Quelltext der Seite Gruppendefinition (Gleichung)

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
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=Eindeutigkeit des Einslementes=
==Satz 3==
Jede Gruppe hat genau ein Einslement.
==Beweis von Satz 3==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>[G, \odot]</math> eine Einslement <math>e_1</math>. Es bleibt zu zeigen, dass <math>[G, \odot]</math> kein weiteres Einslement <math>e_2</math> hat. Wir nehmen an es gibt <math>e_2</math> mit <math>e_2 \neq e_1</math>. Nach Satz 2 sind <math>e_1</math> und <math>e_2</math> von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung  <math>e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2</math>. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente <math>e_1</math> und <math>e_2</math> (und das sowohl von rechts, wie auch von links) <math>e_1=e_2</math>.
=Eindeutigkeit der inversen Elemente=
==Satz 4==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
==Beweis von Satz 4==
Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />

Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}</math> auf. <br />

<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}</math>.<br />

<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.

=Kürzbarkeit=
==Satz 5==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />
# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>
# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>
==Beweis von Satz 5==
Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit <math>a^{-1}</math> multiplizieren.
=Lösbarkeit der Gleichungen=
==Satz 6==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> sind die Gleichungen 
# <math>a \odot x= b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
jeweils eindeutig lösbar.
==Beweis von Satz 6==
Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
===Existenzbeweis===
Zuerst formen wir <math>a\odot x=b</math> um:

<math>a\odot x=b</math> <math>|\odot a^{-1}</math>

<math>a^{-1}\odot a \odot x = a^{-1} \odot b</math>

<math>e\odot x = a^{-1} \odot b</math>

<math>x = a^{-1} \odot b</math>



<math>x=a^{-1}\odot b</math> setzen wir nun in <math>a\odot x=b</math> ein und formen um: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.

===Eindeutigkeitsbeweis===
Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
=Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe=
==Satz 7==
Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
in <math>[M, \odot ]</math>lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.
==Beweis von Satz 7==
Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element <math>a \in M</math> ein Inverses in <math>M</math> existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen <br />
* <math>a \odot x = e</math> und
* <math>y \odot a = e</math>
lösbar.

Daraus folgt, dass <math>x,y</math> Inverse von <math>a</math> sind, also <math>x=y=a^{-1}</math> (nach Satz 4).

=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=
Die Sätze  6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen 
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
lösbar sind.
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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[[Kategorie:Algebra]]