Bewegungen (2011/12) - Versionsgeschichte

HecklF: /* Beweis von Satz 1.5: */

2011-10-26T20:35:46Z

Beweis von Satz 1.5:

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2011, 20:35 Uhr
Zeile 164:		Zeile 164:
	<br />		<br />
	Voraussetzung: <math>\angle ASB</math>, Bewegung <math>\beta</math>, <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />		Voraussetzung: <math>\angle ASB</math>, Bewegung <math>\beta</math>, <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
	Behauptung: <math>\angle ASB</math> = <math>\beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />		Behauptung: <math>\angle ASB</math> = <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
	<br /> Direkte Beweisführung <br /><br />		<br /> Direkte Beweisführung <br /><br />
	Wir nehmen an, ASB ist ein Dreieck. Nach der Definition von Bewegung und der Voraussetzung entsteht mit <math>~~\angle~~ \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> ein Dreieck, dessen Seiten jeweils gleich lang sind, wie diejenigen des ursprünglichen Dreiecks ABC. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind nun beide Dreiecke kongruent. Demnach ist nach der Definition von Kongruenz auch jeder Winkel des ursprünglichen gleich den Winkeln des Bildes dieses Dreiecks.		Wir nehmen an, ASB ist ein Dreieck. Nach der Definition von Bewegung und der Voraussetzung entsteht mit <math> \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> ein Dreieck, dessen Seiten jeweils gleich lang sind, wie diejenigen des ursprünglichen Dreiecks ABC. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind nun beide Dreiecke kongruent. Demnach ist nach der Definition von Kongruenz auch jeder Winkel des ursprünglichen gleich den Winkeln des Bildes dieses Dreiecks.
	<br />		<br />
	--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:59, 20. Okt. 2011 (CEST)		--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:59, 20. Okt. 2011 (CEST)

	[[Category:Elementargeometrie]]		[[Category:Elementargeometrie]]

HecklF: /* Beweis von Satz 1.5: */

2011-10-26T20:34:40Z

Beweis von Satz 1.5:

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2011, 20:34 Uhr
Zeile 164:		Zeile 164:
	<br />		<br />
	Voraussetzung: <math>\angle ASB</math>, Bewegung <math>\beta</math>, <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />		Voraussetzung: <math>\angle ASB</math>, Bewegung <math>\beta</math>, <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
	Behauptung: <math>\angle ASB</math> = <math>~~\angle~~ \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />		Behauptung: <math>\angle ASB</math> = <math>\beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
	<br /> Direkte Beweisführung <br /><br />		<br /> Direkte Beweisführung <br /><br />
	Wir nehmen an, ASB ist ein Dreieck. Nach der Definition von Bewegung und der Voraussetzung entsteht mit <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> ein Dreieck, dessen Seiten jeweils gleich lang sind, wie diejenigen des ursprünglichen Dreiecks ABC. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind nun beide Dreiecke kongruent. Demnach ist nach der Definition von Kongruenz auch jeder Winkel des ursprünglichen gleich den Winkeln des Bildes dieses Dreiecks.		Wir nehmen an, ASB ist ein Dreieck. Nach der Definition von Bewegung und der Voraussetzung entsteht mit <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> ein Dreieck, dessen Seiten jeweils gleich lang sind, wie diejenigen des ursprünglichen Dreiecks ABC. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind nun beide Dreiecke kongruent. Demnach ist nach der Definition von Kongruenz auch jeder Winkel des ursprünglichen gleich den Winkeln des Bildes dieses Dreiecks.

HecklF: /* Beweis von Satz 1.4: */

2011-10-26T20:31:18Z

Beweis von Satz 1.4:

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2011, 20:31 Uhr
Zeile 145:		Zeile 145:
	Behauptung: <math>A'B'</math> ist das Bild von <math>AB</math>		Behauptung: <math>A'B'</math> ist das Bild von <math>AB</math>

	...		Ich möchte den "Beweis" führen für die Strecke (also für (c)), da daraus sowohl Halbgerade und Gerade direkt ableitbar sind:
			<br />
			<br />
			Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}</math> sowie eine Bewegung <math>\beta</math> <br />
			Behauptung: <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'} </math> <br />
			<br />
			Sei P ein beliebiger Punkt auf \|AB\|, sodass gilt: <math>\operatorname(Zw) (A, P, B)</math> <br />
			Nach Satz 1.4 bleiben die Abstände dieser Punkte nach einer Bewegung erhalten. Es gilt: <math>\operatorname(Zw) (A, P, B) = \operatorname(Zw) (A', P', B')</math><br />
			Nach Definition Zwischenrelation gilt nun: <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'}</math> --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 22:31, 26. Okt. 2011 (CEST)

	===== Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)=====		===== Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)=====

HecklF: /* Injektivität */

2011-10-26T19:53:48Z

Injektivität

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2011, 19:53 Uhr
Zeile 109:		Zeile 109:
	<br />		<br />
	<br />		<br />
	Ne, entschuldige, mein Fehler. Ich hatte nicht gemerkt, dass du mit <math>d(\beta(P),\beta(Q))</math> die Bildpunkte bezeichnest - alles klar. --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 21:52, 26. Okt. 2011 (CEST)		Ne, entschuldige, mein Fehler. Ich hatte nicht gemerkt, dass du mit <math>\beta(P) und \beta(Q)</math> die Bildpunkte bezeichnest - alles klar. --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 21:52, 26. Okt. 2011 (CEST)

