Übung Aufgaben 2 (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Buchner am 26. April 2012 um 12:36 Uhr

2012-04-26T12:36:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. April 2012, 12:36 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	=Aufgaben zu Definitionen=		=Aufgaben zu Definitionen=

	=Aufgabe 3.4==		==Aufgabe 3.1==
	Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde.<br />		Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde.<br />
	Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.<br />		Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.~~4_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.1_S (SoSe_12)]]

	~~==Aufgabe 3.5==~~
	~~Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift (genetische Definition) für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an.<br />~~
	~~[[Lösung von Aufgabe 3.5_S (SoSe_12)]]~~

	~~==Aufgabe 3.6==~~
	~~Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition? <br />~~
	~~Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks.<br />~~
	~~Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz.<br />~~
	~~[[Lösung von Aufgabe 3.6_S (SoSe_12)]]~~



	=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=		=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=

	==Aufgabe 3.1==		==Aufgabe 3.2==
	Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />		Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
	a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />		a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
	b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />		b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.~~1_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.2_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 3.2==		==Aufgabe 3.3==
	'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.		'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
	'''<br /><br />		'''<br /><br />
Zeile 44:		Zeile 33:
	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

	[[Lösung von Aufgabe 3.~~2_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.3_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 3.3==		==Aufgabe 3.4==
	Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />		Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />
	Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />		Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />
Zeile 53:		Zeile 42:
	a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />		a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.~~3_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.4_S (SoSe_12)]]


	=		==Aufgabe 3.5==
	==Aufgabe 3.7==
	Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind.<br />		Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind.<br />
	a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken.<br />		a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken.<br />
	b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen?<br />		b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen?<br />
	c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />		c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.~~7_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.5_S (SoSe_12)]]


	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]

Buchner am 26. April 2012 um 12:31 Uhr

2012-04-26T12:31:03Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 =Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=
@@ Zeile 36: / Zeile 55: @@
 [[Lösung von Aufgabe 3.3_S (SoSe_12)]]
-==Aufgabe 3.4==
 ==Aufgabe 3.7==
 Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind.<br />

Buchner am 26. April 2012 um 12:03 Uhr

2012-04-26T12:03:43Z

@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 [[Lösung von Aufgabe 3.2_S (SoSe_12)]]
 ==Aufgabe 3.3==
@@ Zeile 36: / Zeile 35: @@
 b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
 [[Lösung von Aufgabe 3.3_S (SoSe_12)]]
 [[Category:Einführung_S]]

Buchner am 26. April 2012 um 11:58 Uhr

2012-04-26T11:58:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. April 2012, 11:58 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=		=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=
	~~==Aufgabe 2.1==~~
	~~Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />~~
	~~a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes?<br />~~
	~~b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).~~
	~~<br />~~
	~~[[Lösung von Aufgabe 2.1_S (SoSe_12)]]~~

	==Aufgabe 2.2==		==Aufgabe 3.1==
			Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
			a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
			b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
			[[Lösung von Aufgabe 3.1_S (SoSe_12)]]

			==Aufgabe 3.2==
	'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.		'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
	'''<br /><br />		'''<br /><br />
Zeile 25:		Zeile 25:
	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

	[[Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.2_S (SoSe_12)]]

	~~==Aufgabe 2.3==~~
	~~a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).<br />~~
	b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?<br />
	~~#<math>\ a \ \\|\| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>~~
	~~#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \\|\| \ b </math>~~
	~~#<math>\\|\alpha \\|\not= \\| \beta \\| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>~~
	~~#<math>\ a \ \\|\| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>~~
	~~[[Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12)]]~~

	~~==Aufgabe 2.4==~~
	~~Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />~~
	~~a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />~~
	~~b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />~~
	~~[[Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12)]]~~

	~~==Aufgabe 2.5==~~
	~~Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />~~

	~~[[Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12)]]~~

	==Aufgabe 2.6==		==Aufgabe 3.3==
	Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />		Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />
	Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />		Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />
Zeile 54:		Zeile 35:
	a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />		a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 2.~~6_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.3_S (SoSe_12)]]


	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]

Buchner am 24. April 2012 um 11:59 Uhr

2012-04-24T11:59:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 11:59 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).		b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
	<br />		<br />
	[[Lösung von Aufgabe 2.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.1_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 2.2==		==Aufgabe 2.2==
Zeile 25:		Zeile 25:
	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

	[[Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 2.3==		==Aufgabe 2.3==
Zeile 34:		Zeile 34:
	#<math>\\|\alpha \\|\not= \\| \beta \\| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>		#<math>\\|\alpha \\|\not= \\| \beta \\| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
	#<math>\ a \ \\|\| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>		#<math>\ a \ \\|\| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
	[[Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 2.4==		==Aufgabe 2.4==
Zeile 40:		Zeile 40:
	a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />		a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
	b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />		b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 2.5==		==Aufgabe 2.5==
	Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />		Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />

	[[Lösung von Aufgabe 2.5 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 2.6==		==Aufgabe 2.6==
Zeile 54:		Zeile 54:
	a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />		a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 2.6 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.6_S (SoSe_12)]]


	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]

Buchner am 24. April 2012 um 11:54 Uhr

2012-04-24T11:54:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 11:54 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:


	[[Category:~~Geometrie_S~~]]		[[Category:Einführung_S]]

Buchner am 24. April 2012 um 11:53 Uhr

2012-04-24T11:53:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 11:53 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:


	[[Category:~~Einführung_Geometrie~~]]		[[Category:Geometrie_S]]

Buchner: /* Aufgabe 2.5 */

2012-04-18T14:31:32Z

Aufgabe 2.5

← Nächstältere Version		Version vom 18. April 2012, 14:31 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	==Aufgabe 2.5==		==Aufgabe 2.5==
	Es ~~seine~~ A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />		Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />

	[[Lösung von Aufgabe 2.5 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.5 (SoSe_12)]]

Buchner: /* Aufgabe 2.2 */

2012-04-17T10:59:27Z

Aufgabe 2.2

← Nächstältere Version		Version vom 17. April 2012, 10:59 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />


	[[Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe_12)]]

Buchner: /* Aufgabe 2.2 */

2012-04-17T10:59:08Z

Aufgabe 2.2

← Nächstältere Version		Version vom 17. April 2012, 10:59 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.		'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
	'''<br /><br />		'''<br /><br />
	'''Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />		'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />

	a)		Beweis 1)
	Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />		Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
	Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />		Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
Zeile 18:		Zeile 18:
	Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.		Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.
	<br /><br />		<br /><br />
	b) Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />		Beweis 2)
			Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
	Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />		Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
	Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />		Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
	c) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />