK5t1T+uAss27f7DwAqyJCFpiFKSwMIX4HeJEBOnACKWUBQiWACnUCl5NRCpUDrAHu6idGxgjYxmNeEzMG1Ki0JktNl073husOuoymXZndm5nE4LygWcnqe1ZreRt4X/xDL9vrzFNp0mEY6CH4jwXG/bjXfraQsC9H2q5hSqqrEEjtyA8Xbq/iDrrsxN2pnLIVKF+eQwcX5n4hoSTkOmDADTL/Vsil5E/CXaEPZEtempCNxFoo1ASUQsrH2ecjikqCz6+2fPLaVzcehfpjc5SQvx8Kfm1M60A0q4khWvqYVoTwRX7SJols2ro8omthV18vqtlM6h6dveEFvW0MMD3xkq52PT83z4OB72nL6NRUU4vowe9OLVHg1Bdy8GX8qL8SEvCvNtrfhZdNa8iE0XC4t5ztDx3AH8kZw45qBO1MDXlPjmwHJs13d8x3Xh9aL//Tjzmkaif0cbV4fqdNiujUJHq6gNv4g+SPvjkdUqCa+bJCzTHdyhCFBK32pIQhXrk4HZdwbeVhLO9yOJdxAzy7ue3GW7IhYqWMVleVgQdpsgmq9btX0eR3rHOnDXSbwWEX31SLsN3WVDtVcuTWxAck4LeAXUO+bQlkcloqu5wPxonvar+uJBPC0ehaf7X10ehaa7yvJanJT7RfwrkAa9OYQWRUvDsjTU1BL10MLYIaB3HzXL74kay/Rs28We7TsYDzB8q8qmPfD7ntvHbt/xh7735gQ/AT3tPFDNw+rH5U93AZ+WCc1ZYGzniyVho2W13f3ddYYU35/fDV1xrHN88b7M+Muzt/9+/PkTUg1jP2MOdxjN25/wPeiR1MKKC3JD/2oeT/qH1wIImFY5qx9hQSaaanvPgapo+0Ndpl3Xb3zqD9D3Q2/vQX/yEOjtzi8oD3/q/VaRd70K+YNQN0CbZFlMwaoVJmTXYTV9dhLxcSC5d/4E46tTpN8C4f0ichoiev5PtqC5qGwfr95+et5dTE53H38+BE+tE8e0Bg1f6kNBPFc1HrfsQyrq1X+elv+R0f+SOv0fUEsHCKhmSd+1BQAAxBoAAFBLAQIUABQACAAIAGSMwjyoZknftQUAAMQaAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA7wUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

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|}

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ''Punkt'' in zwei ''Halbgeraden'' eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ''Gerade'' in zwei ''Halbebenen'' eingeteilt.

::Eine Gerade ist ein ''ein''dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein ''zwei''dimensionales Objekt.

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein'' null''dimensionales geometrisches Objekt. 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein ''ein''dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension'' n-1'' .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbgeraden'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbgeraden''.

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \epsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \epsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Die Menge <math>\ \epsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbebene'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbebene'' .--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:04, 23. Jul. 2011 (CEST)

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge P\in E \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P||\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in E \}</math>
--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:11, 23. Jul. 2011 (CEST)

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 
::Ergänzen Sie selbst.

:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \}</math>

:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)

muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.4: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)

===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe 11)

2011-07-25T17:31:36Z

Verteidigungswolf:

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

 Darf ich bei diesem Beweis die Def am Kreis (Radius) verwenden? Muss ich zeigen, dass die drei Geraden sich in einem Pkt schneiden und muss ich noch zeigen, dass dieser Punkt der MP des Umkreises ist? Oder muss ich nur zeigen, dass der Pkt MP des Umkreises ist und kann voraussetzen, dass sich die drei Geraden in einem Pkt schneiden?--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:23, 17. Jul. 2011 (CEST) 
Man muss zeigen, dass sich die Geraden in genau einem Punkt schneiden. Dass dieser Punkt dann der Mittelpunkt des Umkreises ist, ergibt sich dann ganz von selbst.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:55, 24. Jul. 2011 (CEST)

Und womit kann ich begründen, dass sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden? Woher weiß ich, dass sie zB nicht parallel sind?--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 19:31, 25. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe 11)

2011-07-25T17:07:10Z

Verteidigungswolf:

Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-25T09:58:01Z

Verteidigungswolf:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011 
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 

