Bookworm: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

2022-10-17T13:30:42Z

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2022, 13:30 Uhr
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	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

	Def. Kreis: ...		Def. Kreis: Ein Kreis ist eine Ellipse für die gilt F1=F2 --[[Benutzer:Bookworm\|Bookworm]] ([[Benutzer Diskussion:Bookworm\|Diskussion]]) 15:30, 17. Okt. 2022 (CEST)

	[[Category:Geo_P]]		[[Category:Geo_P]]

Bookworm: /* Definition E.1: Ellipse */

2022-10-17T13:29:47Z

Definition E.1: Ellipse

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2022, 13:29 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

	Def. Ellipse: ...		Def. Ellipse: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P für die gilt: \|F1P\|+\|F2P\|=konstant mit F1,F2 und P sind Punkte der Ebene E--[[Benutzer:Bookworm\|Bookworm]] ([[Benutzer Diskussion:Bookworm\|Diskussion]]) 15:29, 17. Okt. 2022 (CEST)

			Informale Def.: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P für die gilt: Es gibt zwei fixierte Punkte F1 und F2 sowie zwei Geraden a und b. a hat seinen Ursprung in F1 und b in F2. Die Summe der Länge von a+b bleibt immer gleich und deren Schnittpunkte P zeigen den Umfang der Ellipse.

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2022-10-17T13:02:59Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2022, 13:02 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	Intuitive Definitionen:		Intuitive Definitionen:
	Eine Ellipse ist:		Eine Ellipse ist:
	...		* ein flacher Kreis
			* ein Ei
			* eine Badewanne
			* ein Rugby-Ball
			* ein Oval
			* das was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch\|Diskussion]]) 15:02, 17. Okt. 2022 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung)

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

2022-10-09T14:24:26Z

Entwicklung einer "neuen" Definition

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2022, 14:24 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	Intuitive Definitionen:		Intuitive Definitionen:
	Eine Ellipse ist:		Eine Ellipse ist:
	* ein Kreis, den man auseinandergezogen hat.		...
	* ein Kreis, auf dem man schräg draufschaut.
	* ein gedrückter Kreis, der auf zwei Fokuspunkte steht.
	* das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (entstanden in der Vorlesung) --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch\|Diskussion]]) 11:21, 25. Apr. 2022 (CEST)


Zeile 62:		Zeile 59:
	Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.		Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

	Def. Ellipse		Def. Ellipse: ...
	~~Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt~~: ~~\|F1P\| + \|F2P\| = const~~. ~~mit F1, F2, P Element Ebene E. --[[Benutzer:Xnu222\|Xnu222]] ([[Benutzer Diskussion:Xnu222\|Diskussion]]) 11:45, 25~~. ~~Apr~~. ~~2022 (CEST) (entstanden in der Vorlesung)~~

	====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====		====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Matze2000: Die Seite wurde neu angelegt: „==Was ist eine Definition?== *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen best…“

2022-10-06T20:12:09Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Was ist eine Definition?== *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen best…“

Neue Seite

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

*

---
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Intuitive Definitionen:
Eine Ellipse ist:
* ein Kreis, den man auseinandergezogen hat.
* ein Kreis, auf dem man schräg draufschaut.
* ein gedrückter Kreis, der auf zwei Fokuspunkte steht.
* das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (entstanden in der Vorlesung) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 11:21, 25. Apr. 2022 (CEST)

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 

Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

Def. Ellipse
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: |F1P| + |F2P| = const. mit F1, F2, P Element Ebene E. --[[Benutzer:Xnu222|Xnu222]] ([[Benutzer Diskussion:Xnu222|Diskussion]]) 11:45, 25. Apr. 2022 (CEST) (entstanden in der Vorlesung)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

Def. Kreis: ...

[[Category:Geo_P]]

Definitionen in der Mathematik WS 22 23 - Versionsgeschichte

Bookworm: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

Bookworm: /* Definition E.1: Ellipse */

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

Schnirch: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

Matze2000: Die Seite wurde neu angelegt: „==Was ist eine Definition?== *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen best…“