Quelltext der Seite Das Euklidische Parallelenaxiom

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.<br /><br />
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai<br />
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.<br />

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

Beweis: [[Lösung von Aufgabe 12.10]]

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.<br />

Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />
Versuch:<br />
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden.  Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.<br />

===== Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel=====
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />
'''Versuch 1:'''<br />
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden.  Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel <s>kongruent</s> supplementär zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />

Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)

Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)

Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)
<br />Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC)

<br />'''Versuch 2:'''<br />
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden.  Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />
<br />Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind.
<br />Winkel <math> \alpha \ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ a </math> und <math> \ c </math>)
<br />Winkel <math> \beta\ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ b </math> und <math> \ c </math>)
<br />Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>
<br />Wenn <math>a \| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ |\beta| + |\beta'| = 180</math>, gilt auch <math>\ |\alpha| + |\beta| = 180</math>.

<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

Ich denke es ist der Beweis für die Implikation. Da du ja von Parallelen ausgehst und zeigst, dass die Winkel 180 ergeben. Aber oben hast du noch die Umkehrung stehen, das müsste geändert werden.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 10:46, 26. Jul. 2010 (UTC)

'''Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel'''

Anmerkung: kopiert aus Ruprik "Üben...Üben...Üben..."

VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br />
Beh: <math> a \|b </math><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.

'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math>  |\beta| = 180 - |\alpha| </math>  
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math>  |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> 
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>  |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis 
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:30, 24. Jul. 2010 (UTC)