[[Datei:Muffinkopf_Übung_15_Nr.2.jpg]]--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:28, 24. Jul. 2011 (CEST)
Hast du vielleicht eie Skizze dazu? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:28, 24. Jul. 2011 (CEST)

[[Datei:Muffinkopf_Skizze_Übung_15.jpg]] hier die Skizze dazu --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 07:37, 25. Jul. 2011 (CEST)

Danke erstmal für die Skizze! Nur irgendwie versteh ich nicht genau, wo du die Annahme verwendest...--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 11:57, 25. Jul. 2011 (CEST)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-25T09:57:21Z

Verteidigungswolf:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011 
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 

[[Datei:Muffinkopf_Übung_15_Nr.2.jpg]]--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:28, 24. Jul. 2011 (CEST)
Hast du vielleicht eie Skizze dazu? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:28, 24. Jul. 2011 (CEST)

[[Datei:Muffinkopf_Skizze_Übung_15.jpg]] hier die Skizze dazu --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 07:37, 25. Jul. 2011 (CEST)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

<ggb_applet width="546" height="527" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
Danke erstmal für die Skizze! Nur irgendwie versteh ich nicht genau, wo du die Annahme verwendest...--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 11:57, 25. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-24T18:28:52Z

Verteidigungswolf:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011 
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 

[[Datei:Muffinkopf_Übung_15_Nr.2.jpg]]--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:28, 24. Jul. 2011 (CEST)
Hast du vielleicht eie Skizze dazu? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:28, 24. Jul. 2011 (CEST)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

<ggb_applet width="546" height="527" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 11)

2011-07-24T18:21:02Z

Verteidigungswolf: /* Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:

[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \cong \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SSS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

 
Da wir für den Beweis vom SSS den Basiswinkelsatz benutzen, deswegen dürfen wir nicht für den Beweis vom Basiswinkelsatz den SSS benutzen. --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:41, 1. Jul. 2011 (CEST) 
Bei der Klausurvorbereitung drübergestolpert: Ist nicht außerdem die nette Skizze irreführend? Nur aus der Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten wissen wir doch noch nicht, dass sie auch durch C geht, oder? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 18:16, 24. Jul. 2011 (CEST) 

Ich würde sagen es muss gar nicht die Mittelsenkrechte sein. Man kann ja auch die Strecke MC bilden, ohne dass sie senkrecht auf der Strecke AB steht...--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:21, 24. Jul. 2011 (CEST)

===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus. 
Das finde ich ganz schön gemein von den Dozenten ein unschuldiges Lemma vorauszuschicken. Es ist doch noch so klein. Naja, um sauber beweisen zu können müssen wir dieses Opfer wohl bringen. Dann mach es gut kleines Lemma, pass gut auf dich auf und vielleicht sehen wir uns ja irgendwann wieder :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:14, 7. Jul. 2011 (CEST)
======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
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== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::::Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math> gilt.

 

Hier fand eine Diskussion zu Satz VII.6 statt. Ich hab den inhalt in die Diskussionsseite verschoben und dort meine Bemerkungen gemacht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:34, 9. Jul. 2011 (CEST)

=====Bezug zur Schule:=====
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke <math>\overline{AB}</math>

gesucht: <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

Frage: ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

===== Beweis von Satz VII.6 a =====

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.

Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:
::Wir wissen, eine Implikation ''aus a folgt b'' bedeutet, dass ''a'' eine hinreichende Bedingung für ''b'' ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?

::Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt <math>\ P</math> zu zwei verschiedenen Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> liegt.
::Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>. 
Alles klar?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:37, 9. Jul. 2011 (CEST)

Beweis: Übungsaufgabe
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Definition der Woche 10 (SoSe 11)

2011-07-24T18:15:16Z

Verteidigungswolf: /* Motorform als Hypo- bzw. Epizykloide */

Die folgende Abbildung zeigt den schematischen Aufbau eines Wankelmotors. Der sich drehende "Kolben" hat dabei die Form eines sogenannten Reuleauxdreiecks. 
[[Bild:Wankel00_0037.jpg]] 
Definieren Sie den Begriff Reuleauxdreieck.

