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Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-15T18:44:12Z

Wüstenfuchs:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
*Anne könntest du mir mal wieder mit der Tabellendarstellung helfen?!--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:19, 14. Jul. 2013 (CEST) 

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP''I
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; Def. Punktspiegelung ; IX.3
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade Sb
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 5 || S = Mittelpunkt IPP``I || 4.) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-15T18:42:59Z

Wüstenfuchs:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
*Anne könntest du mir mal wieder mit der Tabellendarstellung helfen?!--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:19, 14. Jul. 2013 (CEST) 
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP''I
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; Def. Punktspiegelung ; IX.3
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade Sb
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 5 || S = Mittelpunkt IPP``I || 4.) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.4P (SoSe 13)

2013-07-14T14:49:46Z

Wüstenfuchs:

''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
 '''Tipp:''' Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. 
'''Hinweis:''' Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen. 

Kontraposition lautet: P <math>\not\in</math> m<math>\Rightarrow</math> IAPI<math>\neq</math> IBPI 
Wenn P nicht Element m ist, dann sind 2 Fälle zu betrachten. Weil P kann einmal in der Halbebene von m liegen in der B liegt oder P kann in der Halbebene von m liegen in der A liegt.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || |AP|=|BP|, m ist Mittelsenkrechte der Strecke AB|
|-
| Behauptung || P ist Element m
|-
| Annahme || P ist nicht Element m
|}
 

[[Datei:9-4-Skizze.PNG ]] 
Betrachtung: Punkt P liegt in der selben Halbebene von m wie B

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Strecke BP geschnitten mit m=leere Menge )|| (Def. HE, Annahme)
|-
| 2 || (Strecke AP geschnitten mit m =(R)) || (1,)
|-
| 3 || (R ist Element Strecke AP) || (2)
|-
| 4 || (Zw(ARP)) || (Def. ZW, 3)
|-
| 5 || IARI + IRPI= IAPI || 4
|-
| ... || ...|| ...
|-
| ... || ... || ...

|-
| 6 || StreckeAPI > IStrecke BPI || 5
|}

WIEDERSPRUCH ZUR VORAUSSETZUNG. ANNAHME VERWERFEN, BEHAUPTUNG STIMMT.
 
--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 17:49, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 17:47, 4.JULI

Ich verstehe Schritt 6 nicht, denn der Abstand BP kommt ja in 5 nicht vor. Da sind noch Zwischenschritte nötig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 8. Jul. 2013 (CEST)

* Da ich bei der Betrachtung oben geschrieben habe, dass mein Punkt P in der selben Halbebene von m wie B liegt, ergibt sich nach meiner Konstruktion ein neues "Dreieck" mit APB und ich will ja zeigen, dass die Strecke AP gleich Strecke BP ist. Durch Schritt 4 und 5 sehe ich, dass die Strecke AP kleiner ist als die Strecke BP und dass ist ein Wiederspruch zur Voraussetzung. Ich weis es ist kompliziert, da keine Zeichnung vorliegt. Ich kann irgendwie mein Bild nicht hochladen. Herr Schnirch, hatte uns in der Vorlesung eine Skizze gezeichnet, wo er das Dreieck einfach verlängert hat und wir dadurch 2 Dreiecke hatte. Ich weis aber nicht, wie ich es in Schritten erklären soll;-/---[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:04, 8. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 16:03, 8.Juli
**Ich habe die Idee schon verstanden und die Skizze kenne ich und habe sie jetzt nochmal zugefügt. Entscheident ist, dass trotzdem nicht so Schritt 6 abgeleitet werden kann. Das was du da über ein Dreieck schreibst, muss auch im Beweis stehen. (Sieh in der Aufgabenstellung bei TIPP).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:13, 10. Jul. 2013 (CEST)

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||IBPI geschnitten mit m = { } || (Def. HE, Annahme)
|-
| 2 || IAPI geschnitten mit m = (R) || 1.)
|-
| 3 || IARI = IBRI || 2.), Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4 || IRBI kleiner als IRPI + IPBI|| Dreiecksungleichung
|-
| 5 || IRBI kleiner als IARI + IRPI || 4.); Rechnen in IR
|-
| 6 || IAPI = IARI + IRPI || Def. Zwischen
|-
| 7 || IAPI größer IBPI || 5.); 6.); Rechnen in IR
|-
| 8 || IAPI <math>\neq</math> IBPI <math>\Rightarrow</math> P <math>\not\in</math> m || 3.); 7.); Def. Mittelsenkrechte
|} --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:49, 14. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie: Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 9.2P (SoSe 13)

2013-07-14T12:59:27Z

Wüstenfuchs:

Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung.
 

Hier schon mal die Tabelle zum Füllen :)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:20, 26. Jun. 2013 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || AB= AB+ vereinigt mit AB-, Sg(A)=A`, Sg(B)=B`und P ist Element AB
|-
| Behauptung || A´B´= A`B`+ vereinigt mit A´B`-
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(P ist Element von AB)|| (Vor.)
|-
| 2 || P ist Element der Strecke AB+ oder AB-) || (Vor. Def. Gerade AB)
|-
| 3 || (Sg(Strecke AB= Sg(Strecke A´B`) || (Streckentreue)
|-
| 4 || (P` Element Strecke A´B`+ oder A´B`-) || (2,3, Vor.)
|-
| 5 || P` Element A´B` || (4)
|}

--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 17:19, 2. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 2.7.13, 17.18 
Der Beweis ist schon fast richtig, danke Blumenkind. 
In Schritt 2 hat sich ein Fehler eingeschlichen. Es ist außerdem nicht korrekt, diese Einteilung der Geraden als "Definition Gerade" zu bezeichnen, da Gerade ein undefinierter Grundbegriff ist. Schreibe deshalb besser "Eigenschaft der Gerade".--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:07, 2. Jul. 2013 (CEST) 

In Schritt 2 müsste ich als Begründung Def. AB?? Jetzt bin ich irritiert. Stimmt, eine Gerade kann man nicht definieren- aber wie soll ich es dann begründen? Eigenschaft der Geraden??--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 17:00, 3. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 17:00Uhr 3. Juli

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || AB, Sg(A) = A' und Sg(B) = B'
|-
| Behauptung || Sg(AB) = A'B'
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||AB+ vereinigt AB - = AB|| (Vor.), Def. Gerade
|-
| 2 || Sg(AB+) = A'B'+ || Halbgeradentreue
|-
| 3 || Sg(AB -) = A'B' - || Halbgeradentreue
|-
| 4 || A'B'+ vereinigt A'B' - = A'B' || 1.) Def. Gerade
|-
| 5 || Sg(AB)= A'B' || 2.); 3.); 4.)
|} 
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 14:59, 14. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie: Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.1P (SoSe 13)

2013-07-12T12:49:45Z

Wüstenfuchs:

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

 
Wer macht sich die Mühe und schreibt eine Konstruktionsanleitung oder stellt seine Konstruktion ein? Vorallem das genaue Beschreiben und Begründen seiner Konstruktion ist eine super Übung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:22, 26. Jun. 2013 (CEST) 

Ich habe mal versucht, eine Beschreibung aufzuschreiben. BIN MIR ABER NICHT SICHER, OB ES RICHTIG IST. HILFE! 
'''Mögliche Konstruktionsbeschreibung'''

Geg: Punkt A ( steht für Feuerwehr), Punkt B (steht für Haus), Gerade g (Uferbegrenzung) und Punkt S mit S ist Element g.

