Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 11

2019-07-17T18:55:25Z

Wibkegrundbrecher: /* Vorbereitungsauftrag */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 22 (Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Nachteile oder Kritik Sie an dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===
==== Vorbereitungsauftrag Ilona Rein ====
* mangelnde Anschaulichkeit: "statisch", tlw. wenig einsichtig; Konzept der Abbildungsvorschrift für SuS möglicherweise zu abstrakt?
* grafische oder haptische Realisierungen möglicherweise nicht immer möglich
* kein direkter Realitätsbezug
* Gefahr von Fehlvorstellungen
* viele verschiedene Begriffe und Formulierungen, die möglicherweise zu Verwirrung bei den SuS führen können
* zu starker Fokus auf die Bewegung im Kontext der Abbildungsgeometrie erschwert Verständnis des Abbildungsbegriffs

==== Vorbereitungsauftrag Wibke ====
* A: Geometrische Abbildungen sind komplizierte Sonderfälle, da Definitions- und Wertebereich übereinstimmen
* B: Kongruenzabbildungen sind lineare Abbildungen und somit weniger interessant
* C: Keine Anschaulichkeit, Dynamik oder Selbsttätigkeit für Abbildungsgeometrie, da statisch
* E: Schwer zugängliches Konstrukt der Projektilen Geometrie 
* E: Abbildungsgeometrie geht den Problemen die sich aus der Realität ergeben aus dem Weg
* F: Beweise sind teilweise lückenhaft, da die Existenz solcher Abbildungen oft ausgelassen wird

== Sitzungsmaterialien ==

== Dokumentation der Sitzung ==

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Abbildungsgeometrie'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Lorem
||
Ipsum
||
Dolum


|}

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-17T18:52:04Z

Wibkegrundbrecher: /* Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG|thumb|Beispiel]]

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===
[[Datei:Zentrische Streckung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)==
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Kongruenzabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)==
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)==
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Affinitätsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)==
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

==== Nachbereitungsauftrag Ilona Rein ====
===== Vorteile des abbildungsgeometrischen Ansatzes =====
* Einführung von Begriffen wie Abbildung und Gruppe (maßgebliche Begriffe - zumindest in der Universitätsmathematik)
* globale Ordnung: Abbildungen als Prinzip, das im Mathematikunterricht immer wieder vorkommt / vorkommen kann ("durchgängiges Prinzip der Geometrie")
* Erarbeitung von Axiomensysstemen
* ggf. erscheinen abbildungsgeometrische Beweise den SuS mächtiger / sind ihnen einsichtiger als andere Arten des Beweises eines bestimmten Resultats (Anschaulichkeit / Nachvollziehbarkeit)

===== Beispiel =====
Eine Möglichkeit wäre es, die Gleichseitigkeit eines Dreiecks mit der Achsensymmetrie an den Mittelsenkrechten in Verbindung zu bringen. Hierbei könnte auf bereits existierendes Vorwissen zur Eigenschaft gleichseitiger Dreiecke aufgebaut werden, um den Begriff der Achsensymmetrie als Abbildung einzuführen, bei der jedem Punkt des Dreiecks der Spiegelpunkt bezüglich einer Mittelsenkrechten zugewiesen wird. Die SuS müssten sich über die "Abbildungsvorschrift" Gedanken machen und könnten diese ggf. formulieren anhand ihres (hoffentlich vorhandenen) Wissens über Achsensymmetrie. Zugleich wäre mit dieser Herangehensweise die Erkenntnis verbunden, dass die Achsensymmetrie bezüglich aller drei Mittelsenkrechten gilt. Interessant wäre ausgehend von dieser Erkenntnis auch die Möglichkeit, nach den Symmetrien in gleichschenkligen, rechtwinkligen usw. Dreiecken zu fragen und den SuS die Möglichkeit zu geben, den Abbildungsbegriff im Kontext von Symmetrien weiter zu vertiefen.

==== Nachbereitungsauftrag Wibke ====
===== Vorteile des abbildungsgeometrischen Ansatzes (nach Bender (1982)) =====
* Universelle mathematische Idee wird vermittelt
* Funktionales Denken wird geschult
* Anschaulichkeit, Dynamik, Selbsttätigkeit
* Strukturverwandtschaft zwischen Abbildungsgruppen und (Denk-)Gruppierungen
* Globale Ordnung
* Lokale Ordnung
* Realitätsbezug

===== Beispiel =====
Die folgende SuS-Aktivität ist eine projektorientierte Aufgabe, die sich auch gut als Hausaufgabe stellen lässt. Die SuS sollen Beispiele für Abbildungsgeometrien aus ihrem Alltag sammeln. Dabei sollen die SuS Objekte aus der Umwelt finden, die Achsen- und/oder Punktsymmetrisch sind. Die SuS sollen diese Objekte mitbringen, Bilder davon machen/zeichnen oder eine Beschreibung anfertigen. 
Beispiele können Gebäude, Fenster, Brücken, Baupläne, etc. sein.

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 09

2019-07-01T17:01:03Z

Wibkegrundbrecher: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2). Beantworten Sie für sich die folgenden Fragen/Aufgaben.

===Fragen zu den Abschnitten 1 und 2===

# Welche Schwierigkeiten oder Anforderungen bestehen beim ''Beweisen und Argumentieren'' für Schülerinnen und Schüler?
# Was halten Sie für die größte Anforderungen? Was war für Sie die überraschendste Schwierigkeit?

===Fragen zu den Abschnitten 3, 4 und 5===

# Welcher Ausschnitt aus den empirischen Daten (Aussage in einem SuS-Dialog, Auszug aus einem SuS-Text, …) war für Sie überraschend oder besonders interessant?
# Wählen Sie einen beliebigen Beweis aus der Geometrie aus und bereiten Sie ihn in der im Artikel vorgestellten Strukur (Figure 8) auf.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1O7KJG8vkl96hMeeLDUVe0kClboEOehkA5t2HKPuRwIc/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 28.06.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrages wurden besprochen und das im zu lesenden Paper erörterte "scaffolding" erörtert. Anschließend wurde dieses am konkreten Beispiel des Beweises des Satz des Thales aufzubereitet.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrages ===

Zur Vorbereitung der Sitzung war das Paper „Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre“ (Prediger & Hein, 2017) zu lesen. Zu Beginn der Sitzung wurde dieser besprochen und die einzelnen Kapitel bzw. Textblöcke analysiert.
Ziel des Papers war es, sich mit Schwierigkeiten von SuS auseinanderzusetzen, die bei(m Aufbau von) Argumentationen bzw. Beweisen in der Mathematik auftreten können und wie diese behoben werden könnten. Diese wurden an der Tafel festgehalten:
[[Datei:Toulmin's argumentation structure german.png|thumb|Argumentstruktur nach Toulmin]]
==== Probleme bei Beweisaufgaben im Unterricht ====

* Unterscheidung von Prämissen, Argument, Argument in Anwendung, Schlussfolgerung
* Einsichtigkeit der (Allgemein)Gültigkeit von Aussagen, sowie die Möglichkeiten der Anwendung zu begreifen und diese „parat zu haben“
* Konkrete Beispiele (Experimentelles Beweisen) als nicht-ausreichend akzeptieren
* Fehlendes Beweisbedürfnis
* Wenn-dann („if-then“) einsehen („Understanding their structure is crucial for avoiding circularity”)
* Prämissen zur Anwendung explizit prüfen (Im Alltag würden diese nur formuliert, falls die entsprechende Prämisse zutrifft)
* Mangelnde „sprachliche Bausteine“, um logische Strukturen/Abfolgen auszudrücken
* Inhaltlose Verwendung von „Worthülsen“, wie „Ohne Beschränkung der Allgemeinheit“, „Es sei…“, „Es gilt/ Es gelte“, da diese u.U. nicht begriffen wurden

Während in der Sitzung mehrere Forschungskonzepte genannt wurden, konzentrierte sich die Sitzung auf den Ansatz der Studie, welche im obigen Paper durchgeführt wurde. Dieser basierte auf „structural scaffolding“.
Dies hat den Ansatz kognitive Ansprüche zu entlasten und anschließend Vorgaben und Hilfen bezüglich der Struktur/Strukturfindung abzubauen, um den SuS den Aufbau, Inhalt und Struktur sowie Sprache eines (mathematischen) Beweises näherzubringen. Als Beispiel wurden Lückentexte genannt, bei denen zuerst nur noch wichtige Argumente einzusetzen sind, allerdings im weiteren Verlauf die Lücken stetig vergrößert werden.
Zur Abfolge der Argumentation in Abb.1 wurde diskutiert, ob diese bei komplexeren Beweisen durch ihre zwangsläufig rekursive Struktur (Für die eigentliche Aussage müssen ggf. innerhalb des Beweises zunächst andere Aussagen gezeigt werden) nicht zu uneinsichtig für SuS sein dürften. Das Ergebnis war, dass man sich stets überlegen müsse, welche Beweise sich überhaupt für die Methode eignen und an welcher Stelle der Schullaufbahn das scaffolding idealerweise eingesetzt werden sollte. Letztlich sei es eher ein Werkzeug für Beweise mit wenigen Schritten.

