Übung Aufgaben 6 (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Buchner am 22. Mai 2012 um 20:01 Uhr

2012-05-22T20:01:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2012, 20:01 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:
	<br /><br />		<br /><br />
	[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]

	~~= Aufgabe zur Inzidenz =~~
	~~=== Zusatzaufgabe 6.1 ===~~

	Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />

	~~[[Lösung von Zusatzaufgabe 6.1_S (SoSe_12)]]~~

	~~= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =~~
	~~=== Zusatzaufgabe 6.2 ===~~

	~~Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />~~
	~~Beweisen Sie:<br />~~
	~~a) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname Zw (C, B, A) </math><br />~~
	~~b) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname koll (A, B, C) </math><br />~~

	~~[[Lösung von Zusatzaufgabe 6.2_S (SoSe_12)]]~~

	~~=== Zusatzaufgabe 6.3 ===~~

	~~a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />~~
	~~b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?<br />~~
	~~::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />~~

	~~[[Lösung von Zusatzaufgabe 6.3_S (SoSe_12)]]~~

Buchner: /* Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung */

2012-05-22T19:59:11Z

Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2012, 19:59 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	[[Lösung von Aufgabe 6.2_S (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.2_S (SoSe_12)]]

			== Aufgabe 6.3 ==
			Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.<br />
			[[Lösung von Aufgabe 6.3_S (SoSe_12)]]
			<br />
	==Aufgabe 5.2==		==Aufgabe 5.2==
	Diese Aufgabe war letzte Woche noch zu schwer- sorry dafür. Versuchen Sie es diese Woche nochmal.<br />		Diese Aufgabe war letzte Woche noch zu schwer- sorry dafür. Versuchen Sie es diese Woche nochmal.<br />
Zeile 29:		Zeile 32:
	<br /><br />		<br /><br />
	[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]



	= Aufgabe zur Inzidenz =		= Aufgabe zur Inzidenz =

Buchner am 16. Mai 2012 um 15:34 Uhr

2012-05-16T15:34:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2012, 15:34 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)<br />		Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)<br />

	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1_S (SoSe_12)]]

	== Aufgabe 6.1 ==		== Aufgabe 6.2 ==

	Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?<br />		Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?<br />
	Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />		Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />
	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.2_S (SoSe_12)]]


Zeile 37:		Zeile 37:
	Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />		Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />

	[[Lösung von ~~Aufgabe~~ 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Zusatzaufgabe 6.1_S (SoSe_12)]]

	= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =		= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =
	=== Zusatzaufgabe 6.1 ===		=== Zusatzaufgabe 6.2 ===

	Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />		Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />
Zeile 47:		Zeile 47:
	b) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname koll (A, B, C) </math><br />		b) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname koll (A, B, C) </math><br />

	[[Lösung von ~~Aufgabe~~ 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Zusatzaufgabe 6.2_S (SoSe_12)]]

	=== Zusatzaufgabe 6.1 ===		=== Zusatzaufgabe 6.3 ===

	a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />		a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />
Zeile 55:		Zeile 55:
	::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />		::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />

	[[Lösung von ~~Aufgabe~~ 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Zusatzaufgabe 6.3_S (SoSe_12)]]

Buchner am 16. Mai 2012 um 15:07 Uhr

2012-05-16T15:07:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2012, 15:07 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	= ~~Aufgabe~~ zur ~~Inzidenz~~ =		= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =
	=== Aufgabe 6.1 ===		== Aufgabe 6.1 ==

			Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)<br />

			[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

	~~Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört~~. ~~Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />~~		== Aufgabe 6.1 ==

			Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?<br />
			Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />
	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

	~~= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =~~

	==Aufgabe 5.2==		==Aufgabe 5.2==
			Diese Aufgabe war letzte Woche noch zu schwer- sorry dafür. Versuchen Sie es diese Woche nochmal.<br />
	Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br />		Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br />
	<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>		<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>
Zeile 17:		Zeile 23:

	==Aufgabe 5.4==		==Aufgabe 5.4==
			Wie bei 5.2: Versuchen Sie es diese Woche nochmal.<br />
	Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left\| AB \right\| = \frac{1}{4} \left\| AC \right\| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>		Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left\| AB \right\| = \frac{1}{4} \left\| AC \right\| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>
	<br />		<br />
Zeile 23:		Zeile 30:
	[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]

	~~=== Aufgabe 6.1 ===~~

	Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)

	~~[[Lösung von~~ Aufgabe 6.1 ~~(SoSe_12)]]~~		= Aufgabe zur Inzidenz =
			=== Zusatzaufgabe 6.1 ===