Ges.: Konstruktionsbeschreibung bzw. Minimale Weg für Punkt A um Punkt B zu erreichen

1. Spiegele den Punkt A an g ( es entsteht A`) 

2. Verbinde die Punkte BSA` zu einer Gerade. Punkt A und B liegen in der selben Halbebenen, daraus folgt, dass die Strecke AA´auch Punkt S in g schneidet (Längentreue)

3. Länge AS und Länge BS mit einer Geraden verbinden

--> Es gilt: Länge der Strecken AS und BS ist minimal, wenn koll(BSA´)--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 15:16, 30. Jun. 2013 
Deine Konstruktionsbeschreibung ist schon ganz gut. Besser ist es, wenn du S nicht unter "Gegeben" nennst, da der Punkt sonst dadurch festgelegt ist. Im Nachhinein (Schritt 2) kannst du dann nicht mehr davon ausgehen, dass B, S, A' auf einer Geraden lieben. Stattdessen musst du S erst in Schritt 2 bennenen als Schnittpunkt der Gerade BA' und der Gerade g. 
Dein "daraus folgt"Schritt mit "wenn koll(BSA')" ist nicht logisch, wenn du in Schritt 2 schon davon sprichst, dass die Punkte auf einer Geraden liegen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:40, 30. Jun. 2013 (CEST)

Dann versuche ich es noch einmal;-)

1. Spiegele den Punkt A an g ( es entsteht A´)

2. Verbinde die Punkte B und A´

3. Gerade BA´ geschnitten mit der Geraden g = (S) --> koll (BSA`)
bis dahin, ist mir alles klar - und das genügt auch als Konstruktion.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:53, 3. Jul. 2013 (CEST)

4. Verbinde die Punkte A und A´zu einer Geraden ( da Punkt A in der selben Ebene liegt wie der Punkt B)
??? Was willst du hier sagen? und wozu brauchst du den Schritt?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:53, 3. Jul. 2013 (CEST)

5. Länge AS und Länge BS mit einer Geraden verbinden
Längen sind reele positive Zahlen und lassen sich deshalb nicht zu Geraden verbinden.

Am Ende mit dem Satz Es gilt;... wollte ich sagen, dass wir den kürzesten Weg dann bekommen können, wenn wir eine Gerade haben die alle drei Punkte enthalten. Deshalb mussten wir entweder A ODER B spiegeln dann gilt ja nach dem Zwischenrelation und Dreiecksungleichung koll (BSA`) --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:27, 30. Jun. 2013 (CEST)Blumenkind 16.26, 30. Juni
Ok, ich meine es zu verstehen und schreibe es nochmal auf:
1. |AS| +|SB| = |A'S| + |SB| weil Strecken- und Längentreue --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 14:49, 12. Jul. 2013 (CEST) 
2. |A'S| + |SB| ist die kürzeste Strecke, da eine Strecke zwischen zwei Punkten (A' und B) die kürzeste Verbindung ist und ja koll (A',S,B) nach Konstruktion gilt 
Damit ist gezeigt, dass die Konstruktion korrekt ist. 
Für mich ist es so klarer. Ergänzt noch bitte die Begründung für 1. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:53, 3. Jul. 2013 (CEST)

 
[[Kategorie: Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe 13)

2013-07-10T14:38:20Z

Wüstenfuchs:

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_SoSe_13#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''
* (M/ A ist Element M und B ist Element M) vereinigt mit der Strecke AB und Die Strecke AB ist Element M--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 13:29, 1. Jun. 2013 (CEST)Blumenkind 13:29, 1.6.13
**Ich verstehe ehrlich nicht genau, was du damit sagen willst. So ist die Definition nicht richtig. Nutzt bitte auch die Formeln des Formeleditor (Symbol ganz links mit dem Summenzeichen).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:48, 2. Jun. 2013 (CEST)
*** M ist konvex wenn gilt: <math>\forall</math> A, B <math>\in</math> M und die Strecke AB ist eine echte Teilmenge von M.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:38, 3. Jun. 2013 (CEST)Blumenkind 16:38, 3. Juni
*** <math>M</math> ist konvex, wenn gilt: <math>\forall A, B \in M \wedge \overline{AB}\subset M.</math>
****So sieht das in Formelschreibweise aus. Die Definition stimmt so noch nicht ganz. Kopiert die Aussage und verbessert diese dann. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:45, 5. Jun. 2013 (CEST)
*****<math>M \Rightarrow \forall A,B.: A,B \in M \wedge \overline{AB} \in M</math>--[[Benutzer:Beencken|Beencken]] 19:37, 9. Jun. 2013 (CEST)
***** M ist konvex, wenn gilt: <math> \forall A,B \in M : \overline{AB} \in M</math> - die Punkte A, B nicht doppelt nennen! Bei beiden Definitionen ist das UND nicht korrekt und es ist weder richtige <math>\overline{AB}\subset M</math> noch <math>\overline{AB}\in M</math> zu schreiben.Was muss also noch korregiert werden?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:02, 11. Jun. 2013 (CEST)

M ist konvex wenn gilt, dass M auch Teilmenge der Verbindungen ihrer enthaltenen Punkte ist. --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:38, 10. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 13)

2013-07-10T14:19:28Z

Wüstenfuchs:

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert. 
Formulieren Sie eine formal korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>. '''Tipp:''' Das folgende [[Videos_von_Studierenden#Eine_etwas_andere_Darstellung_von|Video]] kann helfen!

* Unter der Halbgeraden AB (plus) versteht man die Menge aller P Element E, für die gilt: P ist Element AB für die gilt P ist Element der Strecke AB oder B ist Element der Strecke AB. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 12:30, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 12:30, 31. MAI
**Da ist noch ein Tipp-Fehler drin.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:35, 2. Jun. 2013 (CEST)

<math>\overline{AB}</math> vereinigt {P/Zw A,B,P} und ausformuliert: 
Unter der Halbgeraden AB+ versteht man die Menge aller Punkte der Strecke AB, vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: Zw(A,B,P) 
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 15:55, 10. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 13)

2013-07-10T14:18:19Z

Wüstenfuchs:

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert. 
Formulieren Sie eine formal korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>. '''Tipp:''' Das folgende [[Videos_von_Studierenden#Eine_etwas_andere_Darstellung_von|Video]] kann helfen!

