Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufgabe 5.5P (WS 12 13)

2013-02-04T15:34:53Z

Würmli:

Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu? 
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch.

3. und 4. treffen zu.--Würmli 16:34, 4. Feb. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.4 P (WS 12 13)

2013-02-04T15:10:03Z

Würmli:

'''Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition?''' 
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks. 
'''Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz.''' 

Es handelt sich um einen unkorrekten Satz, da ich beweisen kann, dass der Mittelpunkt eines Umkreises nur bei bestimmten Dreiecken gleich dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten einer Seite des Dreiecks ist. Wäre es eine Definition könnte man keinen Beweis führen. --Würmli 17:15, 3. Feb. 2013 (CET) 

Aber wieso ein unkorrekter Satz?!? Ich würde sagen, dass der Mittelpunkt immer der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von dem Dreieck sind, da dieser Punkt ja zu allen Eckpunkten den selben Abstand hat...--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 20:35, 3. Feb. 2013 (CET) 

* So ist es! Also ein korrekter Satz.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:36, 4. Feb. 2013 (CET)

Stimmt es heißt ja Mittelsenkrechte des Dreiecks und nicht einer Dreiecksseite. Hab ich falsch gedacht. Danke!--Würmli 16:10, 4. Feb. 2013 (CET)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.4P (WS 12/13)

2013-02-04T14:53:33Z

Würmli:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

[[Bild: Konvexe_Mengen.PNG‎ ]]

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || M und N sind konvex--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 14:08, 13. Dez. 2012 (CET)
|-
| Behauptung || Schnittmenge ist konvex--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 14:08, 13. Dez. 2012 (CET)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 A <math>\in</math> M, B <math>\in</math> M <math>\Rightarrow</math> <math>\overline{AB} \in</math> M || Weil M konvex ist
|-
| 2 A <math>\in</math> N, B <math>\in</math> N <math>\Rightarrow</math> <math>\overline{AB} \in</math> N || Weil N konvex ist
|-
| 3 <math>\ M \cap N</math> <math>\Rightarrow</math> <math>A \in \ M \wedge N, B \in \ M \wedge N,</math> || 1), 2)
|-
| 4 <math>\overline{AB} \in \ M \wedge N</math> || 3)
|}
 
Weil <math>\overline{AB}</math> Element der Schnittmenge ist. Ist die Schnittmenge konvex. Somit ist die Behauptung korrekt.

Geht das mit dem und Zeichen oder muss ich das für jede Menge extra machen?
--Würmli 13:09, 4. Feb. 2013 (CET)

Habe mal den Anfang gemacht. Wer macht ein Stück weiter? Nicht (ganz) korrekte Beweise sind übrigens wesentlich lehrricher als richtige Beweise - das ist ja keine neue Weisheit.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:59, 10. Dez. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.4P (WS 12/13)

2013-02-04T12:09:45Z

Würmli:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

[[Bild: Konvexe_Mengen.PNG‎ ]]

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || M und N sind konvex--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 14:08, 13. Dez. 2012 (CET)
|-
| Behauptung || Schnittmenge ist konvex--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 14:08, 13. Dez. 2012 (CET)
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 A <math>\in</math> M, B <math>\in</math> M <math>\Rightarrow</math> <math>\overline{AB} \in</math> M || Weil M konvex ist
|-
| 2 A <math>\in</math> N, B <math>\in</math> N <math>\Rightarrow</math> <math>\overline{AB} \in</math> N || Weil N konvex ist
|-
| 3 (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 (Schritt) || (Begründung)
|}
 

--Würmli 13:09, 4. Feb. 2013 (CET)

Habe mal den Anfang gemacht. Wer macht ein Stück weiter? Nicht (ganz) korrekte Beweise sind übrigens wesentlich lehrricher als richtige Beweise - das ist ja keine neue Weisheit.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:59, 10. Dez. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.6P (WS 12/13)

2013-02-04T11:51:54Z

Würmli:

Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.4 nicht wahr ist.
[[Datei:Schnittmenge.jpg]]
--Würmli 12:51, 4. Feb. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Datei:Schnittmenge.jpg

2013-02-04T11:49:45Z

Würmli: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Lösung von Aufg. 6.5P (WS 12/13)

2013-02-04T10:57:34Z

Würmli:

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.4.

Die Teilmengen einer Konkaven Menge sind Konkav. --Würmli 11:54, 4. Feb. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.5P (WS 12/13)

2013-02-04T10:54:41Z

Würmli:

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.4.