Zunächst sei angemerkt, dass das Ding hier sau schwer ist (im ernst, so ein Wankelmotorblock wiegt schon so seine Kilos :-) ). 
Da wir es hier mit einem kleinen Zahnrad zu tun haben, über das ein größeres läuft, können wir hier evtl. mit den Hypozykloiden definieren. 
Definition Motorblock (auch wenn das hier nicht gefragt ist): 

Sei A ein Zahnrad und B ein Zahnrad, für das gilt, dass die Anzahl der Zähne in A genau 2/3 der Anzahl von B entsprechen. Ferner sei N ein beliebiger Punkt im inneren von A mit N <math>\neq</math> Mittelpunkt von A.

Das Hypozykloid, welches die Form eines Wankelmotorblocks hat, ist die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass |NP| = |RadiusA| + |RadiusB| + x, wobei x = fab.

Hier der "Beweis" (auch wenn man Definitionen nicht beweisen kann, deshalb in ""):

 
[[Bild:Hypozykloid.JPG]]
 
Jetzt das Dreick:
 
Intuitiv: Ein Reuleauxdreieck ist ein Dreieck, das so aussieht wie ein Querschnitt von Stabilo Trio Scribble Stiften.
 
Ein bischen informeller: Ein Reuleaudreieck ist die Schnittmenge einer Ebene E mit einem Stabilo Trio Scribble Stift. Die Ebene schneidet den Stift parallel zur Grundfläche von Stabilo Trio Scribble.
 
Ein bischen formaler: Ein Reuleaudreieck ist ein konvexes Dreieck dessen drei Seiten je ein und die selbe Krümmung haben.
 
Mathematisch, formal korrekt: Sei \overline{ABC} ein konvexes Dreieck, dessen Seiten kongruent zueinander sind. Wenn die Seiten von \overline{ABC} derart gekrümmt sind, dass sie keine Strecke zwischen ihren Endpunkten bilden, dann ist das Dreieck ein Reuleaudreieck.

 
Naja ob das jetzt so formal korrekt ist sei dahingestellt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 11:46, 25. Jun. 2011 (CEST) Ich werd mir auf alle Fälle keinen Mazda kaufen - da sind die Dinger nämlich drin und jetzt ist mir die Freude am Wankelmotor (der Erfinder ist übrigens auf dem Bergfriedhof in HD beerdigt worden) vergangen. :-)

==ein wenig Hilfe==

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:15, 26. Jun. 2011 (CEST) 
===So kann man ein Reuleauxdreieck mit Geogebra konstruieren===
<ggb_applet width="546" height="561" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 
===Krümmung===
Die Idee mit der Krümmung ist gut. Klar, wir haben ein Dreieck dessen Seiten keine Strecken sind. Wären es Strecken, dann hätte jeder Punkt dieser Strecke die Krümmung 0. Jeder Punkt einer ebenen Kurve hat eine ihm zugeordnete Krümmung. In der Regel haben zwei verschiedene Punkte einer Kurve auch zwei verschiedene Werte, die ihnen als Krümmung zuzuordnen sind: {{wpd|Krümmung}}. Es gibt jedoch auch Kurven, bei denen mehrere Punkte ein und dieselbe Krümmung haben. So haben etwa alle Punkte ein und desselben Kreises dieselbe Krümmung. Hätten wir Krümmung sauber definiert, könnten wir den begriff Kreis wie folgt definieren: Ein Kreis ist eine ebene Kurve mit konstanter Krümmung. Die Punkte eines größeren Kreises haben eine geringere Krümmung als die Punkte eines kleineren Kreises. Die Krümmung eines Kreises lässt sich dementsprechend wie folgt definieren: Es sei <math>k_{M,r}</math> ein Kreis. Die Krümmung von <math>k_{M,r}</math> ist die Zahl <math>\frac{1}{r}</math>.

Sie haben richtig erkannt, dass jeder Punkt der Seiten unseres Reuleauxdreiecks dieselbe Krümmung hat. Sie sind also Teile eines Kreises. Anders ausgedrückt: Die "Seiten" eines Reuleauxdreiecks sind Teile von Kreisen.

===Mazda===
Nur im Mazda RX8 (und seinen Vorgängern) werkelt ein Wankelmotor.
Legendär war der NSU RO 80: {{wpd|NSU_Ro_80}}.

Damals hatte sogar versucht in den Trabbi einen Wankelmotor einzubauen.

