Übung Aufgaben 3 S (SoSe 12) - Versionsgeschichte

HecklF: /* */

2012-05-09T11:53:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2012, 11:53 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	[[Lösung von Aufgabe 3.6_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.6_S (SoSe_12)]]

	=== ===		== ==
	[[Ideen Aufgabensatz 3 Übung Heckl (SoSe2012)]]		[[Ideen Aufgabensatz 3 Übung Heckl (SoSe2012)]]

	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]

HecklF: /* Aufgabe 3.6 */

2012-05-09T11:53:22Z

Aufgabe 3.6

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2012, 11:53 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	[[Lösung von Aufgabe 3.6_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.6_S (SoSe_12)]]

			=== ===
			[[Ideen Aufgabensatz 3 Übung Heckl (SoSe2012)]]

	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]

Buchner: /* Aufgabe 3.6 */

2012-04-30T11:57:19Z

Aufgabe 3.6

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2012, 11:57 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen?<br />		b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen?<br />
	c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />		c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.~~5_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.6_S (SoSe_12)]]


	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]

Buchner: /* Aufgaben zu Sätzen und Beweisen */

2012-04-30T11:52:22Z

Aufgaben zu Sätzen und Beweisen

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2012, 11:52 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=		=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=

	==Aufgabe 3.2==		==Aufgabe 3.3==
	Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />		Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
	a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />		a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
	b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />		b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.~~2_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.3_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 3.3==		==Aufgabe 3.4==
	'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.		'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
	'''<br /><br />		'''<br /><br />
Zeile 42:		Zeile 42:
	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

	[[Lösung von Aufgabe 3.~~3_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.4_S (SoSe_12)]]

	==Aufgabe 3.4==		==Aufgabe 3.5==
	Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />		Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />
	Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />		Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />
Zeile 51:		Zeile 51:
	a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />		a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
	[[Lösung von Aufgabe 3.~~4_S~~ (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.5_S (SoSe_12)]]


	==Aufgabe 3.5==		==Aufgabe 3.6==
	Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind.<br />		Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind.<br />
	a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken.<br />		a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken.<br />

Buchner: /* Aufgaben zu Definitionen */

2012-04-30T11:51:41Z

Aufgaben zu Definitionen

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2012, 11:51 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	[[Lösung von Aufgabe 3.1_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 3.1_S (SoSe_12)]]

			==Aufgabe 3.2==
			'''a)'''Ergänzen Sie so, dass sowohl die Hin- als auch die Rückrichtung wahr sind:<br />

			Wenn ein Viereck ein/e ... ist, halbieren sich seine Diagonalen.<br />
			Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks halbieren, so ist es ein/e ....<br />

			'''b)'''Formulieren sie eine Äquvalenz.<br />
			'''c)'''Definieren Sie die Vierecksart durch das gefundene Kriterium.<br />
			[[Lösung von Aufgabe 3.2_S (SoSe_12)]]

	=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=		=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=

Buchner: Die Seite wurde neu angelegt: „=Aufgaben zu Definitionen= ==Aufgabe 3.1== Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde.
G…“

2012-04-26T12:44:49Z

Die Seite wurde neu angelegt: „=Aufgaben zu Definitionen= ==Aufgabe 3.1== Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. G…“

Neue Seite

=Aufgaben zu Definitionen=

==Aufgabe 3.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
[[Lösung von Aufgabe 3.1_S (SoSe_12)]]

=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen=

==Aufgabe 3.2==
Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
[[Lösung von Aufgabe 3.2_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 3.3==
'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

[[Lösung von Aufgabe 3.3_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 3.4==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
[[Lösung von Aufgabe 3.4_S (SoSe_12)]]

==Aufgabe 3.5==
Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 
b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 
c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
[[Lösung von Aufgabe 3.5_S (SoSe_12)]]

[[Category:Einführung_S]]