Die Teilmengen einer Konkaven Menge sind Komkav. --Würmli 11:54, 4. Feb. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.5P (WS 12/13)

2013-02-04T10:54:19Z

Würmli:

# Element 1
# Element 2
# Element 3Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.4.

Die Teilmengen einer Konkaven Menge sind Komkav. --Würmli 11:54, 4. Feb. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (WS 12/13)

2013-02-04T10:23:33Z

Würmli:

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge".

Eine Menge M heißt konvexe Punktmenge wenn die Menge aller Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> Element M sind. Wobei A und B zwei beliebige Punkte von M sind. --Würmli 11:23, 4. Feb. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.4 P (WS 12 13)

2013-02-03T16:15:41Z

Würmli:

Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition? 
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks. 
Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz. 

Es handelt sich um einen unkorrekten Satz, da ich beweisen kann, dass der Mittelpunkt eines Umkreises nur bei bestimmten Dreiecken gleich dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten einer Seite des Dreiecks ist. Wäre es eine Definition könnte man keinen Beweis führen. --Würmli 17:15, 3. Feb. 2013 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 P (WS 12 13)

2013-02-03T16:00:38Z

Würmli:

Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
 
Wenn eine Gerade eine Strecke in der Mitte mit einem rechten Winkel schneidet, dann ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:10, 25. Nov. 2012 (CET) 

Ich denke, dass die Definition richtig ist. Du könntest aber auch sagen...die senkrecht auf... Steht --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:57, 26. Nov. 2012 (CET) 

Die Formulierung ist nicht so geschickt. Besser wäre, eine Gerade die die STrecke so schneidet, dass bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht ODER noch besser, wie Hakunamatata schreibt: Eine Gerade die senkrecht zur Strecke steht. 
Die Formulierung "in der Mitte der Strecke" ist auch informell. Was soll Mitte sein?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:18, 27. Nov. 2012 (CET)

Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Strecke steht und diese in zwei gleich große Strecken teilt, dann ist diese Gerade die Mittelsenkrechte dieser Strecke.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 12:24, 30. Nov. 2012 (CET)

Wenn jeder Punkt einer Geraden den gleichen Abstand zu den Endpunkten A und B einer Strecke hat, dann heißt die Gerade Mittelsenkrechte zur Strecke <math>\overline{AB}</math> . --Würmli 17:00, 3. Feb. 2013 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (WS 12 13)

2013-02-03T15:52:12Z

Würmli:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:45, 22. Nov. 2012 (CET)

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:45, 22. Nov. 2012 (CET)

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einer Symmetrieachse. 
Robzimmi, kannst du bitte das nächste Mal deine Signatur anhängen, danke! Ansonsten eine super Idee, Robzimmi!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:30, 27. Nov. 2012 (CET)

Ein Gleichseitige Dreieck ist ein Dreieck mit drei Symmetrieachsen. --Würmli 16:52, 3. Feb. 2013 (CET)

b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

<math>\left( A\Rightarrow B\right) \Leftrightarrow \left(\neg B\Rightarrow \neg A\right) </math>
Wenn ein Dreieck also nicht gleichschenklig ist <math>\left(\neg B\right)</math> , dann ist es auch nicht gleichseitig <math>\left( \neg A \right)</math> .
Da diese Implikation stimmt, stimmt auch die Äquivalenz.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:45, 22. Nov. 2012 (CET) 
Warum stimmt die Kontraposition nicht? Es fehl ein Beweis mit Begründung. (Auch wenn es vielleicht nur ein Schritt ist.)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:30, 27. Nov. 2012 (CET)

Die Kontraposition wäre: Jedes nicht gleichschenklige Dreieck ist auch nicht gleichseitig. Nicht gleichschenklig bedeutet also |AB|<math>\neq</math> |BC|<math>\neq</math> |AC| solch ein Dreieck <math> \overline{ABC}</math> ist nicht Gleichseitig. Damit ist Die Kontraposition bewiesen und die Äquivalenz stimmt.