* Unter der Halbgeraden AB (plus) versteht man die Menge aller P Element E, für die gilt: P ist Element AB für die gilt P ist Element der Strecke AB oder B ist Element der Strecke AB. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 12:30, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 12:30, 31. MAI
**Da ist noch ein Tipp-Fehler drin.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:35, 2. Jun. 2013 (CEST)

<math>\overline{AB}</math> vereinigt {P/Zw A,B,P} 
Unter der Halbgeraden AB+ versteht man die Menge aller Punkte der Strecke AB, vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: Zw(A,B,P)und ausformuliert 
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 15:55, 10. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 13)

2013-07-10T13:55:06Z

Wüstenfuchs:

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert. 
Formulieren Sie eine formal korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>. '''Tipp:''' Das folgende [[Videos_von_Studierenden#Eine_etwas_andere_Darstellung_von|Video]] kann helfen!

* Unter der Halbgeraden AB (plus) versteht man die Menge aller P Element E, für die gilt: P ist Element AB für die gilt P ist Element der Strecke AB oder B ist Element der Strecke AB. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 12:30, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 12:30, 31. MAI
**Da ist noch ein Tipp-Fehler drin.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:35, 2. Jun. 2013 (CEST)

<math>\overline{AB}</math> vereinigt {P/Zw A,B,P}--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 15:55, 10. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.5 P (SoSe 13)

2013-07-09T17:39:10Z

Wüstenfuchs:

Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu? 
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.

--> Ein Punkt kann nicht zu sich selbst links liegen AUSSAGE FALSCH

*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
--> symmetrisch

-->Wenn A links von B liegt,kann B nicht links von A liegen, da B ja rechts von A liegen muss. Somit ist es nicht symmetrisch und die Aussage ist FALSCH.--[[Benutzer:Grashalm|Grashalm]] 17:03, 27. Mai 2013 (CEST)
** Ich habe eben deine Antwort gelesen. ;-). Stimmt nachdem ich es mir noch einmal überlegt und gezeichnet habe, kann es nicht sein;-). Danke;-)--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:53, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 18:53
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
--> transitiv

*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
--> WAHR. Es liegt kein Punkt zu sich selbst.

*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch. 
--> Aussage WAHR--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:19, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:19Uhr 
Was meinen die Anderen? Sind alle Antworten von Blumenkind richtig?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:52, 26. Mai 2013 (CEST)
** Ich denke, die zweite Aufgabe ist nicht symmetrisch, weil wenn A links von B liegt, dann kann B nur rechts von A liegen. Oder bin ich jetzt ganz falsch? Demnach ist es nicht symmetrisch.
Die Aussage zweite ist FALSCH. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:51, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 18:51
Korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:06, 29. Mai 2013 (CEST)

falsch 
falsch 
wahr 
wahr 
falsch 
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 19:39, 9. Jul. 2013 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.5 P (SoSe 13)

2013-07-09T17:37:55Z

Wüstenfuchs:

Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 13)

2013-07-09T17:27:07Z

Wüstenfuchs:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
'''a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.''' 

Zwei Punkte stehen genau dann in R, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:11, 24. Mai 2013
*Wie könnte man das auch noch veranschaulicht verstehen und beschreiben?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)
** Ich verstehe nicht, was du mit veranschaulichen meinst? Soll ich ein Bild Hochladen? --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:40, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 18:40
***Sorry, das war verwirrend. Also deine verbale Beschreibung ist korrekt. Veranschaulichen heißt ein Bild hochladen - richtig.Wäre schön, wenn das jemand macht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:05, 29. Mai 2013 (CEST)
'''
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.''' 
'''Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen'''. 

* reflexiv, weil für alle A Element der Ebene E ohne der Gerade g gilt: A steht in Relation zu A
* symmetrisch, weil für alle ( A, B, C) Element Relation gilt: Strecke AB vereinigt mit der Geraden g = leere Menge --> Strecke BA vereinigt mit g = leere Menge , da Strecke AB = Strecke BA.
* transitiv, weil für alle ( A,B,C) Element der Ebene E ohne g gilt: Strecke AB vereinigt mit g = leere Menge und Strecke BC vereinigt mit g = leere Menge --> Strecke AC vereinigt mit g= l. Menge.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:09, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:09
**Blumenkind hat die Eigenschaften jetzt allgemein erklärt. Aber warum gelten sie gerade für diese Relation? Man beziehe sich dabei auf die geometrische Beschreibung aus Aufgabe a).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)

Wegen dem "genau dann wenn" Pfeil?--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 19:27, 9. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 13)

2013-07-09T17:18:58Z

Wüstenfuchs:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

* reflexiv , weil g vereinigt mit g ist ungleich leere Menge
* symmetrisch, weil aus g vereinigt mit h = h vereinigt mit g folgt wegen der Eigenschaft und Schnittmenge
* NICHT transitiv
**Warum soll die Relation nicht transitiv sein?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:46, 26. Mai 2013 (CEST)
*** Gegenbeispiel: Wenn g mit h einen Schnittpunkt gemeinsam haben und g mit i ( eine weitere Gerade) einen Schnittpunkt gemeinsam haben, muss nicht unbedingt die Gerade h mit der Gerade i einen gemeinsam Schnittpunkt besitzen. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:11, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 18:11
****Und wie sieht so ein Gegenbeispiel genau aus? Warum sollten sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:56, 2. Jun. 2013 (CEST)
Bedeutet der "genau dann wenn" Pfeil nicht eh dass es eine Äquivalenzrelation ist? Dann wäre sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 19:18, 9. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 13)

2013-07-09T17:18:25Z

Wüstenfuchs:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

* reflexiv , weil g vereinigt mit g ist ungleich leere Menge
* symmetrisch, weil aus g vereinigt mit h = h vereinigt mit g folgt wegen der Eigenschaft und Schnittmenge
* NICHT transitiv
**Warum soll die Relation nicht transitiv sein?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:46, 26. Mai 2013 (CEST)
*** Gegenbeispiel: Wenn g mit h einen Schnittpunkt gemeinsam haben und g mit i ( eine weitere Gerade) einen Schnittpunkt gemeinsam haben, muss nicht unbedingt die Gerade h mit der Gerade i einen gemeinsam Schnittpunkt besitzen. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:11, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 18:11
****Und wie sieht so ein Gegenbeispiel genau aus? Warum sollten sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:56, 2. Jun. 2013 (CEST)
Bedeutet der "genau dann wenn" Pfeil nicht eh das es eine Äquivalenzrelation ist? Dann wäre sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 19:18, 9. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 P (SoSe 13)

