Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 4 SoSe 2018 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Aufgabe 4.10 */

2018-05-13T10:40:47Z

Aufgabe 4.10

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 10:40 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:

	=Aufgabe 4.10=		=Aufgabe 4.10=
			Es sei <math>[\mathbb{Z}, +]</math> die Gruppe der ganzen Zahlen bezüglich der üblichen Addition auf <math>\mathbb{Z}</math>. <math>[2\mathbb{Z}, +]</math> sei die Gruppe der geraden Ganzen Zahlen bzgl. der üblichen Addition auf <math>\mathbb{Z}</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>2\mathbb{Z}</math>: <math>\forall a \in \mathbb{Z}: \varphi (a):=a+a</math>. <br />
			(a) Beweisen Sie: <math>\varphi</math> ist eine Bijektion<br />
			(b) <math>\forall a,b \in \mathbb{Z}: \varphi (a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)</math>.

	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

m.g.: /* Aufgabe 4.9 */

2018-05-13T10:30:38Z

Aufgabe 4.9

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 10:30 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:

	=Aufgabe 4.9=		=Aufgabe 4.9=
			Beweisen Sie: Jede zyklische Gruppe ist abelsch.

	=Aufgabe 4.10=		=Aufgabe 4.10=

m.g.: /* Aufgabe 4.8 */

2018-05-13T10:29:36Z

Aufgabe 4.8

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 10:29 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:

	=Aufgabe 4.8=		=Aufgabe 4.8=
	Wir betrachten <math>[\mathbb{R}, +]</math>, die additive Gruppe der reellen Zahlen. Unter <math>a^n, n\in \mathbb{Z}</math> verstehen wir somit das <math>n-</math>malige Aufaddieren von <math>a \in \mathbb{R}</math>. <math>a^-1</math> ist damit das inverse Element von <math>a</math> bzgl. der Addition reeller Zahlen.<br />		Wir betrachten <math>[\mathbb{R}, +]</math>, die additive Gruppe der reellen Zahlen. Unter <math>a^n, n\in \mathbb{Z}</math> verstehen wir somit das <math>n-</math>malige Aufaddieren von <math>a \in \mathbb{R}</math>. <math>a^{-1}</math> ist damit das inverse Element von <math>a</math> bzgl. der Addition reeller Zahlen.<br />
	Mittels dieser Potenzierung definieren wir für den <math>\mathbb{R}^2</math>: <math>\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{Z}: (a,b)^n:=(a^n,b^n)</math>.<br />		Mittels dieser Potenzierung definieren wir für den <math>\mathbb{R}^2</math>: <math>\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{Z}: (a,b)^n:=(a^n,b^n)</math>.<br />

m.g.: /* Aufgabe 4.8 */

2018-05-13T10:29:00Z

Aufgabe 4.8

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 10:29 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:

	=Aufgabe 4.8=		=Aufgabe 4.8=
			Wir betrachten <math>[\mathbb{R}, +]</math>, die additive Gruppe der reellen Zahlen. Unter <math>a^n, n\in \mathbb{Z}</math> verstehen wir somit das <math>n-</math>malige Aufaddieren von <math>a \in \mathbb{R}</math>. <math>a^-1</math> ist damit das inverse Element von <math>a</math> bzgl. der Addition reeller Zahlen.<br />
			Mittels dieser Potenzierung definieren wir für den <math>\mathbb{R}^2</math>: <math>\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{Z}: (a,b)^n:=(a^n,b^n)</math>.<br />

			Es sei <math>V_{12}:= \left \{(\sqrt{2},2)^n \vert n \in \mathbb{Z} \right \}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\left [V_{12},\oplus \right ]</math> eine abelsche Gruppe ist. Unter <math>\oplus</math> verstehen wir dabei die übliche additive Verknüpfung von Elementen des <math>\mathbb{R}^2</math>.

	=Aufgabe 4.9=		=Aufgabe 4.9=

m.g.: /* Aufgabe 4.7 */

2018-05-13T10:04:18Z

Aufgabe 4.7

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 10:04 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:

	=Aufgabe 4.7=		=Aufgabe 4.7=
			Nennen Sie eine multiplikative zyklische Gruppe, die genau vier erzeugende Elemente hat.

	=Aufgabe 4.8=		=Aufgabe 4.8=

m.g.: /* Aufgabe 4.6 */

2018-05-13T09:59:52Z

Aufgabe 4.6

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 09:59 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:

	=Aufgabe 4.6=		=Aufgabe 4.6=
			Beweisen Sie: Die multiplikative Restklassengruppe modulo <math>7</math> ist zyklisch. Nennen Sie alle erzeugenden Elemente dieser Gruppe.