==== Diskussion der Durchführung/Ergebnisse der Studie ====

[[Datei:Bsp argumentation angleTheorem german.png|thumb|Argumentation des Beispiels des Winkeltheorems]]
Die Grundidee des scaffolding wurde positiv wahrgenommen, ebenfalls das konkrete Beispiel, welches in der Studie verwendet wurde („vertically opposite angle theorem“), allerdings wurde hinterfragt, ob in der Realität die Anwendung tatsächlich gewinnbringend sein dürfte, da zumal auch von den Autoren aufgeführt wurde, dass die alleinige Behandlung dieses Beweises keine weitläufigen Aussagen zulasse (chapter 5 : „This study has methodological limitations that will still have to be overcome in later design experiment
cycles or future research. […] The teaching-learning
arrangement focused only on angle theorems; future research should extend to other topics”).
Ebenfalls wurde angemerkt, dass hier eventuell das Augenmerk zu stark auf der Struktur liege, sodass der eigentliche Beweis in den Hintergrund gerate. Allerdings sei aber auch das Lernziel die Fähigkeit Differenzierbarkeit von Prämisse, Argument usw., sowie die sprachliche Struktur und Beweisstruktur zu unterstützen.

Des Weiteren wurde bemerkt, dass die Verwechslung der SuS im Text zum Teil ihren Ursprung daran haben könnte, da innerhalb des Unterrichtes bei Abfragen bzw. Rückfragen an die SuS die Lehrkräfte häufig mit knappen Antworten zufrieden seien, sodass eine strukturierte Begründung seitens der SuS selten vorkomme (Bsp.: L: „Woran liegt das?“ S: „Pythagoras.“ L: „Richtig.“)
Auch wurde der Unterschied zwischen mündlicher und schriftlicher Beweisstruktur wahrgenommen, wobei dieser ggf. bei mündlicher Abfrage an der Unsicherheit, wie die Antworten aussehen sollen liegen könne, sowie der Tatsache, dass bei der schriftlichen Verfassung erst nach der mündlichen erfolgte, sodass eine Reflexion seitens der Sus erfolgen konnte.

=== Inputphase ===

In dieser Phase wurde an die vorherige Stunde angeknüpft, indem zunächst der Text zentral zusammengefasst und ggf. ergänzt wurde. Es wurden verschiedene Motivationen von Beweisen erörtert, wie Einsichtigkeit der Allgemeingültigkeit der Aussage oder diese zu veranschaulichen.
[[Datei:BsP Sehne Winkel.PNG|thumb|Beispiel einer unanschaulichen Aussage: Die Winkel α und β sind für einen beliebigen Punkt P und einer beliebigen Sehne g auf dem Kreis identisch. Diese Aussage wird eher anhand eines Beweises anstatt der bildlichen Veranschaulichung einsichtig.]]

Auch wurde Beweisen an sich differenziert betrachtet unter der Beweisfindung (Problem lösen) und der Beweisdarstellung (Bsp.: scaffolding), die beschreibend oder symbolisch erfolgen kann. Hierbei erfolgt die Beweisfindung eher als kreativer Prozess, der sprunghaft sein kann und auch Rückschläge in sich birgen kann, während die Darstellung lediglich die Präsentation des Ergebnisses ist, welche an das jeweilige Publikum angepasst wird und formalen Kriterien genügt.
Anschließend wurde der Idealtypischer Beweis-Prozess (nach Boero) vorgestellt, sowie wie dies bei SuS angewendet werden kann und welche Probleme auftreten können [ für Details: s. Sitzungsmaterialien]. Hier wurde betont, dass es wichtig sei, bei SuS ein Beweisbedürfnis zu wecken und diese zu motivieren.

=== Arbeitsphase ===
Abschließend zur Sitzung wurde das Gelernte genutzt, um den Beweis für den Satz des Thales für SuS aufzubereiten. Die erste Formulierung: „Alle Winkel an einem Halbkreis sind rechte Winkel“ wurde zunächst formal bewiesen:

[[Datei:Thales_geo.PNG|thumb|Skizze zur Veranschalichung des Beweises (Thales)]]

==== Formaler Beweis ====
Es ist 

<math>|MA| = |MC| = |MB| = r</math>, 

wobei r den Radius des Kreises bezeichnet.
Also sind ΔAMC und ΔMBC gleichschenklig.
Insbesonders gilt aufgrund des Basiswinkelsatzes für gleichschenklige Dreiecke:

<math> \alpha = \gamma_1</math> und <math> \beta = \gamma_2</math>. 

Wegen des Satzes der Winkelsumme im <math> \Delta </math> gilt:

<math> \alpha + \beta + (\gamma_1 + \gamma_2) = 180^\circ </math>
 
und mit 
<math> \alpha = \gamma_1 , \beta = \gamma_2</math>

 
ergibt sich 
<math>2( \gamma_1 + \gamma_2 ) = 180^\circ -> \gamma = \gamma_1 + \gamma_2 = 90^\circ</math>.

==== Aufbereitung des Beweises ====

Zunächst stellte sich die Frage, welches Vorwissen bei den SuS vorhanden sein und aktiviert werden muss. Dies wurde an der Tafel zusammengetragen:

* Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
* Satz über Winkelsumme im Dreieck, Rechnen mit Winkeln (Addierbarkeit, Ergänzung von Winkeln)
* Lösungsverfahren von Gleichungen, speziell Einsetzungsverfahren
* Definition & Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken

Anschließend wurde diskutiert, wie man dieses Vorwissen aktivieren könne, im Hinblick auf den möglichen Zeitaufwand zu Beginn einer Unterrichtsstunde. Genannt wurden Besprechung von Hausaufgaben, Kurzteste oder -abfragen sowie ein Quizz zu beginn. Für letzteres sollten Fragen entworfen werden, die im Idealfall aus Zeitgründen kompakt, aber dennoch alles abdecken sollten. Beispiele waren:

* Was ist ein Kreis?
* Was ist ein (gleichschenkliges) Dreieck?
* Wieviele rechte Winkel kann ein Dreieck haben?