2013-07-05T15:55:39Z

Wüstenfuchs:

Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
*Wenn eine Gerade m eine Strecke <math>\overline{AB}</math> mit folgender Bedingung schneidet P ∈ m ∧ P:= { P | |AP| ≌ |BP|}, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:07, 14. Mai 2013 (CEST) 
**Gute Idee und fast richtig. Allerdings noch nicht exakt genug. Einmal nutzt du P als Punkt und einmal als Menge, oder? Und zudem gibt es viele Geraden bezüglich einer Strecke, auf denen ein Punkt liegt, der den selben Abstand zu den Endpunkten dieser Strecke hat.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:00, 15. Mai 2013 (CEST) 

*Wenn eine Gerade m und die Strecke <math>\overline{AB}</math> sich innerhalb der selben Ebene befinden und sich mit folgender Bedingung schneiden ∃ Q mit Q := { m ∩ A͞B } ∧ m:= { P | |AP| ≌ |BP|}, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:32, 16. Mai 2013 (CEST) 
** Die erste Bedingung ∃ Q mit Q := { m ∩ A͞B } brauchst du nicht, da sie in der zweiten enthalten ist. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:50, 22. Mai 2013 (CEST)

----

*Wenn die Menge aller Punkte von zwei gegebenen Punkten A und B denselben Abstand haben, dann ist es eine Mittelsenkrechte. 
**Hier hast du vergessen die Strecke zu erwähnen, die von den Punkten A und B begrenzt wird. Eine Mittelsenkrechte existiert nur in Relation zu einer Strecke. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:49, 15. Mai 2013 (CEST) 
***Richtig. Zudem kann eine Menge nicht einen Abstand haben. Es muss also noch weiter korrigiert werden. Dies gilt auch für die darauffolgende Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:00, 15. Mai 2013 (CEST) 

*Wenn eine Punktmenge zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> einen identischen Abstand hat, dann ist diese Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:40, 15. Mai 2013 (CEST) 

----

*Wenn eine Gerade m zu den Punkten A und B der Strecke <math>\overline{AB}</math> einen identischen Abstand hat, dann ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:38, 16. Mai 2013 (CEST) 
[[Datei:Mittelsenkrechte_falsch.png‎]] 
Hier erkennst du, dass die Definition so nicht korrekt ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:35, 23. Mai 2013 (CEST)

----

*Wenn eine Gerade senkrecht zu einer Strecke verläuft und diese in der hälfte teilt, dann ist es eine Mittelsenkrecht.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 21:28, 14. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei müssten wahrscheinlich die Begriffe "senkrecht" und "Hälfte" erst definiert werden.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:49, 15. Mai 2013 (CEST) 
*** senkrecht zur Strecke steht - kann man verwenden. Das ist eine mathematische Relation. "Hälfte" müsste man definitiv genauer beschreiben. Besser ist es auf den Begriff "Mittelpunkt" zurückzugreifen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:00, 15. Mai 2013 (CEST)

Ich bin etwas irritiert, was jetzt die RICHTIGE LÖSUNG ist.??;-//
Bei Definitionen gibt es nicht die eine richtige Lösung!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:11, 29. Mai 2013 (CEST)

Meine Definitionen lauten wie folgt:

* Wenn alle Punkte einer Ebene die zu den Endpunkten A, B einer Strecke AB jeweils ein und denselben Abstand haben gehören sie sie zur Mittelsenkrechten m der Strecke AB.
**Dann könnte es ja auch andere Punkte geben, die zur Mittelsenkrechte gehören, oder? Ich meine, das ist noch nicht korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:11, 29. Mai 2013 (CEST)
* Wenn alle Punkte die zu einer Mittelsenkrechten der Strecke AB gehören, haben die Punkte A und B jeweils ein und denselben Abstand. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:56, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 16:56
**Wenn du die beiden Definitionsversuche zusammen nimmst, dann könnte es eine richtige Definition werden. Diese beiden Definitionen sind so nicht korrekt und nicht prinzipiell verschieden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:11, 29. Mai 2013 (CEST)
*** Wenn ich beide Sätze zusammen verbinde dann bekomme ich : Es ist aber keine Konventialdefinition sondern eine Realdefinition. Kannst du mir bitte weiterhelfen, ich komm nicht mehr weiter. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:19, 3. Jun. 2013 (CEST)Blumenkind 16:19, 3. Juni
**** Die Mittelsenkrechte einer Strecke <math> \overline{AB}</math> ist die Menge '''genau''' aller Punkte, die zu A und B jeweils ein und denselben Abstand hat. - so wäre es erstmal korrekt. Wir schauen mal darüber hinweg, dass Mengen eigentlich ja kein Abstand haben können. Diese jetzt in eine Konvenzionaldefinition umzuwandeln, dürfte nicht mehr schwer sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:00, 5. Jun. 2013 (CEST)
***** Wenn eine Punktemenge genau alle Punkte enthält, ... 
Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Strecke steht und die Anfangspunkte der Strecke zu jedem Punkt der Geraden ein und den selben Abstand haben, dann nennt man diese Gerade Mittelsenkrechte der Strecke. --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 17:38, 5. Jul. 2013 (CEST) 
Wenn eine Punktmenge genau alle Punkte enthält, die zu den Anfangspunkten einer Strecke ein und den selben Abstand haben, so nennt man diese Punktmenge auch Mittelsenkrechte dieser Strecke. 
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 17:55, 5. Jul. 2013 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 P (SoSe 13)

2013-07-05T15:39:46Z

Wüstenfuchs:

Lösung von Aufgabe 4.3 P (SoSe 13)

2013-07-05T15:38:32Z

Wüstenfuchs:

Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
*Wenn eine Gerade m eine Strecke <math>\overline{AB}</math> mit folgender Bedingung schneidet P ∈ m ∧ P:= { P | |AP| ≌ |BP|}, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:07, 14. Mai 2013 (CEST) 
**Gute Idee und fast richtig. Allerdings noch nicht exakt genug. Einmal nutzt du P als Punkt und einmal als Menge, oder? Und zudem gibt es viele Geraden bezüglich einer Strecke, auf denen ein Punkt liegt, der den selben Abstand zu den Endpunkten dieser Strecke hat.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:00, 15. Mai 2013 (CEST) 

*Wenn eine Gerade m und die Strecke <math>\overline{AB}</math> sich innerhalb der selben Ebene befinden und sich mit folgender Bedingung schneiden ∃ Q mit Q := { m ∩ A͞B } ∧ m:= { P | |AP| ≌ |BP|}, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:32, 16. Mai 2013 (CEST) 
** Die erste Bedingung ∃ Q mit Q := { m ∩ A͞B } brauchst du nicht, da sie in der zweiten enthalten ist. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:50, 22. Mai 2013 (CEST)

