Definitionen in der Mathematik SoSe 12 - Versionsgeschichte

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2012-04-24T12:52:53Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 12:52 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis		*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis
	*Eine Ellipse ist ein Kreis mit zwei langgezogenen Seiten		*Eine Ellipse ist ein Kreis mit zwei langgezogenen Seiten
	*Eine Ellipse ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (Ideen entwickelt in der Vorlesung am 24.04.12--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 14:47, 24. Apr. 2012 (CEST))		*Eine Ellipse ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht <span style="color: green">(Ideen entwickelt in der Vorlesung am 24.04.12--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 14:47, 24. Apr. 2012 (CEST))</span>

	<br />		<br />
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	'''Aufgaben:'''<br />		'''Aufgaben:'''<br />
	#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br />		#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br />
	*''a+b'' hat immer den gleichen Wert<br />		*Die Summe <math>\left\| a \right\| +\left\| b \right\|</math> hat immer den gleichen Wert<br />
	#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br />		#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br />
	#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br />		#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br />
	Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
	====Definition E.1: Ellipse====		====Definition E.1: Ellipse====
	*Zeichne zwei Punkte A und B, alle Punkte P für die gilt, dass die Summe der Abstände AP und BP immer gleich ist, bilden die Menge, die eine Ellipse beschreibt.		*Zeichne zwei Punkte ''A'' und ''B'', alle Punkte ''P'' für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\left\| AP \right\|</math> und <math>\left\| BP \right\|</math> immer gleich ist, bilden die Menge, die eine Ellipse beschreibt.

	oder:		oder:
	*Die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass die Summe der Abstände von P zu zwei festen Punkten A und B immer gleich ist, wird Ellipse genannt.		*Die Menge aller Punkte ''P'', für die gilt, dass die Summe der Abstände von ''P'' zu zwei festen Punkten ''A'' und ''B'' immer gleich ist, wird Ellipse genannt. <span style="color: green">(erarbeitet in der Vorlesung vom 24.04.12 --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 14:52, 24. Apr. 2012 (CEST))</span>

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2012-04-24T12:47:45Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 12:47 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis		*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis
	*Eine Ellipse ist ein Kreis mit zwei langgezogenen Seiten		*Eine Ellipse ist ein Kreis mit zwei langgezogenen Seiten
	*Eine Ellipse ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht		*Eine Ellipse ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (Ideen entwickelt in der Vorlesung am 24.04.12--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 14:47, 24. Apr. 2012 (CEST))

	<br />		<br />

Schnirch: /* Definition E.1: Ellipse */

2012-04-24T07:20:41Z

Definition E.1: Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 07:20 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
	====Definition E.1: Ellipse====		====Definition E.1: Ellipse====
			*Zeichne zwei Punkte A und B, alle Punkte P für die gilt, dass die Summe der Abstände AP und BP immer gleich ist, bilden die Menge, die eine Ellipse beschreibt.

			oder:
			*Die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass die Summe der Abstände von P zu zwei festen Punkten A und B immer gleich ist, wird Ellipse genannt.

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2012-04-24T07:03:04Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 07:03 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:

	'''Aufgaben:'''<br />		'''Aufgaben:'''<br />
	#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br /><br />		#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br />
			*''a+b'' hat immer den gleichen Wert<br />
	#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br />		#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br />
	#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br />		#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br />

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2012-04-24T06:58:49Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2012, 06:58 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br />		Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br />
	In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br />		In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br />
			*Eine Ellipse ist ein Kreis mit zwei Zentren
			*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis
			*Eine Ellipse ist ein Kreis mit zwei langgezogenen Seiten
			*Eine Ellipse ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht

	<br />		<br />
	Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />		Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />

Schnirch am 12. April 2012 um 19:30 Uhr

2012-04-12T19:30:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. April 2012, 19:30 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:


	~~==Es kann nur eine geben - oder?==~~
	~~{{#ev:youtube\|kq4SqgxIKM0}}<br /><br />~~
	~~<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>~~
	~~<br /><br />~~
	~~Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.~~
	~~====Definition E.2: Ellipse====~~


	~~{\| class="wikitable"~~
	\|-
	~~\| Parabel \|\| Hyperbel~~
	\|-
	~~\| [[Bild:Parabel_Kopie.png]] \|\| [[Bild:Hyperbel_Kopie.png]]~~
	\|}



	~~==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==~~
	Mit einem {{wpd\|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
	~~<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>~~
	~~<br />~~
	~~Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert.<br />~~
	~~Die Variablen bedeuten:<br />~~

	* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
	* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
	* R: Radius des festen Kreises
	* r: Radius des abrollenden Kreises
	* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
	~~Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.~~

	~~====Definition E.3: Ellipse====~~
	:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

	[[Category:Einführung_P]]		[[Category:Einführung_P]]

m.g. am 11. April 2012 um 15:43 Uhr

2012-04-11T15:43:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. April 2012, 15:43 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:
	:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.		:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

	[[Category:~~Einführung_Geometrie~~]]		[[Category:Einführung_P]]

Schnirch: /* Erkenntnisse aus dem einführenden Beispiel */

2012-03-27T13:25:14Z

Erkenntnisse aus dem einführenden Beispiel

← Nächstältere Version		Version vom 27. März 2012, 13:25 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_12\|einführenden Beispiel]]==		==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_12\|einführenden Beispiel]]==
	Wir haben im [[einführendes ~~Beispiel_WS_11/12~~\|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.		Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_12\|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
	<br />Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus.<br />		<br />Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus.<br />
	Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...).<br />		Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...).<br />

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Erkenntnisse aus dem einführenden Beispiel== Wir haben im einführenden Beispiel festges…“

2012-03-27T13:24:47Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Erkenntnisse aus dem einführenden Beispiel== Wir haben im einführenden Beispiel festges…“

Neue Seite

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_12|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

 

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====

{| class="wikitable"
|-
| Parabel || Hyperbel
|-
| [[Bild:Parabel_Kopie.png]] || [[Bild:Hyperbel_Kopie.png]]
|}

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 12 - Versionsgeschichte

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

Schnirch: /* Definition E.1: Ellipse */

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

Schnirch am 12. April 2012 um 19:30 Uhr

*m.g.* am 11. April 2012 um 15:43 Uhr

Schnirch: /* Erkenntnisse aus dem einführenden Beispiel */

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Erkenntnisse aus dem einführenden Beispiel== Wir haben im einführenden Beispiel festges…“

m.g. am 11. April 2012 um 15:43 Uhr