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Lösung von Aufg. 11.3 (WS 11/12)

2012-01-04T09:53:02Z

Wookie:

Beweisen Sie: Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

Vorr.: <math>\angle ABC</math> ; Betrachte nur eine Ebene 
Beh.: <math>\exists ! \ SW^{+} \wedge |\angle ASW| = |\angle BSW|</math> 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1)<math>\exists x: x=|\angle ASB|</math> || Winkelmaßaxiom
|-
| (2)<math>\exists y: y=\frac{1} {2} x</math> || Rechnen in R, (1)
|-
| (3)<math>\exists \angle ASW: |\angle ASW|=y</math> || Winkelkonstruktionaxiom, (2)
|-
| (4)<math>\exists! \ SW^{+}</math> || Winkelkonstruktionaxiom, (3) Existiert und ist eindeutig laut Axiom "genau ein Strahl"
|-
| (5) <math>|\angle ASW| = |\angle BSW|</math> || (2),(3), Winkeladditonsaxiom
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 12:05, 3. Jan. 2012 (CET)

-- Ich glaube um das Winkelkonstruktionsaxiom verwenden zu können, musst du erst noch die Halbebene <math> SA,B^{+}</math> bestimmen. --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 10:53, 4. Jan. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.2 (WS 11/12)

2011-11-28T13:16:55Z

Wookie:

Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.

'''Voraussetzung''': Gerade g, Punkt P: P <math> \notin</math> g 

'''Behauptung''': <math> \exists!</math> Ebene E: g <math>\in</math> E <math>\wedge</math> P <math>\in</math> E 

'''Beweis:''' 

{| class="wikitable"
|-
| 1) P <math> \notin</math> g|| Vor.
|-
| 2) <math>\exists</math> R, Q <math>\in</math> g, R<math>\neq</math> Q || Axiom I/2
|-
| 3) nkoll(P, Q, R) || Axiom I/3, 1), 2)
|-
| 4) <math> \exists!</math> E: (P, Q, R)<math>\in</math> E || Axiom I/4, 3)
|-
| 5) P <math> \in</math> E <math>\wedge</math> g <math>\subseteq</math> E || 4)
|} q.e.d. --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 14:16, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

2011-11-28T12:26:04Z

Wookie:

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1
Annahme: E geschnitten g größer 1

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor
(2) g: A,B,C koll
Fall 1: E geschnitten g = {}
Axiom 1/2, Def koll
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3)
(5) E2 (4)
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10
(7) Widerspruch zur Anname

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET)

* Muss '''Fall 1''', d.h. <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace</math> überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

* '''Fall 2''': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Vor'': Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g ''Beh'':<math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Ann'': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace</math> Beweis: 
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\exists S,P\in g </math> || Axiom I/2, Vor.
|-
| 2.) g liegt in E|| Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.
|-

|}
--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.3 (WS 11/12)

2011-11-22T09:17:26Z

Wookie:

Die Eigenschaft der Komplanarität ist das räumliche Analogon zur Kollinearität in der Ebene. Formulieren Sie eine Definition der Relation „komplanar“.

* Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:08, 16. Nov. 2011 (CET)
* Wäre dies auch eine Definition? : Punkte, die paarweise in ein und derselben Ebene liegen, bezeichnet man als komplanar.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:11, 19. Nov. 2011 (CET)
** Hier beschreibst du das Verhältnis von je zwei Punkten. Also eine zweistellige Relation, dass ist eine gute Idee. Nur verstehe ich diese Defniniton so, dass alle Punkte zueinander komplanar sind, oder? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:08, 21. Nov. 2011 (CET)

* Eine Menge von mindestens drei Punkten A,B,C heißt komplanar, wenn es eine Ebene E gibt, die alle diese Punkte enthält.
müssen es nicht mindestens drei sein? -- Was meint ihr?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:08, 21. Nov. 2011 (CET)

* Wenn es drei sind oder weniger sind die Punke immer komplanar, da es dann immer eine Ebene gibt die diese beinhaltet.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:55, 21. Nov. 2011 (CET)
**Darf man denn dann ganz allgemein von einer "Menge von Puntken" sprechen oder muss es heißen "Vier oder mehr Punkte..."? Da es ja bei 3 Punkten immer eine Ebene gibt, die diese beinhaltet...--[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 10:17, 22. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5 (WS 11/12)

2011-11-14T11:18:12Z

Wookie:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

[[Category:Einführung_Geometrie]] 
a) parallel 
b) Die Relation hat folgende Eigenschaften:
* ist reflexiv: <math>\overline{AB} || \overline{AB}</math> 
*ist symmetrisch: <math>\overline{AB} || g \Rightarrow g || \overline{AB}</math> 
* ist transitiv: <math>\overline{AB} || g \ \wedge g || h \Rightarrow \overline{AB} || h</math> 
Also ist es eine Äquivalenzrelation. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:02, 13. Nov. 2011 (CET)

zu a) Punkt A steht genau dann in Relation zu Punkt B, wenn die Strecke <math>\overline{AB</math> keinen Schnittpunkt mit g hat. --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 12:18, 14. Nov. 2011 (CET)