Übungen 09 - Versionsgeschichte

Cplicht: /* Aufgabe 6 */

2013-07-09T08:18:20Z

Aufgabe 6

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2013, 08:18 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:

	==Aufgabe 6==		==Aufgabe 6==
	~~Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=~~<X>.<br />		Austauschlemma: <br />
	<math>		Sei <math>B=(v_1, v_2 .... v_r)</math>Basis und <math>b=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n</math>. Falls <math>\lambda_k \neq 0 </math> ist (für ein <math> k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n)</math>, so ist auch die Menge <math> B'=\{v_1,... v_{k-1}, b, v_{k+1}..., v_n\}</math> eine Basis von V.
	X=\{\~~begin{pmatrix} 0 \\ 1~~ \\0 \\~~-1 \end~~{~~pmatrix};\begin{pmatrix~~} 1 \\ ~~0 \\ 1\~~\~~-2 \end~~{~~pmatrix}; \begin~~{~~pmatrix} -1 \\~~ -~~2 \\ 0\\~~1 ~~\end{pmatrix~~}~~; \begin~~{~~pmatrix} -~~1 ~~\\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix~~}~~; \begin{pmatrix} 1 \\ 0~~ \~~\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix~~} ~~2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.~~</math>~~<br />~~
	~~Gilt <math><X>=\mathbb{R}^4</math>?~~		Beweisen Sie das Lemma.

			(Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.)

	==Aufgabe 7==		==Aufgabe 7==

Cplicht: neue Aufgabe 7

2013-07-09T08:17:05Z

neue Aufgabe 7

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2013, 08:17 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:

	==Aufgabe 7==		==Aufgabe 7==
			Konstruieren Sie eine Basis für den von
			<math>
			v_1 = (1,-2,0,1)\,,\;\, v_2 = (0,0,2,5)\,, \;\, v_3 = (-2,4,2,3)</math>

			erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von <math>{\mathbb R}^4</math>.

Cplicht: /* Aufgabe 7 entfernt, weil doppelt

2013-07-09T08:15:59Z

/* Aufgabe 7 entfernt, weil doppelt

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2013, 08:15 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:

	==Aufgabe 7==		==Aufgabe 7==
	~~Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:<br />~~
	~~a) <math>\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}</math><br />~~
	~~b)<math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}</math>~~

SelOWö: /* Aufgabe 2 */

2013-07-03T12:27:08Z

Aufgabe 2

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juli 2013, 12:27 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	a) Prüfen Sie, ob die Vektoren <math>v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)</math> und <math>v_3 = (3,4,5)</math> ein Erzeugendensystem von<math> {\mathbb R}^3</math> bilden.<br />		a) Prüfen Sie, ob die Vektoren <math>v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)</math> und <math>v_3 = (3,4,5)</math> ein Erzeugendensystem von<math> {\mathbb R}^3</math> bilden.<br />
	b) Untersuchen Sie, für welche <math>t \in {\mathbb R}</math> die Vektoren <math>v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)</math> linear abhängig in <math>{\mathbb R}^3</math> sind.		b) Untersuchen Sie, für welche <math>t \in {\mathbb R}</math> die Vektoren <math>v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)</math> linear abhängig in <math>{\mathbb R}^3</math> sind.


	~~zu b)~~
	~~ich habe raus, dass für t=50/6 die Vektoren linear unabhängig sind, das heißt für t ungleich 50/6 sind sie linear abhängig. Stimmt das?~~

	==Aufgabe 3==		==Aufgabe 3==

SelOWö: /* Aufgabe 2 */

2013-07-03T12:26:43Z

Aufgabe 2

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juli 2013, 12:26 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	a) Prüfen Sie, ob die Vektoren <math>v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)</math> und <math>v_3 = (3,4,5)</math> ein Erzeugendensystem von<math> {\mathbb R}^3</math> bilden.<br />		a) Prüfen Sie, ob die Vektoren <math>v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)</math> und <math>v_3 = (3,4,5)</math> ein Erzeugendensystem von<math> {\mathbb R}^3</math> bilden.<br />
	b) Untersuchen Sie, für welche <math>t \in {\mathbb R}</math> die Vektoren <math>v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)</math> linear abhängig in <math>{\mathbb R}^3</math> sind.		b) Untersuchen Sie, für welche <math>t \in {\mathbb R}</math> die Vektoren <math>v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)</math> linear abhängig in <math>{\mathbb R}^3</math> sind.


			zu b)
			ich habe raus, dass für t=50/6 die Vektoren linear unabhängig sind, das heißt für t ungleich 50/6 sind sie linear abhängig. Stimmt das?

	==Aufgabe 3==		==Aufgabe 3==

Cplicht: /* Aufgabe 7 */

2013-07-02T10:25:48Z

Aufgabe 7

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2013, 10:25 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	a) <math>\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}</math><br />		a) <math>\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}</math><br />
	b)<math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}</math>		b)<math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}</math>




			<!--- hier drunter nichts eintragen --->
			[[Kategorie:Linalg]]

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2013-07-02T10:25:16Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 1== Zeigen Sie, dass die Vektoren <math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\\-1 \end…“

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==Aufgabe 1==

Zeigen Sie, dass die Vektoren <math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}</math>, <math>\vec{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix}</math> linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

== Aufgabe 2==
a) Prüfen Sie, ob die Vektoren <math>v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)</math> und <math>v_3 = (3,4,5)</math> ein Erzeugendensystem von<math> {\mathbb R}^3</math> bilden. 
b) Untersuchen Sie, für welche <math>t \in {\mathbb R}</math> die Vektoren <math>v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)</math> linear abhängig in <math>{\mathbb R}^3</math> sind.

==Aufgabe 3==
Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>. 
<math>
X=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.</math> 
Gilt <math><X>=\mathbb{R}^4</math>?

==Aufgabe 4==
Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an: 
a) <math>\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}</math> 
b)<math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}</math>

==Aufgabe 5 ==
Sei V ein reeler Vektorraum und <math>a,b,c,d, e \in V</math>. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind: 
<math>v_1=a+b+c</math>, <math>v_2=2a+2b+2c-d</math>, <math>v_3=a-b-e</math>, <math>v_4=5a+6b-c+d+e</math>, <math>v_5=a-c+3e</math>, <math>v_6=a+b+d+e</math>

==Aufgabe 6==
Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>. 
<math>
X=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.</math> 
Gilt <math><X>=\mathbb{R}^4</math>?

==Aufgabe 7==
Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an: 
a) <math>\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}</math> 
b)<math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}</math>

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Cplicht: /* Aufgabe 6 */

Cplicht: neue Aufgabe 7

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SelOWö: /* Aufgabe 2 */

SelOWö: /* Aufgabe 2 */

Cplicht: /* Aufgabe 7 */

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