Quelltext der Seite Beweisidee Aufgabe 4.3.2 S Übung Heckl (SoSe2012)

== Aufgabe 4.3 ==
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> {{Schrift_orange|nicht kollinear sind}} , dann {{Schrift_orange|sind sie paarweise verschieden}} .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.

Beweis in zwei Fällen (Reihenfolge der Fälle ist irrelevant) durch Widerspruch:

==Fall 1: Annahme: Gelte o. B. d. A. A = B <math>\neq</math> C==
[[Datei:A_4_3_F_1_16052012.JPG|900px]]

==Fall 2: Annahme: Gelte A = B = C = A==
[[Datei:A_4_3_F_2_16052012.JPG|900px]]<br /><br />
 {{Schrift_orange|'''Kommentar zu Fall 2:'''}}<br />
 Sinnvollerweise schreiben wir zu 3): <math>\exists P \neq A</math>, ansonsten könnte es ja sein, dass P = A ist; <br />
 dann kann nämlich Axiom I.1 nicht angewendet werden - diesen Fall schließen wir somit aus und unser Axiom kann angewendet werden,<br />
 weil wir zwei verschiedene Punkte haben! --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:33, 16. Mai 2012 (CEST)


Woher nehmen wir die Berechtigung für Schritt (3), dass es einen weiteren Punkt gibt, der nicht A ist? Da steht etwas von Axiom I.3. Ich kann den Zusammenhang aber leider nicht verstehen.
<br /><br />
Servus Junghansl,<br />
Axiom I.3 lautet wie folgt:

 Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind. 

Da unsere Punkte A, B, C laut Voraussetzung nicht paarweise verschieden sind, existieren noch wenigstens zwei weitere Punkte D und P für die gilt, dass <math>D \neq P</math> ist und sie eben nicht identisch sind mit A, B und C. Aus diesem Grunde können wir uns ruhig einen von diesen beiden 'gönnen' :-). Ich hoffe, dass ich ein wenig helfen konnte. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:10, 21. Mai 2012 (CEST)

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