Ist das so möglich? --Würmli 16:48, 3. Feb. 2013 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (WS 12 13)

2013-02-03T15:48:17Z

Würmli:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:45, 22. Nov. 2012 (CET)

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:45, 22. Nov. 2012 (CET)

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einer Symmetrieachse. 
Robzimmi, kannst du bitte das nächste Mal deine Signatur anhängen, danke! Ansonsten eine super Idee, Robzimmi!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:30, 27. Nov. 2012 (CET)

b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

<math>\left( A\Rightarrow B\right) \Leftrightarrow \left(\neg B\Rightarrow \neg A\right) </math>
Wenn ein Dreieck also nicht gleichschenklig ist <math>\left(\neg B\right)</math> , dann ist es auch nicht gleichseitig <math>\left( \neg A \right)</math> .
Da diese Implikation stimmt, stimmt auch die Äquivalenz.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:45, 22. Nov. 2012 (CET) 
Warum stimmt die Kontraposition nicht? Es fehl ein Beweis mit Begründung. (Auch wenn es vielleicht nur ein Schritt ist.)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:30, 27. Nov. 2012 (CET)

Die Kontraposition wäre: Jedes nicht gleichschenklige Dreieck ist auch nicht gleichseitig. Nicht gleichschenklig bedeutet also |AB|<math>\neq</math> |BC|<math>\neq</math> |AC| solch ein Dreieck <math> \overline{ABC}</math> ist nicht Gleichseitig. Damit ist Die Kontraposition bewiesen und die Äquivalenz stimmt.

Ist das so möglich? --Würmli 16:48, 3. Feb. 2013 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P)

2013-02-03T12:32:53Z

Würmli:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)

Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 

Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)

b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

Beweis:
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nehmen wir an |α| = |β|. Wenn |α| = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|<math>\neq</math> |AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.3 (WS 12 13 P)

2013-02-03T12:31:12Z

Würmli:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

zu a) Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:16, 22. Nov. 2012 (CET)

Zu b)

1. Stufenwinkelsatz

2. Umkehrung Stufenwinkelsatz

3. Die Geraden wären identisch somit trotzdem paralell und somit existieren die Winkel nicht, beziehungsweise es wären Nebenwinkel.

4. Äquivalentsaussage des Stufenwinkelsatzes

--Würmli 13:30, 3. Feb. 2013 (CET)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.3 (WS 12 13 P)

2013-02-03T12:30:49Z

Würmli:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

zu a) Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:16, 22. Nov. 2012 (CET)

Zu b)

1. Stufenwinkelsatz

2. Umkehrung Stufenwinkelsatz

3. Die Geraden wären identisch somit trotzdem paralell und somit existieren die Winkel nicht, beziehungsweise es wären Nebenwinkel.

4. Äquivalentsaussage des Stufenwinkelsatzes
--Würmli 13:30, 3. Feb. 2013 (CET)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.3 (WS 12 13 P)

2013-02-03T12:29:08Z

Würmli:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

zu a) Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. --[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:16, 22. Nov. 2012 (CET)

Zu b)

1. Stufenwinkelsatz

2. Umkehrung Stufenwinkelsatz

3. Die Geraden wären identisch somit trotzdem paralell und somit existieren die Winkel nicht, beziehungsweise es währen Nebenwinkel.

4. Äquivalentsaussage des Stufenwinkelsatzes

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P)

2013-02-03T12:09:05Z

Würmli:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.

Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 

Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.

b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

Beweis:
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nehmen wir an |α| = |β|. Wenn |α| = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|<math>\neq</math> |AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen.
 

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P)

2013-02-03T11:48:37Z

Würmli:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 
Beweis:
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nehmen wir an |α| = |β|. Wenn |α| = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|<math>\neq</math> |AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen.
 

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (WS 12 13 P)

2013-02-03T11:17:39Z

Würmli:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 

Wenn zwei Geraden mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind g und h identisch.--[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:24, 22. Nov. 2012 (CET)

b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Wenn zwei Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben, dann sind g und h nicht identisch.
-> Diese Annahme ist falsch, womit die Implikation bewiesen ist. --[[Benutzer:Der Bohrer|Der Bohrer]] 11:24, 22. Nov. 2012 (CET) 
Wo schreibst du denn hier die Annahme auf? Allein das ist gefragt :). Und wenn die Annahme falsch ist, dann muss das schon auch belegt/begründet werden. WICHTIG: Die Annahme ist keine Implikation, d.h. sie beginnt nie mit WENN.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:30, 22. Nov. 2012 (CET) 
 
Annahme: Zwei Geraden g und h, die nicht identisch sind, haben mehr als einen Punkt gemeinsam.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 19:06, 25. Nov. 2012 (CET) 
Du hast in eine Annahme jetzt noch die Voraussetzung mit genannt. Das muss nicht sein, ist aber auch nicht falsch, wenn man die Voraussetzung nicht davor schon extra aufgeführt hat.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:32, 27. Nov. 2012 (CET) 

Genügt dann als Annahme: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam ?--Würmli 12:17, 3. Feb. 2013 (CET)
[[Category:Einführung_P]]