Abstände und Strecken SoSe 13 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

2014-11-21T10:35:52Z

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2014, 10:35 Uhr
Zeile 115:		Zeile 115:
	Die Definition in formalerer Schreibweise:(Ergänzen Sie selbst)<br />		Die Definition in formalerer Schreibweise:(Ergänzen Sie selbst)<br />

	* <math>\left\| \overline{AB} \right\| := </math>		* <math>\left\| \overline{AB} \right\| := \left\| AB \right\|</math>

m.g.: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

2014-11-21T10:33:47Z

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2014, 10:33 Uhr
Zeile 109:		Zeile 109:

	==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====		==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
	::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen.		::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, vereinigt mit der Menge der Punkte A und B. Die Punkte A und B heißen Endpunkte von <math>\overline{AB}</math>.

	==== Definition II.4: (Länge einer Strecke)====		==== Definition II.4: (Länge einer Strecke)====

m.g.: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

2014-11-21T10:31:11Z

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2014, 10:31 Uhr
Zeile 109:		Zeile 109:

	==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====		==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
	::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. .~~.. (Ergänzen Sie selbst)~~		::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen.



	==== Definition II.4: (Länge einer Strecke)====		==== Definition II.4: (Länge einer Strecke)====

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

2013-05-30T16:27:38Z

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2013, 16:27 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:

	::Falls <math>\operatorname{Koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::Falls <math>\operatorname{Koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
	::<math>		::::<math>
	\begin{matrix}		\begin{matrix}
	\left\| AB \right\| & + & \left\| BC \right\| & = & \left\| AC \right\| \\		\left\| AB \right\| & + & \left\| BC \right\| & = & \left\| AC \right\| \\

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

2013-05-30T16:27:27Z

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2013, 16:27 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left\|AB \right\|+ \left\| BC \right\| \geq \left\| AC \right\|.</math>		::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left\|AB \right\|+ \left\| BC \right\| \geq \left\| AC \right\|.</math>

	::Falls <math>\operatorname{~~koll~~} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::Falls <math>\operatorname{Koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
	<math>		::<math>
	\begin{matrix}		\begin{matrix}
	\left\| AB \right\| & + & \left\| BC \right\| & = & \left\| AC \right\| \\		\left\| AB \right\| & + & \left\| BC \right\| & = & \left\| AC \right\| \\

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

2013-05-30T16:26:42Z

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2013, 16:26 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
	<math>		<math>
	\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\|~~<br />~~		\begin{matrix}
	\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\|~~<br />~~		\left\| AB \right\| & + & \left\| BC \right\| & = & \left\| AC \right\| \\
	\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\|~~<br />~~		\left\| AC \right\| & + & \left\| CB \right\| & = & \left\| AB \right\| \\
			\left\| BA \right\| & + & \left\| AC \right\| & = & \left\| BC \right\|
			\end{matrix}
	</math><br />		</math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.		::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

m.g.: /* Beweis von Satz II.3: */

2013-05-30T16:16:34Z

Beweis von Satz II.3:

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2013, 16:16 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:

	===== Beweis von Satz II.3: =====		===== Beweis von Satz II.3: =====
	~~Übungsaufgabe 6~~.~~1 hilft, den Beweis zu führen~~. ~~Viel Erfolg dabei~~.~~--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 15:41, 30. Nov. 2012 (CET)~~		...

	= Der Begriff der Strecke=		= Der Begriff der Strecke=

m.g.: /* Axiom II.1: (Abstandsaxiom) */

2013-05-30T16:15:43Z

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2013, 16:15 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:

	===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====		===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
	:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\~~Longleftrightarrow~~ A=B</math>.		:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

	===== Definition II.1: (Abstand) =====		===== Definition II.1: (Abstand) =====

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

2013-05-30T16:14:55Z

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2013, 16:14 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
	<math>		<math>
	\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| &= \left\| AC \right\|<br />		\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\|<br />
	\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| &= \left\| AB \right\|<br />		\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\|<br />
	\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| &= \left\| BC \right\|<br />		\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\|<br />

	</math><br />		</math><br />

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

2013-05-30T16:14:29Z

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2013, 16:14 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:

	::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
	<math> ~~\begin{align*}~~		<math>
	\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| &= \left\| AC \right\|		\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| &= \left\| AC \right\|<br />
	\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| &= \left\| AB \right\|		\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| &= \left\| AB \right\|<br />
	\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| &= \left\| BC \right\|		\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| &= \left\| BC \right\|<br />
	~~\end{align}~~
	</math><br />		</math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.		::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

Abstände und Strecken SoSe 13 - Versionsgeschichte

*m.g.*: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

*m.g.*: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

*m.g.*: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

*m.g.*: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Beweis von Satz II.3: */

*m.g.*: /* Axiom II.1: (Abstandsaxiom) */

*m.g.*: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

m.g.: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

m.g.: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Beweis von Satz II.3: */

m.g.: /* Axiom II.1: (Abstandsaxiom) */

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) */