----

*Wenn die Menge aller Punkte von zwei gegebenen Punkten A und B denselben Abstand haben, dann ist es eine Mittelsenkrechte. 
**Hier hast du vergessen die Strecke zu erwähnen, die von den Punkten A und B begrenzt wird. Eine Mittelsenkrechte existiert nur in Relation zu einer Strecke. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:49, 15. Mai 2013 (CEST) 
***Richtig. Zudem kann eine Menge nicht einen Abstand haben. Es muss also noch weiter korrigiert werden. Dies gilt auch für die darauffolgende Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:00, 15. Mai 2013 (CEST) 

*Wenn eine Punktmenge zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> einen identischen Abstand hat, dann ist diese Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:40, 15. Mai 2013 (CEST) 

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*Wenn eine Gerade m zu den Punkten A und B der Strecke <math>\overline{AB}</math> einen identischen Abstand hat, dann ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:38, 16. Mai 2013 (CEST) 
[[Datei:Mittelsenkrechte_falsch.png‎]] 
Hier erkennst du, dass die Definition so nicht korrekt ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:35, 23. Mai 2013 (CEST)

----

*Wenn eine Gerade senkrecht zu einer Strecke verläuft und diese in der hälfte teilt, dann ist es eine Mittelsenkrecht.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 21:28, 14. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei müssten wahrscheinlich die Begriffe "senkrecht" und "Hälfte" erst definiert werden.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:49, 15. Mai 2013 (CEST) 
*** senkrecht zur Strecke steht - kann man verwenden. Das ist eine mathematische Relation. "Hälfte" müsste man definitiv genauer beschreiben. Besser ist es auf den Begriff "Mittelpunkt" zurückzugreifen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:00, 15. Mai 2013 (CEST)

Ich bin etwas irritiert, was jetzt die RICHTIGE LÖSUNG ist.??;-//
Bei Definitionen gibt es nicht die eine richtige Lösung!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:11, 29. Mai 2013 (CEST)

Meine Definitionen lauten wie folgt:

* Wenn alle Punkte einer Ebene die zu den Endpunkten A, B einer Strecke AB jeweils ein und denselben Abstand haben gehören sie sie zur Mittelsenkrechten m der Strecke AB.
**Dann könnte es ja auch andere Punkte geben, die zur Mittelsenkrechte gehören, oder? Ich meine, das ist noch nicht korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:11, 29. Mai 2013 (CEST)
* Wenn alle Punkte die zu einer Mittelsenkrechten der Strecke AB gehören, haben die Punkte A und B jeweils ein und denselben Abstand. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:56, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 16:56
**Wenn du die beiden Definitionsversuche zusammen nimmst, dann könnte es eine richtige Definition werden. Diese beiden Definitionen sind so nicht korrekt und nicht prinzipiell verschieden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:11, 29. Mai 2013 (CEST)
*** Wenn ich beide Sätze zusammen verbinde dann bekomme ich : Es ist aber keine Konventialdefinition sondern eine Realdefinition. Kannst du mir bitte weiterhelfen, ich komm nicht mehr weiter. --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:19, 3. Jun. 2013 (CEST)Blumenkind 16:19, 3. Juni
**** Die Mittelsenkrechte einer Strecke <math> \overline{AB}</math> ist die Menge '''genau''' aller Punkte, die zu A und B jeweils ein und denselben Abstand hat. - so wäre es erstmal korrekt. Wir schauen mal darüber hinweg, dass Mengen eigentlich ja kein Abstand haben können. Diese jetzt in eine Konvenzionaldefinition umzuwandeln, dürfte nicht mehr schwer sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:00, 5. Jun. 2013 (CEST)
***** Wenn eine Punktemenge genau alle Punkte enthält, ... 
Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Strecke steht und die Anfangspunkte der Strecke zu jedem Punkt der Geraden ein und den selben Abstand haben, dann nenn man diese Gerade Mittelsenkrechte der Strecke. --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 17:38, 5. Jul. 2013 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-07-05T15:22:00Z

Wüstenfuchs:

'''a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.''' 

* Ein gleichseitiges Dreieck, ist ein Dreieck, in dem alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind.
* Ein gleichschenkliges Dreieck is ein Dreieck, mit zwei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 20:21, 14. Mai 2013 (CEST)
 
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn alle Seiten gleich lang sind.
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:15, 15. Mai 2013
** das "genau dann" nutzt man nicht für Definitionen, sondern für Äauivalenzaussagen/Sätze. Bei Definitionen genügt die Definition wie Regenschirm zu schreiben. Trotzdem kann sie in "beide Richtungen" angewendet werden: d.h. wenn ich ein Dreieck mit zwei gleichlangen Strecken finden, weiß ich laut Definition, das es gleichschenklig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
'''b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.''' 
 
Kontraposition lautet: Wenn jedes Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann ist auch jedes Dreieck kein gleichseitiges Dreieck. 
*Die Kontraposition ist so nicht richtig, denn bereits der erste Satzteil ist nicht war (es gibt auch nicht gleichschenklige Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
VOR.: Dreieck ABC ist kein gleichschenkliges Dreieck 
Beh.: Dreieck ABC ist kein gleichseitiges Dreieck 
Beweis: 
1) AB ≠ BC ≠ AC '''Beg.''' VOR. 
2) AC≠ BC '''Beg.''' 1) 
--> Kontraposition stimmt.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:38, 15. Mai 2013
* Der Beweis stimmt von den Schritten aus (es fehlt noch ein Schritt 3), allerdings sind die Begründungen noch nicht ausreichend. Nutzt die Definitionen von oben!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST) 

Beweis: 
1) AB<math>\neq</math> BC<math>\neq</math> AC '''Beg.'''Vor.; Def. gleichschenkliges Dreieck 
2) AC<math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.) 
3) AC<math>\neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.);2.) 
4) AC<math>\neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC dann AC<math>\neq</math> BC '''Beg.'''3.)Def. gleichseitiges Dreieck 
/>--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:51, 5. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-07-05T15:19:41Z

Wüstenfuchs:

'''a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.''' 

* Ein gleichseitiges Dreieck, ist ein Dreieck, in dem alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind.
* Ein gleichschenkliges Dreieck is ein Dreieck, mit zwei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 20:21, 14. Mai 2013 (CEST)
 
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn alle Seiten gleich lang sind.
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:15, 15. Mai 2013
** das "genau dann" nutzt man nicht für Definitionen, sondern für Äauivalenzaussagen/Sätze. Bei Definitionen genügt die Definition wie Regenschirm zu schreiben. Trotzdem kann sie in "beide Richtungen" angewendet werden: d.h. wenn ich ein Dreieck mit zwei gleichlangen Strecken finden, weiß ich laut Definition, das es gleichschenklig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
'''b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.''' 
 
