Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Serie 03

2014-08-01T11:02:15Z

Wexstabenverbuxler: /* Aufgabe 3.3 */

[[Zu den Lösungsversuchen]]

==Aufgabe 3.1==
(alles in ein und derselben Ebene)
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <math>g</math> eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei <math>Z</math> der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in <math>M</math> auf <math>g</math> mit <math>k</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>k\setminus_Z</math> auf <math>g</math>: <math>\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g</math>. Ist <math>\varphi</math> fixpunktfrei?
==Aufgabe 3.2==
Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
==Aufgabe 3.3==
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math>1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat?

1 müsste das nicht φ(P)=(zufallsbereich(0;1919),zufallsbereich(0;1079)) heißen, weil es nur 1920x1080 Pixel gibt (mit allen rechnerischen Konsequenzen)? [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 13:02, 1. Aug. 2014 (CEST)

==Aufgabe 3.4==
Beweisen Sie: wenn eine Bewegung <math>\varphi</math> zwei verschiedene Fixpunkte <math>A</math> und <math>B</math> hat, dann hat ist die Gerade <math>AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\varphi</math>.

==Aufgabe 3.5==
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte <math>A,B,C</math> Fixpunkte der Bewegung <math>\varphi</math> sind, so ist <math>\varphi</math> die identische Abbildung.

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

NAF zweier zentrischer Streckungen (EM 2012 :-))

2014-07-31T13:14:23Z

Wexstabenverbuxler: /* Ausgangssituation */

=Vorbereitungsspiel=
Weil ja schließlich morgen EM ist, bleibt mir fast nichts anderes übrig, als das folgende Kapitel mit einem Fußballbeispiel einzuführen: Da Jogis Jungs am Samstag ja gegen Portugal spielen, wird es sich darauf hinauslaufen. 
==Ausgangssituation==
Wir gehen von folgendem Radiomittschnitt aus (nicht jeder hat einen Fernseher :-)): 
"Jetzt wird es spannend, der Ball liegt knapp vor dem Kasten der Portugiesen. Eduardo bewegt sich aber im Moment noch gar nicht, Gomez und Klose lauern. Wie wir Gomez kennen, ist er wieder einmal meilenweit vom Ball entfernt, ersten Schätzungen zufolge ist er genau zweimal soweit vom Ball entfernt, wie von Miro Klose. Das ist jetzt interessant - der Rasen scheint zu brennen, das Spiel lebt von der Spannung. Man kann fast von Rasenschach sprechen - die Luft knistert und auch dem Spielern scheint vor lauter Spannung die Bewegung abhanden gekommen zu sein. Erstaunlicherweise ist auch Ricardo, der portugiesische Abwehrspieler von seinem Torwart genau zweimal soweit entfernt, wie er selbst vom Ball, was in diesem speziellen Fall nichts anderes heißt, als dass sie beide gleich weit vom Ball entfernt sind. Es bewegt sich gar nichts. Nichts, es scheint fast so als hätten wir ein Standbild. Oh, zumindest einer bewegt sich: Ronaldo sitzt auf dem Rasen und schneidet sich die Fußnägel. Er ist im übrigen von seinem Torwart viermal so weit entfernt, wie von Klose, also selbst wenn er seine Fußnägel geschnitten hätte, wäre Klose viel schneller am Ball als Ronaldo. Aber wir brauchen uns diesbezüglich keine Gedanken machen, da sich Ronaldo nur auf einer Linie nach vorne bewegen kann - auf der Linie nämlich, auf der auch Klose und Ricardo stehen. 
Für all diejenigen, denen das Spiel zu langweilig ist, können sich ja mal mit zentrischer Streckung befassen. Welcher Zusammenhang besteht denn zwischen Gomez, Ronaldo und Ricardo Costa?"
 
