Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2019 - Versionsgeschichte

m.g. am 18. Juni 2019 um 12:53 Uhr

2019-06-18T12:53:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2019, 12:53 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	=Aufgabe 7=		=Aufgabe 7=
	Wir definieren <math>G:=\{(g,g,g)\|g\in \mathbb{N}, 0 \leq g \leq 255 \}</math>. Beweisen Sie: <math>[G, \oplus]</math> ist Untergruppe von <math>[F, \oplus]</math>.		Wir definieren <math>G:=\{(g,g,g)\|g\in \mathbb{N}, 0 \leq g \leq 255 \}</math>. Beweisen Sie: <math>[G, \oplus]</math> ist Untergruppe von <math>[F, \oplus]</math>.
			=Aufgabe 8=
			Bestimmen Sie die Ordnungen der beiden Gruppen aus den Aufgaben 6 und 7. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz von Lagrange.
			=Aufgabe 9=
			Geben Sie drei weitere Untergruppen von <math>[F, \oplus]</math> an.
			=Aufgabe 10=
			Es sei <math>Q</math> die Menge aller quadratischen Funktionen vom Typ <math>y=ax^2</math>. Wir definieren für alle Funktionen dieses Typs eine Addition <math>\oplus</math> wie folgt: <math>y=a_1x^2 \oplus y=a_2x^2 := y=(a_1+a_2)x^2</math>. Beweisen oder widerlegen Sie:<br />
			<math>[Q, \oplus]</math> ist eine Gruppe.
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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 18. Juni 2019 um 12:43 Uhr

2019-06-18T12:43:23Z

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Zeile 22:		Zeile 22:
	Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe		Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe
	=Aufgabe 7=		=Aufgabe 7=
			Wir definieren <math>G:=\{(g,g,g)\|g\in \mathbb{N}, 0 \leq g \leq 255 \}</math>. Beweisen Sie: <math>[G, \oplus]</math> ist Untergruppe von <math>[F, \oplus]</math>.
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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 18. Juni 2019 um 12:39 Uhr

2019-06-18T12:39:39Z

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Zeile 19:		Zeile 19:
	Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung <math>4</math> hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.		Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung <math>4</math> hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.
	=Aufgabe 6=		=Aufgabe 6=
	Wir definieren <math>F:=\{(r,g,b)\|0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}</math>. Auf <math>F</math> legen wir eine Operation <math>\oplus</math> wie folgt fest: <math>\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )</math>.		Wir definieren <math>F:=\{(r,g,b)\|r,g,b \in \mathbb{N}, 0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}</math>. Auf <math>F</math> legen wir eine Operation <math>\oplus</math> wie folgt fest: <math>\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )</math>.
	Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe		Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe
			=Aufgabe 7=
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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 18. Juni 2019 um 12:37 Uhr

2019-06-18T12:37:57Z

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Zeile 13:		Zeile 13:
	# <math>\forall a \in U : a^{-1} \in U</math>.		# <math>\forall a \in U : a^{-1} \in U</math>.
	Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1		Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1
			=Aufgabe 4=
			Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind.<br />
			Geben Sie 3 konkrete Kleinsche Viergruppen an, und betten Sie diese als ein Untergruppe in jeweils eine Obergruppe ein.
			=Aufgabe 5=
			Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung <math>4</math> hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.
			=Aufgabe 6=
			Wir definieren <math>F:=\{(r,g,b)\|0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}</math>. Auf <math>F</math> legen wir eine Operation <math>\oplus</math> wie folgt fest: <math>\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )</math>.
			Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe

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m.g. am 18. Juni 2019 um 12:15 Uhr

2019-06-18T12:15:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2019, 12:15 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	=Aufgabe 02=		=Aufgabe 02=
	Es sei <math>\mathbb{P}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx</math> beschreibbar sind <math>(m\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{P}, \circ]</math> ist eine Untergruppe von <math>[\mathbb{L}, \circ]</math>.		Es sei <math>\mathbb{P}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx</math> beschreibbar sind <math>(m\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{P}, \circ]</math> ist eine Untergruppe von <math>[\mathbb{L}, \circ]</math>.
			=Aufgabe 03=
			Untergruppenkriterium 1:<br />
			Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math>. <math>[U, \circ]</math> ist Untergruppe von <math>[G, \circ] \Leftrightarrow </math><br />
			# <math>\forall a, b \in U: a \circ b \in U</math>,
			# <math>\forall a \in U : a^{-1} \in U</math>.
			Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1

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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Aufgabe 01 */

2019-06-18T12:09:00Z

Aufgabe 01

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2019, 12:09 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Es sei <math>\mathbb{L}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx+n</math> beschreibbar sind <math>(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{L}, \circ]</math> ist eine Gruppe. <br />		Es sei <math>\mathbb{L}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx+n</math> beschreibbar sind <math>(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{L}, \circ]</math> ist eine Gruppe. <br />
	Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen.		Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen.
			=Aufgabe 02=
			Es sei <math>\mathbb{P}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx</math> beschreibbar sind <math>(m\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{P}, \circ]</math> ist eine Untergruppe von <math>[\mathbb{L}, \circ]</math>.
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=Aufgabe 01=
Es sei <math>\mathbb{L}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx+n</math> beschreibbar sind <math>(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{L}, \circ]</math> ist eine Gruppe. <br />
Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen.

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[[Kategorie:Algebra]]

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*m.g.* am 18. Juni 2019 um 12:15 Uhr

*m.g.*: /* Aufgabe 01 */