Das Euklidische Parallelenaxiom - Versionsgeschichte

Frühling: /* Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel */

2010-07-26T10:46:01Z

Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2010, 10:46 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:

	<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???		<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

			Ich denke es ist der Beweis für die Implikation. Da du ja von Parallelen ausgehst und zeigst, dass die Winkel 180 ergeben. Aber oben hast du noch die Umkehrung stehen, das müsste geändert werden.--[[Benutzer:Frühling\|Frühling]] 10:46, 26. Jul. 2010 (UTC)

	'''Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel'''		'''Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel'''

Frühling: /* Satz XII.3 */

2010-07-26T10:39:53Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2010, 10:39 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===		=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
	===== Satz XII.3 =====		===== Satz XII.3 =====
	Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind ~~kongruent~~ zueinander.<br />		Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.<br />

	===== Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel=====		===== Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel=====

Löwenzahn: /* Satz XII.3 */

2010-07-24T11:30:31Z

Satz XII.3

@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind kongruent zueinander.<br />
 Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />
 '''Versuch 1:'''<br />
@@ Zeile 66: / Zeile 67: @@
 <br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

Barbarossa: /* Satz XII.3 */

2010-07-23T20:44:47Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2010, 20:44 Uhr
Zeile 55:		Zeile 55:

	Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)		Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)
			<br />Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa\|Barbarossa]] 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC)

	<br />'''Versuch 2:'''<br />		<br />'''Versuch 2:'''<br />

Löwenzahn: /* Satz XII.3 */

2010-07-20T18:00:23Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2010, 18:00 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:

	<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???		<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???
	~~Überlegung zur Beweisführung [[Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ]]~~

Löwenzahn: /* Satz XII.3 */

2010-07-20T18:00:05Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2010, 18:00 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:

	<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???		<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???
	Überlegung zur Beweisführung [[~~====~~ Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ~~====~~]]		Überlegung zur Beweisführung [[Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ]]

Löwenzahn: /* Satz XII.3 */

2010-07-20T17:59:15Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2010, 17:59 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:

	<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???		<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???
			Überlegung zur Beweisführung [[==== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ====]]

Löwenzahn: /* Satz XII.3 */

2010-07-20T16:02:13Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2010, 16:02 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	<br />Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>		<br />Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>
	<br />Wenn <math>a \\| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ \|\beta\| + \|\beta'\| = 180</math>, gilt auch <math>\ \|\alpha\| + \|\beta\| = 180</math>.		<br />Wenn <math>a \\| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ \|\beta\| + \|\beta'\| = 180</math>, gilt auch <math>\ \|\alpha\| + \|\beta\| = 180</math>.

			<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

Löwenzahn: /* Satz XII.3 */

2010-07-20T15:55:20Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2010, 15:55 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:
	Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />		Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />
	'''Versuch 1:'''<br />		'''Versuch 1:'''<br />
	Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />		Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel <s>kongruent</s> supplementär zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />

	Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)		Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)

	Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)		Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)

			Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)

	<br />'''Versuch 2:'''<br />		<br />'''Versuch 2:'''<br />

Heinzvaneugen: /* Satz XII.3 */

2010-07-19T15:22:36Z

Satz XII.3

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2010, 15:22 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:

	Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />		Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br />
	Versuch:<br />		'''Versuch 1:'''<br />
	Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />		Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />

Zeile 53:		Zeile 53:

	Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)		Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)

			<br />'''Versuch 2:'''<br />
			Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br />
			<br />Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind.
			<br />Winkel <math> \alpha \ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ a </math> und <math> \ c </math>)
			<br />Winkel <math> \beta\ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ b </math> und <math> \ c </math>)
			<br />Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>
			<br />Wenn <math>a \\| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ \|\beta\| + \|\beta'\| = 180</math>, gilt auch <math>\ \|\alpha\| + \|\beta\| = 180</math>.