Allerdings wurden auf den Einwand hin, dass eventuell Schwierigkeiten dabei auftreten könnten, den Bezug dieses Wissen zum Beweis zu sehen, noch bildliche Beispiele genannt, die in Richtung der obigen Skizze des Beweises gingen. Hierbei könnte man fragen: "Wie lang ist |AB|?" usw.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Beweisen & Argumentieren'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Blum & Kirsch (1991). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00555722 Preformal Proving: Examples and reflections]. In ''Educational Studies in Mathematics''.
* Meyer & Prediger (2009). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/09-Meyer_Prediger_PM-H30-Argumentieren-Webversion.pdf Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen] (Preprint). In ''Praxis der Mathematik in der Schule'' 51(30).
* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
:* Abschnitte: „Was ist ein Beweis?“, „Funktionendes Beweisens“, „Beweis und Beweisfindung“
:* Abschnitte: „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“, „Inhaltlich-anschauliche Beweise“
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_4_argumentieren_beweisen.pdf Kapitel 4 „Beweisen und Argumentieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
* Erklären und erläutern Sie den Begriff des Scaffoldings.
* Warum ist das Prinzip des Scaffoldings für den Mathematikunterricht relevant?
* Sie sollen eine Unterrichtseinheit zum Thema Strahlensätze vorbereiten. Wie gehen Sie in Ihrer Unterrichtsplanung vor?
* Überlegen Sie sich Beispiele für Scaffolding-Maßnahmen im Kontext der Strahlensätze.
||
* Scaffolding meint das Bereitstellen sprachlicher "Gerüste", welche die SuS nutzen können, um fachspezifische Aussagen präzise und treffend formulieren zu können. Im Idealfall sind die SuS dazu in der Lage, die Fähigkeiten, welche sie mithilfe des sprachlichen Gerüsts erlernen, später eigenständig und ohne Hilfestellung anzuwenden.
*Das Prinzip des Scaffoldings lässt sich insbesondere auch auf den Mathematikunterricht anwenden. SuS haben häufig Probleme damit, mathematische Formulierungen zu übernehmen und entsprechende Begrifflichkeiten einzusetzen. Insbesondere im Kontext von Beweisen und Argumentationsstrukturen fällt es vielen SuS schwer, präzise zu formulieren, die richtige Beweisstruktur zu finden und entsprechende Begriffe zu verwenden. Gibt man ihnen beispielsweise das Gerüst eines mathematischen Beweises an die Hand, so können die SuS sich an diesem entlanghangeln und die tieferliegenden Strukturen des Beweises besser verstehen. Ziel des Verfahrens ist es natürlich, dass die SuS das Prinzip so sehr verinnerlichen, dass sie das Gerüst später nicht mehr benötigen, um einen Beweis führen zu können.
*Zunächst einmal würde ich mir überlegen, welche mathematischen Begriffe die SuS für die Erarbeitung des Themas und das Verstehen des Beweises benötigen und welche Schwierigkeiten bestehen. Die SuS benötigen beispielsweise das Verständnis der Begriffe "Strecke", "Gerade", "Punkt" und "Schnittpunkt zweier Geraden". Auch das Konzept vom Betrag, also der Länge einer Strecke sollte bekannt sein und ebenso die Tatsache, dass man mit der Länge von Strecken rechnen kann. Zentral ist außerdem der Begriff der Parallelität zweier Geraden. Für Schwierigkeiten könnte außerdem die Vorgehensweise der Strahlensätze sorgen, Strecken bzw. ihre Länge in Verhältnis zueinander zu setzen. Im Idealfall kann an diesem Punkt auf intuitives Verständnis der SuS zurückgegriffen werden. Im nächsten Schritt müsste die Lehrperson die festgestellten Anforderungen mit dem Kenntnis- und Fähigkeitsstand der SuS abgleichen und eventuelle Probleme ausfindig machen. Diese lassen sich dann mithilfe von Scaffolding-Maßnahmen verdeutlichen oder unterstützen.
*Beispiel 1: Unterschiedliche Formulierungen der Aufgabenstellung ermöglichen es SuS mit unterschiedlichem sprachlichem Kenntnisstand, eine Aufgabe besser zu verstehen. Geht es um die Formulierung eines Beweises, so gestaltet sich dies etwas schwieriger, da gewisse sprachliche und formale Anforderungen existieren, die man nicht außer Acht lassen darf. Dennoch lassen sich möglicherweise alternative Formulierungen und grafische Unterstützungen für die Strahlensätze finden.
* Beispiel 2: Ein Glossar über wichtige Redewendungen und Konjunktionen, welche in mathematischen Beweisen verwendet werden, könnte den SuS helfen, diese selbst einzusetzen. Ist den SuS bewusst, welche Bedeutung beispielsweise Formulierungen wie "wenn..., dann..." oder "folglich" oder "unter der Voraussetzung, dass..." haben, so verwenden sie diese möglicherweise selbst und sind sich der Tragweite bewusst.
* Beispiel 3: In der Auseinandersetzung mit dem Beweis der Strahlensätze stufenweise vorgehen: Zunächst eigene Auseinandersetzung mit Aussage und Tragweite in Einzelarbeit, dann Austausch in Gruppen, ggf. Visualisierung und Beantwortung von Fragen im Schüler-Lehrer-Gespräch oder im Klassengespräch, dann Ergebnisse verschriftlichen und der Klasse präsentieren (--> Feedback), ggf. Diskutieren unterschiedlicher Lösungswege / Vorgehensweisen der SuS.
||
Bei der Beantwortung dieser Fragen beschäftigen sich die Studierenden mit dem Begriff des Scaffoldings, welcher fächerübergreifend von zentraler Bedeutung ist. Darüber hinaus werden die grundlegenden Vorgehensweisen der Unterrichtsplanung wiederholt und die Studierenden dazu aufgefordert, das Prinzip des Scaffoldings explizit in die Überlegungen mit einzubeziehen.


|-
|
Betrachten Sie die folgenden beiden Beweismöglichkeiten. 
Benennen Sie die beiden Beweisdarstellungen und diskutieren Sie die jeweiligen Vor-und Nachteile.
[[Datei:Beweisdarstellung 1.PNG|thumb|Beweisdarstellung 1]]

[[Datei:Beweisdarstellung 2.PNG|thumb|Beweisdarstellung 2]]
||
* Beweisdarstellung 1 wurde beschreibend gelöst. Vorteile sind ein einfacher Zugang und die daraus resultierende Verständlichkeit für SuS. Jedoch erfordert eine solche beschreibende Beweisdarstellung die Fähigkeit, sich geschickt auszudrücken und riskiert eine unübersichtliche Darstellung.
* Beweisdarstellung 2 wurde symbolisch gelöst. Im Gegensatz zur beschreibenden Beweisdarstellung ist dieser Zugang (falls ordentlich notiert) übersichtlicher und dadurch eingängiger. Jedoch kann eine symbolische Darstellung für SuS unverständlich wirken und der Umgang mit verschiedenen Operatoren und Zeichen muss zuvor erlernt werden.
||
Durch diese Aufgabe werden verschiedene Beweisdarstellungen wiederholt und an einem konkreten Beispiel aufgezeigt. Vor-und Nachteile werden diskutiert, um die Beweisdarstellungen gegenüberzustellen.


|}

== Literaturhinweise ==

* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]. Insbesondere Abschnitt „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“.

Datei:Beweisdarstellung 2.PNG

2019-07-01T16:52:20Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Beweisdarstellung 2}}
|date=2019-07-01 18:51:28
|source=http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_4_argumentieren_beweisen.pdf
|author=Jürgen Roth
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{Remove this line and insert a license instead|year=2019|month=07|day=01}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Beweisdarstellung 1.PNG

2019-07-01T16:52:15Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Beweisdarstellung 1}}
|date=2019-07-01 18:51:28
|source=http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_4_argumentieren_beweisen.pdf
|author=Jürgen Roth
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{Remove this line and insert a license instead|year=2019|month=07|day=01}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T19:18:42Z

Wibkegrundbrecher: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte Bob auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

-> Die Reihenfolge ist besonders für das Verständnis der anderen SuS und zur eigenen Überprüfung wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

-> Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können. 
 

Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

[[Datei:Artifact-Centric Activity Theory.PNG|thumb|Artifact-Centric Activity Theory]]

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht. 
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren. 
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert: 
Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? 
Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''. (-> Weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8) 

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines '''Routine-Problems (Aufgabe)''' und einer '''Problemlöse-Aufgabe (Problem)'''. Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und vom Adressaten abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon. 
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: ''„Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“''

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden '''heuristischen Strategien''' (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| || [[Datei:Konstruktion 2.PNG|thumb|(n-1)-Methode]]|| [[Datei:Konstruktion 3.PNG|thumb|Konstruktion einer Teilfigur]]|| [[Datei:Konstruktion 4.PNG|thumb|Reduktion auf Berechnungsproblem]]
|
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|-
|
Betrachte folgendes Problem: 
Gegeben seien drei parallele Geraden a, b, c. Es soll ein gleichseitiges Dreieck ABC konstruiert werden, dessen Eckpunkte jeweils auf einer der drei gegebenen parallelen Geraden liegen. 
* Welche der heuristischen Strategien kann angewandt werden, um ein solches Dreieck zu konstruieren?
* Wie kann man vorgehen, um dieses Problem zu Lösen?
||
Bei diesem Problem bietet sich die (n-1)-Methode, also das Weglassen einer Bedingung an. 
Lege einen der Eckpunkte (O.E.) A auf die parallele Gerade a. Setze nun den Eckpunkt B beliebig auf b, um dann zu der Seite AB ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren. Daraus ergibt sich der Eckpunkt C, der vermutlich noch nicht auf c liegt. Verschiebe nun B auf b so, dass C auf c liegt.
[[Datei:Beispiel Parallele Geraden.jpg|thumb|(n-1)-Methode]]

||
Um diese Prüfungsfrage zu beantworten müssen die verschiedenen heuristischen Strategien bekannt sein. Zusätzlich wird durch ein konkretes Beispiel fachliches Geometrie-Wissen integriert.


|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

Datei:Beispiel Parallele Geraden.jpg

2019-06-11T19:17:34Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=(n-1)-Methode}}
|date=2019-06-11 23:17:36
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T19:14:17Z

Wibkegrundbrecher: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte Bob auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

-> Die Reihenfolge ist besonders für das Verständnis der anderen SuS und zur eigenen Überprüfung wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

-> Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können. 
 

Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

[[Datei:Artifact-Centric Activity Theory.PNG|thumb|Artifact-Centric Activity Theory]]

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht. 
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren. 
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert: 
Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? 
Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''. (-> Weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8) 

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines '''Routine-Problems (Aufgabe)''' und einer '''Problemlöse-Aufgabe (Problem)'''. Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und vom Adressaten abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon. 
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: ''„Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“''

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden '''heuristischen Strategien''' (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| || [[Datei:Konstruktion 2.PNG|thumb|(n-1)-Methode]]|| [[Datei:Konstruktion 3.PNG|thumb|Konstruktion einer Teilfigur]]|| [[Datei:Konstruktion 4.PNG|thumb|Reduktion auf Berechnungsproblem]]
|
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|-
|
Betrachte folgendes Problem: 
Gegeben seien drei parallele Geraden a, b, c. Es soll ein gleichseitiges Dreieck ABC konstruiert werden, dessen Eckpunkte jeweils auf einer der drei gegebenen parallelen Geraden liegen. 
* Welche der heuristischen Strategien kann angewandt werden, um ein solches Dreieck zu konstruieren?
* Wie kann man vorgehen, um dieses Problem zu Lösen?
||
Bei diesem Problem bietet sich die (n-1)-Methode, also das Weglassen einer Bedingung an. 
Lege einen der Eckpunkte (O.E.) A auf die parallele Gerade a. Setze nun den Eckpunkt B beliebig auf b, um dann zu der Seite AB ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren. Daraus ergibt sich der Eckpunkt C, der vermutlich noch nicht auf c liegt. Verschiebe nun B auf b so, dass C auf c liegt.
||
Um diese Prüfungsfrage zu beantworten müssen die verschiedenen heuristischen Strategien bekannt sein. Zusätzlich wird durch ein konkretes Beispiel fachliches Geometrie-Wissen integriert.


|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T15:39:32Z

Wibkegrundbrecher: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte Bob auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

-> Die Reihenfolge ist besonders für das Verständnis der anderen SuS und zur eigenen Überprüfung wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

-> Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können. 
 

Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

[[Datei:Artifact-Centric Activity Theory.PNG|thumb|Artifact-Centric Activity Theory]]

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht. 
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren. 
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert: 
Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? 
Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''. (-> Weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8) 

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines '''Routine-Problems (Aufgabe)''' und einer '''Problemlöse-Aufgabe (Problem)'''. Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und vom Adressaten abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon. 
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: ''„Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“''

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden '''heuristischen Strategien''' (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| || [[Datei:Konstruktion 2.PNG|thumb|(n-1)-Methode]]|| [[Datei:Konstruktion 3.PNG|thumb|Konstruktion einer Teilfigur]]|| [[Datei:Konstruktion 4.PNG|thumb|Reduktion auf Berechnungsproblem]]
|
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T15:31:17Z

Wibkegrundbrecher: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte Bob auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

-> Die Reihenfolge ist besonders für das Verständnis der anderen SuS und zur eigenen Überprüfung wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

-> Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können. 
 

Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

[[Datei:Artifact-Centric Activity Theory.PNG|thumb|Artifact-Centric Activity Theory]]

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht. 
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren. 
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert. Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''.
weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines Routine-Problems (Aufgabe) und einer Problemlöse-Aufgabe (Problem). Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und Adressaten-abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon.
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: „Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden Heuristischen Strategien (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| || [[Datei:Konstruktion 2.PNG|thumb|(n-1)-Methode]]|| [[Datei:Konstruktion 3.PNG|thumb|Konstruktion einer Teilfigur]]|| [[Datei:Konstruktion 4.PNG|thumb|Reduktion auf Berechnungsproblem]]
|
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T15:18:11Z

Wibkegrundbrecher: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte er auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

Für das Verständnis der anderen SuS und um selbst nochmals prüfen zu können ist die Reihenfolge wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können. 
 

Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

[[Datei:Artifact-Centric Activity Theory.PNG|thumb|Artifact-Centric Activity Theory]]

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht.
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren.
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert. Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''.
weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines Routine-Problems (Aufgabe) und einer Problemlöse-Aufgabe (Problem). Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und Adressaten-abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon.
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: „Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden Heuristischen Strategien (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| || [[Datei:Konstruktion 2.PNG|thumb|(n-1)-Methode]]|| [[Datei:Konstruktion 3.PNG|thumb|Konstruktion einer Teilfigur]]|| [[Datei:Konstruktion 4.PNG|thumb|Reduktion auf Berechnungsproblem]]
|
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T15:13:15Z

Wibkegrundbrecher: /* Arbeitsphase */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte er auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

Für das Verständnis der anderen SuS und um selbst nochmals prüfen zu können ist die Reihenfolge wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können.
Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

BILD

Beschreibung der Artifact-Centric Acivity Theory: 

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht.
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren.
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert. Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''.
weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines Routine-Problems (Aufgabe) und einer Problemlöse-Aufgabe (Problem). Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und Adressaten-abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon.
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: „Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden Heuristischen Strategien (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| || [[Datei:Konstruktion 2.PNG|thumb|(n-1)-Methode]]|| [[Datei:Konstruktion 3.PNG|thumb|Konstruktion einer Teilfigur]]|| [[Datei:Konstruktion 4.PNG|thumb|Reduktion auf Berechnungsproblem]]
|
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

Datei:Konstruktion 4.PNG

2019-06-11T15:07:42Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Reduktion auf Berechnungsproblem}}
|date=2019-06-11 17:02:51
|source=http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf
|author=Jürgen Roth
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{Remove this line and insert a license instead|year=2019|month=06|day=11}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Konstruktion 3.PNG

2019-06-11T15:07:42Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Konstruktion einer Teilfigur}}
|date=2019-06-11 17:02:51
|source=http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf
|author=Jürgen Roth
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{Remove this line and insert a license instead|year=2019|month=06|day=11}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Konstruktion 2.PNG

2019-06-11T15:07:41Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=(n-1)-Methode}}
|date=2019-06-11 17:02:51
|source=http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf
|author=Jürgen Roth
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{Remove this line and insert a license instead|year=2019|month=06|day=11}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Artifact-Centric Activity Theory.PNG

2019-06-11T15:07:41Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Artifact-Centric Activity Theory}}
|date=2019-06-11 17:02:50
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T15:01:37Z

Wibkegrundbrecher: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte er auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

Für das Verständnis der anderen SuS und um selbst nochmals prüfen zu können ist die Reihenfolge wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können.
Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

BILD

Beschreibung der Artifact-Centric Acivity Theory: 

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht.
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren.
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert. Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''.
weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines Routine-Problems (Aufgabe) und einer Problemlöse-Aufgabe (Problem). Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und Adressaten-abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon.
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: „Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden Heuristischen Strategien (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| Beispiel || Beispiel || Beispiel || Beispiel
|
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-11T14:56:10Z

Wibkegrundbrecher: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte er auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

Für das Verständnis der anderen SuS und um selbst nochmals prüfen zu können ist die Reihenfolge wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können.
Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

BILD

Beschreibung der Artifact-Centric Acivity Theory: 

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht.
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren.
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert. Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''.
weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines Routine-Problems (Aufgabe) und einer Problemlöse-Aufgabe (Problem). Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und Adressaten-abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon.
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: „Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden Heuristischen Strategien (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


|-
|
Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

||
Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-04T14:02:50Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
||

||
[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp
||
https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
||
[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
||
[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
https://ggbm.at/snqcdzrw
||
https://ggbm.at/xx8a48hw
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
(Nicht möglich.)
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
(Nicht möglich.)
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-04T13:28:14Z

Wibkegrundbrecher:

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-03T14:33:03Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
||

||
[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp
||
https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
||
[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
||
[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
(Nicht möglich.)
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
(Nicht möglich.)
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

Datei:A1.jpg

2019-06-03T14:30:20Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Zirkel und Lineal}}
|date=2019-06-03 16:28:13
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:C.jpg

2019-06-03T14:29:55Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Falten}}
|date=2019-06-03 16:29:12
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:B.jpg

2019-06-03T14:29:53Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Geodreieck}}
|date=2019-06-03 16:28:43
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-03T14:22:27Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
||

||
[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp
||
https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Konstruktion_Lot_mit_Zirkel_und_Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Konstruktion_Lot_mit_Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Konstruktion_Lot_durch_Falten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
(Nicht möglich.)
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
(Nicht möglich.)
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

Datei:Konstruktion Lot durch Falten.jpg

2019-06-03T14:12:01Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Konstruktion Lot durch Falten}}
|date=2019-06-03 16:10:17
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Konstruktion Lot mit Geodreieck.jpg

2019-06-03T14:11:59Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Konstruktion Lot mit Geodreieck}}
|date=2019-06-03 16:10:18
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Konstruktion Lot mit Zirkel und Lineal.jpg

2019-06-03T14:11:52Z

Wibkegrundbrecher: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Konstruktion Lot mit Zirkel und Lineal}}
|date=2019-06-03 16:10:18
|source={{own}}
|author=[[User:Wibkegrundbrecher|Wibkegrundbrecher]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-03T13:59:22Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
||

||
[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp
||
https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
(Nicht möglich.)
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
(Nicht möglich.)
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-03T13:35:50Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
||

||
[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp
||
https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
(Nicht möglich.)
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
(Nicht möglich.)
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-03T13:10:48Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelparallele (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
(Nicht möglich.)
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
(Nicht möglich.)
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 05