Ok, ich geb' zu - ist ein bisschen an den Haaren herbeigezogen (bzw. an den Fußnägeln :-)). Nichts desto trotz hat das öffentlich rechtliche Fernsehen einen Bildungsauftrag und vielleicht kommt sowas ja irgendwann mal vor :-). Wenn nicht, hier wirds trotzdem kurz bearbeitet: 
bist du auf droge? :-) --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 12:45, 8. Jun. 2012 (CEST) 
 
ne, aber ich wär echt mal gern fußballkommentator :D --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 15:04, 8. Jun. 2012 (CEST)

Flo scheint mir ein Repräsentant einer so relevanten wie lästigen Äquivalenzklasse auf der Menge aller Menschen mit deutscher Staatsbürgerschaft zu sein.
Fußballexperten aller Schichten, vereinigt euch! [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 15:14, 31. Jul. 2014 (CEST)

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==Was soll nun eigentlich gezeigt werden?==
Schlussendlich geht es natürlich um die NAF zweier zentrischer Streckungen. Hier die Skizze nochmal - ein wenig verändert: 
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Wie nun ersichtlich ist ist unsere Abbildung die folgende: NAF <math>Z_2 \ o \ Z_1</math>. 
 
Die NAF ist erneut zentrische Streckung (wir besser ersichtlich weiter unten aufgrund der Parallelität und der veränderten Größe der Dreiecke - ist mit einzelnen Punkten schwierig darzustellen). 
Es bleibt herauszufinden, wo nun unser fehlender Spieler ist - nämlich Ronaldo. Es muss wohl so sein, dass er auf <math>Z_2Z_1</math> zu finden ist. 
===Begründung===

R ist muss nach der NAF wieder auf sich selbst abgebildet werden (Streckzentrum ist Fixpunkt bei ZS) 
Wenn ein Punkt R von <math>Z_1</math> aus gestreckt wird, dann ist er auf <math>Z_1R</math>. 
Da <math>ZS_Z1,k(R)</math> nun allerdings wieder auf R abgebildet werden muss, und R'' = R auf R'B liegen muss,
liegt liegt R und R' auf <math>Z_1Z_2</math>. 
In der 'Skizze unten' kann eine Schar von Geraden angezeigt werden, das kann gerade beschriebenes verdeutlichen.

==In welchem Verhältnis stehen nun die Punkte Z1, Z2 und R?==
Hier wieder eine Skizze: 
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===Durch Spiegelung habe ich mir die Punkte derart gelegt, dass folgende Zwischenrelationen gelten===
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===Berechnung===
Nun gilt folgendes: <math>|Z_1R'| = |Z_1R|k_A</math> <math>|Z_2R| = |Z_2R'|k_B</math> 
Ferner gilt: <math>|Z_1Z_2| = z</math> und <math>|Z_1R| = r</math> 
<math>r = z - (Z_2-R')*k_B</math> 
<math>r = z - (z-k_A*r)*k_B</math> 
<math>r = z - z*k_B + k_A*r*k_B)</math> 
<math>r = z(1-k_B) + k_A*k_B*r</math> 
<math>r - k_A*k_B*r = z(1-k_B)</math> 
<math>r(1 - k_A*k_B) = z(1-k_B)</math> 
<math>r = z \frac{(1-k_B)} {(1 - k_A*k_B)}</math> 
 
Schlusswort: Heftige Geometrie! :-) Da schau ich mir das Spiel doch lieber im Fernsehen an! :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:33, 7. Jun. 2012 (CEST)

===Kontrolle - Didaktisch sinnvoll, nicht nur in Grund- und Hauptschule :-) - auch wenns kein Beweis ist===
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<math>1 =3* \frac{1-2} {1-4} = 3*\frac{-1} {-3} = 1</math> - tada! --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:40, 7. Jun. 2012 (CEST)

=Skizze unten=
<ggb_applet width="1150" height="500" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

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[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Jede Abbildung ist durch drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt - eine Diskussion

2014-07-31T11:56:03Z

Wexstabenverbuxler: /* {{Schrift_orange|Diskussion II - völlig anderes Thema: 'Schwarze Löcher im Raum?'}} */

={{Schrift_orange|Diskussion I}}=
==Vorbemerkung==
Rein aus Erfahrung zeigt sich (leider), dass sich wohl auch in diese Diskussion nur wenige, bis gar keine Studis einbringen. Daher mein Appell: Einbringen :-) - nur so zum Spass um auch mal über andere Dinge zu diskutieren!

==Was gibt es denn zu diskutieren?==
Wir haben zur Erarbeitung des Reduktionssatzes die Gültigkeit des folgenden Satzes gezeigt:

Jede Bewegung ist durch drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.

