Definitionen in der Mathematik SoSe 23 - Versionsgeschichte

Passwort: /* Definition E.1: Ellipse */

2023-04-24T11:20:07Z

Definition E.1: Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2023, 11:20 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	Def. Ellipse:		Def. Ellipse:
	Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P ∈ E, für die gilt:		Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P ∈ E, für die gilt:
	\|F1 P\| + \|F2 P\| 0 const. mit F1, F2 sind Punkte in der Ebene E~~\wedge~~ \|F1 P\| \|F2 P\| > \|F1 F2\|		\|F1 P\| + \|F2 P\| 0 const. mit F1, F2 sind Punkte in der Ebene E ^ \|F1 P\| \|F2 P\| > \|F1 F2\|
	(entwickelt in der Vorlesung) --[[Benutzer:Passwort\|Passwort]] ([[Benutzer Diskussion:Passwort\|Diskussion]]) 13:13, 24. Apr. 2023 (CEST)		(entwickelt in der Vorlesung) --[[Benutzer:Passwort\|Passwort]] ([[Benutzer Diskussion:Passwort\|Diskussion]]) 13:13, 24. Apr. 2023 (CEST)

Passwort: /* Definition E.1: Ellipse */

2023-04-24T11:18:31Z

Definition E.1: Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2023, 11:18 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:

	Def. Ellipse:		Def. Ellipse:
	Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P~~\epsilon~~ E, für die gilt:		Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P ∈ E, für die gilt:
	\|F1 P\| + \|F2 P\| 0 const. mit F1, F2 sind Punkte in der Ebene E\wedge \|F1 P\| \|F2 P\| > \|F1 F2\|		\|F1 P\| + \|F2 P\| 0 const. mit F1, F2 sind Punkte in der Ebene E\wedge \|F1 P\| \|F2 P\| > \|F1 F2\|
	(entwickelt in der Vorlesung) --[[Benutzer:Passwort\|Passwort]] ([[Benutzer Diskussion:Passwort\|Diskussion]]) 13:13, 24. Apr. 2023 (CEST)		(entwickelt in der Vorlesung) --[[Benutzer:Passwort\|Passwort]] ([[Benutzer Diskussion:Passwort\|Diskussion]]) 13:13, 24. Apr. 2023 (CEST)

Passwort: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

2023-04-24T11:14:16Z

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2023, 11:14 Uhr
Zeile 68:		Zeile 68:
	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

	Def. Kreis: ...		Def. Kreis:
			Ein Kreis ist eine Ellipse mit F1 = F2
			(entwickelt in der Vorlesung)--[[Benutzer:Passwort\|Passwort]] ([[Benutzer Diskussion:Passwort\|Diskussion]]) 13:14, 24. Apr. 2023 (CEST)

	[[Category:Geo_P]]		[[Category:Geo_P]]

Passwort: /* Definition E.1: Ellipse */

2023-04-24T11:13:19Z

Definition E.1: Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2023, 11:13 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

	Def. Ellipse		Def. Ellipse:
	...		Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P\epsilon E, für die gilt:
			\|F1 P\| + \|F2 P\| 0 const. mit F1, F2 sind Punkte in der Ebene E\wedge \|F1 P\| \|F2 P\| > \|F1 F2\|
			(entwickelt in der Vorlesung) --[[Benutzer:Passwort\|Passwort]] ([[Benutzer Diskussion:Passwort\|Diskussion]]) 13:13, 24. Apr. 2023 (CEST)

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2023-04-24T09:15:52Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2023, 09:15 Uhr
Zeile 46:		Zeile 46:
	* sieht aus wie ein abgeflachter Kreis.		* sieht aus wie ein abgeflachter Kreis.
	* ein Marienkäfer von oben		* ein Marienkäfer von oben
	* das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht		* das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht (entwickelt in der Vorlesung) --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch\|Diskussion]]) 11:15, 24. Apr. 2023 (CEST)

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2023-04-24T09:14:23Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2023, 09:14 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	Eine Ellipse ist:		Eine Ellipse ist:
	* sieht aus wie ein abgeflachter Kreis.		* sieht aus wie ein abgeflachter Kreis.
			* ein Marienkäfer von oben
			* das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht

Simsalabim: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2023-04-24T09:09:33Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2023, 09:09 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	Intuitive Definitionen:		Intuitive Definitionen:
	Eine Ellipse ist:		Eine Ellipse ist:
	*		* sieht aus wie ein abgeflachter Kreis.

Schnirch am 15. April 2023 um 15:16 Uhr

2023-04-15T15:16:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2023, 15:16 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	Intuitive Definitionen:		Intuitive Definitionen:
	Eine Ellipse ist:		Eine Ellipse ist:
	* ~~ein Kreis, den man auseinandergezogen hat.~~		*
	* ein Kreis, auf dem man schräg draufschaut.
	* ein gedrückter Kreis, der auf zwei Fokuspunkte steht.
	* das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (entstanden in der Vorlesung) --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch\|Diskussion]]) 11:21, 25. Apr. 2022 (CEST)


Zeile 63:		Zeile 60:

	Def. Ellipse		Def. Ellipse
	~~Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: \|F1P\| + \|F2P\| = const~~. ~~mit F1, F2, P Element Ebene E~~. ~~--[[Benutzer:Xnu222\|Xnu222]] ([[Benutzer Diskussion:Xnu222\|Diskussion]]) 11:45, 25~~. ~~Apr. 2022 (CEST) (entstanden in der Vorlesung)~~		...

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Matze2000: Die Seite wurde neu angelegt: „==Was ist eine Definition?== *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen best…“

2023-04-10T10:27:59Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Was ist eine Definition?== *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen best…“

Neue Seite

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

*

---
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Intuitive Definitionen:
Eine Ellipse ist:
* ein Kreis, den man auseinandergezogen hat.
* ein Kreis, auf dem man schräg draufschaut.
* ein gedrückter Kreis, der auf zwei Fokuspunkte steht.
* das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (entstanden in der Vorlesung) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 11:21, 25. Apr. 2022 (CEST)

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 

Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

Def. Ellipse
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: |F1P| + |F2P| = const. mit F1, F2, P Element Ebene E. --[[Benutzer:Xnu222|Xnu222]] ([[Benutzer Diskussion:Xnu222|Diskussion]]) 11:45, 25. Apr. 2022 (CEST) (entstanden in der Vorlesung)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Def. Kreis: ...

[[Category:Geo_P]]