Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012) - Versionsgeschichte

Buchner am 15. Mai 2012 um 11:53 Uhr

2012-05-15T11:53:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:53 Uhr
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	:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left\| AB \right\| = \left\| BA \right\|</math>.		:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left\| AB \right\| = \left\| BA \right\|</math>.
	<br />		<br />
	<br /><br /><br /><br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
	=== Aufgabe ===		=== Aufgabe ===
	Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />		Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />
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	b) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 2''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 3''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 5'''<br /><br />		b) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 2''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 3''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 5'''<br /><br />
	c) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 1''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 2''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 5'''<br /><br />		c) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 1''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 2''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 5'''<br /><br />
	<br /><br /><br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

	=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===		=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
Zeile 30:		Zeile 30:
	::::<math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math><br />		::::<math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.		::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
	<br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br />

	=== Definitionen und Sätze ===		=== Definitionen und Sätze ===

Zeile 40:		Zeile 41:

	::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>		::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
	<br /><br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br />

	Es gelten die folgenden Sätze:		Es gelten die folgenden Sätze:
Zeile 57:		Zeile 58:
	===== Beweis von Satz II.3: =====		===== Beweis von Satz II.3: =====
	Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?		Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
	<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

			= Strecken und Halbgeraden =
			<br />
	<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" 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	<br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br />

	===Aufgabe===		===Aufgabe===

Buchner: /* Beweis von Satz II.3: */

2012-05-15T11:49:53Z

Beweis von Satz II.3:

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:49 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?		Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
	<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

			<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
			<br /><br />

	===Aufgabe===		===Aufgabe===

Buchner: /* Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

2012-05-15T11:42:31Z

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:42 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:

	===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====		===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
	:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)		::Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): ......(ergänzen Sie)
			::Definition (Halbgerade <math>AB^-</math>): ......(ergänzen Sie)

Buchner am 15. Mai 2012 um 11:38 Uhr

2012-05-15T11:38:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:38 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	::::<math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math><br />		::::<math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.		::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
	<br />		<br /><br />
	=== Definitionen und Sätze ===		=== Definitionen und Sätze ===

Zeile 40:		Zeile 40:

	::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>		::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
	<br /><br />		<br /><br /><br />
	~~Unmittelbar einsichtig sind~~ die folgenden ~~beiden~~ Sätze:
			Es gelten die folgenden Sätze:

	===== Satz II.1 =====		===== Satz II.1 =====
	::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.		::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

	~~===== Beweis von Satz II.1 =====~~
	~~:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)~~


	===== Satz II.2: =====		===== Satz II.2: =====
	::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.		::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

	~~===== Beweis von Satz II.2 =====~~
	~~:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)~~


Zeile 62:		Zeile 57:
	===== Beweis von Satz II.3: =====		===== Beweis von Satz II.3: =====
	Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?		Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
			<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

	====Aufgabe====		===Aufgabe===
	Definieren Sie:		Definieren Sie:

Zeile 73:		Zeile 69:
	::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)		::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

	~~= Halbgeraden bzw. Strahlen =~~

	===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====		===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
	:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)		:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)

Buchner: /* Der Begriff der Strecke */

2012-05-15T11:34:23Z

Der Begriff der Strecke

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:34 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?		Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?

	= ~~Der Begriff der Strecke~~=		====Aufgabe====
			Definieren Sie:

	===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====		===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
	::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)		::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Buchner: /* Beweis von Satz II.3: */

2012-05-15T11:32:29Z

Beweis von Satz II.3:

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:32 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:

	===== Beweis von Satz II.3: =====		===== Beweis von Satz II.3: =====
	Übungsaufgabe 5.1		Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?

	= Der Begriff der Strecke=		= Der Begriff der Strecke=

Buchner: /* Definition II.2: (Zwischenrelation) */

2012-05-15T11:31:20Z

Definition II.2: (Zwischenrelation)

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:31 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:

	::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>		::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
			<br /><br />
	Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:		Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Buchner: /* Definition II.2: (Zwischenrelation) */

2012-05-15T11:28:05Z

Definition II.2: (Zwischenrelation)

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 11:28 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:

	===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====		===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
	::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math> ~~gilt~~ und ~~der Punkt~~ <math>\ B</math> ~~sowohl von~~ <math>\ A</math> ~~als auch von~~ <math>\ C</math> verschieden ~~ist~~.		::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt:<br />

			::* <math> \left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math> und
			::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

	::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>		::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Buchner am 15. Mai 2012 um 10:05 Uhr

2012-05-15T10:05:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 10:05 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	::::<math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math><br />		::::<math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.		::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
			<br />
			=== Definitionen und Sätze ===

			===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
			::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

			::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

			Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

			===== Satz II.1 =====
			::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

			===== Beweis von Satz II.1 =====
			:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)


			===== Satz II.2: =====
			::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

			===== Beweis von Satz II.2 =====
			:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)


			===== Satz II.3 =====
			::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

			===== Beweis von Satz II.3: =====
			Übungsaufgabe 5.1

			= Der Begriff der Strecke=
			===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
			::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


			===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
			::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

			= Halbgeraden bzw. Strahlen =

			===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
			:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)

Buchner: /* Aufgabe */

2012-05-15T09:42:45Z

Aufgabe

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 09:42 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	=== Aufgabe ===		=== Aufgabe ===
	Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />		Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />
	a) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 5''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 3''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 4'''<br /><br />		a) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 4''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 3''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 5'''<br /><br />
	b) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 5''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 3''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 2'''<br /><br />		b) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 2''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 3''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 5'''<br /><br />
	c) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 5''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 2''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 1'''<br /><br />		c) <math>\left\| AB \right\| </math> '''= 1''', <math>\left\| BC \right\|</math> ''' = 2''', <math>\left\| AC \right\|</math> ''' = 5'''<br /><br />
	<br /><br /><br /><br />		<br /><br /><br /><br />