Nun stellt sich die Frage: {{Schrift_orange|Gilt das auch für Abbildungen allgemein?}} 
Zunächst denke ich kann man das nicht pauschalisieren, denn eine Abbildung muss ja nur linkstotal und rechtseindeutig sein, d. h. wenn meine Abbildung derart bestimmt ist, dass ich drei Punkte A, B, C habe und diese nach gut dünken derart auf die Ebene 'regnen' lasse, dass jedes Urbild ein Bild hat, dann ist das auch eine (sehr willkürliche) Abbildung. 
Für welche Abbildungen gilt es denn dann? 

{| class="wikitable sortable"
!Abbildung!! Gültigkeit (ja/nein)?!! Siehe Beweis
|-
| 'geregnete Abbildung' || Keine Gültigkeit || siehe Einleitung
|-
| Alle Bewegungen || Gültigkeit || siehe Folien Reduktionssatz
|-
| Alle NAF von Bewegungen || Gültigkeit || NAF von Bewegung ist auch Bewegung
|-
| zentrische Streckung || Gültigkeit || siehe ZS-Beweis unten
|-
| 5 || 5 || 5
|}

==Beweis zur Zentrischen Streckung (ZS-Beweis)==
===Vorüberlegung:===
Ganz offensichtlich wird dieser Beweis derart ablaufen, dass das Streckzentrum durch zwei sich schneidende Geraden ermittelt wird. Benötigen wir also noch drei Punkte oder reichen zwei und deren Bilder?
Für den Fall, dass wir lediglich zwei Punkte A und B und deren Bilder A' und B' betrachten, kann es sein, dass gilt: koll(Z, A, B). Der Beweis wäre dann nicht durchführbar! Wir brauchen also drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder.
===Beweis===
Ebene Geometrie. Seien A, B und C drei nichtkollineare Punkte und A', B', C' deren Bilder bei der zentrischen Streckung <math>ZS_Z,_k</math> mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k. Behauptung: Für alle Punkte der Ebene ist die Abbildung eindeutig bestimmt.
Beweis erneut durch Widerspruch; Annahme: Es existiert ein Punkt D mit <math>ZS_Z,_k(D)</math> = D' und D* und D' <math>\neq</math> D*. 

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| 1 || Es existieren die Geraden AA', BB' und CC' || Inzidenzaxiom I.1 :-)
|-
| 2 || Wegen nkoll(A, B, C) schneiden sich wenigstens zwei dieser Geraden im Punkt Z || Definition zentrische Streckung, Voraussetzung, (1)
|-
| 3 || Nach Definition zentrischer Streckung gilt: koll(Z, D, D', D*) || (2), Indidenzaxiom I.1 (Z und D liegen auf einer Gerade)
|-
| 4 || k = <math>\frac{|ZA'|} {|ZA|} = \frac{|ZB'|} {|ZB|} = \frac{|ZC'|} {|ZC|}</math> || Voraussetzung, Definition zentrische Streckung
|-
| 5 || Es gilt: <math>|Z ZS_Z,_k(D)| = |ZD|*k </math>|| (4), Definition zentrische Streckung
|-
| 6 || Nach dem Axiom vom Lineal gibt es auf einem Strahl genau einen Punkt mit dem Abstand <math>|ZD|*k </math> - da wir unsere zentrische Streckung mit einem gerichteten Vektor definiert haben, kann es keine zwei Punkte auf einem Strahl geben für den dieser Abstand gilt.
|}
 
Das geht wohl auch einfacher. Interessant vor allem der Aspekt, dass ich den gerichteten Vektor benötige. Hätten wir zentrische Streckung anders definiert, hätte ich ein Problem und könnte den Beweis gar nicht führen! --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 16:49, 26. Mai 2012 (CEST)

={{Schrift_orange|Diskussion II - völlig anderes Thema: 'Schwarze Löcher im Raum?'}}=
Ganz offensichtlich gibt es Situationen, die das menschliche Hirn an den Rand seiner Kapazitätsgrenze bringen. Ein Beispiel dafür ist folgendes: Man nehme ein beliebiges Wort (Namen oder noch besser einen abstrakten Begriff, der nicht mit einem Gegenstand in Verbindung gebracht werden kann) und sage es solange vor sich hin, bis es jeglichen Sinn verliert und nur noch eine Aneinanderreihung von Buchstaben zu sein scheint :-). 
Ein weiteres Beispiel ist die Frage, was denn hinter unserem Universum ist - nix kann es ja irgendwie nicht sein, denn das Universum muss ja irgendwo liegen1. Wahrscheinlich sucht hier die Religion nach Antworten - oder wenn man es mit Dan Brown hält (Autor 'Illuminati'), dann das 'Gottpartikel' oder die Wissenschaftler im CERN in der Schweiz. Appropos CERN: Vor nicht allzulanger Zeit gab es dort bedenken, dass durch die Partikelkollision im LEP (Large Electron-Positron Collider) zur Entstehung von schwarzen Löchern käme. Nun stellt sich folgende Frage:

