Quelltext der Seite Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks

== Umkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks.

===== Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks) =====
::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

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===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.

'''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks'''
<br />Man muss also beweisen, dass es...
::(1) einen Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten gibt
::(2) GENAU einen Schnittpunkt gibt

Dies findet jedoch nicht in diesen zwei Schritten wie üblich statt, da andere Grundvoraussetzungen geklärt werden müssen.
Zur besseren Veranschaulichung sei die Vorgehensweise:
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)
::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten

Etwas formloser nun ohne Voraussetzung und Behauptung:
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)
:::(I) Die drei Eckpunkte des Dreiecks sind nicht kollinear (Konstruktion eines Dreiecks)
:::(II) Daraus resultieren drei Geraden <math>\ AB, BC, AC</math>, die paarweise nicht identisch sind (I)
:::(III) "Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam."  (Satz I.1)
:::(III)a Keine Seite eines Dreiecks kann parallel zu einer zweiten Seite des Dreiecks sein.
:::(IV) Die Senkrechten auf zwei nicht-identischen, nicht-parallen Geraden schneiden sich (da nur die Senkrechten von parallelen Geraden schnittpunktfrei sind --> die Senkrechte zur Senkrechten einer Gerade ist die Parallele zur Geraden)


::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
:::(I) Alle Punkte <math>P_\mathrm{mb} \in m_b</math> haben selben Abstand zu <math>\ A</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)
:::(II) Alle Punkte <math>P_\mathrm{ma} \in m_a</math> haben selben Abstand zu <math>\ B</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)
:::(III) <math>\ m_b</math> und <math>\ m_a</math> schneiden sich in <math>\ S</math> (Existenz des Schnittpunktes nach Teil (a) bewiesen)
:::(IV) Da <math>S \in m_b \wedge S \in m_a</math> gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math>

::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten
:::(I) Es gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math> nach (b)(IV)
:::(II) Es gilt auch <math>\ |AS| = |BS|</math> nach (I) (Transitivität, Umformung)
:::(III) Es gilt somit auch: <math>S \in m_c</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)

Es existiert genau ein Schnittpunkt!

Muss man die Eindeutigkeit jetzt noch beweisen? Und wenn nicht: warum nicht? 
<br />Noch eine Bonus-Frage: Wieso ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:00, 22. Jul. 2010 (UTC)

<br />Kommentar --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:14, 22. Jul. 2010 (UTC)
Du hast die Eindeutigkeit (m.E.) durch die "Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten" und nach Satz I/1 (Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, so haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.) gegeben. Ich denke, dass man das noch als Kommentar darunter schreiben sollte.