Quelltext der Seite Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

=Beispiele für endliche Gruppen=
==Restklassen modulo 4==
<math>\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}</math><br />
mit<br />
<math>\overline{0}:=\left\{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...\right\}</math> (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),<br />
<math>\overline{1}:=\left\{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),<br />
<math>\overline{2}:=\left\{..., -6, -2, 2, 6, 10, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),<br />
<math>\overline{3}:=\left\{..., -5, -1, 3, 7, 11, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),<br />

Wir definieren auf <math>\mathbb{Z}_4</math> eine Verknüpfung <math>\oplus</math> wie folgt:<br />
<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}</math>

Die Struktur <math>\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)</math> ist eine Gruppe:
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> abgeschlossen, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4</math>,
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> assoziativ, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right)</math>,
#<math>\mathbb{Z}_4</math>  hat ein neutrales Element, nämlich <math>\overline{0}: \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{0}= \overline{0} \oplus \overline{a} = \overline{a}</math>,