Übung 7 (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Buchner am 31. Mai 2012 um 15:01 Uhr

2012-05-31T15:01:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2012, 15:01 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	== Aufgabe ~~XXX~~ ==		== Aufgabe 7.1 ==
	Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?		Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

Zeile 11:		Zeile 11:


	[[Lösung von Aufgabe ~~XXX~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 7.1_S (SoSe_12)]]
	<br/>		<br/>

	== Aufgabe ~~XXX~~ ==		== Aufgabe 7.2 ==
	[[Bild:konvex02.gif\|links]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />		[[Bild:konvex02.gif\|links]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
	Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br />		Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br />
	Wo liegt XYs Denkfehler?<br />		Wo liegt XYs Denkfehler?<br />
	[[Lösung von Aufgabe ~~XXX~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 7.2_S (SoSe_12)]]

	== Aufgabe ~~XXX~~ ==		== Aufgabe 7.3 ==
	'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.'''<br /><br />		'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.'''<br /><br />
	a) Beweisen Sie den Satz.<br />		a) Beweisen Sie den Satz.<br />
	b) Wie lautet die Kontraposition?<br />		b) Wie lautet die Kontraposition?<br />
	c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.<br />		c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.<br />
	[[Lösung von Aufgabe ~~XXX~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 7.3_S (SoSe_12)]]

	== Aufgabe ~~XXX~~ ==		== Aufgabe 7.4 ==
	Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math><br />		Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math><br />
	("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt).<br />		("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt).<br />
Zeile 34:		Zeile 34:
	<math>\ gQ^{+} := \{P\|...\} </math><br />		<math>\ gQ^{+} := \{P\|...\} </math><br />
	<math>\ gQ^{-} := \{P\|...\}</math> <br />		<math>\ gQ^{-} := \{P\|...\}</math> <br />
	[[Lösung von Aufgabe ~~XXX~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 7.4_S (SoSe_12)]]


	== Aufgabe ~~XXX~~ ==		== Aufgabe 7.5 ==
	Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge.<br />		Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge.<br />
	Es gilt folgender Zusammenhang:<br />		Es gilt folgender Zusammenhang:<br />
Zeile 45:		Zeile 45:
	b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.		b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.

	<br />[[Lösung von Aufgabe ~~XXX~~ (SoSe_12)]]		<br />[[Lösung von Aufgabe 7.5_S (SoSe_12)]]

Buchner am 31. Mai 2012 um 14:58 Uhr

2012-05-31T14:58:21Z

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 [[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
 <br/>
 == Aufgabe XXX ==

Buchner: /* Aufgabe ccc */

2012-05-31T14:55:51Z

Aufgabe ccc

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2012, 14:55 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:

	<br />[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]		<br />[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]


	~~== Aufgabe ccc ==~~
	Beweisen Sie: Ist O ein beliebiger Punkt einer Geraden g und A ein weiterer (von O verschiedener) Punkt dieser Geraden, so gilt für die Halbgeraden <math>\ OA^{+} </math> und <math>\ OA^{-} </math> :<br />
	~~a) <math>\ OA^{+} \cap \ OA^{-} = \{O\} </math> <br />~~
	~~b) <math>\ OA^{+} \cup \ OA^{-} = g </math>~~

	~~[[Lösung von Aufg. ccc]]~~

Buchner am 31. Mai 2012 um 14:54 Uhr

2012-05-31T14:54:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2012, 14:54 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	<br />[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]		<br />[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]

	~~== Aufgabe ccc ==~~
	~~Unter dem Raum <math>\mathbb{P}</math>versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge~~
	<math>\varepsilon \subset \mathbb{P}</math> sei eine Ebene. Gegeben sei ferner <math>\ Q</math> mit <math>Q \in \mathbb{P} \wedge Q \not \in \varepsilon</math>. Definieren Sie die Begriffe Halbraum <math>\varepsilon Q^+</math> und <math>\varepsilon Q^-</math>.
	~~[[Lösung von Aufg. ccc]]~~