2019-05-27T18:35:30Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie die Seiten 30-43 in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.] Wählen Sie einen der genannten Größenbereiche aus: Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt, Gewicht, Zeitdauer, Geldwert. Geben Sie für den gewählten Größenbereich wichtige Aktivitätsformen für Schülerinnen und Schüler zu den in Abschnitt 3.8 dargestellten methodischen Stufen an.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

{| class="wikitable"

|-

! Größenbereich !! Stufe 1 (Unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten) !! Stufe 2 (Mittelbarer Vergleich mit willk. Maßeinheiten) !! Stufe 3 (Normrepräsentanten) !! Stufe 4 (Einheitensystem) !! Stufe 5 (Rechnen mit Größen)


|-
|
Flächeninhalt
||
Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen. Aufbau einer Ordnungsrelation durch Gegenüberstellung von flächenmäßig größeren und kleineren Objekten. Augenscheinlich und intuitiv klar.
||
Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen und der Größe nach sortieren. Objekte die ineinander liegen stellen eine visuelle Repräsentation der Transitivität dar: "Wenn A in B liegt, und B in C liegt, dann liegt auch A in C."
||
Ausmessen von Flächen durch Norm- Quadrate/Rechtecke/Dreiecke. Einheiten wie cm^2, m^2 können durch Normquadrate eingeführt und repräsentiert werden. Mit Hilfe dieser (Flächen-)Einheiten können Flächeninhalte größerer und/oder komplizierterer Flächen gemessen werden. Hier ist noch keine explizite Berechnung nötig, nur das Auslegen und Zählen.
||
Einheiten aus der vorherigen Stufe können dazu genutzt werden Flächen in der realen Welt zu messen. Schnell ergeben sich hier unterschiedliche Größendimensionen/Größenskalen. Dies motiviert die Einführung eines Einheitensystems, das verschiedene Größenordnungen umfasst, und Umrechnung innerhalb dieses Einheitensystems. Der Übergang von cm^2 über dm^2 zu m^2 kann noch mit Hilfe von ausgeschnitteten Schablonen bewältigt werden. Für größere Größenordnungen muss eine abstrakte/verbale Respräsentation aus der realen Welt gewählt werden z.B. Fußballfelder, Acker, Schwimmbecken im lokalen Freibad, ... Aktivität: Schätzung von Flächeninhalten durch Repräsentaten dieser neuen Größenordnungen und Umrechnung/Interpretation in kleinerer/größerer Größenordnung.
||
Einführung eines alternativen Einheitensystems. Hier bietet sich ein ausländisches (nicht SI-)Einheitensystem an. Hier kann erneut verdeutlicht werden, wie Flächeninhalte, je nach Wahl der Einheit (Einheitsmeter vs Fuß), variieren können. Schülerinnen und Schüler können Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten messen. Durch eine Messreihe können Schüler ein Muster in den Messergebnissen feststellen und sogar einen Umrechnungsfaktor bestimmen.




|-
|
Zeitdauer
||
Anknüpfen an intuitives Verständnis von Zeitdauer und Zeit (z.B. "etwas dauert lange"); beispielsweise schätzen lassen, wie lange ein gemeinsam abgewartetes Zeitintervall war oder wie viel Zeit die SuS brauchen, um bestimmte Dinge zu tun; Hervorheben der Subjektivität im Kontext von Zeitwahrnehmung
||
Zeitdauern und / Zeitintervalle vergleichen; beispielsweise vergleichen, wie lange Schüler x und Schüler y für den Schulweg brauchen, wie viel Zeit man für den Schulweg benötigt, wenn man unterschiedliche Verkehrsmittel verwendet oder wie viel mehr Zeit Sportler x für die Laufstrecke bracht als Sportler y. Hierbei können Zeitangaben in Form von Einheiten (z.B. 10 Minuten für den Schulweg) bereits vorkommen und werden von den SuS vermutlich intuitiv genannt, da sie täglich mit Zeitangaben konfrontiert werden.
||
Zeiteinheiten: Sekunden, Minuten und Stunden (s, min, h) als Standardeinheiten einführen. Der Aufbau des Einheitensystems kann hierbei problematisch sein, weil nicht auf das Prinzip bekannter Einheitensysteme (z.B. für Längen) zurückgegriffen werden kann. Der Umgang mit der Tatsache, dass eine Minute nicht aus 100, sondern aus 60 Sekunden besteht, kann zu Verständnisproblemen führen, ließe sich aber beispielsweise anhand einer Uhr als Alltagsgegenstand, welchen die SuS sicher schon kennen, verdeutlichen. Ein geeignetes Messverfahren wäre hierbei v.a. das Stoppen der Zeit mithilfe von Uhren oder Timern auf dem Handy usw. (wobei die Unterscheidung zwischen digitaler und analoger Zeitangabe eine Herausforderung darstellt). Auch die Verwendung eines Metronoms, das Zählen oder das Messen anhand des eigenen Pulses sind hier denkbar.
||
Zeiteinheiten: Tag, Monat, Jahr (größerer Zusammenhang), beispielsweise mithilfe des Kalenders und des Aufbaus eines Jahres inklusive ggf. astronomischer Zusammenhänge (z.B. Warum ein Jahr 365 Tage hat, warum es ein Schaltjahr geben muss oder woher die Einteilung des Tags in 24 Stunden kommt.)
||
Die Besonderheiten der Einheiten zur Zeitdauer, die unter Stufe 3 bereits angesprochen wurden, müssen hier vertieft werden, um insbesondere das Umrechnen von Zeitangaben und das Addieren und Vervielfachen derselben bewerkstelligen und vertiefen zu können. Denkbar wäre es auch, sich andere Zeiteinheiten zu überlegen als die bereits bekannten, auf dieser Grundlage Zeitangaben miteinander zu vergleichen und ggf. auf ihre Praktikabilität hin zu untersuchen (z.B. Zeiteinteilung des Tages in Schulstunden, sofern diese 45 statt 60 Minuten dauern).



|-
|
Längen
||
Aufgrund ihrer eigenen Erfahrungen im Alltag besitzen vermutlich die meisten SuS eine gewisse Grundvorstellung von Längen (z.B. Körpergröße). Als einführende Aufgabe könnten die SuS mithilfe von Schnur und Schere die Länge von ausgewählten Gegenständen messen, indem sie die Schnur an die zu messende Strecke anlegen und ein der Länge entsprechendes Stück davon abschneiden. Abschließend können beide „Schnurstücke“, d.h. indirekt die Länge der beiden Gegenstände, vergleichen werden (z.B. „Die Tafel ist länger bzw. breiter als die Schreibtischkante.“)

Ziel: Ordnungsrelation 

I. Vergleich der Körpergröße der Sitznachbarn: größer <-> kleiner via: Zwei stellen sich nebeneinander, ein Dritter überprüft die Größe

Das Ziel hierbei ist, die SuS der Größe nach aufzustellen.

||
Die Schülerinnen und Schüler erhalten die Aufgabe, sich ihrer Körpergröße nach geordnet im Klassenzimmer aufzustellen. Um das Verständnis für die Transitivität der Ordnung zu fördern, könnte jedem Schüler/jeder Schülerin (A) die Aufgabe erteilt werden, einen Schüler/eine Schülerin in der aufgestellten Reihe zu bestimmen, die größer (B) bzw. kleiner (C) als er selbst/sie selbst ist. Anschließend kann die Lehrperson hervorheben, dass damit Schüler/Schülerin C ebenfalls kleiner als Schüler/Schülerin B ist. Um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen, können Schüler/Schülerin C und B aus der Reihe heraustreten und sich zum Vergleich nebeneinander aufstellen.

Ziel: Transitivität 

Aktivität: 
I. A ist größer als B und B ist größer als C somit auch A größer als C.(siehe Text oben) 
II. Vergleich von Strecken, Schulhof, Zimmerlänge, Tischlänge mithilfe von willkürlichen Maßeinheiten 

Bsp. für willkürliche Maßeinheiten sind:
Stifte , Fußlänge und anhand derer Objekte und deren Länge vergleichen, Anzahl Schritte

Bsp. für Messobjekte hierbei sind : Tafellänge, Tischlänge, Stift, Unterarm, Zimmerlänge, Körpergröße und diese anhand der willkürlichen Maßeinheiten vergleichen und auf Transitivität kommen.

||
Den SuS werden verschiedene Längenrepräsentanten zur Verfügung gestellt, die den Standardeinheiten entsprechen (z.B. Schaschlikspieße der Länge 1dm, Büroklammern der Länge 1cm, …) mithilfe derer sie ihre Körpergröße ermitteln sollen, indem sie sich auf den Fußboden legen und ihre „Länge“ von anderen SuS mit den Repräsentanten „ausgelegt“ wird. Während dieser Aufgabe wird den SuS bewusst, welche „Messgeräte“ sich für die Messung von Körpergrößen eignen und weshalb verschiedene Längeneinheiten sinnvoll sind (z.B. damit man nicht 140 Büroklammern verwenden muss, um die Körpergröße nachzubilden).

