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2018-06-10T11:01:11Z

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| valign="top" |

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math> g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\omega</math> mit <math> 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\varepsilon</math> genau einen Strahl <math>SB^+</math> mit <math> \omega = \left| \angle ASB \right|</math>

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== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ====
<br /><br />
Vor.:<math>P</math> im inneren<math> \angle ASB</math> <br />
<math>P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}</math> <br />
Beh.:<math>\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right|</math><br />

Versuchen Sie es selbst!

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Wenn ein Winkel die Größe 90 hat, dann ist er ein rechter Winkel.

==== Beweis von Satz V.3====
Das können Sie selbst!

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==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Das können Sie selbst!

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br />
Ergänzen Sie:

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Übung

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