Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Aufgabe 2.7 */

2018-05-01T14:29:39Z

Aufgabe 2.7

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 14:29 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>e \in G</math> das Linkseinselement von <math>[ G, \circ]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch das Rechtseinselement von <math>[ G, \circ]</math>.		Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>e \in G</math> das Linkseinselement von <math>[ G, \circ]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch das Rechtseinselement von <math>[ G, \circ]</math>.
	=Aufgabe 2.7=		=Aufgabe 2.7=
	~~beweisen~~ Sie die Eindeutigkeit des Einselementes für Gruppen.		Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Einselementes für Gruppen.
			=Aufgabe 2.8=
			Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Gruppenelement genau ein inverses Element.[\mat
			=Aufgabe 2.9=
			Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>[G, \circ]</math> sind die Gleichungen <br />
			<math>\begin{align} a \circ x &= b \\ y \circ a &= b \end{align}</math><br />
			eindeutig Lösbar.
			=Aufgabe 2.10=
			In jeder Gruppe sind die in Aufgabe 2.9 genannten Gleichungen immer eindeutig lösbar. In den Modulen der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation bzw. mit der Addition sind die genannten Gleichungen nicht immer lösbar. Eine Gemeinsamkeit bzgl. der Lösbarkeit der Gleichungen haben diese Module allerdings mit Gruppen gemeinsam. Welche? Diese Eigenschaft heißt im übrigen Regularität. <math>[\mathbb{N}, + ]</math> und <math>[\mathbb{N}, \cdot ]</math> sind kommutative, reguläre Halbgruppen mit Einslement.
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Aufgabe 2.6 */

2018-05-01T14:19:20Z

Aufgabe 2.6

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 14:19 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	=Aufgabe 2.6=		=Aufgabe 2.6=
	Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>e \in G</math> das Linkseinselement von <math>[ G, \circ]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch das Rechtseinselement von <math>[ G, \circ]</math>.		Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>e \in G</math> das Linkseinselement von <math>[ G, \circ]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch das Rechtseinselement von <math>[ G, \circ]</math>.
			=Aufgabe 2.7=
			beweisen Sie die Eindeutigkeit des Einselementes für Gruppen.
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Aufgabe 2.5 */

2018-05-01T14:18:15Z

Aufgabe 2.5

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 14:18 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	=Aufgabe 2.5=		=Aufgabe 2.5=
	Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>b\in G </math> das Rechtsinverse zu <math>a \in G</math> ist, dann ist <math>b</math> auch das Linksinverse von <math>a</math> bzgl. <math>\circ</math>.		Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>b\in G </math> das Rechtsinverse zu <math>a \in G</math> ist, dann ist <math>b</math> auch das Linksinverse von <math>a</math> bzgl. <math>\circ</math>.
			=Aufgabe 2.6=
			Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>e \in G</math> das Linkseinselement von <math>[ G, \circ]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch das Rechtseinselement von <math>[ G, \circ]</math>.
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Aufgabe 2.4 */

2018-05-01T14:16:06Z

Aufgabe 2.4

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 14:16 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	=Aufgabe 2.4=		=Aufgabe 2.4=
	Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen.		Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen.
			=Aufgabe 2.5=
			Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>b\in G </math> das Rechtsinverse zu <math>a \in G</math> ist, dann ist <math>b</math> auch das Linksinverse von <math>a</math> bzgl. <math>\circ</math>.
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 1. Mai 2018 um 14:09 Uhr

2018-05-01T14:09:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 14:09 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	Beweisen Sie <math>a</math> muss das Inverse von <math>b</math> und <math>b</math> muss das Inverse von <math>a</math> sein.<br />		Beweisen Sie <math>a</math> muss das Inverse von <math>b</math> und <math>b</math> muss das Inverse von <math>a</math> sein.<br />
	Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen?		Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen?
			=Aufgabe 2.4=
			Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Aufgabe 2.3 */

2018-05-01T14:07:15Z

Aufgabe 2.3

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 14:07 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:

	=Aufgabe 2.3=		=Aufgabe 2.3=
			Es sei <math>\left [ \left \{ e, a, b \right \}, \circ \right ]</math> eine Gruppe mit dem Einselement <math>e</math>.<br />
			Beweisen Sie <math>a</math> muss das Inverse von <math>b</math> und <math>b</math> muss das Inverse von <math>a</math> sein.<br />
			Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen?

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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Aufgabe 2.2 */

2018-05-01T14:02:39Z

Aufgabe 2.2

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:

	=Aufgabe 2.2=		=Aufgabe 2.2=
			Bestimmen Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe <math>\left [ \mathbb{Z}_3, \oplus \right ].</math> (Restklassen modulo 3, mit Restklassenadddition). Vergleichen Sie mit der Gruppentafel aus Aufgabe 2.1.

