Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12)

2012-04-30T17:35:27Z

Zigzag: /* Lösungsvorschlag 1 */

==Aufgabe 2.2==
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

[[Category:Einführung_S]]

==== Lösungsvorschlag 1 ====
a) Wenn zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Geraden c geschnitten werden, so sind die auftretenden Stufenwinkel gleich groß. 
b) 
1.) Wenn a parallel zu b, so sind Alpha und Beta kongruent.(entspricht Stufenwinkelsatz) 
2.) Wenn Alpha und Beta kongruent sind, so ist a zu b parallel .(entspricht '''nicht''' Stufenwinkelsatz) 
3.) Wenn Alpha und Beta nicht kongruent sind, so exsistiert ein Punkt S, der Element von a und b ist.(entspricht Sws.) 
*Hier muss man aufpassen, da die Abkürzung Sws für einen anderen Satz benutzt wird. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST) 
4.) Genau dann wenn a parallel zu b, sind alpha und beta kongruent.(entspricht '''nicht''' Stufenwinkelsatz)[[Benutzer:Zigzag|Zigzag]] 
*Bitte setzt eure Signatur hinter eure Beiträge. Dazu müsst ihr in der Werkzeugleiste den Button "Deine Signatur mit Zeitstempel" auswählen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)

==== Lösungsvorschlag 2 ====
a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an geschnitten Parallelen sind kongruent zueinander. 
b) 
1.) Stufenwinkelsatz 
2.) Umkehrung Stufenwinkelsatz 
3.) a und b schneiden sich in einem Punkt S 
4.) Stufenwinkelkriterium 

--[[Benutzer:Funkdocta|Funkdocta]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST) 
*Und welche Aussagen sind jetzt äquivalent zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:13, 29. Apr. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 S (SoSe 12)

2012-04-30T05:47:14Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.4 */

==Aufgabe 2.4==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." 

b) Ergänzen Sie: 
Voraussetzung: <math>\overline{ABC} </math> ist ein Dreieck mit… 
Behauptung:
 

[[Category:Einführung_S]]

a) Wenn ein <math>\overline {ABC}</math> zwei kongruente Innenwinkel hat, dann ist dieses Dreieck ein gleichschenkliches Dreieck. 
b) Voraussetzung: <math>\overline {ABC}</math> ist ein Dreieck mit zwei kongruenten Innenwinkeln. 
Behauptung: <math>\overline {ABC}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck.[[Benutzer:Zigzag|Zigzag]]

b) Vor.: <math>\overline {ABC} </math> ist ein Dreieck mit <math>\overline{AC}</math> = <math>\overline{BC}</math>

Beh.: <math>\left| \alpha \right|</math> = <math>\left| \beta \right|</math> --[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 19:04, 27. Apr. 2012 (CEST)

Ist es bei b) nicht genau andersrum wie bei 0z44oz:

Vorraussetzung : <math>\alpha =\beta</math>

Behauptung :<math>\overline{AC}=\overline{BC} </math>

--[[Benutzer:Funkdocta|Funkdocta]] 15:16, 29. Apr. 2012 (CEST) 
* Hier haben wir zwei verschiedene Meinungen und es wäre gut, wenn man an dieser Stelle darüber diskutieren würde.
Es hilft oft, wenn man, wie in Aufgabenteil a) gefordert, den Satz in "Wenn..., dann" formuliert. Man kann dann in dem Satzteil mit "Wenn" die Voraussetzung erkennen und nach dem "dann" kommt die Behauptung. Es lohnt sich daher, dieses "Übersetzen" zu üben.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:39, 29. Apr. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12)

2012-04-30T05:37:16Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.3 */

==Aufgabe 2.3==
Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 
*Dass die Schnittmenge C der Mengen A und B alle Elemente der Mengen A und B beinhaltet.[[Benutzer:Zigzag]] 
Bitte gebt eure Signatur an, damit man sieht, welche Beiträge von wem kommen. So kann man besser Bezug zu den Aussagen nehmen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:20, 29. Apr. 2012 (CEST) 
*
*
*
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12)

2012-04-27T10:47:07Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.2 */

Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12)

2012-04-27T10:42:15Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.2 */

Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12)

2012-04-26T22:12:40Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.2 */

Lösung von Aufgabe 2.4 S (SoSe 12)

