Übung Aufgaben 5 - Versionsgeschichte

Engel82: /* Aufgabe 5.7 */

2010-11-23T14:48:23Z

Aufgabe 5.7

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2010, 14:48 Uhr
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	[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]]<br />		[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]]<br />
	Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an.<br />[[Lösung von Aufgabe 5.7]]		Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an.<br />[[Lösung von Aufgabe 5.7]]

			[[Category:Einführung_Geometrie]]

Schnirch: /* Aufgabe 5.6 */

2010-11-15T13:09:13Z

Aufgabe 5.6

← Nächstältere Version		Version vom 15. November 2010, 13:09 Uhr
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	==Aufgabe 5.6==		==Aufgabe 5.6==
	Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = 0</math>.<br />		Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br />
	a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br />		a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br />
	b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br />		b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br />
	Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />		Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />
	[[Lösung von Aufgabe 5.6]]		[[Lösung von Aufgabe 5.6]]

	~~Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!~~

	==Aufgabe 5.7==		==Aufgabe 5.7==

Tab1909: /* Aufgabe 5.6 */

2010-11-12T17:09:24Z

Aufgabe 5.6

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2010, 17:09 Uhr
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	Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />		Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />
	[[Lösung von Aufgabe 5.6]]		[[Lösung von Aufgabe 5.6]]

			Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!

	==Aufgabe 5.7==		==Aufgabe 5.7==

Engel82: /* Aufgabe 5.1 */

2010-11-10T23:45:01Z

Aufgabe 5.1

← Nächstältere Version		Version vom 10. November 2010, 23:45 Uhr
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	<br />		<br />
	[[Lösung von Aufgabe 5.1]]		[[Lösung von Aufgabe 5.1]]
	~~a) Vor: Die Gerade g schneidet die Strecke BC<br />~~
	~~Beh: so schneidet g entweder die Strecke AB oder AC<br />~~
	~~Kontraposition: Wenn g die Strecke AB und die Strecke AC nicht schneidet, so schneidet sie auch nicht die Strecke BC<br />~~
	~~b) Annahme: Die Gerade g schneidet nicht die Strecke AB und die Strecke AC.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 23:44, 10. Nov. 2010 (UTC)~~

	==Aufgabe 5.2==		==Aufgabe 5.2==

Engel82: /* Aufgabe 5.1 */

2010-11-10T23:44:33Z

Aufgabe 5.1

← Nächstältere Version		Version vom 10. November 2010, 23:44 Uhr
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	[[Lösung von Aufgabe 5.1]]		[[Lösung von Aufgabe 5.1]]
			a) Vor: Die Gerade g schneidet die Strecke BC<br />
			Beh: so schneidet g entweder die Strecke AB oder AC<br />
			Kontraposition: Wenn g die Strecke AB und die Strecke AC nicht schneidet, so schneidet sie auch nicht die Strecke BC<br />
			b) Annahme: Die Gerade g schneidet nicht die Strecke AB und die Strecke AC.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 23:44, 10. Nov. 2010 (UTC)

	==Aufgabe 5.2==		==Aufgabe 5.2==

-XN42-: /* Aufgbe 5.3 */

2010-11-10T18:54:18Z

Aufgbe 5.3

← Nächstältere Version		Version vom 10. November 2010, 18:54 Uhr
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	[[Lösung von Aufgabe 5.2]]		[[Lösung von Aufgabe 5.2]]

	==~~Aufgbe~~ 5.3==		==Aufgabe 5.3==
	Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?<br />		Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?<br />
	*Parallelität von Geraden der Ebene		*Parallelität von Geraden der Ebene

Schnirch: qu

2010-11-10T13:58:46Z

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=Aufgaben zu Sätzen, Beweisen und Relationen=
==Aufgabe 5.1==
Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält. 
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AB}</math> oder die Strecke <math>\overline{AC}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?.
 
[[Lösung von Aufgabe 5.1]]

==Aufgabe 5.2==
Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 
b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 
c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
[[Lösung von Aufgabe 5.2]]

==Aufgbe 5.3==
Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>
[[Lösung von Aufgabe 5.3]]

==Aufgabe 5.4==
In der Schule sprechen wir davon, dass wir Dreiecke 
a) hinsichtlich der Seitenlängen oder 
b) hinsichtlich der Winkelgrößen klassifizieren. 
In welchen der beiden Fälle handelt es sich um eine wirkliche Klasseneinteilung? Argumentieren Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms. 
[[Lösung von Aufgabe 5.4]]

==Aufgabe 5.5==
Gegeben sei eine Gerade ''g'' und ein Punkt ''P'' auf ''g''. Durch diesen Punkt ''P'' wird die Gerade ''g'' in zwei Halbgeraden geteilt. 
a) Warum ist diese Einteilung von ''g'' in die zwei Halbgeraden bezüglich ''P'' keine Klasseneinteilung auf der Menge der Punkte von ''g''? 
b) Geben Sie zwei Klasseneinteilungen auf der Menge der Punkte von ''g'' an, die den Punkt ''P'' und die auf ''g'' durch ''P'' bestimmten Halbgeraden in modifizierter Form verwenden. 
[[Lösung von Aufgabe 5.5]]

==Aufgabe 5.6==
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = 0</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 
[[Lösung von Aufgabe 5.6]]

==Aufgabe 5.7==
Es sei <math>\ \mathfrak{F}</math> die Menge der Figuren der Ebene. Auf <math>\ \mathfrak{F}</math> sei eine Äquivalenzrelation <math>\ \Theta</math> definiert. <math>\ \Theta</math> möge <math>\ \mathfrak{F}</math> derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen:
[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]] 
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an. [[Lösung von Aufgabe 5.7]]