Kontraposition lautet: Wenn jedes Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann ist auch jedes Dreieck kein gleichseitiges Dreieck. 
*Die Kontraposition ist so nicht richtig, denn bereits der erste Satzteil ist nicht war (es gibt auch nicht gleichschenklige Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
VOR.: Dreieck ABC ist kein gleichschenkliges Dreieck 
Beh.: Dreieck ABC ist kein gleichseitiges Dreieck 
Beweis: 
1) AB ≠ BC ≠ AC '''Beg.''' VOR. 
2) AC≠ BC '''Beg.''' 1) 
--> Kontraposition stimmt.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:38, 15. Mai 2013
* Der Beweis stimmt von den Schritten aus (es fehlt noch ein Schritt 3), allerdings sind die Begründungen noch nicht ausreichend. Nutzt die Definitionen von oben!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST) 

Beweis: 
1) AB<math>\neq</math> BC<math>\neq</math> AC '''Beg.'''Vor.; Def. gleichschenkliges Dreieck 
2) AC<math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.) 
3) AC<math>\neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.);2.) \neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC dann AC<math>\neq</math> BC '''Beg.'''3.)Def. gleichseitiges Dreieck 
/>--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:51, 5. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-07-05T15:19:19Z

Wüstenfuchs:

'''a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.''' 

* Ein gleichseitiges Dreieck, ist ein Dreieck, in dem alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind.
* Ein gleichschenkliges Dreieck is ein Dreieck, mit zwei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 20:21, 14. Mai 2013 (CEST)
 
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn alle Seiten gleich lang sind.
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:15, 15. Mai 2013
** das "genau dann" nutzt man nicht für Definitionen, sondern für Äauivalenzaussagen/Sätze. Bei Definitionen genügt die Definition wie Regenschirm zu schreiben. Trotzdem kann sie in "beide Richtungen" angewendet werden: d.h. wenn ich ein Dreieck mit zwei gleichlangen Strecken finden, weiß ich laut Definition, das es gleichschenklig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
'''b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.''' 
 
Kontraposition lautet: Wenn jedes Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann ist auch jedes Dreieck kein gleichseitiges Dreieck. 
*Die Kontraposition ist so nicht richtig, denn bereits der erste Satzteil ist nicht war (es gibt auch nicht gleichschenklige Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
VOR.: Dreieck ABC ist kein gleichschenkliges Dreieck 
Beh.: Dreieck ABC ist kein gleichseitiges Dreieck 
Beweis: 
1) AB ≠ BC ≠ AC '''Beg.''' VOR. 
2) AC≠ BC '''Beg.''' 1) 
--> Kontraposition stimmt.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:38, 15. Mai 2013
* Der Beweis stimmt von den Schritten aus (es fehlt noch ein Schritt 3), allerdings sind die Begründungen noch nicht ausreichend. Nutzt die Definitionen von oben!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST) 

Beweis: 
1) AB<math>\neq</math> BC<math>\neq</math> AC '''Beg.'''Vor.; Def. gleichschenkliges Dreieck 
2) AC<math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.) 
3) AC<math>\neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.);2.) \neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC dann AC<math>\neq</math> BC '''Beg.'''3.)Def. gleichseitiges Dreieck
/>--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:51, 5. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-07-05T14:55:37Z

Wüstenfuchs:

'''a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.''' 

* Ein gleichseitiges Dreieck, ist ein Dreieck, in dem alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind.
* Ein gleichschenkliges Dreieck is ein Dreieck, mit zwei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 20:21, 14. Mai 2013 (CEST)
 
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn alle Seiten gleich lang sind.
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:15, 15. Mai 2013
** das "genau dann" nutzt man nicht für Definitionen, sondern für Äauivalenzaussagen/Sätze. Bei Definitionen genügt die Definition wie Regenschirm zu schreiben. Trotzdem kann sie in "beide Richtungen" angewendet werden: d.h. wenn ich ein Dreieck mit zwei gleichlangen Strecken finden, weiß ich laut Definition, das es gleichschenklig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
'''b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.''' 
 
Kontraposition lautet: Wenn jedes Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann ist auch jedes Dreieck kein gleichseitiges Dreieck. 
*Die Kontraposition ist so nicht richtig, denn bereits der erste Satzteil ist nicht war (es gibt auch nicht gleichschenklige Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
VOR.: Dreieck ABC ist kein gleichschenkliges Dreieck 
Beh.: Dreieck ABC ist kein gleichseitiges Dreieck 
Beweis: 
1) AB ≠ BC ≠ AC '''Beg.''' VOR. 
2) AC≠ BC '''Beg.''' 1) 
--> Kontraposition stimmt.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:38, 15. Mai 2013
* Der Beweis stimmt von den Schritten aus (es fehlt noch ein Schritt 3), allerdings sind die Begründungen noch nicht ausreichend. Nutzt die Definitionen von oben!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST) 

Beweis: 
1) AB<math>\neq</math> BC<math>\neq</math> AC '''Beg.'''Vor.; Def. gleichseitiges Dreieck 
2) AC<math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.) 
3) AC<math>\neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC '''Beg.'''1.);2.); Def. gleichschnekliges Dreieck --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:51, 5. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-07-05T14:53:01Z

Wüstenfuchs:

'''a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.''' 

* Ein gleichseitiges Dreieck, ist ein Dreieck, in dem alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind.
* Ein gleichschenkliges Dreieck is ein Dreieck, mit zwei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 20:21, 14. Mai 2013 (CEST)
 
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn alle Seiten gleich lang sind.
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:15, 15. Mai 2013
** das "genau dann" nutzt man nicht für Definitionen, sondern für Äauivalenzaussagen/Sätze. Bei Definitionen genügt die Definition wie Regenschirm zu schreiben. Trotzdem kann sie in "beide Richtungen" angewendet werden: d.h. wenn ich ein Dreieck mit zwei gleichlangen Strecken finden, weiß ich laut Definition, das es gleichschenklig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
'''b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.''' 
 
