Übung Aufgaben 5 S (SoSe 12)

2012-05-20T10:32:28Z

Wokkow: /* Aufgabe 5.2 */

=Aufgaben zum Abstand=

==Aufgabe 5.1==
'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.

 
[[Lösung von Aufgabe 5.1_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 5.2==
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 
[[Lösung von Aufgabe 5.2_S (SoSe_12)]]

Ich möchte im Voraus sagen, dass dies ein Lösungsvorschlag ist, aber ich wusste nicht, wie man das im Geowiki macht, ich bin nur hier hereingekommen. Und außerdem behandelt es Aufgabe 5.1. Echt sorry!

Vorauss.: <math>A \neq B \neq C \neq A</math> und koll(A,B,C)
Beh.: O.B.d.A. Zw(A,B,C)

'''Beweis der Existenz:'''
Annahme: nicht Zw(A,B,C)
1. d.h. <math>\overline{AB} + \overline{BC} \neq \overline{AC}</math>
(da Annahme und Kontraposition der Zwischenrelation)
2. nkoll(A,B,C)
(da Kontraposition der Dreiecksungleichung: koll(A,B,C)<math>\Rightarrow</math> O.B.d.A. <math>\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}</math> )
Widerspruch zur Voraussetzung

'''Beweis der Eindeutigkeit:'''
Vorauss.: Zw(A,B,C)
Beh.: <math>\neg Zw (A,C,B) und \neg Zw(B,A,C)</math>
Annahme: Zw(A,C,B)
1.<math>\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}</math>
(da Annahme)
2. d.h. <math>\overline{AC} < \overline{AB} und \overline{CB} < \overline{AB}</math>
Widerspruch zur Annahme, da dort gefordert ist: <math>\overline{AB} < \overline{AC}</math>

--Wokkow 12:17, 20. Mai 2012 (CEST)

==Aufgabe 5.3==
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
Wenn <math> C \in \ AB^{+} </math> und <math>\left| AB \right| < \left| AC \right| </math> dann gilt <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math>

 
[[Lösung von Aufgabe 5.3_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 5.4==
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>
 
[[Tipps zu Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]
 
[[Lösung von Aufgabe 5.4_S (SoSe_12)]]

=Weitere Aufgabe zur Inzidenz=

== Aufgabe 5.5 ==
Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4). 
[[Lösung von Aufg. 5.5_S (SoSe_12)]] 

[[Category:Einführung_S]]

Übung Aufgaben 5 S (SoSe 12)

2012-05-20T10:17:40Z

Wokkow: /* Lösungsvorschlag zu Aufgabe 5.1 */

=Aufgaben zum Abstand=

==Aufgabe 5.1==
'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.

 
[[Lösung von Aufgabe 5.1_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 5.2==
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 
[[Lösung von Aufgabe 5.2_S (SoSe_12)]]
Vorauss.: A<s>=</s>B<s>=</s>C<s>=</s>A und koll(A,B,C)
Beh.: O.B.d.A. Zw(A,B,C)

'''Beweis der Existenz:'''
Annahme: nicht Zw(A,B,C)
1. d.h. <math>\overline{AB} + \overline{BC} \neq \overline{AC}</math>
(da Annahme und Kontraposition der Zwischenrelation)
2. nkoll(A,B,C)
(da Kontraposition der Dreiecksungleichung: koll(A,B,C)<math>\Rightarrow</math> O.B.d.A. <math>\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}</math> )
Widerspruch zur Voraussetzung

'''Beweis der Eindeutigkeit:'''
Vorauss.: Zw(A,B,C)
Beh.: <math>\neg Zw (A,C,B) und \neg Zw(B,A,C)</math>
Annahme: Zw(A,C,B)
1.<math>\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}</math>
(da Annahme)
2. d.h. <math>\overline{AC} < \overline{AB} und \overline{CB} < \overline{AB}</math>
Widerspruch zur Annahme, da dort gefordert ist: <math>\overline{AB} < \overline{AC}</math>

--Wokkow 12:17, 20. Mai 2012 (CEST)

==Aufgabe 5.3==
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
Wenn <math> C \in \ AB^{+} </math> und <math>\left| AB \right| < \left| AC \right| </math> dann gilt <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math>

 
[[Lösung von Aufgabe 5.3_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 5.4==
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>
 
[[Tipps zu Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]
 
[[Lösung von Aufgabe 5.4_S (SoSe_12)]]

=Weitere Aufgabe zur Inzidenz=

== Aufgabe 5.5 ==
Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4). 
[[Lösung von Aufg. 5.5_S (SoSe_12)]] 

[[Category:Einführung_S]]

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