Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen - Versionsgeschichte

m.g.: /* Beispiel 1 */

2018-05-09T12:00:01Z

Beispiel 1

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2018, 12:00 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	====Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0====		====Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0====
	=====Beispiel 1=====		=====Beispiel 1=====
	*<math>z=0</math>		<math>z=0</math>, <math>a=2</math>, <math>c=\frac{3}{5}</math>, <math>d=1</math><br />
	*<math>a=2</math>
	*<math>c=\frac{3}{5}</math>
	*<math>d=1</math>
	Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math><br />		Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math><br />
	Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem:<br />		Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem:<br />
Zeile 37:		Zeile 35:
	Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der		Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der
	<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.		<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.

	====Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0 ====		====Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0 ====

m.g. am 9. Mai 2018 um 11:59 Uhr

2018-05-09T11:59:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2018, 11:59 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der		Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der
	<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.		<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.
			====Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0 ====

	====Ebene!====		====Ebene!====

m.g.: /* Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0 */

2018-05-09T11:57:22Z

Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 * Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x + 0y + \pi z = 0</math> ist die <math>x-y-</math>Ebene.
 ====Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0====
 ====Ebene!====

m.g. am 9. Mai 2018 um 11:41 Uhr

2018-05-09T11:41:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2018, 11:41 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3}</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>x-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( 0, \frac{35}{9} \right )</math> geht.		* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3}</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>x-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( 0, \frac{35}{9} \right )</math> geht.
	* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x + 0y + \pi z = 0</math> ist die <math>x-y-</math>Ebene.		* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x + 0y + \pi z = 0</math> ist die <math>x-y-</math>Ebene.
			====Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0====

			====Ebene!====
	'''Satz:'''<br />		'''Satz:'''<br />
	:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />		:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />

	~~Spezialfälle~~

m.g.: /* Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d */

2018-05-09T11:30:32Z

Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2018, 11:30 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:

	===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===		===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===
			====Gerade?====
	Es seien <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b, c</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />		Es seien <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b, c</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
	<math>x,y,z \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />		<math>x,y,z \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
	(I) <math>ax+by+cz=d</math>		<math>ax+by+cz=d</math><br />
			Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ <math>ax+by=c</math> ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren.
			Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung <math>ax+by+cz=d</math> alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum <math>\mathbb{R}^3</math> zu interpretieren. Dem ist aber nicht so:<br />
			====Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0====
			Sei etwa nur der Koeffizient <math>a</math> verschieden von <math>0</math>. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu <math>ax=d</math>. Umgestellt nach <math>x</math> ergibt sich <math>x=\frac{d}{a}</math>. Alle geordneten Tripel <math>\left (\frac{d}{a}, y, z \right )</math> aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> genügen damit unserer Gleichung.<br />
			Unklar? Wir können die Gleichung auch als <math>ax+0y+0z=d</math> bzw. <math>x + 0y + 0z = \frac{d}{a}</math> schreiben.<br />
			Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene <math>\varepsilon</math> interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist:
			* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>2x + 0y+ 0z = 3</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>y-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( \frac{3}{2} \right )</math> geht.
			* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3}</math> sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur <math>x-z-</math>Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten <math>\left ( 0, \frac{35}{9} \right )</math> geht.
			* Die Lösungsmenge der Gleichung <math>0x + 0y + \pi z = 0</math> ist die <math>x-y-</math>Ebene.

	'''Satz 2:'''<br />		'''Satz:'''<br />
	:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />		:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />

			Spezialfälle

m.g. am 9. Mai 2018 um 10:18 Uhr

2018-05-09T10:18:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2018, 10:18 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	\| valign="top" \|		\| valign="top" \|
	<!--- hier drüber nichts eintragen --->		<!--- hier drüber nichts eintragen --->
			===Allgemeine lineare Gleichung ax + by + cz = d===



	===ax + by + cz = d===
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}

m.g.: /* Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d */

2018-05-09T10:17:02Z

Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2018, 10:17 Uhr
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	===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===		===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===
	Es seien <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />		Es seien <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b, c</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
	<math>x,y \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />		<math>x,y,z \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
	(I) <math>ax+by+cz=d</math>		(I) <math>ax+by+cz=d</math>

m.g.: Die Seite wurde neu angelegt: „
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2018-05-09T10:16:02Z

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===ax + by + cz = d===
<math>
\begin{align}
ax+by+cz=d \\
a, b, c, d \in \mathbb{R} \\
x, y, z \in \mathbb{R},
\end{align}
</math><br />

===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d===
Es seien <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
<math>x,y \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
(I) <math>ax+by+cz=d</math>

'''Satz 2:'''<br />
:Die Gleichung (II) <math>ax+by+cz=d</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />


[[Kategorie:Linalg]]

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Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen - Versionsgeschichte

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