Astroiden - Versionsgeschichte

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2018-07-21T13:36:09Z

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	~~<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">~~
	~~{\|width=90%\| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"~~
	~~\| valign="top" \|~~
	~~<!--- hier drüber nichts eintragen --->~~
	~~=Parameterdarstellungen=~~
	~~==Aufgabe 3.1==~~
	~~Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:<br />~~

	<ggb_applet width="603" height="627" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br /><br />
	(a) Was muss für <math>R</math> (Radius des großen, festen Kreises), <math>r</math> (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und <math>d</math> (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt <math>M_k</math> des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?<br /><br />
	(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich <math>M_k</math> der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel <math>\varphi</math>, dessen Schenkel die positive <math>x-</math>Achse und der Strahl <math>MM_k^+</math> sind.<br /><br />
	(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem <math>KS'</math>derart mitgeführt wird, dass die Achsen von <math>KS'</math> immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von <math>KS'</math> sei <math>M_k</math>:<br /><br />
	<ggb_applet width="603" height="627" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />
	Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt <math>P</math> bezüglich <math>KS'</math> beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge <math>\psi</math>die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist.<br /><br />
	~~(d) Drücken Sie <math>\psi</math> mittels <math>\varphi</math> aus.<br /><br />~~
	~~(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide <math>a</math> an.<br /><br />~~
	~~(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.<br /><br /><br />~~

	~~==Aufgabe 3.1 - Lösung==~~


	~~==Aufgabe 3.2==~~
	Es seien <math>R \in \mathbb{N}</math> und <math>r \in \mathbb{N}</math> die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist.<br /><br />
	~~==Aufgabe 3.2 - Lösung==~~
	Zunächst ist es wichtig zu wissen, dass man von einer geschlossenen Hypozykloide spricht, sobald der Punkt, dessen Position beim Abrollen die Hypozykloide beschreibt, wieder auf seiner Startposition ist.<br /><br />
	~~Es sei <math>U_g</math> der Umfang des großen Kreises und <math>U_k</math> der Umfang des kleinen Kreises. Es gilt:<br />~~
	~~<math>U_g=2\pi R</math> und <math>U_k=2\pi r</math> mit <math>R \in \mathbb{N}</math> und <math>r \in \mathbb{N}</math><br /><br />~~
	~~<math>mU_g=nU_k</math> mit <math>m \in \mathbb{N}</math> und <math>n \in \mathbb{N}</math><br /><br />~~
	~~<math>m2\pi R=n2\pi r</math><br /><br />~~
	~~<math>mR=nr</math><br /><br />~~
	~~Das kgV(R,r) gibt also die Anzahl der benötigten Umdrehungen an.<br /><br />~~
	~~--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 16:59, 11. Dez. 2012 (CET)<br /><br />~~

	~~==Aufgabe 3.3==~~
	Es sei <math>P</math> eine Punktmasse, die sich in der Ebene <math>\varepsilon</math> gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius <math>r</math> um den Punkt <math>M \in \varepsilon</math> bewegt. Es gilt <math>\omega = \frac{\|\varphi\|}{t}</math>. Unter <math>\omega</math> versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei <math>\|\varphi\|</math> die Größe des überstrichenen Winkels und <math>t</math> die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. <math>P</math> möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich <math>P</math> bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit <math>t</math>.
	~~=gerichtete Größen, Vektoren=~~
	~~==Aufgabe 3.4==~~
	~~Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen?~~


	~~<!--- hier drunter nichts eintragen --->~~
	~~[[Kategorie:Linalg]]~~

	\|}
	~~</div>~~

m.g.: /* Aufgabe 3.1 */

2018-07-21T13:04:30Z

Aufgabe 3.1

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2018, 13:04 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	==Aufgabe 3.1==		==Aufgabe 3.1==
	Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:<br />		Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:<br />

	<ggb_applet width="603" height="627" version="4.0" 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	(a) Was muss für <math>R</math> (Radius des großen, festen Kreises), <math>r</math> (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und <math>d</math> (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt <math>M_k</math> des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?<br /><br />		(a) Was muss für <math>R</math> (Radius des großen, festen Kreises), <math>r</math> (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und <math>d</math> (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt <math>M_k</math> des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?<br /><br />
Zeile 15:		Zeile 16:
	(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide <math>a</math> an.<br /><br />		(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide <math>a</math> an.<br /><br />
	(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.<br /><br /><br />		(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.<br /><br /><br />

	==Aufgabe 3.1 - Lösung==		==Aufgabe 3.1 - Lösung==

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2018-07-21T13:03:53Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;"> {|width=90%| style="backgro…“

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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

=Parameterdarstellungen=
==Aufgabe 3.1==
Astroiden sind spezielle Hypozykloiden: 
<ggb_applet width="603" height="627" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
(a) Was muss für <math>R</math> (Radius des großen, festen Kreises), <math>r</math> (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und <math>d</math> (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt <math>M_k</math> des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht? 
(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich <math>M_k</math> der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel <math>\varphi</math>, dessen Schenkel die positive <math>x-</math>Achse und der Strahl <math>MM_k^+</math> sind. 
(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem <math>KS'</math>derart mitgeführt wird, dass die Achsen von <math>KS'</math> immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von <math>KS'</math> sei <math>M_k</math>: 
<ggb_applet width="603" height="627" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt <math>P</math> bezüglich <math>KS'</math> beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge <math>\psi</math>die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist. 
(d) Drücken Sie <math>\psi</math> mittels <math>\varphi</math> aus. 
(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide <math>a</math> an. 
(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an. 
==Aufgabe 3.1 - Lösung==

==Aufgabe 3.2==
Es seien <math>R \in \mathbb{N}</math> und <math>r \in \mathbb{N}</math> die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist. 
==Aufgabe 3.2 - Lösung==
Zunächst ist es wichtig zu wissen, dass man von einer geschlossenen Hypozykloide spricht, sobald der Punkt, dessen Position beim Abrollen die Hypozykloide beschreibt, wieder auf seiner Startposition ist. 
Es sei <math>U_g</math> der Umfang des großen Kreises und <math>U_k</math> der Umfang des kleinen Kreises. Es gilt: 
<math>U_g=2\pi R</math> und <math>U_k=2\pi r</math> mit <math>R \in \mathbb{N}</math> und <math>r \in \mathbb{N}</math> 
<math>mU_g=nU_k</math> mit <math>m \in \mathbb{N}</math> und <math>n \in \mathbb{N}</math> 
<math>m2\pi R=n2\pi r</math> 
<math>mR=nr</math> 
Das kgV(R,r) gibt also die Anzahl der benötigten Umdrehungen an. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 16:59, 11. Dez. 2012 (CET) 

==Aufgabe 3.3==
Es sei <math>P</math> eine Punktmasse, die sich in der Ebene <math>\varepsilon</math> gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius <math>r</math> um den Punkt <math>M \in \varepsilon</math> bewegt. Es gilt <math>\omega = \frac{|\varphi|}{t}</math>. Unter <math>\omega</math> versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei <math>|\varphi|</math> die Größe des überstrichenen Winkels und <math>t</math> die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. <math>P</math> möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich <math>P</math> bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit <math>t</math>.
=gerichtete Größen, Vektoren=
==Aufgabe 3.4==
Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen?


[[Kategorie:Linalg]]

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Astroiden - Versionsgeschichte

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