	===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====		===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====

HecklF: /* Injektivität */

2011-10-26T19:52:53Z

Injektivität

← Nächstältere Version		Version vom 26. Oktober 2011, 19:52 Uhr
Zeile 107:		Zeile 107:

	Ich verstehe nicht genau was du mit "ob man vom Abstand einer (bzw. mehrerer) Bewegung(en) <math>\beta</math> sprechen kann" meinst, falls du <math>d(\beta(P),\beta(Q))</math> meinst ist das nur der Abstand vom Bild von P und Q unter d.<br>--[[Benutzer:Peterpummel\|Peterpummel]] 13:07, 24. Okt. 2011 (CEST)		Ich verstehe nicht genau was du mit "ob man vom Abstand einer (bzw. mehrerer) Bewegung(en) <math>\beta</math> sprechen kann" meinst, falls du <math>d(\beta(P),\beta(Q))</math> meinst ist das nur der Abstand vom Bild von P und Q unter d.<br>--[[Benutzer:Peterpummel\|Peterpummel]] 13:07, 24. Okt. 2011 (CEST)
			<br />
			<br />
			Ne, entschuldige, mein Fehler. Ich hatte nicht gemerkt, dass du mit <math>d(\beta(P),\beta(Q))</math> die Bildpunkte bezeichnest - alles klar. --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 21:52, 26. Okt. 2011 (CEST)

	===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====		===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====

HecklF: /* Definition 1.1: Bewegung */

2011-10-24T19:05:58Z

Definition 1.1: Bewegung

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2011, 19:05 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	==== Definition ====		==== Definition ====
	=====Definition 1.1: Bewegung=====		=====Definition 1.1: Bewegung=====
	::Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die ...		::Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der Streckenlängen erhalten bleiben.<br />
			ODER<br />
			Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die kongruent zum Urbild ist. (Ich gehe davon aus, dass wir Kongruenz und Urbild schon definiert haben. Falls nicht:<br />
			Def. (Kongruenz): Eine Abbildung F1 ist kongruent zur Abbildung F2, wenn eine Bewegung <math>\rho</math> existiert, sodass gilt: F2 = <math>\rho (F1)</math><br />
			Def. (Urbild): kann man (im speziellen ich) (noch) nicht definieren :-) Ich probiers trotzdem: Ein ist eine Menge M oder ein einzelnes Element einer Menge M, welches durch eine Bewegung abgebildet wird. --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 21:05, 24. Okt. 2011 (CEST)

	=== Eigenschaften von Bewegungen ===		=== Eigenschaften von Bewegungen ===

Peterpummel: /* Injektivität */

2011-10-24T11:07:45Z

Injektivität

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2011, 11:07 Uhr
Zeile 101:		Zeile 101:
	<br /><br />		<br /><br />
	--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:45, 20. Okt. 2011 (CEST)		--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:45, 20. Okt. 2011 (CEST)

			Ich verstehe nicht genau was du mit "ob man vom Abstand einer (bzw. mehrerer) Bewegung(en) <math>\beta</math> sprechen kann" meinst, falls du <math>d(\beta(P),\beta(Q))</math> meinst ist das nur der Abstand vom Bild von P und Q unter d.<br>--[[Benutzer:Peterpummel\|Peterpummel]] 13:07, 24. Okt. 2011 (CEST)

	===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====		===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====

HecklF: /* Beweis von Satz 1.5: */

2011-10-20T10:59:24Z

Beweis von Satz 1.5:

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2011, 10:59 Uhr
Zeile 145:		Zeile 145:

	Abstandserhaltung von <math>\ \beta</math>und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.		Abstandserhaltung von <math>\ \beta</math>und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.
			<br />
			Voraussetzung: <math>\angle ASB</math>, Bewegung <math>\beta</math>, <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
			Behauptung: <math>\angle ASB</math> = <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
			<br /> Direkte Beweisführung <br /><br />
			Wir nehmen an, ASB ist ein Dreieck. Nach der Definition von Bewegung und der Voraussetzung entsteht mit <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> ein Dreieck, dessen Seiten jeweils gleich lang sind, wie diejenigen des ursprünglichen Dreiecks ABC. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind nun beide Dreiecke kongruent. Demnach ist nach der Definition von Kongruenz auch jeder Winkel des ursprünglichen gleich den Winkeln des Bildes dieses Dreiecks.
			<br />
			--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:59, 20. Okt. 2011 (CEST)

	[[Category:Elementargeometrie]]		[[Category:Elementargeometrie]]

HecklF: /* Injektivität */

2011-10-20T10:45:54Z

Injektivität

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 |}
 --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:00, 19. Okt. 2011 (CEST)
 ===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====

Peterpummel: /* Injektivität */

2011-10-19T12:00:11Z

Injektivität

← Nächstältere Version		Version vom 19. Oktober 2011, 12:00 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	\| Definition Bewegung (als Abbildung der Ebene auf sich, mit invarianten Abständen von beliebigen Punktpaaren. )		\| Definition Bewegung (als Abbildung der Ebene auf sich, mit invarianten Abständen von beliebigen Punktpaaren. )
	\|}		\|}
			--[[Benutzer:Peterpummel\|Peterpummel]] 14:00, 19. Okt. 2011 (CEST)

	===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====		===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====