1 Nö, das Universum liegt nicht irgendwo, sondern es ist überall (nach Definition "Universum" bzw. "WeltALL(!)"). Wenn also Raum nur innerhalb des Universums existiert, dann kann nichts hinter dem Universum sein, denn "hinter" bezeichnet eine Raumlage-Beziehung. Jedweges Philosophieren über Dinge außerhalb unseres räumlich definierten Wahrnehmungsapparates kann also nur enden mit den Worten: "Kein Schimmer." oder mit Sokrates: "Ich weiß, dass ich nichts weiß.". |D [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 13:56, 31. Jul. 2014 (CEST)

Können wir in unserer Mathematik auch ein schwarzes Loch schaffen - ohne CERN?

Ich denke, dass das möglich ist und zwar relativ einfach. Ich definiere Schwarzes Loch wie folgt:

Definition (Schwarzes Loch): Sei Z ein Punkt des Raums. Wenn Z Streckzentrum der zentrischen Streckung <math>ZS_Z_k</math> mit k = 0 ist, 
dann ist Z schwarzes Loch des Raums.

{{Schrift_orange|Und jetzt sind wir wieder bei den Grenzen des menschlichen Hirns:}} 
Wir haben natürlich bei unserer Zentrischen Streckung k <math>\neq</math> 0 definiert - aber warum sollten wir das nicht zulassen - es gibt ja schwarze Löcher auch in Wirklichkeit :-). Stellt sich allerdings wieder die alte Frage: Wenn alle Punkte des Raumes (ich habe deshalb den Raum und nicht die Ebene gewählt, weil es schöner ist :-) ) auf den Punkt Z abgebildet werden, was passiert dann mit dem Raum an sich? Er kann ja eigentlich nicht kleiner werden? Wer kennt die Antwort? Gibt es eine?
 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 08:38, 29. Mai 2012 (CEST) 
'''42''' ;-) --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 23:23, 5. Jun. 2012 (CEST)
 
{{Schrift_grün|:D :D :D :D}}
 
Ich glaube aber, dass ich herausgefunden habe, wo das Eichhörnchen die Nuss vergraben hat: Aufgrund unserer Definition von Bewegung gilt, dass die Ebene auf sich abgebildet wird und Streckenlängen invariant sind. Jetzt haben wir es nur nicht mehr mit Bewegungen zu tun, aber immer noch mit einer Abbildung. D. h. dass unser Raum aus (doch relativ unspektakulären Gründen) erhalten bleibt und alle Punkte auf unser Z abgebildet werden - nichts desto trotz bleiben die Urbilder im Raum und demnach bleibt auch der Raum erhalten. Weil das aber langweilig ist, finde ich sollte man eine neue Geometrie erschaffen, in der Abbildungen wie folgt definiert werden:

{{Schrift_grün|<math>Definition_{Neue Geometrie} \ (Abbildung):</math>}} 
Eine Menge von Punkten wird abgebildet, 
wenn sie im Sinne der Euklid'schen Geometrie abgebildet werden mit der Ausnahme, 
dass die Urbilder nach der jeweiligen Abbildung in Rauch aufgehen.
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:20, 7. Jun. 2012 (CEST)

=Zurück zur Übersichtsseite=
[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Schubspiegelung (2011/12)

2014-07-29T14:50:37Z

Wexstabenverbuxler: /* Definition: (Schubspiegelung) */

==Die Idee==
Entsprechend der Bezeichnung ''Schubspiegelung'' würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem sieht die folgende Definition wie eine Einschränkung dieser Vorstellung aus.
{{#ev:youtube|xdF5pFokE_0&}}

==Die Definition==
===Definition: (Schubspiegelung)===
::Es sei <math>V=S_b \circ S_a</math> eine Verschiebung und <math>g</math> eine Gerade, die senkrecht auf den Spiegelachsen <math>a</math> und <math>b</math> steht. Die NAF <math>S_g \circ V</math> heißt Schubspiegelung mit der Schubspiegelachse <math>g</math>. 
 
[[Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?]]

===Spiegelschiebung?===
Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition ''Schubspiegelung'' genügen.
==== Satz SCH/1====
::Es sei <math>S_g \circ V</math> eine Schubspieglung. Dann gilt <math>S_g \circ V = V \circ S_g</math>

==== Beweis ====
::Es sei <math>S_g \circ V = S_g \circ \left(S_b \circ S_a\right)</math>.
::Die Geraden <math>a,b, g</math> haben damit die folgenden Eigenschaften.

# <math>a \|| b</math>
# <math>g \perp a</math>
# <math>g \perp b</math>

::
{| class="wikitable "
|+ Beweis der Kommutativität <math>S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) = \left( S_b \circ S_a \right) \circ S_g</math>
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| <math>SCH_g=S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)</math>
| die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier Geradenspiegelungen
|-
| (II)
| <math>SCH_g = \left( S_g\circ S_b \right) \circ S_a</math>
| (I), Assoziativität der NAF von Abbildungen
|-
| (III)
| <math>SCH_g = \left(S_b \circ S_g \right) \circ S_a</math>
| (II), 3.
|-
| (IV)
| <math>SCH_g = S_b \circ \left( S_g \circ S_a \right)</math>
| (III), Assoziativität der NAF von Abbildungen
|-
| (V)
| <math>SCH_g = S_b \circ \left( S_a \circ S_g \right)</math>
| (IV), 2.
|-
| (VI)
| <math>SCH_g = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g</math>
| (VI), Assoziativität der NAF von Abbildungen
|-
| (VII)
| <math>S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g</math>
| (I), (VI)
|}

Nach dem Beweis von Satz SCH/1 ist klar, dass die Einschränkung in der Definition ''Schubspiegelung'' sinnvoll ist, weil durch diese Einschränkung die Kommutativität der NAF von Geradenspiegelung und Verschiebung gewährleistet ist.

Im folgenden zeigen wir dass die Einschränkung in der Definition des Begriffs ''Schubspieglung'' letztlich nicht die Menge aller Schubspiegelungen einschränkt.

=== Satz SCH/2===
::Jede Nacheinanderausführung einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung ist eine Schubspiegelung entsprechend der Definition ''Schubspiegelung''.
=== Beweis ===
::Wir gehen aus von der NAF <math> S_g \circ </math><math>\blue \left( S_b \circ S_a \right)</math> mit <math>a \|| b</math> und <math> g \not{\perp} a, g \not{\perp} b</math>. Es gelte <math>g \cap a =S_1, g \cap b = S_2</math>.

::[[Bild:Schub_00.jpg|400px]]

::Wegen der Assoziativität der NAF von Abbildungen dürfen wir neu klammern:
::<math>\red \left( S_g \circ S_b \right)</math><math>\circ S_a</math>
::[[Bild:Schub_01.jpg|400px]]