Ziel: Standardeinheiten einführen

Aktivität: 
I. Bedürfnis einer Standardeinheit motivieren(Zahlen in cm beispielsweise zu groß für km-Angaben) 
II.Meterstab wird zum Messen als einheitliches Messgerät verwendet, da nicht alle Stifte gleich lang sind bzw. nicht alle Füße gleich groß und nicht jeder dieselbe Anzahl von Schritten bei einer Strecke hat etc. (Standardteinheiten motivieren, siehe Text oben) 

Ab nun werden Messobjekte anhand von Normrepräsentanten gemessen: 
Hierfür Einheitensystem aufbauen durch abmessen der Länge von: Radiergummi, Stifte, Tischlänge, Tafellänge, Körpergröße, Zimmerlänge. Diese Längen mit Meterstab messen und dokumentieren 

||
Um den Ausbau des Systems von Standardrepräsentanten zu fördern, erhalten die SuS eine Liste von Längenrepräsentanten (z.B. Gegenstände, bestimmte Wegabschnitte, die Höhe des Schulgebäudes u.Ä.), deren Längen sie zunächst schätzen und anschließend mithilfe von zur Verfügung gestellten Messgeräten abmessen sollen. Der Schätzvorgang dient dabei dem gedanklichen Vergleich mit bekannten Repräsentanten und fördert die Kenntnis weiterer Repräsentanten.

Ziel: Einheitensystem und Standardrepräsentanten 

Aktivität: Ausbau Einheitensystem durch System von Standartrepräsentanten wie beispielsweise: 

1 cm = Büroklammer

10 cm = Stift

100cm =Tafelbreite

1000cm = Zimmerlänge

||
Zum Rechnen mit Längen eignen sich Aufgaben, mit denen die SuS auch im Alltag konfrontiert werden könnten. Beispielsweise könnte berechnen werden, wie groß einer der Schüler/eine der Schülerinnen im nächsten Schuljahr sein wird, wenn sie innerhalb des nächsten Jahres 8cm wächst, usw.

Ziel: Rechnen mit den Größen; Umrechnen der Einheiten 

Aktivität: 
Einheiten umrechnen zur besseren Vergleichbarkeit der Längen-Liste in Stufe 4. Diese in passende Standardrepräsentanten für cm, dm, m, km umwandeln und ergänzen: 

1cm = Büroklammer

1dm= Stiftlänge

1m= Tafellänge

10m= Zimmerlänge

100m= Sprintstrecke

1km= ...

10km…...

Rechenaktivitäten: Wie groß ist Klasse zusammen in cm ausgedrückt? Wie groß in km?...




|-
|
Längen
||

Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten:

Vergleich von verschieden langen Gegenständen, z.B. Buntstifte. Gleichlang, kürzer, länger.

||

Mittelbarer Vergleich:

Buntstifte oder verschieden lange Papier-Streifen der Länge nach ordnen.

||

Vergleichen und Messen mit Normrepräsentantnen:

Einführung der Standardeinheiten 1mm, 1cm, 1dm, 1m, 1km. Kann anhand eines Meterstabs/Maßband/Lineal erfolgen. SuS sollen anhand von Stäben oder Schnüren Objekte messen.

||

Ausbau des Einheitensystems:

1mm: Dicke eines Geodreiecks

1cm: Breite eines Fingernagels

1dm: Breite von Toilettenpapier

1m: Höhe der grünen Fläche von Schultafeln

1km: Von meinem Haus zum Bäcker.

Sus sollen zu jeder Einheit selbst Repräsentanten finden und notieren

||

Rechnen mit Größen des Bereichs: Addieren, Vervielfachen, Umwandeln der verschiedenen Einheiten. Übung zum Berechnen von Längenunterschieden.




|-
|
Geldwert
||
Geldbeträge dargestellt durch Münzberge bestehend nur aus einer Münzart. Diese nach Wertigkeit sortieren.
||
Aufbauend auf die eigenen Erfahrungen vergleichen die SuS nun beliebige Geldwerte. Womit kann ich mehr kaufen? Mit einem 2€ Stück oder mit einem 50ct Stück, etc.
||
Alle Euromünzen in 1ct Stücken darstellen. Wie viele 1ct Stücke brauche ich bis die so viel Wert sind wie ein 20ct Stück, etc.
||
Mit der Klasse Überlegungen anstellen:

Für 10ct = 0.1€ bekomme ich ein Bonbon.

Für 1€ bekomme ich einen Apfel.

Für 10€ ein T-Shirt,

für 100€ fliege ich nach London, etc.
||
Wie viel von XY kann ich mir mit YZ€ kaufen? Einfache Kassnebeispiele berechnen. Rückgeld von Einkäufen ausrechnen, etc.




|}

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://drive.google.com/file/d/1p8b6ZmfaTWUxaTb4j4y1UKLp1j7E744p/view?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 24.05.2019 (Ute Sproesser)]

== Dokumentation der Sitzung ==
Die Sitzung war in drei Punkte gegliedert. Zu Beginn wurden die Ziele im Zusammenhang mit Größen erläutert. Anschließend wurde der Aufbau von Größenvorstellungen und Stützpunktvorstellungen thematisiert. Hierunter war auch die Arbeitsphase der Sitzung zu finden. Abschließend wurde grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen präsentiert.

=== A. Ziele im Zusammenhang mit Größen ===
==== I. Messen und Größen im Bildungsplan====
Mithilfe eines kurzen Brainstormings sollten die Teilnehmer die Aspekte von „Messen und Größen“ im Bildungsplan erarbeiten. Die hierbei erwähnten Aspekte deckten sich größtenteils mit den Standards im Bildungsplan (siehe Folie 3). Die folgende Tabelle dokumentiert die Ergebnisse im Vergleich zum Bildunsplan.

{| class="wikitable"
|-
! Ergebnisse des Brainstormings !! Aspekte im Bildungsplan
|-
| Rechnen mit Einheiten, Vorstellungen von Größen entwickeln (Realitätsbezug hierbei wichtig), Umgang mit Messgeräten erlernen (Geodreieck Winkelbestimmung, Thermometer, etc.), Grundvorstellungen zu Volumen und Flächen entwickeln, Schätzen,
||
Messvorgänge, Umgang mit Einheiten (Standardeinheiten), spezifische Größen messen (Längen, Volumina, Flächeninhalte, Winkel, etc.), Schätzen und Vergleichen, Umgang mit Figuren und Körpern und Rechnungen in diesem Zusammenhang durchführen
|}

==== II. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen ====
'''1.Aufbau von Größenbegriffen'''
Hierbei sind im speziellen die Fragen „Was ist diese Größe. Wie messe ich diese Größe“ von zentraler Bedeutung um den Größenbegriff zu durchdringen.

''Beispiele:''

:* Flächeninhalt= „Was mit der Rasterfolie gemessen wird.“
:* Volumen= „Was mit einem Einheitsmesswürfel gemessen wird.“
:* Länge= „Was mit einem Metermaß gemessen wird.“
:* Gewicht= „ Was mit einer Wage gemessen wird.“

Hierbei können die Größenbegriffe unterschieden werden, da der Zugang zu diesem Größenbegriff über dessen Messgerät erfolgt und diese unterschiedlich sind. Hiermit kann vor allem der Schwierigkeit des Flächeninhaltsbegriffes entgegen gewirkt werden (siehe grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen).

'''2. Standardrepräsentanten aufbauen für Einheitensystem (Stützpunktvorstellungen)'''

'''3. Umwandlung von Einheiten'''

'''4. Rechnen mit Größen'''

Bemerkung: Bei allen Zielen der Leitidee ist das Schätzen ein hilfreicher Vorgang. Schätzen aktiviert die SuS und bestärkt den Zielaufbau. Allerdings bedarf erfolgreiches Schätzen Stützpunktvorstellungen, welche wiederum ein Ziel der Leitidee sind.

==== III. Abschließende Bemerkung zur Leitidee Messen ====

Die Leitidee Messen steht nicht isoliert im Bildungsplan. Es bestehen Vernetzungen und Verweise zu anderen Leitideen (beispielsweise der Leitidee Funktionaler Zusammenhang, via: Berechnungsformel als Funktion) und zu prozessbezogenen Kompetenzen (beispielsweise zur p. Kompetenz „Modellieren“, hier gilt es um „messen in alltäglichen Kontexten“. Hierzu wurden die Beispiele Tapezieren, Küche erneuen oder Garten ausmessen präsentiert)

=== B. Aufbau von Größenvorstellungen ===

Zu Beginn dieses Gliederungspunktes stand eine kurze Arbeitsphase.