	== Aufgabe ccc ==		== Aufgabe ccc ==

Buchner am 24. Mai 2012 um 14:38 Uhr

2012-05-24T14:38:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Mai 2012, 14:38 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	Unter dem Raum <math>\mathbb{P}</math>versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge		Unter dem Raum <math>\mathbb{P}</math>versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge
	<math>\varepsilon \subset \mathbb{P}</math> sei eine Ebene. Gegeben sei ferner <math>\ Q</math> mit <math>Q \in \mathbb{P} \wedge Q \not \in \varepsilon</math>. Definieren Sie die Begriffe Halbraum <math>\varepsilon Q^+</math> und <math>\varepsilon Q^-</math>.		<math>\varepsilon \subset \mathbb{P}</math> sei eine Ebene. Gegeben sei ferner <math>\ Q</math> mit <math>Q \in \mathbb{P} \wedge Q \not \in \varepsilon</math>. Definieren Sie die Begriffe Halbraum <math>\varepsilon Q^+</math> und <math>\varepsilon Q^-</math>.
			[[Lösung von Aufg. ccc]]

			== Aufgabe ccc ==
			Beweisen Sie: Ist O ein beliebiger Punkt einer Geraden g und A ein weiterer (von O verschiedener) Punkt dieser Geraden, so gilt für die Halbgeraden <math>\ OA^{+} </math> und <math>\ OA^{-} </math> :<br />
			a) <math>\ OA^{+} \cap \ OA^{-} = \{O\} </math> <br />
			b) <math>\ OA^{+} \cup \ OA^{-} = g </math>

	[[Lösung von Aufg. ccc]]		[[Lösung von Aufg. ccc]]

Buchner: /* Aufgabe XXX */

2012-05-24T14:14:03Z

Aufgabe XXX

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Zeile 28:		Zeile 28:

	== Aufgabe XXX ==		== Aufgabe XXX ==
			[[Bild:konvex02.gif\|links]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
	Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br />		Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br />
	Wo liegt XYs Denkfehler?<br />		Wo liegt XYs Denkfehler?<br />

Buchner: /* Aufgabe XXX */

2012-05-24T14:12:39Z

Aufgabe XXX

← Nächstältere Version		Version vom 24. Mai 2012, 14:12 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	== Aufgabe XXX ==		== Aufgabe XXX ==
	Die grauen Flächen seien Punktmengen (Teilmengen einer Ebene). Welche Figuren sind konvex? Warum (nicht)?<br />		Die grauen Flächen seien Punktmengen (Teilmengen einer Ebene). Welche Figuren sind konvex? Warum (nicht)?<br />
			[[Bild:konvex01.gif\|links]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
	[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]


	== Aufgabe XXX ==		== Aufgabe XXX ==

Buchner am 24. Mai 2012 um 13:57 Uhr

2012-05-24T13:57:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Mai 2012, 13:57 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:

	== Aufgabe XXX ==		== Aufgabe XXX ==
	~~Definieren~~ Sie Halbebene.		Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math><br />
			("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt).<br />
			'''Definition (offene Halbebene):'''<br />
			:: Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math> bezüglich der Trägergeraden g versteht man die folgenden Teilmengen von E:<br />
			<math>\ gQ^{+} := \{P\|...\} </math><br />
			<math>\ gQ^{-} := \{P\|...\}</math> <br />
	[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]

	~~== Aufgabe XXX ==~~
	~~Definieren Sie Halbraum.~~

	~~[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]~~

	== Aufgabe XXX ==		== Aufgabe XXX ==

Buchner am 24. Mai 2012 um 13:40 Uhr

2012-05-24T13:40:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Mai 2012, 13:40 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:

	<br />[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]		<br />[[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]

			== Aufgabe ccc ==
			Unter dem Raum <math>\mathbb{P}</math>versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge
			<math>\varepsilon \subset \mathbb{P}</math> sei eine Ebene. Gegeben sei ferner <math>\ Q</math> mit <math>Q \in \mathbb{P} \wedge Q \not \in \varepsilon</math>. Definieren Sie die Begriffe Halbraum <math>\varepsilon Q^+</math> und <math>\varepsilon Q^-</math>.
			[[Lösung von Aufg. ccc]]

Buchner am 24. Mai 2012 um 13:37 Uhr

2012-05-24T13:37:55Z

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 [[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]
 <br />
 == Aufgabe XXX ==
@@ Zeile 33: / Zeile 39: @@
 c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.<br />
 [[Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)]]