::<math>\red \left( S_g \circ S_b \right)</math> ist eine Drehung um <math>S_2</math> mit einem Drehwinkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen <math>b</math> und <math>g</math>.
::Dieselbe Drehung erhält man, wenn <math>b</math> und <math>g</math> durch zwei Geraden <math>b'</math> und <math>g'</math> mit <math>b' \cap b' = \{S_2\}, \angle (b,g) \tilde= \angle (b',c')</math> ersetzt und <math>\red S_{g'} \circ S_{b'}</math> verwendet.
::Wir wählen <math>b'</math> derart, dass <math>b' \perp a</math> gilt.
::[[Bild:Schub_02.jpg|400px]]
::Bisher haben wir damit die NAF
::<math>S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)</math>
::durch die NAF
::(*) <math>\red \left( S_{g'} \circ S_{b'} \right)</math><math>\circ S_a</math>
::ersetzt
::Wegen der bereits mehrfach erwähnten Assoziativität dürfen wir in (*) neu klammern
::[[Bild:Schub_03.jpg|400px]]
::und erhalten (**) <math>S_{g'} \circ</math><math>\red \left( S_{b'} \circ S_a \right)</math>.
::Weil <math>\red b' \perp a</math> gilt ist (**) identisch zu
::(***) <math>S_{g'} \circ</math><math>\red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)</math>
::Die Drehung <math>\red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)</math> kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen <math>\red \left( S_{a'} \circ S_{b''}\right)</math>ersetzt werden. Wie wählen <math>\red a'</math> derart, dass <math>a' \perp g'</math> gilt. Aus <math>b'' \perp a'</math> folgt dann unmittelbar <math>b'' \|| g'</math>
::[[Bild:Schub_04.jpg|400px]]
::[[Bild:Schub_05.jpg|400px]]
::In (***) dürfen wir wiederum neu klammern und erhalten:
::(****) <math>\left( S_{g'} \circ S_{a'} \right) \circ S_{b''}</math>
::Wegen <math>g' \perp a</math>`ist (****) identisch zu
::(*****) <math>\left( S_{a'} \circ S_{g'} \right) \circ S_{b''}</math>
::Neu klammern in (*****) liefert
::<math> S_g \circ </math><math>\blue \left( S_b \circ S_a \right)</math><math>\equiv</math><math>S_{a'} \circ </math><math>\blue \left( S_{g'} \circ S_{b''}\right) </math>
::[[Bild:Schub_06.jpg|400px]]
::<math>S_{a'} \circ </math><math>\blue \left( S_{g'} \circ S_{b''}\right) </math> erfüllt die Bedingungen der Definition ''Schubspiegelung''.
::q.e.d.
{{#ev:youtube|j4T7D4cMN2U}}
[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12)

2014-07-26T16:00:59Z

Wexstabenverbuxler: /* Ein' hab ich noch! */

==Zum Einstieg ein kurzes Quiz==

<quiz display="simple">
{Welche Aussagen treffen auf die Drehung zu?}
+ (a) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander nicht parallelen Geraden ist eine Drehung.
|| Irgendwie einleuchtend.
+ (b) Es gibt Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Nämlich die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360</math>
- (c) Seien B das Drehzentrum und A und C zwei Punkte <math>\neq</math> B. Nach Definition muss jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math> sein.
|| Nein, es muss (nach unserer Definition) gelten: <math>\angle ABA' = \angle CBC'</math>
|| Nachtrag: Die Aussage "jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math>" ist zwar korrekt, geht aber noch nicht direkt aus der Definition hervor. Dumm nur, dass das Quiz hier vor der Definition steht, auf die Bezug genommen wird. ~~~~
+ (f) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander parallelen Geraden ist keine Drehung.
|| Irgendwie noch viel einleuchtender als vorher.
+ (h) Es gibt unendlich viele Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Klar, weil es gibt ja auch unendlich viele <math>n \in |N</math> ;-) 360°n
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Definition Drehung==
Voraussetzung ebene Geometrie.

Seien Z ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math> und <math>\alpha</math> ein gerichteter Winkel. 
Die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: 
* Z = Z'
* <math>\forall P \in \epsilon : |ZP| = |Z'P'|</math>
* <math>\forall P, Q \in \epsilon : \angle PZP' = \angle QZQ'</math>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Ein' hab ich noch!==
Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n <math>\in</math> |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt:

'''Drehungskriterium'''
Eine Bewegung <math>\varphi</math> ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat.

<math>\varphi</math> ist Bewegung <math>\Leftrightarrow \exists ! F \in \epsilon : \varphi (F) \equiv F</math>

Das müsste "Drehung" anstatt "Bewegung" heißen, gelle? [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 18:00, 26. Jul. 2014 (CEST)

Beweis:

[[Bild:Bw_drehungskriterium_1.JPG|1100px]]

[[Bild:Bw_drehungskriterium_2.JPG|1100px]]

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12)