===Felix Wankel===
{{wpd|Felix_Wankel}}
===Motorform als Hypo- bzw. Epizykloide===
[[Rollkurven#Wankelmotor]]
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Es sei ABC ein gleichseitiges Dreieck, x sei die Seitenlänge des Dreiecks. Unter einem Reuleauxdreieck versteht man die Kreisbögen durch je zwei Eckpunkte des Dreiecks ABC mit dem dritten Punkt als Mittelpunkt und dem Radius x.--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 13:44, 23. Jul. 2011 (CEST) 
Hört sich ganz gut an, aber könnte nicht dies dann auch ein Releauxdreick sein: 

<ggb_applet width="260" height="258" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />?
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:08, 24. Jul. 2011 (CEST)

Vielleicht noch: ...hierbei liegt das Dreieck ABC nicht im Inneren des Kreisbogens?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:15, 24. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 15.1 (SoSe 11)

2011-07-24T11:52:29Z

Verteidigungswolf:

Definieren Sie den Begriff "Tangente an einem Kreis"

Es sei k ein Kreis und t eine Gerade. Wenn t und k nur einen Punkt gemeinsam haben, dann ist t Tangente an k. --[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:24, 23. Jul. 2011 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Es sei k ein Kreis und t eine Gerade die k genau in einem Punkt A berührt/schneidet. t ist Tangente von k mit dem Berührpunkt A. --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 13:52, 24. Jul. 2011 (CEST)

Definition der Woche 10 (SoSe 11)

2011-07-23T11:44:19Z

Verteidigungswolf: /* ein wenig Hilfe */

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 11)

2011-07-23T08:59:31Z

Verteidigungswolf:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

2.3

[[Category:Einführung_Geometrie]]
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, welches zwei Paralelle Seiten hat, und die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:40, 20. Apr. 2011 (CEST)
ja, das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:50, 10. Mai 2011 (CEST)
2.3
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, dass ein paar paralleler Seiten hat und bei dem die anderen zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 23:19, 3. Mai 2011 (CEST)
könnte das nicht auch ein Parallelogramm sein?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:50, 10. Mai 2011 (CEST)

weitere Vorschläge?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:40, 6. Mai 2011 (CEST)

2.3
* Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez mit Umkreis. 
Korrekt!
* Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, bei dem die Mittelsenkrechte der Basis eine Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:...s...|...s...]] 11:33, 15. Jun. 2011 (CEST) 
Gute Idee! Nur was ist eine "Basis des Trapez". Das muss zuerst definiert werden oder ersetzt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:57, 15. Jun. 2011 (CEST)

 
 
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist oder wenn ein paar Seiten parallel sind und das andere Paar kongruent, dann ist das Viereck ein gl. Trapez. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 14:30, 21. Jul. 2011 (CEST)
Korrekt!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:15, 21. Jul. 2011 (CEST)

könnte das nicht auch ein Parallelogramm sein?--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 10:59, 23. Jul. 2011 (CEST)

Definition der Woche 9 (SoSe 11)

2011-07-21T14:02:27Z

Verteidigungswolf:

Man definiere die folgenden Begriffe:

# n-Eck
# regelmäßiges n-Eck
# Inneres eines regelmäßigen n-Ecks

[[Category:Einführung_Geometrie]]

1. Ein n- Eck ist eine geometrische Figur mit n- Ecken.

2. Ein regelmäßíges n- Eck ist ein n- Eck mit n kongruenten (Innen)Winkel.
Reicht das?

3. Das Innere eines regelmäßigen n-Ecks ist die Schnittmenge der Halbebenen, welche durch die Seiten des n-Ecks und einen weiteren Punkt des n- Ecks bestimmt werden.--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 16:02, 21. Jul. 2011 (CEST)

Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe 11)

2011-07-20T10:26:52Z

Verteidigungswolf: /* Der Existenzbeweis */

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

<ggb_applet width="598" height="267" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... 
* zu den Endpunkten A und B den gleichen Abstand hat und <math>M \in \overline{AB}</math> ,dann heißt <math>\ M</math> Mittelpunkt.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 10:32, 14. Jun. 2011 (CEST) 
Eine Eigenschaft ist doppelt genannt. Welche? Zu definieren ist nicht einfach "Mittelpunkt", sondern "Mittelpunkt einer Strecke". Was sollte man ändern/ergänzen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:55, 14. Jun. 2011 (CEST)

 es wurde <math>M\in \overline{AB}</math> doppelt eingefügt.
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>zu den Endpunkten A und B den gleichen Abstand hat, dann ist M Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:09, 19. Jun. 2011 (CEST)
* ...
Üben Sie sich und ergänzen Sie.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:34, 26. Mai 2011 (CEST)