2012-04-26T22:01:26Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.4 */

Lösung von Aufgabe 2.4 S (SoSe 12)

2012-04-26T21:42:08Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.4 */

Übung Aufgaben 2 S (SoSe 12)

2012-04-26T21:39:41Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.4 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 1=
==Aufgabe 2.1==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 
[[Lösung von Aufgabe 2.1_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 2.2==
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
[[Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 2.3==
Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 

[[Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 2.4==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." 

b)Ergänzen Sie: 
Voraussetzung: <math>\overline{ABC} </math> ist ein Dreieck mit… 
Behauptung:
 
[[Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12)]] 

==Aufgabe 2.5==
Eine Raute sei folgendermaßen definiert: Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten heißt Raute. 
Sie wollen folgenden Satz beweisen: In einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. 

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." 

b)Ergänzen Sie: 
Voraussetzung: 
Behauptung: 
[[Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12)]] 
==Aufgabe 2.6==
Bringen Sie die folgenden Implikationen in die Form ''Wenn-Dann'':
# Jedes Quadrat hat vier rechte Innenwinkel.
# Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der Hypotenuse dieses Dreiecks.
# In einem konvexen Viereck schneiden sich die Diagonalen des Vierecks.
# Die Geraden, die durch die Diagonalen einer Raute <math>\overline{ABCD}</math>eindeutig bestimmt sind, sind Symmetrieachsen von <math>\overline{ABCD}</math>.
# Es sei <math>\overline{PQRS}</math> ein Paralellogramm. Es gilt: <math>\angle SPQ \tilde= \angle QRS </math>.
# Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
[[Lösung von Aufgabe 2.6_S (SoSe_12)]] 

==Aufgabe 2.7==
Bilden Sie die Umkehrungen der Implikationen aus Aufgabe 2.6. Formulieren Sie in den Fällen in denen es sinnvoll ist, Implikation und Umkehrung als Äquivalenz. 
[[Lösung von Aufgabe 2.7_S (SoSe_12)]] 
|}
</div>
[[Category:Einführung_S]]

Übung Aufgaben 2 S (SoSe 12)

2012-04-26T21:38:39Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.4 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 1=
==Aufgabe 2.1==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 
[[Lösung von Aufgabe 2.1_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 2.2==
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
[[Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 2.3==
Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 

[[Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 2.4==
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." 

b)Ergänzen Sie: 
Voraussetzung: <math>\overline{ABC} </math> ist ein Dreieck mit… 
Behauptung:
 
[[Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12)]] 

a) Wenn in einem Dreieck ABC zwei Winkel kongruent sind, dann ist dieses Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck.

b)

==Aufgabe 2.5==
Eine Raute sei folgendermaßen definiert: Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten heißt Raute. 
Sie wollen folgenden Satz beweisen: In einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. 

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." 

b)Ergänzen Sie: 
Voraussetzung: 
Behauptung: 
[[Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12)]] 
==Aufgabe 2.6==
Bringen Sie die folgenden Implikationen in die Form ''Wenn-Dann'':
# Jedes Quadrat hat vier rechte Innenwinkel.
# Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der Hypotenuse dieses Dreiecks.
# In einem konvexen Viereck schneiden sich die Diagonalen des Vierecks.
# Die Geraden, die durch die Diagonalen einer Raute <math>\overline{ABCD}</math>eindeutig bestimmt sind, sind Symmetrieachsen von <math>\overline{ABCD}</math>.
# Es sei <math>\overline{PQRS}</math> ein Paralellogramm. Es gilt: <math>\angle SPQ \tilde= \angle QRS </math>.
# Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
[[Lösung von Aufgabe 2.6_S (SoSe_12)]] 

==Aufgabe 2.7==
Bilden Sie die Umkehrungen der Implikationen aus Aufgabe 2.6. Formulieren Sie in den Fällen in denen es sinnvoll ist, Implikation und Umkehrung als Äquivalenz. 
[[Lösung von Aufgabe 2.7_S (SoSe_12)]] 
|}
</div>
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12)

2012-04-26T21:28:03Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.2 */

Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12)

2012-04-26T21:06:59Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.2 */

Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12)

2012-04-26T19:37:44Z

Zigzag: /* Aufgabe 2.3 */

==Aufgabe 2.3==
Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 
Das die Schnittmenge C der Mengen A und B alle Elemente der Mengen A und B beinhaltet.
[[Category:Einführung_S]]