Definitionen in der Mathematik WS 19 20 - Versionsgeschichte

Emiliam: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

2019-10-21T13:34:06Z

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 21. Oktober 2019, 13:34 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />

			1)
	Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt:		Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt:

	<math> \| F_{1}P \| + \| F_{2}P \| = const., mit F_{1}, F_{2}, P \epsilon E (Ebene) </math>		<math>\| F_{1}P \| + \| F_{2} P \| = const., mit F_{1}, F_{2}, P \epsilon E (Ebene) </math>

			2)
			Ein Kreis ist eine Ellipse, bei der die Beiden Brennpunkte <math>F_{1} + F_{2}</math> identisch sind.

	--[[Benutzer:Emiliam\|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam\|Diskussion]]) 15:29, 21. Okt. 2019 (CEST)		--[[Benutzer:Emiliam\|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam\|Diskussion]]) 15:29, 21. Okt. 2019 (CEST)


	[[Category:Geo_P]]		[[Category:Geo_P]]

Emiliam: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

2019-10-21T13:29:36Z

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 21. Oktober 2019, 13:29 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />

			Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt:

			<math> \| F_{1}P \| + \| F_{2}P \| = const., mit F_{1}, F_{2}, P \epsilon E (Ebene) </math>

			--[[Benutzer:Emiliam\|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam\|Diskussion]]) 15:29, 21. Okt. 2019 (CEST)


	[[Category:Geo_P]]		[[Category:Geo_P]]

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2019-10-21T13:08:43Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 21. Oktober 2019, 13:08 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br />		Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br />
	In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br />		In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br />
	*		* ein Kreis der nicht überall den gleichen Radius hat
			* ein Kreis der eiförmig ist
			* ein plattgedrückter Kreis
			* sieht aus wie eine Stadionlaufbahn
			* entsteht bei der Gärtnerkonstruktion --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch\|Diskussion]]) 15:08, 21. Okt. 2019 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung am 21.10.)
	---		---
	Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}\|action=purge}} den Servercache leeren].		Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}\|action=purge}} den Servercache leeren].

Schnirch am 21. Oktober 2019 um 12:15 Uhr

2019-10-21T12:15:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Oktober 2019, 12:15 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	~~<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">~~
	~~{\|width=90%\| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"~~
	~~\| valign="top" \|~~

	==Was ist eine Definition?==		==Was ist eine Definition?==
	*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br />		*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br />
	~~==Eigenschaften von Definitionen==~~		*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
	~~===Definitionen sind nicht beweisbar===~~		*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br />
	~~====Der Unterschied zwischen einer Definition und einer Aussage====~~
	~~Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Beispiele für mathematische Aussagen sind:~~
	* Satz über die Innenwinkelsumme von Dreiecken: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt <math>180^\circ</math>
	* Satz über die Existenz der Lotgeraden: Zu jedem Punkt <math>P</math> und jeder Geraden <math>g</math> gibt es eine Gerade, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.
	* Satz über die Eindeutigkeit der Lotgeraden: Zu jedem Punkt <math>P</math> und jeder Geraden <math>g</math> gibt es höchstens eine Gerade, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.
	~~Definitionen sind demgegenüber als mehr oder weniger "willkürliche" Festlegungen (Namensgebungen) weder wahr noch falsch.~~
	Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder ~~sinnlos~~.
	~~Die folgende Definition ist~~ z.B. ~~korrekt jedoch völlig sinnlos, weil sie~~ die ~~leere Menge beschreibt:<br />~~
	~~Definition:~~ (~~gemeiner Dreiecksknux~~) ~~Eine Gerade, die durch keinen Eckpunkt eines Dreiecks aber durch alle Seiten dieses Dreiecks geht, heißt gemeiner Dreiecksknux~~.
	~~====Minimalität von~~ Definitionen~~====~~
	Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />

	~~Beispiele~~: ~~(zu viele Eigenschaften)~~
	* Definition: ~~(Parallelogramm)~~ Ein ~~Parallelogramm~~ ist ein Viereck~~, bei dem~~ die ~~gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleichlang zueinander sind. (Es wird nur eine der Eigenschaften benötigt~~, ~~die andere lässt~~ sich ~~dann beweisen)~~.
	* Definition: (Drachen) Ein Viereck, ~~dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen~~ und ~~bei dem eine Diagonale die andere halbiert~~ und ~~das zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten hat, heißt Drachen. (Senkrecht und halbieren oder senkrecht und zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten reicht)~~.