''Arbeitsauftrag:''

SuS spielen auf einer Wiese Fußball. Sie möchten ein Fußballtor mithilfe von Steinen begrenzen. Beide Tore sollen gleich lang sein. Wie geht das?

''Ergebnisse:'' 

:*''Richtiges Tor (mit Latte und somit Höhe):'' Messen mit Körpergröße; einen Pfosten als Normlänge festlegen und andere Längen in diesem Verhältnis ausmessen.

:*''Nur Torbegrenzung (Steine als Begrenzung, keine Pfosten oder Latte)'': Tor mit Füßen ablaufen und somit Fußlänge als Normlänge festlegen; Seil, Stock, Metermaß als alternative Normlängen nehmen zum abmessen.

==== I. Methodische Stufenfolge ====
In dieser Inputphase wurde das Stufenmodell zur Größenerarbeitung vorgestellt (siehe Folie 8ff.). Ergänzend siehe Vorbereitungsauftrag. Zusammenfassend gilt:

'''1.Stufe: Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten
'''
*Ziel: Ordnungsrelation Aufbauen
*Ideen: nebeneinanderstehen (Länge), übereinanderliegen (Flächeninhalt), ineinander (Volumen)

'''2.Stufen: Mittelbarer Vergleich mit selbst gewählten Einheiten (willkürlichen Maßeinheiten)'''

*Ziel: Transitivität aufzeigen
*Ideen: Siehe Beispiel mit dem Tor: Hierbei mit Körper, Seil, Füße, Stock als willkürliche Maßeinheiten die Längen der Tore vergleichen.

'''3. Stufe: Vergleich mithilfe von Standardrepräsentanten'''

*Ziel: Einführung von Standardeinheiten und Anfang eines Einheitensystems
*Idee: Standardisierte Messverfahren verwenden, z.B. Tore mit Metermaß abmessen und vergleichen.

'''4.Stufen: Ausbau des Einheitensystems und Größenvorstellungen aufbauen'''

*Ziel: Stützpunktvorstellungen als Standardrepräsentanten für bestimmte Größen aufbauen
*Idee: Gemeinsam System von Stützpunktvorstellungen erarbeiten (siehe Arbeitsauftrag 2).

'''5.Stufe: Rechnen und Umwandeln der Einheiten aus dem Einheitensystem'''

==== II. Ergebnisse der Diskussion dieses Stufenmodells ====
:* Kernidee der Stufen 2 und 3 ist die folgende Abfolge:
::Maßeinheit finden-> auslegen, zählen, messen-> Einheiten verfeinern->Standardeinheiten erlangen

:* ''Geldwert im Modell:'' Zu diesem Punkt entstand eine Diskussion, inwieweit das Modell und die Größe Geldwert kompatibel sind. Als Ergebnis dieser Diskussion wurde festgestellt, dass das Modell eher nicht geeignet ist um hiermit Geld als Größe zu thematisieren. Es wurde erarbeitet, dass der Geldwert als markwirtschaftliche, monetäre Zuschreibung eines Geldwertes zu einem Objekt (der Preis des Objektes) ein sehr abstrakter Größenbereich ist und das Stufenmodell eben nicht für diesen Bereich gilt. Anderseits kam die Idee auf, dass unter Geldwert auch subjektive Wertzuschreibungen zu einem Objekt gemeint sein können. Die Größenvorstellungen einer subjektiven Wertzuschreibung können beispielsweise durch Tauschgeschäfte und Tauschspiele gestärkt und aufgebaut werden. Als Beispiel um solche subjektiven Wertvorstellungen aufzubauen wurde der Tausch „Pulli vs. Laptop“ genannt. Statt die abstrakte Größe Preis zu betrachten und die Zahlen der Preisangabe zu vergleichen wird bei einem Tauschgeschäft die individuelle Wertzuschreibung betrachtet. Die SuS fragen sich selbst, ob sie einen Pulli gegen einen Laptop tauschen würden und entwickeln somit eigene Größenvorstellungen von ihrem subjektiven Geldwert statt Preise und deren Zahlenwerte zu vergleichen.

:* Die Teilnehmer lernten bei der Diskussion über das Modell, dass das Rechnen mit Größen und das Umwandeln von Einheiten nicht am Anfang der Betrachtung, sondern am Ende der Beschäftigung mit Größen stehen sollte. Ebenso wurde die Erkenntnis geschärft, dass das Schätzen und Messen als Tätigkeiten im Unterricht nicht zu kurz kommen sollten. Zusammen mit dem Aufbau von Stützpunktvorstellungen stellen sie die wichtigsten Aspekte bei der Beschäftigung mit Größen dar. Rechnen und Umwandeln wird nur als Zusatz gesehen in diesem Modell.

==== III. Arbeitsauftrag 1 ====

''Auftrag:''
''
:Welche Einheiten würden Sie zum messen wählen?''

Hierbei wurden die Teilnehmer der Reihe nach gefragt.

''Ergebnisse:''

{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|-
! Objekt!! Einheit
|-
| Wasser in Badewanne|| Liter
|-
| Wasser in Getränk|| ml
|-
| Geschwindigkeit Auto|| km/h
|-
| Geschwindigkeit Fußgänger|| km/h oder m/s
|-
| Tischfläche || m²
|-
| Fläche Sportstadion|| ha
|-
| Gewicht Brot|| g
|-
| Gewicht Auto|| kg
|}
|}

Bei der Geschwindigkeit des Fußgängers gab es eine Diskussion, ob es besser ist in km/h oder m/s zu messen. Es wurde festgestellt, dass km/h besser geeignet ist um Vergleiche herzustellen (z.B. Vergleiche Auto, Zug, Tiere) und im Alltag gebräuchlicher ist während m/s besser geeignet ist um ein Gefühl für die Geschwindigkeit aufzubauen. Außerdem kommt es auf die Situation an. Beispielweise würde ein Jogger bei einem 60min-Lauf seine Geschwindigkeit eher in km/h statt in m/s angeben.

===== Fazit zu Arbeitsauftrag 1 =====
Es ist wichtig Stützpunktvorstellungen aufzubauen. Diese dienen als Standardrepräsentanten für bestimmte Einheiten und erlauben eine Vorstellung von einer Größe in dieser Einheit (Bsp: 1kg ist das Gewicht von einer Packung Zucker). Zusätzlich sind Stützpunktvorstellungen auch Voraussetzung für das erfolgreiche Schätzen und die geeignete Wahl von Messeinheiten bei Messvorgängen.

==== IV. Arbeitsauftrag 2: Einheitensystem ====
In dieser Phase erarbeiteten sich die Teilnehmer in zwei Gruppen ein Einheitensystem zu den Größen Länge, Flächeninhalt und Volumen. Der Arbeitsauftrag lautete:
„Überlegen Sie sich geeignete Stützpunktvorstellungen in Sek I."

'''''Ergebnisse:'''''

{| class="wikitable"
|-
! Länge!! km!! m!! dm!! cm!! mm
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| 2.5 mal eine Runde auf dem Sportplatz|| Schritt|| Handlänge|| Fingernagelbreite|| Dicke Geodreieck
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! Flächeninhalt!! ha!! 10a!! 1a !! 10m²!! 1m²!! 10dm²!! 1dm²!! 10cm²!! 1cm²
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| Sportplatz|| Bauplatz|| Wohung|| Kleines Zimmer|| Tafelseite|| DIN A3|| Ritter Sport Tafel|| Motivbriefmarken|| Würfeleite Spielwürfel
|}

{| class="wikitable"
|-
! Volumen!! 100m³!! 1m³!! 100dm³= 100l!! 10dm³= 10l!! 1dm³= 1l!! 100cm³!! 10cm³!! 1cm³= 1ml
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| Schwimmbecken|| großer Müllcontainer|| Badewanne|| 10l Putzeimer|| Milchpackung|| kleines Glas|| Duplostein (3er)|| Spielwürfel
|}

===== Fazit von Arbeitsauftrag 2 =====

Es wurden in dieser Phase geeignete Stützpunktvorstellungen für die Sek. I erarbeitet. Hierbei ist es den Teilnehmern selbst schwer gefallen für bestimmte Einheiten (z.B. 10a, 1 km) geeignete Stützpunktvorstellungen zu finden. Im Idealfall wäre für eine Einheit unmittelbar ein passender Repräsentant aus der Realität als Stützpunktvorstellung im Kopf. Dies verdeutlicht die Notwendigkeit Stützpunktvorstellungen bei SuS aufzubauen und nicht den Fokus auf Rechnen und Umwandeln zu legen. Die unterrichtspraktische Erkenntnis lautete somit: Stützpunktvorstellungen im Unterricht aufbauen, um das Schätzen zu verbessen.