2014-07-26T15:52:14Z

Wexstabenverbuxler: /* Zum Einstieg ein kurzes Quiz */

==Zum Einstieg ein kurzes Quiz==

<quiz display="simple">
{Welche Aussagen treffen auf die Drehung zu?}
+ (a) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander nicht parallelen Geraden ist eine Drehung.
|| Irgendwie einleuchtend.
+ (b) Es gibt Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Nämlich die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360</math>
- (c) Seien B das Drehzentrum und A und C zwei Punkte <math>\neq</math> B. Nach Definition muss jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math> sein.
|| Nein, es muss (nach unserer Definition) gelten: <math>\angle ABA' = \angle CBC'</math>
|| Nachtrag: Die Aussage "jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math>" ist zwar korrekt, geht aber noch nicht direkt aus der Definition hervor. Dumm nur, dass das Quiz hier vor der Definition steht, auf die Bezug genommen wird. ~~~~
+ (f) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander parallelen Geraden ist keine Drehung.
|| Irgendwie noch viel einleuchtender als vorher.
+ (h) Es gibt unendlich viele Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Klar, weil es gibt ja auch unendlich viele <math>n \in |N</math> ;-) 360°n
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Definition Drehung==
Voraussetzung ebene Geometrie.

Seien Z ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math> und <math>\alpha</math> ein gerichteter Winkel. 
Die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: 
* Z = Z'
* <math>\forall P \in \epsilon : |ZP| = |Z'P'|</math>
* <math>\forall P, Q \in \epsilon : \angle PZP' = \angle QZQ'</math>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Ein' hab ich noch!==
Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n <math>\in</math> |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt:

'''Drehungskriterium'''
Eine Bewegung <math>\varphi</math> ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat.

<math>\varphi</math> ist Bewegung <math>\Leftrightarrow \exists ! F \in \epsilon : \varphi (F) \equiv F</math>

Beweis:

[[Bild:Bw_drehungskriterium_1.JPG|1100px]]

[[Bild:Bw_drehungskriterium_2.JPG|1100px]]

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12)

2014-07-26T15:50:16Z

Wexstabenverbuxler: /* Zum Einstieg ein kurzes Quiz */

==Zum Einstieg ein kurzes Quiz==

<quiz display="simple">
{Welche Aussagen treffen auf die Drehung zu?}
+ (a) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander nicht parallelen Geraden ist eine Drehung.
|| Irgendwie einleuchtend.
+ (b) Es gibt Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Nämlich die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360</math>
- (c) Seien B das Drehzentrum und A und C zwei Punkte <math>\neq</math> B. Nach Definition muss jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math> sein.
|| Nein, es muss (nach unserer Definition) gelten: <math>\angle ABA' = \angle CBC'</math>
Nachtrag: Die Aussage "jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math>" ist zwar korrekt, geht aber noch nicht direkt aus der Definition hervor. Dumm nur, dass das Quiz hier vor der Definition steht, auf die Bezug genommen wird. ~~~~
+ (f) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander parallelen Geraden ist keine Drehung.
|| Irgendwie noch viel einleuchtender als vorher.
+ (h) Es gibt unendlich viele Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Klar, weil es gibt ja auch unendlich viele <math>n \in |N</math> ;-) 360°n
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Definition Drehung==
Voraussetzung ebene Geometrie.

Seien Z ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math> und <math>\alpha</math> ein gerichteter Winkel. 
Die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: 
* Z = Z'
* <math>\forall P \in \epsilon : |ZP| = |Z'P'|</math>
* <math>\forall P, Q \in \epsilon : \angle PZP' = \angle QZQ'</math>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Ein' hab ich noch!==
Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n <math>\in</math> |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt:

'''Drehungskriterium'''
Eine Bewegung <math>\varphi</math> ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat.

<math>\varphi</math> ist Bewegung <math>\Leftrightarrow \exists ! F \in \epsilon : \varphi (F) \equiv F</math>

Beweis:

[[Bild:Bw_drehungskriterium_1.JPG|1100px]]

[[Bild:Bw_drehungskriterium_2.JPG|1100px]]

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12)

2014-07-26T15:39:22Z

Wexstabenverbuxler: /* Zum Einstieg ein kurzes Quiz */

==Zum Einstieg ein kurzes Quiz==

<quiz display="simple">
{Welche Aussagen treffen auf die Drehung zu?}
+ (a) Die NAF zweier Spiegelungen an nicht parallelen Geraden ist eine Drehung.
|| Irgendwie einleuchtend.
+ (b) Es gibt Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Nämlich die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360</math>
- (c) Seien B das Drehzentrum und A und C zwei Punkte <math>\neq</math> B. Nach Definition muss jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math> sein.
|| Nein, es muss (nach unserer Definition) gelten: <math>\angle ABA' = \angle CBC'</math>
+ (f) Die NAF einer Spiegelung an zweier parallelen Geraden ist keine Drehung.
|| Irgendwie noch viel einleuchtender als vorher.
+ (h) Es gibt unendlich viele Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Klar, weil es gibt ja auch unendlich viele <math>n \in |N</math> ;-) 360°n
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Definition Drehung==
Voraussetzung ebene Geometrie.