Kontraposition lautet: Wenn jedes Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann ist auch jedes Dreieck kein gleichseitiges Dreieck. 
*Die Kontraposition ist so nicht richtig, denn bereits der erste Satzteil ist nicht war (es gibt auch nicht gleichschenklige Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
VOR.: Dreieck ABC ist kein gleichschenkliges Dreieck 
Beh.: Dreieck ABC ist kein gleichseitiges Dreieck 
Beweis: 
1) AB ≠ BC ≠ AC '''Beg.''' VOR. 
2) AC≠ BC '''Beg.''' 1) 
--> Kontraposition stimmt.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:38, 15. Mai 2013
* Der Beweis stimmt von den Schritten aus (es fehlt noch ein Schritt 3), allerdings sind die Begründungen noch nicht ausreichend. Nutzt die Definitionen von oben!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST) 

Beweis: 
1) AB<math>\neq</math> BC<math>\neq</math> AC '''Beg.''' Vor.; Def. gleichseitiges Dreieck 
2) AC<math>\neq</math> BC '''Beg.''' 1.) 
3) AC<math>\neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC '''Beg.''' 1.);2.); Def. gleichschnekliges Dreieck --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:51, 5. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-07-05T14:51:56Z

Wüstenfuchs:

'''a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert.''' 

* Ein gleichseitiges Dreieck, ist ein Dreieck, in dem alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind.
* Ein gleichschenkliges Dreieck is ein Dreieck, mit zwei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 20:21, 14. Mai 2013 (CEST)
 
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn alle Seiten gleich lang sind.
* Ein Dreieck ABC ist genau dann ein gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:15, 15. Mai 2013
** das "genau dann" nutzt man nicht für Definitionen, sondern für Äauivalenzaussagen/Sätze. Bei Definitionen genügt die Definition wie Regenschirm zu schreiben. Trotzdem kann sie in "beide Richtungen" angewendet werden: d.h. wenn ich ein Dreieck mit zwei gleichlangen Strecken finden, weiß ich laut Definition, das es gleichschenklig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
'''b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck.''' 
 
Kontraposition lautet: Wenn jedes Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann ist auch jedes Dreieck kein gleichseitiges Dreieck. 
*Die Kontraposition ist so nicht richtig, denn bereits der erste Satzteil ist nicht war (es gibt auch nicht gleichschenklige Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST)
 
VOR.: Dreieck ABC ist kein gleichschenkliges Dreieck 
Beh.: Dreieck ABC ist kein gleichseitiges Dreieck 
Beweis: 
1) AB ≠ BC ≠ AC '''Beg.''' VOR. 
2) AC≠ BC '''Beg.''' 1) 
--> Kontraposition stimmt.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 23:38, 15. Mai 2013
* Der Beweis stimmt von den Schritten aus (es fehlt noch ein Schritt 3), allerdings sind die Begründungen noch nicht ausreichend. Nutzt die Definitionen von oben!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:29, 23. Mai 2013 (CEST) 

Beweis: 
1) AB<math>\neq</math> BC<math>\neq</math> AC Vor.; Def. gleichseitiges Dreieck 
2) AC<math>\neq</math> BC 1.) 
3) AC<math>\neq</math> AB und AB <math>\neq</math> BC 1.);2.); Def. gleichschnekliges Dreieck --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:51, 5. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-07-05T14:45:36Z

Wüstenfuchs:

Lösung von Aufgabe 3.3 (SoSe 13 P)

2013-07-04T10:45:39Z

Wüstenfuchs:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
*Es fehlt der Bezug zur Gerade c.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Diese Aussage repräsentiert den Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
***So ist es.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST)

#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
*Umkehrung von (1). Gleiche Problematik wie in (1).--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der oberen Implikation. Eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ist jedoch nicht möglich, daher ist diese Implikation weder repräsentativ noch äquivalent zum Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
***Gut begründet und nur noch ein Fehler.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST)
****Komme nicht drauf.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:24, 12. Mai 2013 (CEST) 
*****Die Aussage ist sehr wohl wahr. Sie muss aber extra bewiesen werden, da sie eben nicht äquivalent zum Stufenwinkelsatz ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:28, 23. Mai 2013 (CEST)

#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
*Äquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz. Logischer Zusammenhang.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:59, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei handelt es sich um eine Kontraposition zu dem Stufenwinkelsatz. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
**Äquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:18, 10. Mai 2013 (CEST) 
** könnte jemand dies mal ohne Formelzeichen in einen Satz schreiben, ich versteh die ganzen Zeichen gar nicht und deswegen auch nicht die Aussage --[[Benutzer:Grashalm|Grashalm]] 11:36, 12. Jun. 2013 (CEST) 

Hallo Grashalm, hier einmal in Worten:
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math> bedeutet: Wenn das Maß des Winkels alpha ungleich dem Maß des Winkels beta, dann existiert ein Punkt S für den gilt: S ist element von a und S ist element von b. 
Hilft dir das weiter? --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:22, 12. Jun. 2013 (CEST) 

ja vielen dank, nun kann ich es nachvollziehen :) --[[Benutzer:Grashalm|Grashalm]] 18:25, 12. Jun. 2013 (CEST)

#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
*Selbe Problematik wie in (1) und (2).--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Da eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nicht möglich ist (siehe 2. Implikation), ist eine Äquivalenzrelation der beiden Aussagen ebenfalls ausgeschlossen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:18, 10. Mai 2013 (CEST) 
*** Mh, stimmt nicht ganz.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST )
****Bräuchte etwas Hilfe. Komme nicht drauf. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:24, 12. Mai 2013 (CEST) 
*****Siehe 2)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:28, 23. Mai 2013 (CEST)
******Wenn man also die 2.Implikation beweist, dann gilt auch diese Äquivalenzrelation oder? --[[Benutzer:Zweieck|Zweieck]] 14:03, 30. Mai 2013 (CEST)
*******So ist es.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:24, 2. Jun. 2013 (CEST)

Also zusammenfassend habe ich das jetzt so verstanden|:

1.) Stufenwinkelsatz 
2.) Umkehrung des Stufenwinkelsatzes; aber nicht gültig, da noch nicht bewiesen 
3.) Kontraposition des Stufenwinkelsatzes; gilt da Kontraposition immer Äquivalent zum ursprünglichen Satz 
4.) Äquivalenz des Stufenwinkelsatzes; gilt erst wenn die Umkehrung bewiesen wurde
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 12:44, 4. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.3 (SoSe 13 P)

2013-07-04T10:44:44Z

Wüstenfuchs:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
*Es fehlt der Bezug zur Gerade c.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Diese Aussage repräsentiert den Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
***So ist es.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST)

#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
*Umkehrung von (1). Gleiche Problematik wie in (1).--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der oberen Implikation. Eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ist jedoch nicht möglich, daher ist diese Implikation weder repräsentativ noch äquivalent zum Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
***Gut begründet und nur noch ein Fehler.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST)
****Komme nicht drauf.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:24, 12. Mai 2013 (CEST) 
*****Die Aussage ist sehr wohl wahr. Sie muss aber extra bewiesen werden, da sie eben nicht äquivalent zum Stufenwinkelsatz ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:28, 23. Mai 2013 (CEST)

