Übung Aufgaben 3 (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Buchner: /* Aufgabe 4.2 */

2012-05-03T13:05:43Z

Aufgabe 4.2

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 13:05 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:

	==Aufgabe 4.2==		==Aufgabe 4.2==
	{{pdf\|~~Modelle_Inzidenz~~.pdf\| Hier}} finden Sie Aufgabe 4.2.		{{pdf\|Modelle_Inzidenz2.pdf\| Hier}} finden Sie Aufgabe 4.2.

	<br />		<br />

Buchner am 3. Mai 2012 um 12:47 Uhr

2012-05-03T12:47:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:47 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:

	[[Lösung von Aufgabe 4.4_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 4.4_S (SoSe_12)]]
			<br /><br />

	~~== Aufgabe 4.5 ==~~		Weitere Aufgaben auch auf dem Zusatzübungsblatt.<br />

	Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch ~~den Punkt <math>\ P</math> enthält~~.<br />

	~~[[Lösung von Aufgabe 4.5_S (SoSe_12)]]~~




	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

Buchner: /* Aufgabe 4.3 */

2012-05-03T12:41:38Z

Aufgabe 4.3

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:41 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?		# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
	<br />		<br />
	[[Lösung von Aufgabe 4.3_S (SoSe_12)]]<br />		[[Lösung von Aufgabe 4.3_S (SoSe_12)]]<br /><br />

	=Aufgaben zur Inzidenz im Raum=		=Aufgaben zur Inzidenz im Raum=

Buchner: /* Aufgabe 4.5 */

2012-05-03T12:41:17Z

Aufgabe 4.5

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:41 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />		Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />

	[[Lösung von ~~Aufg.~~ 4.5_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 4.5_S (SoSe_12)]]

Buchner: /* Aufgabe 4.4 */

2012-05-03T12:41:08Z

Aufgabe 4.4

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:41 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.		Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

	[[Lösung von ~~Aufg.~~ 4.4_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 4.4_S (SoSe_12)]]


	== Aufgabe 4.5 ==		== Aufgabe 4.5 ==

Buchner: /* Aufgabe 4.3 */

2012-05-03T12:40:59Z

Aufgabe 4.3

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:40 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?		# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
	<br />		<br />
	[[Lösung von ~~Aufg.~~ 4.3_S (SoSe_12)]]<br />		[[Lösung von Aufgabe 4.3_S (SoSe_12)]]<br />

	=Aufgaben zur Inzidenz im Raum=		=Aufgaben zur Inzidenz im Raum=

Buchner am 3. Mai 2012 um 12:40 Uhr

2012-05-03T12:40:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:40 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	== Aufgabe 4.5 ==		== Aufgabe 4.5 ==
	~~<u>'''Satz:'''</u>~~
	~~:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.~~

	~~# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.~~		Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
	~~# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.~~
	~~# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:~~
	~~<u>'''Beweis'''</u>~~
	::Es ~~seien~~ <math>\ ~~A, B, C~~</math> und <math>\ D</math> ~~vier Punkte~~, ~~die~~ nicht ~~komplanar sind.~~
	<u>~~'''zu zeigen'''~~</u>
	:~~: ...~~
	<u>~~'''Annahme:'''~~</u>
	~~::Es gibt drei~~ Punkte von den ~~vier Punkten~~ <math>\ ~~A, B, C, D~~</math>~~, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ..~~.

	[[Lösung von Aufg. 4.5_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufg. 4.5_S (SoSe_12)]]

Buchner: /* Aufgabe 4.3 */

2012-05-03T12:32:06Z

Aufgabe 4.3

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:32 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:

	# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“		# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
	# Beweisen Sie Satz I indirekt.		# Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
	# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.		# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
	# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.		# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
Zeile 29:		Zeile 29:
	<br />		<br />
	[[Lösung von Aufg. 4.3_S (SoSe_12)]]<br />		[[Lösung von Aufg. 4.3_S (SoSe_12)]]<br />


	=Aufgaben zur Inzidenz im Raum=		=Aufgaben zur Inzidenz im Raum=

Buchner: /* Aufgabe 4.2 */

2012-05-03T12:27:08Z

Aufgabe 4.2

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:27 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:

	==Aufgabe 4.2==		==Aufgabe 4.2==
	{{pdf\|Modelle_Inzidenz.pdf\| Hier}} finden Sie Aufgabe 3.2.		{{pdf\|Modelle_Inzidenz.pdf\| Hier}} finden Sie Aufgabe 4.2.

	<br />		<br />

Buchner am 3. Mai 2012 um 12:24 Uhr

2012-05-03T12:24:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 12:24 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	=Aufgaben zur Inzidenz in der Ebene=		=Aufgaben zur Inzidenz in der Ebene=

	==Aufgabe 3.1==		==Aufgabe 4.1==
	Es sei P die Menge der Punkte und G die Menge der Gerade. Wir betrachten folgendes Modell:<br />		Es sei P die Menge der Punkte und G die Menge der Gerade. Wir betrachten folgendes Modell:<br />
	P = {A,B,C,D}<br />		P = {A,B,C,D}<br />
Zeile 9:		Zeile 9:
	b) Sind bei dem Modell die Axiome I.0 bis I.3 erfüllt?<br />		b) Sind bei dem Modell die Axiome I.0 bis I.3 erfüllt?<br />
	<br />		<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 4.1_S (SoSe_12)]]


	==Aufgabe 3.2==		==Aufgabe 4.2==
	{{pdf\|Modelle_Inzidenz.pdf\| Hier}} finden Sie Aufgabe 3.2.		{{pdf\|Modelle_Inzidenz.pdf\| Hier}} finden Sie Aufgabe 3.2.

	<br />		<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 4.2_S (SoSe_12)]]

	== Aufgabe 3.3 ==		== Aufgabe 4.3 ==
	Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.		Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

Zeile 28:		Zeile 28:
	# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?		# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
	<br />		<br />
	[[Lösung von Aufg. 3.3 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufg. 4.3_S (SoSe_12)]]<br />


			=Aufgaben zur Inzidenz im Raum=

			'''Die Inzidenzaxiome können für die Geometrie im Raum erweitert werden. Lesen Sie sich hier die [[Inzidenz im Raum SoSe_12)]] durch, Sie benötigen die Axiome und Definitionen für die folgenden Aufgaben.'''
			<br />


			==Aufgabe 4.4==
			Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

			[[Lösung von Aufg. 4.4_S (SoSe_12)]]


			== Aufgabe 4.5 ==
			<u>'''Satz:'''</u>
			:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

			# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.
			# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.
			# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
			<u>'''Beweis'''</u>
			::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
			<u>'''zu zeigen'''</u>
			:: ...
			<u>'''Annahme:'''</u>
			::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

			[[Lösung von Aufg. 4.5_S (SoSe_12)]]