Buchner: /* Aufgabe */

2012-05-15T14:58:35Z

Aufgabe

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	::'''Definition''' (parallel auf der Menge der Geraden im Raum):<br />		::'''Definition''' (parallel auf der Menge der Geraden im Raum):<br />
	::Zwei Geraden g und h heißen parallel zueinander, wenn alle Punkte von g ein- und denselben Abstand zu h haben.		::Zwei Geraden g und h heißen parallel zueinander, wenn alle Punkte von g ein- und denselben Abstand zu h haben.
			<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

	= Der Abstand zweier Punkte =		= Der Abstand zweier Punkte =

Buchner: /* Aufgabe */

2012-05-15T14:58:10Z

Aufgabe

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	'''Bitte definieren Sie...'''<br />		'''Bitte definieren Sie...'''<br />

	* Gruppe '''Fenster: "parallel auf der Menge der Geraden"'''		* Gruppe '''Fenster: "parallel auf der Menge der Geraden im Raum"'''
	* Gruppe '''Mitte Nähe Fenster: "parallel auf der Menge der Ebenen"'''		* Gruppe '''Mitte Nähe Fenster: "parallel auf der Menge der Ebenen im Raum"'''
	* Gruppe '''Mitte Nähe Wand: "windschief auf der Menge der Geraden"'''		* Gruppe '''Mitte Nähe Wand: "windschief auf der Menge der Geraden im Raum"'''
	* Gruppe '''Wand: "windschief auf der Menge der Ebenen"'''		* Gruppe '''Wand: "windschief auf der Menge der Ebenen im Raum"'''
	<br />		<br />
	~~Berabeitungszeit~~: 3 Minuten. ~~Los geht´s!~~		Bearbeitungszeit: 3 Minuten.
	<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />		<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

			'''Was halten Sie von der folgenden Definition?'''<br />
			::'''Definition''' (parallel auf der Menge der Geraden im Raum):<br />
			::Zwei Geraden g und h heißen parallel zueinander, wenn alle Punkte von g ein- und denselben Abstand zu h haben.

	= Der Abstand zweier Punkte =		= Der Abstand zweier Punkte =

Buchner: /* Aufgabe */

2012-05-15T12:07:12Z

Aufgabe

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2012, 12:07 Uhr
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	<br />		<br />
	Berabeitungszeit: 3 Minuten. Los geht´s!		Berabeitungszeit: 3 Minuten. Los geht´s!
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	= Der Abstand zweier Punkte =		= Der Abstand zweier Punkte =

Buchner am 15. Mai 2012 um 12:06 Uhr

2012-05-15T12:06:39Z

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			== Aufgabe ==

			Wir teilen den Vorlesungsraum in '''4 Gruppen''':<br />
			Gruppe "Fenster", Gruppe "Mitte Nähe Fenster", Gruppe "Mitte Nähe Wand", Gruppe "Wand".<br /><br />

			'''Bitte definieren Sie...'''<br />

			* Gruppe '''Fenster: "parallel auf der Menge der Geraden"'''
			* Gruppe '''Mitte Nähe Fenster: "parallel auf der Menge der Ebenen"'''
			* Gruppe '''Mitte Nähe Wand: "windschief auf der Menge der Geraden"'''
			* Gruppe '''Wand: "windschief auf der Menge der Ebenen"'''
			<br />
			Berabeitungszeit: 3 Minuten. Los geht´s!


	= Der Abstand zweier Punkte =		= Der Abstand zweier Punkte =
	=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===		=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

Buchner: Die Seite wurde neu angelegt: „= Der Abstand zweier Punkte = === Die ersten beiden Abstandsaxiome === ===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) ===== :Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ …“$

2012-05-15T12:02:38Z

Die Seite wurde neu angelegt: „= Der Abstand zweier Punkte = === Die ersten beiden Abstandsaxiome === ===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) ===== :Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ …“

Neue Seite

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>. 

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
 
 
=== Aufgabe ===
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt: 
a) <math>\left| AB \right| </math> '''= 4''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5''' 
b) <math>\left| AB \right| </math> '''= 2''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5''' 
c) <math>\left| AB \right| </math> '''= 1''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 2''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5''' 
 

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
 

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
 

Es gelten die folgenden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
 

= Strecken und Halbgeraden =
 
<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 

===Aufgabe===
Definieren Sie:

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): ......(ergänzen Sie)
::Definition (Halbgerade <math>AB^-</math>): ......(ergänzen Sie)

Aus der Vorlesung vom 15.05.2012 - Versionsgeschichte

Buchner: /* Aufgabe */

Buchner: /* Aufgabe */

Buchner: /* Aufgabe */

Buchner am 15. Mai 2012 um 12:06 Uhr

Buchner: Die Seite wurde neu angelegt: „= Der Abstand zweier Punkte = === Die ersten beiden Abstandsaxiome === ===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) ===== :Zu je zwei Punkten \ A und \ …“

Buchner: Die Seite wurde neu angelegt: „= Der Abstand zweier Punkte = === Die ersten beiden Abstandsaxiome === ===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) ===== :Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ …“$