			=Aufgabe 2.3=
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Aufgabe 2.1 */

2018-05-01T13:59:20Z

Aufgabe 2.1

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 13:59 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	Bestimmen Sie <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> derart, dass <math>DD_\Delta</math> eine Gruppe ist. Die Operation <math>\circ</math> ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen.<br />		Bestimmen Sie <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> derart, dass <math>DD_\Delta</math> eine Gruppe ist. Die Operation <math>\circ</math> ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen.<br />
	<br />		<br />
	Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix <math>M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}</math> geben Sie z.B. wie folgt ein:<br />		Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix <br />
	<math>M= \left \{ \left \{ -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \} , \left \{ \frac{1}{2} \sqrt{3} , -\frac{1}{2} \sqrt{3} \right \} \right \}</math>. Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa <math>P=(0,1)</math> ein. Lassen Sie nun <math>M * P</math> berechnen. Es wird eine Bildpunkt von <math>P</math> berechnet ... .		<math>M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}</math><br />geben Sie z.B. wie folgt ein:<br />
			<math>M= \left \{ \left \{ -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \} , \left \{ \frac{1}{2} \sqrt{3} , -\frac{1}{2} \sqrt{3} \right \} \right \}</math>. <br />
			Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa <math>P=(0,1)</math> ein. Lassen Sie nun <math>M * P</math> berechnen. Es wird eine Bildpunkt von <math>P</math> berechnet ... .

	=Aufgabe 2.2=		=Aufgabe 2.2=

m.g.: /* Aufgabe 2.1 */

2018-05-01T13:57:49Z

Aufgabe 2.1

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 13:57 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	<br />		<br />
	Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix <math>M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}</math> geben Sie z.B. wie folgt ein:<br />		Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix <math>M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}</math> geben Sie z.B. wie folgt ein:<br />
	<math>M= \left \{ \left \{ -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \} , \left \{ \frac{1}{2} \sqrt{3} , -\frac{1}{2} \sqrt{3} \right \} \right \} </math>		<math>M= \left \{ \left \{ -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \} , \left \{ \frac{1}{2} \sqrt{3} , -\frac{1}{2} \sqrt{3} \right \} \right \}</math>. Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa <math>P=(0,1)</math> ein. Lassen Sie nun <math>M * P</math> berechnen. Es wird eine Bildpunkt von <math>P</math> berechnet ... .

	=Aufgabe 2.2=		=Aufgabe 2.2=

m.g.: /* Aufgabe 2.1 */

2018-05-01T13:54:59Z

Aufgabe 2.1

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2018, 13:54 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Gegeben sei <math>DD_\Delta:=\left [ \left \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right \}, \circ \right ]</math>. <br /> <math>~</math> <br />		Gegeben sei <math>DD_\Delta:=\left [ \left \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right \}, \circ \right ]</math>. <br /> <math>~</math> <br />

	Bestimmen Sie <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> derart, dass <math>DD_\Delta</math> eine Gruppe ist. Die Operation <math>\circ</math> ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen.		Bestimmen Sie <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> derart, dass <math>DD_\Delta</math> eine Gruppe ist. Die Operation <math>\circ</math> ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen.<br />
			<br />
			Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix <math>M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}</math> geben Sie z.B. wie folgt ein:<br />
			<math>M= \left \{ \left \{ -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \} , \left \{ \frac{1}{2} \sqrt{3} , -\frac{1}{2} \sqrt{3} \right \} \right \} </math>

	=Aufgabe 2.2=		=Aufgabe 2.2=

Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018 - Versionsgeschichte

*m.g.*: /* Aufgabe 2.7 */

*m.g.*: /* Aufgabe 2.6 */

*m.g.*: /* Aufgabe 2.5 */

*m.g.*: /* Aufgabe 2.4 */

*m.g.* am 1. Mai 2018 um 14:09 Uhr

*m.g.*: /* Aufgabe 2.3 */

*m.g.*: /* Aufgabe 2.2 */

*m.g.*: /* Aufgabe 2.1 */

*m.g.*: /* Aufgabe 2.1 */

*m.g.*: /* Aufgabe 2.1 */

m.g.: /* Aufgabe 2.7 */

m.g.: /* Aufgabe 2.6 */

m.g.: /* Aufgabe 2.5 */

m.g.: /* Aufgabe 2.4 */

m.g. am 1. Mai 2018 um 14:09 Uhr

m.g.: /* Aufgabe 2.3 */

m.g.: /* Aufgabe 2.2 */

m.g.: /* Aufgabe 2.1 */

m.g.: /* Aufgabe 2.1 */

m.g.: /* Aufgabe 2.1 */