#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
*Äquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz. Logischer Zusammenhang.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:59, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Hierbei handelt es sich um eine Kontraposition zu dem Stufenwinkelsatz. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:29, 10. Mai 2013 (CEST) 
**Äquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:18, 10. Mai 2013 (CEST) 
** könnte jemand dies mal ohne Formelzeichen in einen Satz schreiben, ich versteh die ganzen Zeichen gar nicht und deswegen auch nicht die Aussage --[[Benutzer:Grashalm|Grashalm]] 11:36, 12. Jun. 2013 (CEST) 

Hallo Grashalm, hier einmal in Worten:
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math> bedeutet: Wenn das Maß des Winkels alpha ungleich dem Maß des Winkels beta, dann existiert ein Punkt S für den gilt: S ist element von a und S ist element von b. 
Hilft dir das weiter? --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:22, 12. Jun. 2013 (CEST) 

ja vielen dank, nun kann ich es nachvollziehen :) --[[Benutzer:Grashalm|Grashalm]] 18:25, 12. Jun. 2013 (CEST)

#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
*Selbe Problematik wie in (1) und (2).--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:13, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Da eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nicht möglich ist (siehe 2. Implikation), ist eine Äquivalenzrelation der beiden Aussagen ebenfalls ausgeschlossen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:18, 10. Mai 2013 (CEST) 
*** Mh, stimmt nicht ganz.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:42, 11. Mai 2013 (CEST )
****Bräuchte etwas Hilfe. Komme nicht drauf. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:24, 12. Mai 2013 (CEST) 
*****Siehe 2)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:28, 23. Mai 2013 (CEST)
******Wenn man also die 2.Implikation beweist, dann gilt auch diese Äquivalenzrelation oder? --[[Benutzer:Zweieck|Zweieck]] 14:03, 30. Mai 2013 (CEST)
*******So ist es.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:24, 2. Jun. 2013 (CEST)

Also zusammenfassend habe ich das jetzt so verstanden|:

1.) Stufenwinkelsatz
2.) Umkehrung des Stufenwinkelsatzes; aber nicht gültig, da noch nicht bewiesen
3.) Kontraposition des Stufenwinkelsatzes; gilt da Kontraposition immer Äquivalent zum ursprünglichen Satz
4.) Äquivalenz des Stufenwinkelsatzes; gilt erst wenn die Umkehrung bewiesen wurde
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 12:44, 4. Jul. 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (SoSe 13 P)

2013-07-03T13:51:39Z

Wüstenfuchs:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
*Wenn die Geraden g und h mehrere Punkte gemeinsam haben, dann sind sie identisch.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:26, 7. Mai 2013 (CEST) 

b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
*Die Annahme Lautet: Sie haben mehrere Punkte gemeinsam--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:52, 7. Mai 2013 (CEST) 
**Könnte man auch schreiben: Annahme: g und h haben zwei Punkte gemeinsam?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:02, 11. Mai 2013 (CEST) 
***Ist wahrscheinlich besser die Geraden beim Namen zu nennen. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:42, 13. Mai 2013 (CEST) 
****Das passt schon wie du es geschriben hast, allerdings kann man auch zwei Punkte konkret nennen, dann kann man beim Beweisen genau mit diesen zweien anfangen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:25, 23. Mai 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Könnte man die Annahme auch wie folgt formulieren:

Es existieren zwei Punkte A und B für die gilt. A ist Elment von h und g und B ist Element von h und g?
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 15:51, 3. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 13)

2013-06-29T13:16:14Z

Wüstenfuchs:

Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 
Das Parallelogramm ist ein Trapez, welches am Schnittpunkt der Diagonalen punktsymmetrisch ist.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:39, 30. Apr. 2013 (CEST)
* Die Formulierung ist nicht so geschickt: Das Parallelogramm ist ein punktsymmetrisches Viereck, es ist nicht im Schnittpunkt punktsymmetrisch. Du kannst ergänzen, dass es punktsymmetrisch zu einem bestimmten Punkt ist - allerdings passt das nicht unbedingt in eine Definition (kann man dies Eigenschaft beweisen oder nicht?).
**Dachte, dass die Punktsymmetrie am Schnittpunkt der Diagonalen eine Besonderheit des Parallelogramms (und dessen Familienangehörigen: Quadrat, Rechteck und Raute) sei und sich daher besonders gut für eine Definition eignen würde. Oder liege ich damit völlig falsch?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 10:31, 6. Mai 2013 (CEST) 
* Du liegst gar nicht falsch mit der Punktsymmetrie. Es ist nur nicht nötig, die Definition so ausführlich zu schreiben.
**Würde z.B. genügen zu sagen: Ein Viereck, dass punktsymmetrisch ist, heißt Parallelogramm.? Oder was muss hier noch ergänzt werden?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:02, 6. Mai 2013 (CEST) 
***Ok. Ich verstehe.Das Erwähnen der Diagonalen ist hinreichend aber nicht notwendig.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:49, 6. Mai 2013 (CEST) 

* Und brauch man den Oberbegriff Trapez?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:55, 2. Mai 2013 (CEST)
Ich verwende bei Definitiionen gerne unmittelbare Oberbegriffe. Werde versuchen mir eine andere Definition zu überlegen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 06:58, 3. Mai 2013 (CEST)
Ein Viereck, welches nach einer Punktspiegelung seinen Richtungssinn nicht verändert, ist ein Parallelogramm.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 07:08, 3. Mai 2013 (CEST)
*Es ist so, dass sich bei einer Punktspiegelung nie der Richtungssinn ändert.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:22, 5. Mai 2013 (CEST) 
**Damit meinte ich, dass das Parallelogramm nach einer Punktspiegelung (Drehung) genauso "aussieht" wie das ursprüngliche Abbild.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 10:31, 6. Mai 2013 (CEST) 
* Du kannst generell gerne direkte Oberbegriffe nutzen. Und es wäre auch nicht falsch. Oft aber sind die Eigenschaften, die man beim Beschreiben nennt doppelt (denn sie sind schon im Oberbegriff enthalten). Dann ist es ausreichend, wirklich nur die dazukommenden Eigenschaften zu nennen oder einen allgemeineren Oberbegriff zu nennen. Es wird allerdings nicht als falsch bewertet.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:41, 23. Mai 2013 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]
* Ein Parallelogramm ist ein schräger Drache, der bei einer Drehung um 180 Grad auf sich selbst abgebildet wird. --[[Benutzer:Beencken|Beencken]] 14:41, 29. Jun. 2013 (CEST)
* Ein Viereck, welches bei einer Drehung um 180Grad um seinen Mittelpunkt kongruent zu sich selbst ist, nennt man Parallelogramm. --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 15:16, 29. Jun. 2013 (CEST)