Quelltext der Seite Serie 4: größere LSG lösen SoSe 2018

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
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=Aufgabe 4.1 SoSe 2018=
Es seien <math>\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z</math> drei Ebenen im <math>\mathbb{R}^3</math>, die genau den Punkt <math>S=(\pi,e,\sqrt{2})</math> gemeinsam haben.<br /> Ferner gelte:<br />

*<math>\varepsilon_x</math> ist parallel zur <math>y-z-</math>Ebene,
*<math>\varepsilon_y</math> ist parallel zur <math>x-z-</math>Ebene,
*<math>\varepsilon_z</math> ist parallel zur <math>x-y-</math>Ebene.

<br />
Beschreiben Sie die drei Ebenen <math>\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z </math> mittels Gleichungen vom Typ <math>ax+by+cz=d</math>.

=Aufgabe 4.2 SoSe 2018=
Geben Sie ein lineares Gleichungssystem vom Typ <br />
<math>\begin{matrix} 
a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\
a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \\
a_{31}x &+& a_{32}y &+& a_{33}z &=& b_3 
\end{matrix}
</math><br />
an, bei dem keiner der Koeffizienten Null ist und das die Lösungsmenge  <math>L=\{(\pi,e,\sqrt{2})\}</math> hat.

=Aufgabe 4.3 SoSe 2018=
Beschreiben Sie die Gerade <math>g:=\{P \vert P=A+t \overrightarrow{r}, t \in \mathbb{R} \}</math> für <math>\overrightarrow{r}:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> und <math>A:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> als Lösungsmenge eines Gleichungssystems vom Typ <br />
<math>\begin{matrix} a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\
a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \end{matrix}</math>.

=Aufgabe 4.5 SoSe 2018=
Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & \vert & 2 \\  3 & 5 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 4 & \vert & 3 \end{pmatrix} </math><br />
Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge:<br />
<math>\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -3 \\  ~ & 1 & ~ & \vert & 4 \\ ~ & ~& 1 & \vert & -\frac{7}{4} \end{pmatrix} </math><br />

=Aufgabe 4.6 SoSe 2018=
Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen:<br />
<math>\begin{pmatrix} 15 & 3 & 7 & \vert & 10 \\  -4 & -10 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 2 & \vert & 11 \end{pmatrix} </math><br />
Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge:<br />
<math>\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -\frac{111}{88} \\  ~ & 1 & ~ & \vert & \frac{3}{2} \\ ~ & ~& 1 & \vert & \frac{307}{88} \end{pmatrix} </math><br />

=Aufgabe 4.7 SoSe 2018=
Gegeben seien die folgenden Punkte <math>A,B,C,D,E,F,H</math>:<br />
<math>
\begin{matrix}
A &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} 
B &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} 
C &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} 
D &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\
E &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
F &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
G &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} 
H &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} 
\end{matrix}
</math><br />

Wir betrachten einen Würfel mit den Eckpunkten <math>A,B,C,D,E,F,G,H</math>.<br />

(a) Beschreiben Sie die Flächen dieses Würfels mittels Gleichungen vom Typ <math>ax+by+cz=d</math>.<br />
(b) Beschreiben Sie die Geraden, die durch die Kanten des Würfels eindeutig bestimmt sind als Lösungsmenge jeweils eines Gleichungssystems.

=Aufgabe 4.8 SoSe 2018=
Wir drehen den Würfel aus Aufgabe 4.7 um die <math>z-</math>Achse mit einem Drehwinkel von <math>45^\circ</math> mathematisch positiv. Dabei werden die Eckpunkte unseres Würfels auf ihre Bilder <math>A',B',C',D',E',F',G',H'</math> abgebildet.<br />
Geben Sie ein LGS an, das die Koordinaten des Punktes <math>D'</math> und nur die Koordinaten des Punktes <math>D'</math> als Lösungsmenge hat.

=Aufgabe 4.9 SoSe 2018=
Wir drehen den gedrehten Würfel aus Aufgabe 4.8 um die <math>y-</math>Achse mit einem Drehwinkel von <math>45^\circ</math> in mathematisch postivem Drehsinn.<br />
Die Punkte <math>A',B',C',D',E',F',G',H'</math> werden jetzt auf die Punkte <math>A'',B'',C'',D'',E'',F'',G'',H''</math> abgebildet.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Form <math>ax+by+cz=d</math> zur Beschreibung des Bildes der Grundfläche <math>\overline{A'',B'',C'',D''}</math> unseres Würfels.

=Aufgabe 4.10 SoSe 2018=
Oberstudienrat Kramer gibt seiner 13a die drei Ebenen <math>\alpha, \beta, \gamma</math> vor, wobei gelte <math>\alpha \cap \beta \cap \gamma = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right \}</math>.<br />
Ferner gibt Oberstudienrat Kramer die folgenden Normalenvektoren der Ebenen vor:<br />
<math>\overrightarrow{n}_\alpha=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{n}_\beta=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{n}_\gamma=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> <br />
Lisa meint, dass das Blödsinn wäre. Hat sie recht oder will sie Oberstudienrat Kramer nur provozieren?
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[[Kategorie:Linalg]]

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