	~~=== Aufgabe 6~~.~~1 ===~~		Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />

	~~a) Definieren~~ Sie ~~windschief auf~~ der ~~Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten.~~ <br />
	~~b) Warum ist~~ die ~~folgende Definition sinnlos?~~<br />
	~~::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind~~.<br />

	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

			= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =
	=== ~~Aufgabe~~ 6.1 ===		=== Zusatzaufgabe 6.1 ===

	Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />		Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />
Zeile 47:		Zeile 49:
	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

	=== ~~Aufgabe~~ 6.1 ===		=== Zusatzaufgabe 6.1 ===

	~~Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?<br />~~
	~~Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />~~
	~~[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]~~

	~~=== Aufgabe 6.1 ===~~
	~~== Aufgabe 9.1 ==~~
	~~Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?~~

	~~a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>~~

	~~b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>~~

	~~c) <math>\ AB </math> geschnitten mit dem Kreis um <math>\ A </math> durch <math>\ B </math> =~~

	~~d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>~~

			a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />
			b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?<br />
			::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />

	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

Buchner am 16. Mai 2012 um 14:44 Uhr

2012-05-16T14:44:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2012, 14:44 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===

	Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise kleinschrittig und gut begründet ~~durch~~.<br />		Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />
	Beweisen Sie:<br />		Beweisen Sie:<br />
	a) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname Zw (C, B, A) </math><br />		a) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname Zw (C, B, A) </math><br />
Zeile 49:		Zeile 49:
	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===

	Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?		Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?<br />
	Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />		Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />
	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

Buchner am 16. Mai 2012 um 14:03 Uhr

2012-05-16T14:03:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2012, 14:03 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:

	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===
			== Aufgabe 9.1 ==
			Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

			a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

			b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

			c) <math>\ AB </math> geschnitten mit dem Kreis um <math>\ A </math> durch <math>\ B </math> =

			d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>


	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

Buchner am 16. Mai 2012 um 14:00 Uhr

2012-05-16T14:00:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2012, 14:00 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===

	Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen.		Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)

	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
Zeile 31:		Zeile 31:
	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===

	~~Kommentieren~~ Sie die folgende Definition:<br />		a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />
	Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.		b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?<br />
			::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />

	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
Zeile 39:		Zeile 40:
	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===

	~~Definieren~~ Sie ~~windschief auf der Menge aller Geraden~~ (~~d.h.im Raum~~).		Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise kleinschrittig und gut begründet durch.<br />
			Beweisen Sie:<br />
			a) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname Zw (C, B, A) </math><br />
			b) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname koll (A, B, C) </math><br />

	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
Zeile 45:		Zeile 49:
	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===

	~~Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie~~ die ~~Beweise kleinschrittig und gut begründet durch.<br />~~		Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?
	Beweisen Sie:~~<br />~~		Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />
	a) <math>~~\operatorname Zw (~~A~~, B, C)~~ </math> <math>~~\Rightarrow </math> <math>\operatorname Zw (C,~~ B~~, A)~~ </math>~~<br />~~
	b) <math>\~~operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>~~\~~Rightarrow~~ </math> <math>\~~operatorname koll (A, B, C)~~ </math><br />

	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

	=== Aufgabe 6.1 ===		=== Aufgabe 6.1 ===

	~~Beweisen Sie, dass für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />~~
	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

Buchner am 16. Mai 2012 um 13:08 Uhr

2012-05-16T13:08:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2012, 13:08 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	b) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname koll (A, B, C) </math><br />		b) <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\operatorname koll (A, B, C) </math><br />

			[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

			=== Aufgabe 6.1 ===

			Beweisen Sie, dass für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left\| AB \right\| </math> = <math>\left\| BA \right\| </math><br />
	[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]		[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

Buchner am 16. Mai 2012 um 13:05 Uhr

2012-05-16T13:05:05Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-== Aufgabe zur Inzidenz ==
+= Aufgabe zur Inzidenz =
 === Aufgabe 6.1 ===
@@ Zeile 7: / Zeile 5: @@
 [[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
 === Aufgabe 6.1 ===
@@ Zeile 20: / Zeile 35: @@
 [[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
 [[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
@@ Zeile 25: / Zeile 45: @@
 === Aufgabe 6.1 ===
-Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum).
+Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise kleinschrittig und gut begründet durch.<br />
 [[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

Buchner am 16. Mai 2012 um 12:54 Uhr

2012-05-16T12:54:26Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 == Aufgabe zur Inzidenz ==
@@ Zeile 6: / Zeile 5: @@
 Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
 [[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]