Seien Z ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math> und <math>\alpha</math> ein gerichteter Winkel. 
Die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: 
* Z = Z'
* <math>\forall P \in \epsilon : |ZP| = |Z'P'|</math>
* <math>\forall P, Q \in \epsilon : \angle PZP' = \angle QZQ'</math>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Ein' hab ich noch!==
Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n <math>\in</math> |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt:

'''Drehungskriterium'''
Eine Bewegung <math>\varphi</math> ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat.

<math>\varphi</math> ist Bewegung <math>\Leftrightarrow \exists ! F \in \epsilon : \varphi (F) \equiv F</math>

Beweis:

[[Bild:Bw_drehungskriterium_1.JPG|1100px]]

[[Bild:Bw_drehungskriterium_2.JPG|1100px]]

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12)

2014-07-26T15:36:43Z

Wexstabenverbuxler: /* Zum Einstieg ein kurzes Quiz */

==Zum Einstieg ein kurzes Quiz==

<quiz display="simple">
{Welche Aussagen treffen auf die Drehung zu?}
+ (a) Die NAF zweier Spiegelungen an nicht parallelen Geraden ist eine Drehung.
|| Irgendwie einleuchtend.
+ (b) Es gibt Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Nämlich die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360</math>
- (c) Seien B das Drehzentrum und A und B zwei Punkte <math>\neq</math> B. Nach Definition muss jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math> sein.
|| Nein, es muss (nach unserer Definition) gelten: <math>\angle ABA' = \angle CBC'</math>
+ (f) Die NAF einer Spiegelung an zweier parallelen Geraden ist keine Drehung.
|| Irgendwie noch viel einleuchtender als vorher.
+ (h) Es gibt unendlich viele Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt.
|| Klar, weil es gibt ja auch unendlich viele <math>n \in |N</math> ;-) 360°n
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Definition Drehung==
Voraussetzung ebene Geometrie.

Seien Z ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math> und <math>\alpha</math> ein gerichteter Winkel. 
Die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: 
* Z = Z'
* <math>\forall P \in \epsilon : |ZP| = |Z'P'|</math>
* <math>\forall P, Q \in \epsilon : \angle PZP' = \angle QZQ'</math>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

==Ein' hab ich noch!==
Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n <math>\in</math> |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt:

'''Drehungskriterium'''
Eine Bewegung <math>\varphi</math> ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat.

<math>\varphi</math> ist Bewegung <math>\Leftrightarrow \exists ! F \in \epsilon : \varphi (F) \equiv F</math>

Beweis:

[[Bild:Bw_drehungskriterium_1.JPG|1100px]]

[[Bild:Bw_drehungskriterium_2.JPG|1100px]]

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Und wieder Diskussion

2014-07-26T15:28:55Z

Wexstabenverbuxler:

Wiederspricht sich (a) und (b) nicht? Irgendwas scheint aber anders zu sein, weil bei a heißt es manchE FixpunktgeradeN - ergo plural. Wer kann denn das mal mit einer Geogebra-Applikation darstellen, bitte? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:26, 9. Nov. 2011 (CET)

Häh? Das hat doch nix mit Singular oder Plural zu tun. Wenn alle Fixpunktgeraden auch Fixgeraden bezüglich derselben Abbildung sind, dann ist auch die Aussage a) korrekt (weil "manche" hier als Teilmenge von "alle" bzw. "jede" betrachtet werden muss). Hingegen falsch wäre die Aussage: "Manche Fixpunktgeraden sind keine Fixgeraden bezüglich derselben Abbildung." - was in a) aber nicht explizit formuliert wurde. Vorsicht, Alltagssprache!
Und wie soll man diese Aussage-Nuancen mit GeoGebra darstellen? [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 17:28, 26. Jul. 2014 (CEST)

Und wieder Diskussion

2014-07-26T15:25:43Z

Wexstabenverbuxler:

Und wieder Diskussion

2014-07-26T15:21:57Z

Wexstabenverbuxler: