Quelltext der Seite Die abelsche Gruppe der Pfeilklassen 2012 13

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
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=Vorbemerkung=
Ich hab das hier mal alles recht abstrakt zusammen getragen. Sinn macht diese Zusammenstellung erst, wenn sie grafisch mittels dynamischer Geometrie unterlegt wird ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 12. Dez. 2012 (CET)
=Die Menge und die Verknüpfung=
Wir fassen alle Pfeilklassen des Raumes bzw. der Ebene zu jeweils einer Menge zusammen. Als Verknüpfung wählen wir die Addition von Pfeilklassen. Mit <math>\mathbb{P}_2</math> wollen wir die Menge der Pfeilklassen der Ebene bezeichnen, mit <math>\mathbb{P}_3</math> die Menge der Pfeilklassen des Raumes.

=Die Eigenschaften=
==Abgeschlossenheit==
Die Addition zweier Pfeilklassen der Ebene bzw. des Raumes ist wiederum eine Pfeilklasse der Ebene bzw. des Raumes.<br />
<math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{P}_2: \vec{u} + \vec{v} \in \mathbb{P}_2</math><br />
<math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{P}_3: \vec{u} + \vec{v} \in \mathbb{P}_3</math>
==Assoziativität==
<math>\forall \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{P}_2: (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})</math><br />
<math>\forall \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{P}_2: (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})</math>

==Neutrales Element==
<math>\exist \vec{o} \in \mathbb{P}_2 :\forall \vec{v} \in \mathbb{P}_2:\vec{o}+ \vec{v}=\vec{v} + \vec{o}=\vec{v}</math><br />
<math>\exist \vec{o} \in \mathbb{P}_3 :\forall \vec{v} \in \mathbb{P}_3:\vec{o}+ \vec{v}=\vec{v} + \vec{o}=\vec{v}</math><br />

Die Pfeilklasse des Raumes bzw. der Ebene, die den Nullpfeil enthält, leistet das Verlangte.

==Inverse Elemente==
<math>\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_2 \exist  -\vec{u} \in \mathbb{P}_2: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}</math><br />
<math>\forall \vec{u} \in \mathbb{P}_3 \exist  -\vec{u} \in \mathbb{P}_3: \vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{o}</math><br />

Das inverse Element zur Pfeilklasse mit dem Repräsentanten <math>\vec{AB}</math> ist die Pfeilklasse mit dem Repräsentanten <math>\vec{BA}</math>. <br />(Sowohl im Raum als auch in der Ebene).
==Fazit 1==
<math>\left(\mathbb{P}_2, +\right)</math> ist Gruppe,<br />
<math>\left(\mathbb{P}_3, +\right)</math> ist Gruppe,

==Kommutativität==
<math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{P}_2: \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math><br />
<math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{P}_3: \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math>
==Fazit 2==
<math>\left(\mathbb{P}_2, +\right)</math> ist abelsche Gruppe,<br />
<math>\left(\mathbb{P}_3, +\right)</math> ist abelsche Gruppe.

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[[Kategorie:Linalg]]

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