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

{{#ev:youtube|5KkJuWgNNeY}}

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Abstandsaxiom A/1
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
 Rechnen in R--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
 2, Def. Strahl --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
 Def. Zwischenrelation, Rechnen in R, 4,5--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST) irgendwie versteh ich den Schritt nicht...kann mir jemand helfen? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 12:26, 20. Jul. 2011 (CEST)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
 2,3,6--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
 7 --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:34, 19. Jun. 2011 (CEST)
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 
Die Frage ist doch zunächst, ob es in der Prüfung Extrapunkte oder Punktabzug gibt, wenn man statt "Eindeutigkeitsbeweis" "Highlanderbeweis" schreibt? :-)
 
 
Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes:
 
Voraussetzung: <math>\exists \,M</math> <math>\in</math> <math>\overline{AB}: |AM| = |BM|</math> 
Behauptung: "Es kann nur einen geben": <math>\exists ! M \in \overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
 
Annahme: <math>\exists M_1 \ und \ M_2: |AM_1| = |M_1B| \ und \ |AM_2| = |M_2B|</math>
 

{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || <math>\exists</math> d: d = <math>\overline{AB}</math> || Axiom II.1; Voraussetzung
|-
| 2 || <math>\exists</math> d*: d* = <math>\frac{d}{2}</math> || Rechnen in R; (1)
|-
| 3 || <math>d* = |AM_1| = |M_1B| </math> und <math> d* = |AM_2| = |M_2B| </math> || Existenzbeweis Mittelpunkt, Def. Mittelpunkt, Annahme, (2)
|-
| 4 || <math> |AM_1| = |AM_2| </math>|| (3), Transitivität der Gleichrelation
|-
| 5 || <math>M_1 = M_2</math> || (4); Axiom II.1
|-
| 6 || Für <math>M_1 = M_2</math> existiert genau ein Mittelpunkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> || (5)
|}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:13, 4. Jun. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

In Schritt 3 schreibst du <math> d* = |AM_2| </math>. Warum sollte das für <math>M_2</math> gelten? Gehst du nicht hier schon davon aus, dass <math>M_1=M_2</math>? Steht in der Annahme oder der Def. Mittelpunkt, dass es <math>\frac{d}{2} =|AM_2|</math> sein muss?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:19, 6. Jun. 2011 (CEST)
 
Ja und zwar genau im vorherigen Beweis, wenn ich den Mittelpunkt M festlege mit |AM|=d*. WENN das hier nicht für jeden x-beliebigen Mittelpunkt und dem Axiom vom Abstand gilt, sondern nur für einen einzigen Mittelpunkt, dann bräuchte ich den Highlanderbeweis ja gar nicht erst durchzuführen. So hab ich mir das gedacht, scheinbar gehe ich fehl. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:20, 7. Jun. 2011 (CEST)
 vielleicht kann ja die anne die richtige Lösung auf die Diskussionsseite schreiben, weil sonst wart ich hier zwei wochen auf den eindeutigkeitsbeweis und warte und warte und warte - auch in der lerngruppe ham wir uns da schon gedanken drüber gemacht, aber wenn man sich mal in eine richtung verrannt hat, dann ist es ohnehin schwierig da den kopf wieder frei zu bekommen :-) 
Ich (--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:26, 11. Jun. 2011 (CEST))stelle hier keine Lösungen rein (denn ich habe nicht DIE Lösung und das ist auch gar nicht meine Aufgabe). Ich weiß schon, dass das sehr nervig sein kann, aber ich kann euch mal einen anderen Ansatz vorschlagen.
Voraussetzung: <math>\exists \,M</math> <math>\in</math> <math>\overline{AB}: |AM| = |BM|</math> 
Behauptung: "Es kann nur einen geben": <math>\exists ! M \in \overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
 
Annahme: <math>\exists \ M_2. \ M_2 </math> verschieden zu <math>\ M_1</math>, <math> \ M_2</math> ist Mittelpunkt von <math> \overline{AB}</math>
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || <math>M_2 \in \overline{AB}</math> || Annahme, Def. Mittelpunkt
|-
| 2 || <math>\overline{AB} = \overline{AM_2}+ \overline{M_2B}</math> || (1), Zwischenrelation, Axiom Dreiecksungleichung
|-
| 3 || <math>\left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right|</math> || Voraussetzung, (2)
|-
| 4 || <math>\overline{AM_2} = \frac{\overline{AB}}{2}</math> || Rechnen in R;(1);(2);(3)
|-
| 5 || <math> \overline{AM_1} = \frac{\overline{AB}}{2}</math> || Existenzbeweis Mittelpunkt
|-
| 6 || |AM_2| = |AM_1| || (5), Axiom II.1
|-
| 7 || M1 = M2 || (6)Widerspruch zur Annahme
|} Annahme zu verwerfen. 
Eure Aufgabe ist den Beweis zu vervollständigen (und gegebenenfalls zu kritisieren!)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:26, 11. Jun. 2011 (CEST)