	=Aufgabe 4.7=		=Aufgabe 4.7=

m.g.: /* Aufgabe 4.5 */

2018-05-13T09:53:01Z

Aufgabe 4.5

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 09:53 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:

	=Aufgabe 4.5=		=Aufgabe 4.5=
			Es sei <math>\mathbb{Q}^+</math> die Menge aller Äquivalenzklassen <math>\overline{(a,b)}</math> in die <math>\mathbb{B}</math> durch <math>=_q</math> eingeteilt wird. Wir definieren <math>\overline{(a,b)} \odot \overline{(c,d)} := \overline{(ac,bd)}</math>. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{Q}^+, \odot]</math> ist abelsche Gruppe.

	=Aufgabe 4.6=		=Aufgabe 4.6=

m.g.: /* Aufgabe 4.4 */

2018-05-13T09:47:58Z

Aufgabe 4.4

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 09:47 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:

	=Aufgabe 4.4=		=Aufgabe 4.4=
	Es sei <math>\mathbb{N}</math> die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl <math>0</math>. Wir definieren <math>\mathbb{Q}^+:= \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>. Auf <math>\mathbb{Q}^+</math> definieren wir die folgende Relation quotientengleich <math>=_q</math>: <math>\forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{Q}^+: (a,b)=_q(c,d) :\Leftrightarrow ad=bc</math>. Beweisen Sie <math>=_q</math> ist eine Äquivalenzrelation.		Es sei <math>\mathbb{N}</math> die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl <math>0</math>. Wir definieren <math>\mathbb{B}:= \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>. Auf <math>\mathbb{B}</math> definieren wir die folgende Relation quotientengleich <math>=_q</math>: <math>\forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{B}: (a,b)=_q(c,d) :\Leftrightarrow ad=bc</math>. Beweisen Sie <math>=_q</math> ist eine Äquivalenzrelation.

	=Aufgabe 4.5=		=Aufgabe 4.5=

m.g.: /* Aufgabe 4.4 */

2018-05-13T09:46:04Z

Aufgabe 4.4

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 09:46 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:

	=Aufgabe 4.4=		=Aufgabe 4.4=
			Es sei <math>\mathbb{N}</math> die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl <math>0</math>. Wir definieren <math>\mathbb{Q}^+:= \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>. Auf <math>\mathbb{Q}^+</math> definieren wir die folgende Relation quotientengleich <math>=_q</math>: <math>\forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{Q}^+: (a,b)=_q(c,d) :\Leftrightarrow ad=bc</math>. Beweisen Sie <math>=_q</math> ist eine Äquivalenzrelation.

	=Aufgabe 4.5=		=Aufgabe 4.5=

m.g.: /* Aufgabe 4.2 */

2018-05-13T09:39:14Z

Aufgabe 4.2

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2018, 09:39 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	=Aufgabe 4.2=		=Aufgabe 4.2=
	Die Gleichung <math>a_2x+b_2y=c_2</math> ist eine Linearkombination der Gleichung <math>a_1x+b_1y=c_1</math>, wenn eine Zahl <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> derart existiert,		Die Gleichung <math>a_2x+b_2y=c_2</math> ist eine ''Linearkombination'' der Gleichung <math>a_1x+b_1y=c_1</math>, wenn eine Zahl <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> derart existiert,
	dass <br />		dass <br />
	<math>\begin{matrix} \lambda a_1 &=& a_2 \\ \lambda b_1 &=& b_2 \\ \lambda c_1 &=& c_2 \end{matrix}</math> <br />		<math>\begin{matrix} \lambda a_1 &=& a_2 \\ \lambda b_1 &=& b_2 \\ \lambda c_1 &=& c_2 \end{matrix}</math> <br />
	gilt.<br />		gilt.<br />
	(a) Beweisen Sie: Die Relation Gleichung b ist Linearkombination von Gleichung a ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Gleichungen vom Typ <math>ax +by=c</math>.<br />		(a) Beweisen Sie: Die Relation ''Gleichung b ist Linearkombination von Gleichung a'' ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Gleichungen vom Typ <math>ax +by=c</math>.<br />
	(b) Interpretieren Sie die Relation geometrisch.		(b) Interpretieren Sie die Relation geometrisch.

Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 4 SoSe 2018 - Versionsgeschichte

*m.g.*: /* Aufgabe 4.10 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.9 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.8 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.8 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.7 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.6 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.5 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.4 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.4 */

*m.g.*: /* Aufgabe 4.2 */

m.g.: /* Aufgabe 4.10 */

m.g.: /* Aufgabe 4.9 */

m.g.: /* Aufgabe 4.8 */

m.g.: /* Aufgabe 4.8 */

m.g.: /* Aufgabe 4.7 */

m.g.: /* Aufgabe 4.6 */

m.g.: /* Aufgabe 4.5 */

m.g.: /* Aufgabe 4.4 */

m.g.: /* Aufgabe 4.4 */

m.g.: /* Aufgabe 4.2 */