Quelltext der Seite Quiz der Woche

Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.


[[Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen]]

<quiz>
<big>'''Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.'''</big><br>
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus <math>\ M</math> zu indizieren. Unter der Klasse <math>\ T_a</math> verstehen wir dann alle Elemente von <math>\ M</math>, die mit dem Element <math>\ a</math> aus M in der Relation <math>\ R</math> stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?}
+ <math> \bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace </math>
|| so liest sich das: Für alle <math>a</math> aus <math>M</math> legen wir die Teilmenge <math>T_a</math> derart fest, dass zu ihr alle Elemente <math>b</math> aus <math>M</math> gehören, die mit <math>a</math> in der Relation <math>R</math> stehen.
+ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.

{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
| type="{}" }
<u>Voraussetzung:</u> <math>R</math> ist eine  { Äquivalenzrelation } 
Das bedeutet: 
(R) <math>R</math> ist { reflexiv }
(S) <math>R</math> ist { symmetrisch } 
(T) <math>R</math> ist  { transitiv }

{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
| type="{}" }
<u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.
Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben: 
(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen <math>\ T_i</math> und <math>\ T_j</math> ist die { leere Menge }
(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist die Menge { M } 
(0) Weder <math>\ T_1</math> noch <math>\  T_2 </math> noch irgendeine andere der Mengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist { leer }.
</quiz>