Es gilt:
:::„Stützpunktvorstellungen sollen ebenso zum Schätzen verfügbar sein wie Grundrechenarten zum Rechnen“

=== C. Grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen ===

In der letzten Inputphase wurde in knapper Form die wichtigsten Fehler und Vorstellungen zum Thema Flächeninhalt und Volumen präsentiert (siehe Folien 13ff.). Die wichtigsten ''Erkenntnisse'' werden hier vorgestellt:

:* Verwechslung von Länge, Umfang, Flächeninhalt, Volumen sind oftmals Ursache für falschen Umgang mit Größen.
:* Dem Begriff Flächeninhalt liegen 4 Schwierigkeiten zugrunde:
::#Keine Vorerfahrungen mit Flächeninhalt aus dem Alltag
::#Flächeninhalte werde selten gemessen, meistens berechnet
::#Fehlende visuelle Präsentation der Fläche als Träger der Eigenschaft Flächeninhalt (bei Skizzen wird die Fläche selten schraffiert, obwohl sie ja existent ist)
::#Fehlende Sprachliche Unterscheidung zwischen Fläche und Flächeninhalt:
:::„ Wie groß ist die Fläche des Rechteckes“ muss heißen „Wie groß ist der Flächeninhalt der Rechtecksfläche“.
:* Unterrichtspraktischer Tipp: Stützpunktvorstellungen über praktische, experimentelle Zugänge aufbauen. Beispielweise durch auslegen, ablaufen, umfüllen, wiegen…
:* Keine formal mathematische Begriffsfestlegung sondern der Aufbau von Stützpunktvorstellungen steht zu Beginn im Zentrum (vgl. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen, Aufbau von Größenbegriffen)
:* Keine formalen Umrechnungszahlen nutzen (da diese verwirrend sind).
:* Flächeninhalt eines Rechtecks und dessen Einheit über „Länge x Breite x Einheitsquadrate“ einführen. Die bedeutet: dm² über „1dm² = 1dm x 1dm = 10cm x 10cm = 100 cm²“ einführen und nicht als Ergebnis von Umrechnungszahlen.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 7 „Flächeninhalt und Volumen“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Kapitel 3 „Größen im Mathematikunterricht“ in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* Kapitel 5 „Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10“ in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Häufig bereitet der Flächeninhaltsbegriff im Vergleich zu anderen, in der Schule behandelten Größenbegriffen die größten Schwierigkeiten für SuS.

Nennen und erläutern Sie kurz drei mögliche Ursachen für diese Schwierigkeiten.

Mit welchen Maßnahmen könnten Sie diesen als Lehrperson zukünftig entgegenwirken?
||
Ursache 1: Fehlende Messprozesse

Flächeninhalte werden von SuS nur selten oder nie selbst gemessen. In den meisten Fällen kennen sie nicht einmal ein geeignetes Messgerät für das Bestimmen von Flächeninhalten. Im Unterricht werden Flächeninhalte meist lediglich berechnet. Für die Berechnungen sind nur Längenangaben zu den Seiten einer Figur nötig. Entsprechend verwechseln SuS den Flächeninhalt nicht selten mit dem Umfang einer Figur, da ihnen der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß nicht bewusst ist.

Ursache 2: Mangelnde Erfahrungen im Alltag

Nur die wenigsten SuS können in ihrem Alltag bereits Vorerfahrungen zu Flächeninhalten sammeln. Grund dafür ist, dass der Umgang mit Flächeninhalten im alltäglichen Leben - im Gegensatz zum Umgang mit Rauminhalten oder Gewichten - nur selten erforderlich ist.

Ursache 3: Linien- statt Flächenfiguren

Der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß wird außerdem dadurch „verwischt“, dass Figuren in Schulbüchern oftmals als Linien- und nicht als Flächenfiguren dargestellt werden. Dreiecke, Rechtecke und Kreise werden häufig nur durch ihre Umrisslinien präsentiert, weshalb SuS nur unzureichend wahrnehmen, dass die Figuren auch eine gewisse Fläche besitzen.

Um den Schwierigkeiten beim Umgang mit Flächeninhalten entgegenzuwirken, sind die folgenden Maßnahmen empfehlenswert:

1. SuS entwickeln ein Verständnis für den Flächeninhalt als Größe, die von Längen zu unterscheiden ist, indem sie Flächeninhalte verstärkt durch Verwendung von geeigneten Flächenmessgeräten (z.B. Rasterfolien) selbst direkt ausmessen.

2. Gemeinsam wird ein System von Standardrepräsentanten für Flächeninhalte aufgebaut. Die dazugehörigen Vorstellungen können durch Schätzaufgaben tiefer im Gedächtnis der SuS verankert werden.

3. Ebene Figuren werden nicht als Linien- sondern als Flächenfiguren dargestellt.
||
Die Aufgabe eignet sich dazu, den Prozess des Aufbaus von Größenvorstellungen und mögliche, dabei auftretende Schwierigkeiten aus Schülersicht zu reflektieren.


|-
|
Welche Aufgaben / Aktivitätsformen können zur Unterscheidung von nahen Größenpaaren, wie z.B. Gewicht & Volumen, Umfang & Flächeninhalt, Oberfläche & Rauminhalt, im Unterricht eingesetzt werden? Entscheiden Sie sich für ein Größenpaar und geben Sie eine konkrete geeignete Aufgabe für die SuS an, um den Unterschied der beiden verschiedenen Größen herauszuarbeiten und erläutern Sie, weshalb Sie sich für diese Aktivität entschieden haben. Nennen Sie ebenfalls Gründe, warum es für SuS schwer ist, diese beiden Größen zu unterscheiden.
||

Zum Beispiel Umfang & Flächeninhalt:

Jede/r SuS bekommt ein Kärtchen mit Beispielen für Umfang & Flächeninhalt (z.B. Zaun, Rasen, ). In einer Ecke des Klassenzimmers steht ist ein Plakat mit der Überschrift '''Umfang''', in der anderen Ecke eines mit der Überschrift '''Flächeninhalt'''. Die SuS sollen zur passenden Ecke gehen und gemeinsam vergleichen, ob sie richtig stehen. Wenn sich alle in der richtigen Ecke eingefunden haben, werden die Kärtchen auf das jeweilige Plakat geklebt und im Klassenzimmer aufgehängt. Zusätzlich könnte man die Begriffe noch nach Größen ordnen lassen, um eine bessere Größenvorstellungen zu bekommen.

Durch diese Aufgabe, werden die SuS nicht nur kognitiv, sondern auch körperlich aktiviert. Die SuS müssen kommunizieren und gemeinsam zu einer Lösung kommen.
Ein Grund für die Schwierigkeit der Unterscheidung von Flächeninhalt und Umfang ist zum einen, dass der Flächeninhalt fast nie gemessen, sondern meistens berechnet wird. Außerdem wird der Flächeninhalt oft einfach als Linienfigur graphisch dargestellt, was zur Verwechslung mit dem Umfang führen kann.

||
Durch diese Aufgabe wird das Thema der Größen inklusive der Repräsentanten und Einheiten aufgegriffen. Außerdem wird durch die Überlegung einer konkreten Aktivität für die SuS ein direkter Bezug zur Unterrichtspraxis hergestellt und es wird sich in ein Unterrichtsgeschehen versetzt. Problematiken im Umgang mit der Unterscheidung von Größen werden herausgearbeitet um diesen entgegenzuwirken.
||


|}

== Literaturhinweise ==

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-05-27T14:48:21Z

Wibkegrundbrecher:

GeometrieUndUnterrichtSS2019 05

2019-05-23T18:47:11Z

Wibkegrundbrecher:

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T13:58:14Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung und Bezug zu den Bildungsstandards ===

=== Inhaltlicher Input ===

=== Arbeitsphase ===

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T13:57:14Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung und Bezug zu den Bildungsstandards ===

=== Inhaltlicher Input ===

=== Arbeitsphase ===

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:
1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-03T12:11:14Z

Wibkegrundbrecher:

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung und Bezug zu den Bildungsstandards ===

=== Inhaltlicher Input ===

=== Arbeitsphase ===

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, parallel, kongruent, achsensymmetrisch
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang
|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Klasse A''' || Begriff 1, Begriff 2
|-
| '''Klasse B''' || Begriff 3, Begriff 4, Begriff 5
|-
| '''Klasse C''' || Begriff 6
|}

==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]