Recht viel besser scheint mir das aber auch nicht zu sein :-) vorher habe ich es ja auch so hingedreht, dass es passt und jetzt halt wieder (?) Wir sollten es einfach als Axiom annehmen, dass es einen Mittelpunkt gibt und der Käse ist gegessen und die Welt ist schön :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 14:08, 12. Jun. 2011 (CEST)
 
 
Nochmal ein letzer Versuch (unabhängig, ob das vorherige stimmt oder nicht), ansonsten werde ich in der Tat die Geometrie umschreiben und das Axiom von Flo60 einführen, das da heißen wird: Jede Strecke \overline{AB} besitzt genau einen Punkt M für den gilt: |AM| = |MB|.
 
 
Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> 
Behauptung: <math>\exists M \in \overline{AB} : |AM|=|MB|</math>
 
Beweisteil II: Es kann nur einen geben.
 
 
Annahme: <math>\exists S \in \overline{AB} : S \neq M \wedge |AS|=|SB|</math>
 

{| class="wikitable"
|-
| 1 || |AM| = |BM| = <math>\frac{\overline{AB}}{2}</math> || Existenzbeweis
|-
| 2 || |AS| <math>\neq</math> |AM| || Annahme (<math>S \neq M</math>)
|-
| 3 || |AS| und |SB| sind ungleich <math>\frac{\overline{AB}}{2}</math> || (1) (2) Annahme (<math>|AS| = |SB|</math>)
|-
| 4 || nkoll(A, S, B) || (3) Annahme (<math>|AS| = |SB|</math>)
|-
| 5 || für nkoll(A, S, B) gilt: <math>S \not\in \overline{AB}</math> || (4), Axiom II.3
|-
| 6 || Wiederspruch zu <math>S \in \overline{AB}</math> || (5), Def. Mittelpunkt
|-
| 7 || Annahme ist zu verwerfen || (6)
|}
 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 13:42, 13. Jun. 2011 (CEST) 
Ich '''denke''', die vorigen Beweise sind so richtig. Beim letzten hätte ich von Schritt 3 auf 4 noch zwischengeschoben, das gilt : <math>|AS| + |SB| \neq |AB|</math>.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:07, 14. Jun. 2011 (CEST)
 
Wieso ist der Beweis, nachdem wir das Axiom vom Lineal haben, immer noch zweiteilig? Wieso müssen Existenz und Eindeutigkeit getrennt behandelt werden, das Axiom vom Lineal legt doch schon beides fest? Mir ist klar, dass beides nachgewiesen werden muss, aber wieso in getrennten Schritten? Sobald ich raus habe, dass alle möglichen Mittelpunkte den Abstand d/2 von A haben, lässt mir Axiom III.1 doch alle diese möglichen Mittelpunkte auf genau einen zusammenschrumpfen, oder? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 16:01, 16. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.6 (SoSe 11)

2011-07-16T08:12:43Z

Verteidigungswolf:

Es sei <math>\ \mathfrak{F}</math> die Menge der Figuren der Ebene. Auf <math>\ \mathfrak{F}</math> sei eine Äquivalenzrelation <math>\ \Theta</math> definiert. <math>\ \Theta</math> möge <math>\ \mathfrak{F}</math> derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen:
[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]] 
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an. 

- sind konvex 
- liegen in der gleichen Ebene wie
[[Category:Einführung_Geometrie]]

- haben den gleichen Flächeninhalt
--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)

Die Antwort: "haben den gleichen Flächeninhalt" ist korrekt, die Antwort: "sind konvex" ist problematisch. Erkennen Sie den prinzipiellen Unterschied zwischen den beiden Antworten?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:27, 9. Jun. 2011 (CEST)

konvex wäre doch dann möglich, wenn das Dreieck nicht dabei wäre? Dreicke sind doch immer konvex, dann würde die
Def. von Madita alle Dreiecke mit einschließen...--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:51, 14. Jul. 2011 (CEST) 
Dreiecke sind immer konvex, das ist richtig. Deshalb tritt hier kein Problem auf, dies liegt wo anders. 

Überlegt euch nochmal den Unterschied der Begriffe Relation und Klasse. 
''Ein Beispiel: 
''Eine Menge an Wäscheklammern lässt sich in Klassen einteilen. Z.B. die Klasse der roten, grünen, blauen... Wäscheklammern.
Sind zwei Wäscheklammern in einer Klasse, so stehen sie in Relation. Diese kann man dann "hat gleiche Farbe wie" nennen.'''' 
Was ist bei "sind konvex" problematisch und wie könnte man es dann sagen? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:01, 14. Jul. 2011 (CEST)
 Eine Figur ist entweder konvex oder konkav. Somit gibt es die Klasse der konvexen und der konkaven Figuren. Aber es wird dabei keine Relation zueinander angegeben wie z.B. "ist konvex wie".--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:37, 15. Jul. 2011 (CEST)

Bin gerade am Wiederholen und jetzt irgendwie verwirrt...Wieso genau kann man nicht die Klassen Konvex und Konkav(nicht konvex) wählen? Man könnte jede Figur einer Klasse zuordnen und keine Figur wäre in zwei Klassen. Ist das Problem, dass es hier keine konkaven Figuren gibt? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 10:12, 16. Jul. 2011 (CEST)

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-15T16:17:12Z

Verteidigungswolf: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]
[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

'''1.''' Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke) (Axiom vom Lineal) 
'''2.''' Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges (1.; Def. gleichschenkliges Dreieck) 
'''3.''' δ1=δ2 (Basiswinkelsatz; 2.) 
'''4.''' δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 (3.;Korollar 2) 
<s>'''5.''' α ist größer als δ1 (B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.) </s>'''6.''' δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B (nach Konstruktion(?)) 
'''7.''' β ist kleiner als δ2 (6.; schwacher Außenwinkelsatz) 
'''8.''' Somit ist α größer β ('''3;''' 5.;7.) 

<s>Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α</s>
--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 
Danke für deinen Beweis. Ein paar kleine Anmerkungen. 
Zu Schritt 1: Was steht im Axiom vom Lineal und wann darf man es genau genommen wie anwenden? 
Begründung in Schritt 8 habe ich ergänzt. 
Wozu schreibst du Schritt 4? 
Warum muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α ist?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:31, 14. Jul. 2011 (CEST)

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-14T08:58:33Z

Verteidigungswolf: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]
[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

'''1.''' Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke) (Axiom vom Lineal)
'''2.''' Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges (1.; Def. gleichschenkliges Dreieck)
'''3.''' δ1=δ2 (Basiswinkelsatz; 2.)
'''4.''' δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 (3.;Korollar 2)
'''5.''' α ist größer als δ1 (B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.)
'''6.''' δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B (nach Konstruktion(?))
'''7.''' β ist kleiner als δ2 (6.; schwacher Außenwinkelsatz)
'''8.''' Somit ist α größer β (5.;7.)

Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α

--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-14T08:56:56Z

Verteidigungswolf: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]
[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

'''1.''' Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke Axiom vom Lineal
'''2.''' Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges 1.; Def. gleichschenkliges Dreieck
'''3.''' δ1=δ2 Basiswinkelsatz; 2.
'''4.''' δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 3.;Korollar 2
'''5.''' α ist größer als δ1 B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.
'''6.''' δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B nach Konstruktion(?)
'''7.''' β ist kleiner als δ2 6.; schwacher Außenwinkelsatz
'''8.''' Somit ist α größer β 5.;7.

Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α

--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-14T08:53:15Z

Verteidigungswolf: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]
[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

1. Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke) Axiom vom Lineal
2. Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges 1.; Def. gleichschenkliges Dreieck
3. δ1=δ2 Basiswinkelsatz; 2.
4. δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 3.;Korollar 2
5. α ist größer als δ1 B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.
6. δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B nach Konstruktion(?)
7. β ist kleiner als δ2 6.; schwacher Außenwinkelsatz
8. Somit ist α größer β 5.;7.

Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α

--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-14T08:52:14Z

Verteidigungswolf: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]
[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

1. Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke) Axiom vom Lineal
2. Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges 1.; Def. gleichschenkliges Dreieck
3. δ1=δ2 Basiswinkelsatz; 2.
4. δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 3.;Korollar 2
5. α ist größer als δ1 B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.
6. δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B nach Konstruktion(?)
7. β ist kleiner als δ2 6.; schwacher Außenwinkelsatz
8. Somit ist α größer β 5.;7.

Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α

--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-14T08:29:49Z

Verteidigungswolf: /* Beweis von Satz IX.2 */

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-14T08:28:48Z

Verteidigungswolf: /* Beweis von Satz IX.2 */

Lösung von Aufgabe 3.4

2010-11-03T12:49:47Z

Verteidigungswolf:

VSS: Pew daraus folgt Winkel ASP=Winkel BSP 
Beh: Strecke AP= Strecke BP 

Aep und Beq 
= bedeutet ist kongruent 
/ bedeutet Betragsstriche 

1. Winkel ASP= Winkel BSP, VSS 
2. Strecke SP= STrecke SP, trivial 
3. /Winkel SAP/=/WinkelSBP/=90, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
4. Winkel SP= Winkel SPB, Innenwinkelsumme im Dreieck 
5. Dreieck SAP= Dreieck SPB, WSW und 1., 2., 4. 
6. Strecke AP=Strecke PB, 5. 

VSS: Strecke AP= Strecke BP 
Beh: Pew daraus folgt Winkel ASP= Winkel BSP 

1. Strecke AP= Strecke BP, VSS 
2. Winkel SAP= Winkel SBP, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
3. Strecke SP=Strecke SP, trivial 
4. Dreieck SAP= Dreieck SPB, SsW und 1., 2., 3. 
5. Winkel ASP= Winkel BSP, 4. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:26, 28. Okt. 2010 (UTC)

Ähm...wir können doch die Existenz und Eindeutigkeit des Lotes doch nicht einfach mal als gegeben annehmen. Wie soll des dann jemand machen, der davon noch nichts gehört hat??

Ist das dann beim zweiten Teil von dem Beweis nicht SWS??? Weil man geht ja davon aus, dass SP gleichlang ist (logisch), dann geht man von dem rechten Winkel aus und von BP und AP...der rechte Winkel wäre ja dann der Winkel der von den beiden Strecken eingeschlossen wird, also SWS oder? [[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]

Lösung von Aufgabe 3.3

2010-11-03T11:46:54Z

Verteidigungswolf:

VSS: Winkel pq, Anfangspunkt S, Strecke SP=Strecke SQ, Strecke PM=Strecke MQ. 
Beh: Winkel PSM=Winkel MSQ 

1. SP=SQ; VSS; (Konstruktion) 
2. PM=MQ; VSS;(Konstruktion), da M Mittelpunkt von der Strecke PQ ist 
3. SM=SM; trivial 
4. Dreick SPM= Dreieck SMQ; SSS und 1.,2., 3. 
5. Winkel PSM= Winkel MSQ; 4. 
6. Strahl SM* ist Winkelhalbierende --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 28. Okt. 2010 (UTC)

Wie beweisen? Ich dachte das soll eine Definition bzw. Konstruktionsanleitung sein und solche kann man nicht beweisen, die sind nur sinnvoll oder eben nicht?!--[[Benutzer:Vollyschwamm|Vollyschwamm]] 18:19, 1. Nov. 2010 (UT

Ich denke, man muss zeigen, dass das die Winkelhalbierende, die laut Konstrunktionsanleitung entstanden ist, den Winkel in pq in zwei gleichgroße Winkel teilt.
Wenn man sich für eine Definition entschieden hat, kann man die andere ja immer beweisen (wobei die andere Definition dann ein Satz ist).[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]

Lösung von Aufgabe 2.2

2010-10-27T13:34:34Z

Verteidigungswolf:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind.<- 2 Paar? 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

Frage zur Aufgabenstellung(4.): Da steht doch, dass es reicht, wenn ein Scherenwagenheber 4 gleichlange Seiten hat, aber das ist, dann doch im Prinzip schon eine Raute, oder? Und ein Drachen hat ja nicht 4gleichlange Seiten.
Wenn ein Viereck die Form eines Drachens hat, kann der Wagenheber doch gar nicht mehr funktionieren, oder?[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]

Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2010-10-27T12:47:46Z

Verteidigungswolf:

Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2010-10-22T13:26:18Z

Verteidigungswolf:

Datei:PA201179.JPG

2010-10-20T17:02:03Z

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