	==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==		==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Zeile 42:		Zeile 23:
	::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.		::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
	====genetisch, operative Definition====		====genetisch, operative Definition====
	::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck~~. Spiegele~~ <math>C</math> an <math>AB</math> ~~und du erhältst den Bildpunkt~~ <math>C'</math>. Das Viereck <math>\overline{~~ACBC~~'}</math> ~~heißt Drachen~~.		::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

	==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==		==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Zeile 52:		Zeile 33:
	==Entwicklung einer "neuen" Definition==		==Entwicklung einer "neuen" Definition==
	Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br />		Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br />
	~~<iframe width="560" height="315" src="https~~://www.youtube.com/~~embed/EBFQTMyxA3E" frameborder~~=~~"0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in~~-~~picture" allowfullscreen></iframe>~~		YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI


	<br />		<br />
	Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br />		Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br />
	In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br />		In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br />
	*~~ein plattgedrückter Kreis~~		*
	*ein Rugbyball		---
	*ein Ei
	*eine Wasserpfütze
	*eine Wassermelone
	*eine Badewanne von oben

	~~<br />~~
	Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}\|action=purge}} den Servercache leeren].		Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}\|action=purge}} den Servercache leeren].
	<br /><br />		<br /><br />
Zeile 78:		Zeile 52:

	====Definition E.1: Ellipse====		====Definition E.1: Ellipse====
	~~Das können Sie selbst:<br />~~
	~~Definition: (Ellipse)~~
	~~Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Die Menge aller Punkte <math>P</math> ...~~
	~~...~~

	~~====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====~~
	~~Ergänzen Sie:<br />~~

	~~Ein Kreis ist eine Ellipse, für die gilt ...~~

	...		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
	<~~!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---~~>
	\|}		#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br />
	</~~div~~>		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />




	~~[[Kategorie:Einführung_S]]~~
	[[Category:Geo_P]]		[[Category:Geo_P]]

m.g.: /* genetisch, operative Definition */

2019-10-20T11:30:14Z

genetisch, operative Definition

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2019, 11:30 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.		::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
	====genetisch, operative Definition====		====genetisch, operative Definition====
	::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck. Spiegele <math>C</math> an <math>AB</math> und du ~~erhälst~~ den Bildpunkt <math>C'</math>. Das Viereck <math>\overline{ACBC'}</math> heißt Drachen.		::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck. Spiegele <math>C</math> an <math>AB</math> und du erhältst den Bildpunkt <math>C'</math>. Das Viereck <math>\overline{ACBC'}</math> heißt Drachen.

	==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==		==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==

m.g.: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2019-10-20T11:29:37Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2019, 11:29 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	*eine Wassermelone		*eine Wassermelone
	*eine Badewanne von oben		*eine Badewanne von oben
	*ein Auge--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch\|Diskussion]]) 15:09, 23. Apr. 2018 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung am 23.4.18)
	*Kreis von der Seite --[[Benutzer:Karl-Heinz Uwe\|Karl-Heinz Uwe]] ([[Benutzer Diskussion:Karl-Heinz Uwe\|Diskussion]]) 15:11, 23. Apr. 2018 (CEST)
	<br />		<br />
	Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}\|action=purge}} den Servercache leeren].		Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}\|action=purge}} den Servercache leeren].

m.g.: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

2019-10-20T11:28:42Z

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2019, 11:28 Uhr
Zeile 85:		Zeile 85:

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
			Ergänzen Sie:<br />

	Ein Kreis ist eine Ellipse, für die gilt ~~F1 = F2~~.		Ein Kreis ist eine Ellipse, für die gilt ...

	...		...

m.g.: /* Definition E.1: Ellipse */

2019-10-20T11:28:08Z

Definition E.1: Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2019, 11:28 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:

	====Definition E.1: Ellipse====		====Definition E.1: Ellipse====
			Das können Sie selbst:<br />
	~~Eine~~ Ellipse ~~ist die~~ Menge aller Punkte~~, für die gilt \|F1P\| + \|F2P\|= Cons~~. ~~und F1, F2 und P liegen in genau einer Ebene~~.		Definition: (Ellipse)
	~~F1 und F2 heißen Brennpunkte der Ellipse~~.		Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Die Menge aller Punkte <math>P</math> ...
	...		...
	~~#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br />~~
	~~Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.~~

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

m.g.: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2019-10-20T11:25:02Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2019, 11:25 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	==Entwicklung einer "neuen" Definition==		==Entwicklung einer "neuen" Definition==
	Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br />		Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br />
	<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/~~watch?v=~~EBFQTMyxA3E ~~rel=0~~" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe>		<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/EBFQTMyxA3E" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>

m.g.: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2019-10-20T11:24:13Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2019, 11:24 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	==Entwicklung einer "neuen" Definition==		==Entwicklung einer "neuen" Definition==
	Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br />		Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br />
	<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/watch?v=EBFQTMyxA3E?rel=0" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe>		<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/watch?v=EBFQTMyxA3E rel=0" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe>

Definitionen in der Mathematik WS 19 20 - Versionsgeschichte

Emiliam: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

Emiliam: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

Schnirch am 21. Oktober 2019 um 12:15 Uhr

*m.g.*: /* genetisch, operative Definition */

*m.g.*: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

*m.g.*: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

*m.g.*: /* Definition E.1: Ellipse */

*m.g.*: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

*m.g.*: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

m.g.: /* genetisch, operative Definition */

m.g.: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

m.g.: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

m.g.: /* Definition E.1: Ellipse */

m.g.: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

m.g.: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */